Durée de l'épreuve : 4 heures
L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Support de la transformation de Radon
Notations de géométrie
Dans tout le problème, on se place dans le plan affine , muni d'un repère orthonormé direct et de la norme euclidienne, notée .
On notera les coordonnées dans ce repère d'un élément . L'application permettra d'identifier le plan affine et l'espace vectoriel . On introduit les notations suivantes :
Soit on note
et , .
Pour tout , on note la rotation de centre O et d'angle . Ainsi,
Figure 1 - Notations
A toute droite affine ne passant pas par l'origine, on associe un unique couple où et sont tels que
Si passe par l'origine, on lui associera l'unique couple qui convienne avec . On appelle et les paramètres de la droite .
Notations d'analyse
Pour ou et fonction de dans , on appelle support de , noté , l'adhérence de l'enemble des points où est non nulle.
Pour ou , on note l'ensemble des fonctions de dans , de classe sur , à support compact :
il existe , dépendant de , avec si , où si .
En d'autres termes, si et si .
On notera que de telles fonctions sont bornées et on posera
Pour les fonctions de dans , si , on utilisera, selon le contexte, la notation ou la notation pour représenter l'image de par .
Pour , il existe tel que et alors
, dès que
On note la valeur commune de toutes les intégrales sur un intervalle contenant le support de .
Le même principe vaut pour la dimension 2 : pour , on remarque que
pour tout compact qui contient où est tel que . On note
cette valeur commune.
Définition 1.
On dit qu'une fonction est radiale lorsque pour tout .
Pour , continue, nulle en dehors d'un intervalle , on pose
.
On admet que est continue, nulle en dehors de et que est dérivable avec
I. Un peu de géométrie
1. Soit . Montrer que si est radiale, il existe telle que pour tout .
2. Soit pour , on considère la fonction
Montrer que la fonction est continue sur et que tout pour , la fonction est
3. Montrer que la fonction est radiale.
4. Soit , que l'on écrit où appartient à .
Soit et . Montrer que l'ensemble
est une droite dont on précisera les paramètres en fonction de .
On pourra commencer par étudier
II. Lemme préparatoire
Soit , on note l'ensemble
L'objectif de cette partie est de montrer le lemme suivant.
Lemme 1.
Soit telle que pour tout ,
,
alors est nulle sur le complémentaire de .
Figure 2 -
5. Soit . Soit . Montrer que les applications
sont dérivables sur et calculer leur dérivée.
6. Soient et deux éléments de et soit . En utilisant la formule de Green-Riemann, montrer l'identité :
Dans les questions 7. à 13., on suppose que vérifie les hypothèses du lemme.
7. Établir, pour tout , les deux identités suivantes :
8. Soit . Montrer que et sont constantes sur et établir, pour tout , les relations :
Pour , on introduit les fonctions suivantes :
Plus généralement, pour une fonction de dans , on note la fonction définie par :
9. Montrer que et satisfont les hypothèses du lemme.
10. Soit . Montrer, pour tous les entiers et , l'identité suivante :
On pourra raisonner par récurrence sur .
11. Soit . En déduire, pour tout entier , les identités :
et .
12. Établir, pour tout , que
13. Prouver le lemme.
III. Théorème de support
Définition 2.
Pour , on pose
pour .
On veut montrer le théorème de support suivant :
Théorème 1.
Soit . Si il existe tel que pour quel que soit alors pour .
Soit une fonction qui satisfait les hypothèses du théorème. On suppose dans les question 14. à 16. que est radiale. Soit telle que .
14. Montrer, pour tout et pour tout , les identités suivantes :
15. Etablir, pour tout , l'identité
16. En déduire que est nulle sur .
On ne suppose plus que est radiale. Soit un élément quelconque de .
17. Etablir, pour tout , l'identité
18. Montrer pour tout , la propriété :
pour .
19. Quel est géométriquement, l'ensemble ? Que signifie géométriquement la condition ?
20. Prouver le théorème.
Publié par Puisea/
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