Fiche de mathématiques
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ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2013
Filière MP

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Composition de mathématiques D - (U)
(Durée : 6 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Polynômes hyperboliques



Préambule


Si K=\mathbb{R} ou \mathbb{C}, on note \mathbf{Pol}(K^n) l'algèbre des fonctions polynomiales sur K^n, dont la base canonique est constituée des fonctions monômes x\mapsto x_1^{m_1}\cdots x_n^{m_n}, où m_1,\dots,m_n\in\mathbb{N} et x_1,\dots x_n sont les coordonnées de x. Par convention, on aura toujours x_j^0=1, même lorsque x_j=0. L'écriture d'une fonction polynomiale comme combinaison linéaire des fonctions monômes étant unique, on utilisera par la suite les mots monôme et polynôme pour désigner des fonctions monômes ou polynomiales.

Le degré du monôme x_1^{m_1}\cdots x_n^{m_n} est l'entier m_1+\dots+m_n. Un polynôme P\in\mathbf{Pol}(K^n) est dit homogène de degré d s'il est combinaison linéaire des monômes de degré d. Les polynômes homogènes de degré d sur K^n forment donc un espace vectoriel que l'on note \mathbf{Hom}_d(K^n). Par exemple, \mathbf{Hom}_2(K^n) est l'ensemble des formes quadratiques sur K^n.

Si V est un espace vectoriel sur K de dimension finie n, le choix d'une base \mathcal{B} de V permet d'identifier V à K^n ; on peut donc parler de polynômes et de polynômes homogènes sur V. On admettra que ces deux notions sont indépendantes du choix de \mathcal{B}, et on notera \mathbf{Pol}(V) (respectivement \mathbf{Hom}_d(V)) l'espace vectoriel formé des polynômes (respectivement des polynômes homogènes de degré d) sur V.

Si j,k\in\mathbb{Z} sont deux entiers, on notera [\hspace{-2pt}[j,k]\hspace{-2pt}] l'ensemble des entiers i\in\mathbb{Z} tels que  j\le i\le k. Si k<j,\ [\hspace{-2pt}[j,k]\hspace{-2pt}] est donc vide.


1. Si P\in\mathbf{Hom}_d(\mathbb{R}^n) et v\in\mathbb{R}^n, calculer \displaystyle\sum_{j=1}^nv_j\cfrac{\partial P}{\partial x_j}(v) en fonction de P(v).

Le problème traite des polynômes hyperboliques. Soit V un espace vectoriel réel de dimension n\ge1, soient d\ge1 un entier et \mathbf{a}\in V un vecteur non nul ; on dit qu'un polynôme homogène p de degré d sur V (donc un élément de \mathbf{Hom}_d(V)) est hyperbolique dans la direction \mathbf{a} si d'une part p(\mathbf{a})\neq0, et d'autre part, pour tout vecteur x \in \mathbb{R}^n, les racines du polynôme à une variable t\mapsto p(t\mathbf{a}-x) sont réelles. Remarquons que si s\in\mathbb{R}\backslash \lbrace0\rbrace, p est encore hyperbolique dans la direction de s\mathbf{a} ; ce qui explique l'emploi du mot direction dans la terminologie ci-dessus.

2. Vérifier que dans cette définition, les racines de t\mapsto p(t\mathbf{a}-x), comptées avec leurs multiplicités, sont au nombre de d.

Ces racines seront notées \lambda_1(x;\mathbf{a}),\dots,\lambda_d(x;\mathbf{a}) et rangées dans l'ordre croissant : \lambda_1(x;\mathbf{a}) \leq \dots \leq \lambda_d(x;\mathbf{a}).

3. Exprimer p(x) au moyen de p(\mathbf{a}) et des \lambda_j(x;\mathbf{a}).

Si s\in\mathbb{R}, exprimer en fonction du signe de s les \lambda_j(sx,\mathbf{a}) et les \lambda_j(x+s\mathbf{a};\mathbf{a}) au moyen des \lambda_j(x;\mathbf{a}).


I. Exemples


4. Montrer que la fonction S\mapsto \text{det}S est un polynôme homogène sur l'espace \mathbf{Sym}_m(\mathbb{R}) des matrices symétriques réelles à m lignes et m colonnes, et que ce polynôme est hyperbolique dans une direction convenable.

