Fiche de mathématiques
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Concours Mines - Ponts
Filière MP
Concours d'admission 2008
Seconde épreuve

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Durée de l'épreuve : 4 heures
L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Support de la transformation de Radon

Notations de géométrie

Dans tout le problème, on se place dans le plan affine \mathscr{P}, muni d'un repère orthonormé direct (O,e_1,e_2) et de la norme euclidienne, notée ||\rm{ }||. On notera (x_1,x_2) les coordonnées dans ce repère d'un élément x \in \mathscr{P}. L'application x \in \mathcal{P} \mapsto (x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2 permettra d'identifier le plan affine \mathscr{P} et l'espace vectoriel \mathbb{R}^2. On introduit les notations suivantes :
\overset{°}B(x,r) = \lbrace y \in \mathscr{P}, ||x - y|| < r \rbrace \\ B(x,r) = \lbrace y \in \mathscr{P} , || x - y || \leq r \rbrace \\ S(x,r) = \lbrace y \in \mathscr{P},||x - y|| = r \rbrace .

Soit \theta \in [0 , 2\pi [, on note
u_\theta = \cos(\theta)e_1 + \sin(\theta)e_2     et    , v_{\theta} = -\sin \theta e_1 + \cos \theta e_2.

Pour tout \varphi \in [0 , 2\pi[, on note \text{Rot}_{\varpho} la rotation de centre O et d'angle \varphi. Ainsi,
\text{Rot}_{\theta} e_1 = u_\theta\\ x + R u_{\theta} = (x_1 + R \cos \theta , x_2 + R \sin \theta).
Concours Les Mines filière MP Deuxième épreuve 2008 - supérieur : image 1

Figure 1 - Notations


A toute droite affine D ne passant pas par l'origine, on associe un unique couple (p , \theta)p \in \mathbb{R}^+ et \theta \in [0 , 2\pi[ sont tels que
D = \lbrace pu_\theta + tv_\theta , t \in \mathbb{R} \rbrace

Si D passe par l'origine, on lui associera l'unique couple (0,\theta) qui convienne avec \theta \in [0 , \pi[. On appelle p et \theta les paramètres de la droite D.


Notations d'analyse

Pour X = \mathbb{R} ou X = \mathbb{R}^2 et f fonction de X dans \mathbb{R}, on appelle support de f, noté \text{supp } f, l'adhérence de l'enemble des points où f est non nulle. Pour X = \mathbb{R} ou X = \mathbb{R}^2, on note \mathscr{C}_K^1(X;\mathbb{R}) l'ensemble des fonctions f de X dans \mathbb{R}, de classe \mathcal{C}^1 sur X, à support compact : il existe M > 0, dépendant de f, avec f(x) = 0 si ||x|| > M, où ||x|| = |x| si X = \mathbb{R}. En d'autres termes, \text{supp }f \subset B(O,M) si X = \mathbb{R}^2 et supp {f} \subset [-M , M] si X = \mathbb{R}. On notera que de telles fonctions sont bornées et on posera
||f||_\infty = \displaystyle \sup_{x\in X} |f(x)|

Pour les fonctions de \mathbb{R}^2 dans \mathbb{R}, si x = (x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2, on utilisera, selon le contexte, la notation f(x) ou la notation f(x_1,x_2) pour représenter l'image de x par f.
Pour f \in \mathcal{C}_K^1(\mathbb{R} ; \mathbb{R}), il existe M tel que \text{supp } f \subset [-M , M] et alors
\displaystyle \int_{-M}^M f(x) dx = \displaystyle \int_{-J}^J f(x) dx, dès que J \ge M

On note \displaystyle \int_{\mathbb{R}}f(x)dx la valeur commune de toutes les intégrales sur un intervalle contenant le support de f.
Le même principe vaut pour la dimension 2 : pour f \in \mathcal{C}_K^1(\mathbb{R}^2 ; \mathbb{R}), on remarque que
\displaystyle \iint_{B(O,M)} f(x_1,x_2) dx_1 dx_2 = \displaystyle \iint_J f(x_1,x_2) dx_1 dx_2

pour tout compact J qui contient B(O,M)M est tel que \text{supp } f \subset B(O,M). On note
\displaystyle \iint_{\mathbb{R}^2} f(x_1,x_2) dx_1 dx_2 cette valeur commune.


