Concours de l'Ecole Nationale de l'Aviation Civile - Ingénieurs
Session 1992 (Option MP)
Epreuve optionnelle de Mathématiques (Algèbre) : Durée : 4h
L'usage d'une calculatrice est autorisé pour cette épreuve.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur, il le signale sur sa copie
et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
Soit
un espace vectoriel sur un corps
avec
.
On appelle projecteur de
tout endomorphisme
de
qui vérifie
On se propose d'étudier quelques propriétés des projecteurs de
.
Première partie :
On se donne un projecteur
de
et on se propose de démontrer quelques propriétés élémentaires de
.
1. Montrer que
.
2. Que peut-on dire de la restriction de
à
?
3. Montrer que pour tout sous-espace vectoriel
de
on a :
.
4. Montrer qu'un sous-espace vectoriel de
est stable par
si et seulement si il est somme d'un sous-espace vectoriel du noyau de
et d'un sous-espace vectoriel de l'image de
.
Deuxième partie :
On recherche ici d'autres caractéristiques des projecteurs de
.
1. Soit
un endomorphisme de
. Montrer que
est un projecteur de
si et seulement si il existe deux sous-espaces vectoriels
et
de
tels que :
On dira alors que
est la projection sur
parallèlement à
.
2. Soit
un endomorphisme de
.
désigne l'application identique de
. Montrer que
est un projecteur de
si et seulement si
en est un. Comparer le noyau et l'image de
à ceux de
.
3. Soit
et
deux endomorphismes de
. Montrer que
et
sont deux projecteurs de même image si et seulement si
et
. Donner de même une condition nécessaire et suffisante pour que
et
soient deux projecteurs de même noyaux.
Troisième partie :
On se donne deux projecteurs
et
de
. On se propose d'étudier les propriétés de
.
1. Montrer que si
on a :
. Que peut-on dire alors du produit
?
2. Montrer que
si et seulement si il existe une décomposition de
en somme directe de quatre sous-espaces vectoriels
tels que
soit la projection sur
parallèlement à
et
la projection sur
parallèlement à
.
3. Montrer l'équivalence des trois propositions suivantes :
i) est aussi un projecteur de
.
ii) .
iii) .
Quels sont alors le noyau et l'image de
?
Quatrième partie :
On suppose dans cette partie que
est de dimension finie
.
A. Soit
un endomorphisme de
. Montrer que la trace de la matrice carrée d'ordre
associée à
est indépendante de la base utilisée. Cette trace dite alors trace de
est notée
. Quelle relation y-a-t-il entre la trace de
et le rang de
si
est un projecteur ?
B. On considère
projecteurs
de
et on note
leur somme :
.
1. Montrer que si
est aussi un projecteur alors l'image de
est la somme directe des images des
pour
allant de 1 à
.
2. Montrer que
est un projecteur si et seulement si on a
pour tout couple
tel que
,
et
.
C. On suppose que
et
sont deux endomorphismes de
de rang 1. Montrer que si
et
sont deux projecteurs tels que
alors
ou
.
Cinquième partie :
On revient au cas général où
n'est pas forcement de dimension finie.
1. Montrer que si
est un endomorphisme de
et
un projecteur de
, on a :
2. Montrer que si
est un projecteur de
et
un endomorphisme quelconque de
, on a :
.
3. Etant donné deux projecteurs
et
de
, montrer que
est aussi un projecteur de
si et seulement si :
.
Sixième partie :
On suppose dans cette partie que
est de dimension 3.
étant deux projecteurs de rang 1 de
. Donner les conditions sur les positions relatives des noyaux et des images de
et
qui sont nécessaires et suffisantes pour que
soit aussi un projecteur. Determiner dans ces conditions le noyau et l'image de
et
.
Première Partie :
1. Il est clair que
.
Soit
Donc :
, alors :
.
(1)
Soit
, on peut toujours l'écrire sous la forme :
avec
et
car :
.
Donc
(2).