5. Pour quelles valeurs de l'entier k compris entre 1 et n, la forme quadratique q(x)=\displaystyle\sum_{j=1}^kx_j^2- \sum_{j=k+1}^nx_j^2 est-elle hyperbolique sur \mathbb{R}^n, dans une direction convenable ?

6. Si d\ge2 et si p\in\mathbf{Hom}_d(V) est hyperbolique dans une direction \mathbf{a}, montrer que la formule x \mapsto\displaystyle\sum_{j=1}^na_j\cfrac{\partial p}{\partial x_j}(x) définit un polynôme hyperbolique dans la même direction. On notera ce polynôme \mathbf{a}\cdot\nabla p.

7. Soit n\ge2 et d\in[\hspace{-2pt}[1,n]\hspace{-2pt}] des entiers. On définit sur \mathbb{R}^n le d-ième polynôme symétrique élémentaire \Sigma_d comme suit : \Sigma_d(x)=\displaystyle\sum_{1\le j_1<\dots<j_d\le n}x_{j_1}\cdots x_{j_d}.
Montrer que \Sigma_d est hyperbolique dans la direction \mathbf{e}=(1,\dots,1).


II. Continuité des racines


8. Soit n et d deux entiers strictement positifs, et F:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^d une fonction. On se donne un élément \bar{x} de \mathbb{R}^n. On suppose que, pour toute suite (x^m) dans \mathbb{R}^n qui converge vers \bar{x}, il existe une sous-suite (x^{\phi(k)}) (avec \phi strictement croissante) telle que la suite (F(x^{\phi(k)})) converge vers F(\bar{x}). Montrer que F est continue en \bar{x}.

9. Soit p\in\mathbf{Hom}_d(V) un polynôme hyperbolique dans une direction \mathbf{a}, où d\ge1 et \text{dim}\ V =n\ge1. On définit l'application
\begin{array}{rcl}V&\xrightarrow{\Lambda}&\mathbb{R}^d\\x&\longmapsto&(\lambda_1(x;\mathbf{a}),\dots,\lambda_d(x; \mathbf{a}))\end{array}

9.(a) Si une suite (x^m) de V est bornée, montrer que les suites (\lambda_j(x^m)) sont bornées elles-aussi.
9.(b) En utilisant la question 8, montrer que \Lambda est continue.


III. Le cône du futur


Si p\in\mathbf{Hom}_d(V) est hyperbolique dans la direction \mathbf{a}, on désigne par C(p;\mathbf{a}) l'ensemble des vecteurs x\in V qui satisfont \lambda_1(x;\mathbf{a})>0.

10. Vérifier que C(p;\mathbf{a}) est étoilé par rapport à \mathbf{a}. Montrer que C(\mathbf{a}\cdot\nabla p;\mathbf{a})\supset C(p;\mathbf{a}).

On suppose dans cette section que pour tout x non colinéaire à \mathbf{a}, on a les inégalités strictes \lambda_1(x;\mathbf{a})<\lambda_2(x;\mathbf{a})<\dots<\lambda_d(x;\mathbf{a}), et on dit alors que p est strictement hyperbolique.

11. Soit \mathbf{b}\in C(p;\mathbf{a}) et x\in V. Si j\in[\hspace{-2pt}[1,d]\hspace{-2pt}], montrer que la fonction \begin{array}{rcl}\mathbb{R}&\xrightarrow{\phi_j}&\mathbb{R}\\t&\longmapsto&\lambda_j(t\mathbf{b}+x;\mathbf{a})\end{array} est surjective.

Lorsque d\ge2, à quelle condition existe-t-il deux indices distincts j et k et un nombre t\in\mathbb{R} tel que \phi_j(t)=\phi_k(t) ?

12. En déduire que p est strictement hyperbolique dans la direction \mathbf{b}.

13. Montrer que les \phi_j sont strictement croissantes.

14. Soit x,y\in V. Montrer que t\mapsto\lambda_1(ty+x;\mathbf{a})-t\lambda_1(y;\mathbf{a}) est croissante. En déduire que x \longmapsto\lambda_1(x;\mathbf{a}) est concave et que C(p;\mathbf{a}) est un cône convexe.

15. Soit x,\mathbf{b}\in C(p,\mathbf{a}). Montrer que \lambda_1(x;\mathbf{b})>0.

16. En déduire que si \mathbf{b}\in C(p;\mathbf{a}), alors C(p;\mathbf{b})=C(p;\mathbf{a}).


IV. Le cas général


On admet dans cette section l'énoncé suivant (légèrement moins précis qu'un Lemme de Rouché) :
Soient P,Q\in\mathbb{C}[X] deux polynômes. Soient w\in\mathbb{C} un nombre complexe et \epsilon>0 un nombre réel. On suppose que P(w)=0 et que \sup\lbrace|Q(z)|\ ; |z-w|=\epsilon\rbrace<\inf\lbrace|P(z)|\ ;|z-w|=\epsilon\rbrace.
Alors P+Q a au moins une racine w' telle que |w'-w|<\epsilon.

17. Soit R=R(x,y)\in\mathbf{Pol}(\mathbb{C}^2) un polynôme s'annulant en (0,0). On suppose que le polynôme x\mapsto R(x,0) n'est pas nul et on note m la multiplicité de sa racine x=0. De même, on suppose que le polynôme y\mapsto R(0,y) n'est pas nul et on note r la multiplicité de sa racine y=0.
17.(a) Montrer qu'il existe des entiers \alpha,\beta>0 premiers entre eux, et deux polynômes R_0 et R_1 vérifiant les conditions suivantes :
R(x,y)=R_0(x,y)+R_1(x,y),
R_0(x,y)=x^mQ_0(y^{\alpha}/x^{\beta}), où Q_0\in\mathbb{C}[X] vérifie 0<\beta\text{deg}\ Q_0\le m,
R_1 est combinaison linéaire de monômes x^iy^j pour lesquels \alpha i+\beta j\ge\alpha m+1.
Vérifier que Q_0(0)\neq0.
17.(b) Montrer qu'il existe des polynômes \hat{R}\in\mathbb{C}[X] et S\in\mathbf{Pol}(\mathbb{C}^2) satisfaisant l'identité R( zu^{\alpha},u^{\beta})=u^{\alpha m}(\hat{R}(z)+uS(z,u)).
Montrer de plus que \hat{R} possède une racine w\neq0.
17.(c) Si w n'est pas réelle, monter que pour tout u\in\mathbb{C} assez petit, il existe z\in\mathbb{C}\backslash\mathbb{R} tel que R(zu^{\alpha},u^{\beta})=0.

18. On reprend les notations de la question précédente, et on suppose que lorsque y est réel, les racines de R(x,y) sont toutes réelles.
18.(a) Montrer que les racines de \hat{R} sont toutes réelles.
18.(b) Montrer que l'ensemble des racines de \hat{R} est stable par multiplication par e^{2i\alpha\pi/\beta}. En déduire que \beta \leq 2.
18.(c) En considérant aussi les points de la forme (zu^{\alpha},-u^{\beta}), montrer qu'en fait \beta=1.
18.(d) En déduire que r\ge m.

19. Soit p un polynôme homogène de degré d\ge1 sur un espace vectoriel réel V de dimension n\ge2, hyperbolique dans la direction de \mathbf{a}\neq0. On ne suppose pas que p soit strictement hyperbolique. On se donne \mathbf{b}\in C(p;\mathbf{a}).
19.(a) Soit x\in V et s^*\in\mathbb{R} ; on utilise les fonctions \phi_j définies à la question 11.
Soit t^* une racine réelle de t\mapsto p(s^*\mathbf{a}-t\mathbf{b}-x), de multiplicité r. Montrer qu'au plus r d'entre les fonctions \phi_j prennent la valeur s^* en t^*.
19.(b) En déduire que p est hyperbolique dans la direction \mathbf{b}.

Les preuves des autres résultats de la partie III restant valables, on pourra utiliser par la suite le fait que
x\mapsto\lambda_1(x;\mathbf{a}) est concave et C(p;\mathbf{a}) est un cône convexe,
si \mathbf{b}\in C(p;\mathbf{a}), alors C(p;\mathbf{b})=C(p;\mathbf{a}).