On conclut de
(1) et
(2) que :
2. Soit
et
donc :
la restriction de à est l'identité.
3. La somme de
et
est effectivement directe car :
donc,
.
Soit
: on peut l'écrire sous la forme :
avec
et
et
.
donc :
.
Si, en plus :
, alors
, donc :
.
Réciproquement, si
, il s'écrit
avec
et
.
alors :
, donc :
.
4. Soit
un sev de
de la forme
avec
sev de
et
un sev de
et soit
.
s'écrit
avec
et
, donc :
.
Donc
est stable par
.
Réciproquement, soit
stable par
et soit
. On sait que
. Comme
et
, on a :
alors
. Donc :
.
Alors
, c'est-à-dire que :
qui est bien de la forme :
avec
sev de
et
sev de
.
Conclusion :
Deuxième Partie :
1. On a déjà vu que, si
est un projecteur, on a :
et :
.
Réciproquement, supposons l'existence de deux s-ev
tels que :
Tout
peut donc s'écrire :
et
donc
.
Donc
et
est un projecteur. Donc :
f est un projecteur de E ssi il existe 2 sev A,B tels que :
2. On a :
, donc :
ssi
.
Conclusion :
est un projecteur ssi
est un projecteur.
Supposons que
est un projecteur.
On sait que :
, donc :
. Alors
.
Réciproquement, si
, on a
donc
.
On déduit que :
.
De même, puisque
est aussi un projecteur :
.
Conclusion : Si
est un projecteur,
.
3. Si
sont deux projecteurs de même image, on a :
, donc :
Alors
, de même :
.
Réciproquement, si les deux endomorphismes
et
vérifient :
.
On a
Donc
est un projecteur et, de la même façon, on trouve que
est un projecteur.
D'autre part :
, donc
et de même,
D'oû :
Donc
sont deux projecteurs de même image.
Les 2 endomorphismes
vérifient
ssi ce sont 2 projecteurs de meme image.
D'après
2., les 2 projecteurs
ont le même noyau ssi les 2 projecteurs
et
ont le même image donc, d'après ce qui précède, ssi
et
ce qui équivaut après un petit développement à :
.
Les 2 endomorphismes
vérifient :
ssi ce sont 2 projecteurs de meme noyau.
III. Troisième partie :
1. Supposons que
. Pour tout
dans
on a :
Donc
, alors
donc
est stable par
.
En appliquant ce qu'on a vu au passage dans
I.4. à
, on a :
.
Pour tout
, on a
, donc
. Donc
est stable par
et en appliquant à nouveau
I.4., on a
.
En reportant dans
et en utilisant l'associativité et la commutativité de la somme directe, on obtient :
.
est donc la somme directe de
et de
.
Soit
,
s'écrit donc :
avec
,
et
.
On a :
. Soit
. On a
alors
.
En utilisant la caractérisation vue dans
II.1.
est la projection sur
parallèlement à
2. Supposons que
. D'après la question précédente on a :
avec :
.
On a vu au passage dans la question précédente que :
et
.
On a de même,
. Donc
est la projection sur
parallèlement à
et
est la projection sur
parallèlement à
.
Supposons que
, que
est la projection sur
parallèlement à
et que
est la projection sur
parallèlement à
.
On a, pour
la décomposition
donnant
et
alors :
Conclusion :
(resp.
) projection sur
parallèlement à
(resp.
).
3. Après développement et réduction,
, donc
i) ii).
On a évidemment
iii) ii).
Supposons réciproquement que
.
On a alors
.
On a donc à la fois
et
. Ce qui n'est possible que si
.
projecteur
.
Puisque
, on peut appliquer
III.1. en profitant du fait que
car cela nous donne :
.
.
Donc
et
et aussi
.
Alors :
.
En écrivant alors :
avec
,
et
, on a :
, on déduit que
est la projection sur
parallèlement à
. Donc :
Quatrième partie :
A. Soient
et
les matrices de l'endomorphisme
sur les bases
et
de
.