V. L'inégalité de Gårding sur le cône C(p;\mathbf{a})


Soit V un espace vectoriel réel de dimension finie n et d\ge2 un entier. Une application M:V^d=\underbrace{V\times V\times\dots \times V}_{d\ \text{copies}}\rightarrow\mathbb{R} est dite symétrique si M(x_{\sigma(1)},\dots,x_{\sigma(d)})=M(x_1,\dots,x_d) pour tous vecteurs x_1,\dots,x_d\in V et pour toute permutation \sigma de [\hspace{-2pt}[1,n]\hspace{-2pt}].

Une forme d-linéaire symétrique est une application M comme ci-dessus, qui satisfait de plus M(\lambda x_1+\mu y_1,x_2,\dots,x_d)= \lambda M(x_1,\dots,x_d)+\mu M(y_1,\dots,x_d) pour tous vecteurs y_1,x_1,\dots,x_d\in V et tous \lambda,\mu\in\mathbb{R}.

Soit M une forme d-linéaire symétrique. La fonction p définie par p(x)=M(x,\dots,x)\ \forall x\in V est alors polynomiale, homogène de degré d. On suppose que p est hyperbolique dans la direction de \mathbf{a}, un vecteur non nul.

20. Soit \mathbf{b}\in C(p;\mathbf{a}).
20.(a) Prouver l'identité : dM(x,\mathbf{b},\dots,\mathbf{b})=p(\mathbf{b})\displaystyle\sum_{j=1}^d\lambda_j(x;\mathbf{b}),\ \forall x\in V.
20.(b) En déduire que M(\mathbf{a},\mathbf{b},\dots,\mathbf{b})\ge p(\mathbf{a})^{1/d}p(\mathbf{b})^{(d-1)/d}.
On pourra admettre sans démonstration l'inégalité arithmético-géométrique : si u_1,\dots,u_d sont des nombres réels positifs, alors \cfrac{1}{d} (u_1+\dots+u_d)\ge(u_1\cdots u_d)^{1/d}.

21. Vérifier que x\mapsto M(\mathbf{a},x,\dots,x) est un polynôme hyperbolique sur V, dans la direction de \mathbf{a}.

22. Montrer que pour tout choix des vecteurs x^1,\dots,x^d dans C(p;\mathbf{a}), on a M(x^1,\dots,x^d)\ge\displaystyle\prod _{j=1}^dp(x^j)^{1/d}.
On pourra faire un raisonnement par récurrence sur le degré d.

23. Applications :
23.(a) Soit m\ge1 et B la forme polaire d'une forme quadratique q définie positive sur \mathbb{R}^m. Soit \alpha, \beta\in\mathbb{R} et u,v\in\mathbb{R}^m. Si \alpha>\sqrt{q(u)} et \beta>\sqrt{q(v)}, montrer que \alpha\beta-B(u,v)\ge \sqrt{(\alpha^2-q(u))(\beta^2-q(v))}.
23.(b) Si A\in\mathbf{M}_d(\mathbb{R}) est une matrice carrée, on définit son permanent \text{per}(A)=\displaystyle\sum_{\rho\in \mathbf{Bij}_d}a_{1\rho(1)}\cdots a_{d\rho(d)}, où \mathbf{Bij}_d désigne l'ensemble des bijections de \lbrace1,\dots,d\rbrace dans lui-même.
Si A est à coefficients positifs, montrer l'inégalité \text{per}(A)\ge(d!)\left(\displaystyle\prod_{1\le i,j\le d}a_{i,j}\right)^{1/d}.


VI. Concavité de p^{1/d} sur le cône C(p;\mathbf{a})


On reprend les notations du paragraphe V. On pourra admettre que pour tout polynôme homogène p de degré d sur V, il existe une forme d-linéaire symétrique sur V telle que p(x)=M(x,\dots,x) pour tout x dans V.

24. Soit x,y\in C(p;\mathbf{a}). En exprimant p(x+y) au moyen de M, montrer que p(x+y)\ge\left(p(x)^{1/d}+p(y)^{1/d} \right)^d.
En déduire que la fonction x\mapsto p(x)^{1/d} est concave sur C(p;\mathbf{a}).