Si
est la matrice de passage de
à
, on a :
, donc :
(on sait que :
)
La trace de la matrice carré d'ordre
associée à
est indépendante de la base utilisée.
La relation entre la trace, la dimension et le rang est :
.
B. 1. Supposons que
sont des projecteurs et que leur somme
l'est également.
Pour tout
on a :
alors :
(1).
La linéarité de la trace nous donne :
On en déduit que :
(2).
De
(1) et
(2) :
D'autre part,
, donc la somme est directe.
Conclusion : Si
est un projecteur,
est la somme directe des
B. 2. Supposons que
est un projecteur. On peut donc appliquer ce qui précède :
, donc, pour
fixé dans
et
, on a :
.
On peux écrire sous forme :
Et puisque la somme est directe :
. Donc :
Réciproquement, supposons que :
, alors :
, donc
est un projecteur.
Conclusion :
est un projecteur ssi :
C. sont deux projecteurs qui commutent et qui sont de rang 1, donc leurs images sont des droites vectorielles.
Si ces deux droites vectorielles sont égales, alors, d'après
II.3., on a :
et
. Mais, comme
, on a donc :
.
Si ces droites vectorielles sont distinctes, leur intersection est réduite au vecteur nul. Comme, d'après
III.1. est un projecteur d'image
, ce projecteur
est nul.
Si
sont 2 projecteurs de rang 1, qui commutent, alors
Cinquième partie :
1. est l'ensemble des
tels que
, donc des
tels que
. C'est donc
alors, d'après
I.3. :
2. Si
.
On peut l'écrire
et aussi
avec
.
Comme
, on a aussi
. Donc
.
Réciproquement, soit
. On a déjà
.
Ensuite,
s'écrit
et
peut s'écrire
avec
et
donc
.
On a donc
, donc
3. deux projecteurs.
Suposons que
est un projecteur. Soit
. Donc
et
Puisque, a fortiori,
. Donc
. D'où l'inclusion :
Réciproquement, supposons que :
Pour tout
, on a donc :
, donc :
.
Alors :
, donc
est un projecteur.
On obtient l'équivalence suivant :
est un projecteur
Comme
est un projecteur, on peut appliquer
V.1. :
.
D'autre part, on applique
V. 2. :
, l'équivalence précédente devient :
est un projecteur ssi
Sixième partie :
Si
alors
qui est un projecteur.
Si
n'est pas inclus dans
alors, puisque
est une droite vectorielle et
un plan vectoriel, on a :
. La condition
V. 3.se simplifie alors et devient :
projecteur
Si
, cette condition est vérifiée puisque
.
Si
, ces deux plans distincts d'un espace de dimension 3 se coupent suivant une droite.
est de dimension 2.
est alors un plan; la condition est réalisée si la droite
est dans ce plan. On ne peut en dire plus.
Récapitulatif :
projecteur ssi
Si
sont des projecteurs de rang 1, et que la condition précédente soit vérifiée ou non, le rang de
est inférieur ou égal au rang de
. Il vaut donc 0 ou 1.
S'il vaut 0,
est l'application nulle. Son noyau et son image sont évidents.
Par contre, s'il vaut 1, comme
est contenue dans
,
est nécessairement égal à
. Le noyau de
est de dimension 2 et il contient le noyau de
, qui est de dimension 2; donc
.
On a des conditions symétriques pour
.
Le fait que
soit un projecteur ne restreint pas le nombre de cas possibles :
Avec
, c'est-à-dire la droite
incluse dans le plan
, peut-être, ou non, incluse dans le plan
. Donc
peut être nul comme il ne peut pas l'être.
Pour assurer
, on choisit d'abord deux plans qui seront
, puis une droite non contenue dans
et qui sera
. On est sûr alors que
est au moins de dimension 2. On prend dedans une droite non contenue dans
et qui sera
. Tout cela est faisable avec
ou
nuls ou non.
Nous ne pouvons donc préciser les conclusions que nous avions données alors que nous ne supposions pas
projecteur.