25. Montrer que l'ensemble des matrices symétriques définies positives à d lignes et d colonnes est un cône convexe, sur lequel l'application S\mapsto(\text{det}\ S)^{1/d} est concave.


VII. Inégalités de Weyl


On considère dans cette section un polynôme homogène p sur un espace vectoriel V de dimension n\ge3. On suppose que p est strictement hyperbolique (voir Section III pour cette notion) dans la direction \mathbf{a}, de degré d\ge2. Comme on ne considérera pas d'autre direction d'hyperbolicité que \mathbf{a}, on notera \lambda_r(x) au lieu de \lambda_r(x;\mathbf{a}).

On se donne trois indices i,j,k\in[\hspace{-2pt}[1,d]\hspace{-2pt}] vérifiant j\le i et k+1=i+j. On suppose, jusqu'à la question 30 qu'il existe deux vecteurs x,y\in V tels que \lambda_k(x+y) < \lambda_i(x)+\lambda_j(y).

26. Montrer que nécessairement, k\ge2.

27. Montrer qu'il existe u,v\in V satisfaisant d'une part \lambda_k(u+v)<\lambda_i(u), et d'autre part \lambda_r(v)\left\lbrace \begin{array}{l}<0,\ \text{si}\ r<j,\\>0,\ \text{si}\ r\ge j.\end{array}\right.

28. On choisit un élément \lambda^* de l'intervalle ]\lambda_k(u+v),\lambda_i(u)[, et on considère les fonctions \phi_r:\mathbb{R} \rightarrow\mathbb{R} définies par \phi_r(t)=\lambda_r(u+tv),\ r\in[\hspace{-2pt}1,d]\hspace{-2pt}].
En examinant les valeurs de \phi_r en t=0,\ t=1 et au voisinage de \pm\infty, donner un minorant du nombre de solutions de l'équation \phi_r(t)=\lambda^*. Ce minorant dépend de l'indice r.

29. (a) En déduire que le nombre de racines du polynôme t\mapsto p(\lambda^*\mathbf{a}-u-tv) est minoré par
\begin{array}{ll} D=&\text{Card}([\hspace{-2pt}[j,d]\hspace{-2pt}]\cap[\hspace{-2pt}[1,d+1-j]\hspace{-2pt}])+\text{Card}([\hspace{-2pt}[1,j-1]\hspace{-2pt}]\cap[\hspace{-2pt} [d+2-j,d]\hspace{-2pt}])+2\text{Card}([\hspace{-2pt}[1,j-1]\hspace{-2pt}]\cap[\hspace{-2pt}[1,d+1-j]\hspace{-2pt}]\cap[\hspace{-2pt}[i,d]\hspace{-2pt}])\\ &+2\text{Card}([\hspace{-2pt}[j,d]\hspace{-2pt}]\cap[\hspace{-2pt}[d+2-j,d]\hspace{-2pt}]\cap[\hspace{-2pt}[1,k]\hspace{-2pt}])+2\text{Card}([\hspace{-2pt}[j,d]\hspace{-2pt}] \cap[\hspace{-2pt}[1,d+1-j]\hspace{-2pt}]\cap[\hspace{-2pt}[i,k]\hspace{-2pt}])\end{array}

29.(b) Simplifier cette identité en D=\text{Card}([\hspace{-2pt}[j,d+1-j]\hspace{-2pt}])+2\text{Card}([\hspace{-2pt}[d+2-j,k]\hspace{-2pt}])+2\text{ Card}([\hspace{-2pt}[j,d+1-j]\hspace{-2pt}]\cap[\hspace{-2pt}[i,k]\hspace{-2pt}]).

30. D=d+2.

31. Finalement, en conclure que si des entiers i,j,l\in[\hspace{-2pt}[1,d]\hspace{-2pt}] sont tels que l\ge i+j-1, alors on a  \lambda_l(x+y)\ge\lambda_i(x)+\lambda_j(y),\ \forall x,y\in V.

32. Cette inégalité est-elle encore vraie lorsque le polynôme hyperbolique p n'est pas strictement hyperbolique ?
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