Définition 1.
On dit qu'une fonction f~:~\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} est radiale lorsque pour tout \varphi \in [0,2\pi[, f \circ \text{Rot}_{\varphi} = f.


Pour h~:~\mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}, continue, nulle en dehors d'un intervalle [0,M], on pose
Lh(x) = \displaystyle \int_x^{+\infty} \dfrac{h(v)}{\sqrt{v-x}}dv.

On admet que Lh est continue, nulle en dehors de [0,M] et que L(Lh) est dérivable avec
(L(Lh))'=-\pi h \, \, (1)



I. Un peu de géométrie

1. Soit f \in \mathscr{C}_K^1(\mathbb{R}^2;\mathbb{R}). Montrer que si f est radiale, il existe F \in \mathcscr{C}_K^1(\mathbb{R}^+;\mathbb{R}) telle que f(x) = F(||x||), pour tout x \in \mathbb{R}^2.

2. Soit f \in \mathscr{C}_K^1(\mathbb{R}^2 ; \mathbb{R}); pour x \in \mathbb{R}^2, on considère la fonction
\begin{array}{crcl} T_{f,x} : & \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R} & \to & \mathbb{R} \\  & (y , \varphi) & \mapsto & f(x + \text{Rot}_{\varphi}(y)) \\ \end{array}

Montrer que la fonction T_{f,x}(y,\varphi) est continue sur \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R} et que tout pour y \in \mathbb{R}^2, la fonction \varphi \mapsto T_{f,x}(y,\varphi) est 2\pi-\text{périodique}.

3. Montrer que la fonction     \tau_{f,x}~:~ y \mapsto \dfrac{1}{2\pi} \displaystyle \int T_{f,x}(y, \varphi) d\varphi     est radiale.

4. Soit x \in \mathbb{R}^2, que l'on écrit x = ||x|| u_{\varphi}\varphi appartient à [0,2\pi[. Soit \varphi \in [0,2\pi[ et \theta \in [0,2\pi[. Montrer que l'ensemble
D_{x,\varphi} = \lbrace x + \text{Rot}_{\varphi}(pu_\theta + tv_\theta),t\in\mathbb{R}\rbrace
est une droite dont on précisera les paramètres en fonction de ||x||,~ \psi, ~\varphi, ~p \text{ et } \theta.
On pourra commencer par étudier D_{O,\varphi}


II. Lemme préparatoire

Soit A > 0, on note Q_A l'ensemble
Q_A = \lbrace (x,R) \in \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^+ , R > ||x|| + A \rbrace
L'objectif de cette partie est de montrer le lemme suivant.
Lemme 1.
Soit f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} ~,~ f \in \mathscr{C}_K^1(\mathbb{R}^2 ; \mathbb{R}) telle que pour tout (x , R) \in Q_A,
\displaystyle \int_0^{2\pi} f(x_1 + R \cos(\theta) , x_2 + R\sin(\theta)) d\theta = 0 \, \, (2),
alors f est nulle sur le complémentaire de B(O,A).


Concours Les Mines filière MP Deuxième épreuve 2008 - supérieur : image 2

Figure 2 - (x,R) \in Q_A


5. Soit f \in \mathscr{C}_K^1(\mathbb{R}^2;\mathbb{R}). Soit (x,R) \in \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^+. Montrer que les applications
V_i : x_i \mapsto \displaystyle \int_0^R f(x_1 + r \cos \theta , x_2 + r \sin \theta) r \, dr \, , \, i = 1,2 \\ W_i : x_i \mapsto \displaystyle \int_0^{2\pi} \int_0^R f(x_1 + r\cos\theta , x_2 + r\sin\theta)r \, dr \, d\theta, \, i = 1 , 2

sont dérivables sur \mathbb{R} et calculer leur dérivée.

6. Soient P et Q deux éléments de \mathcal{C}_K^1(\mathbb{R}^2;\mathbb{R}) et soit (x,R) \in \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^+. En utilisant la formule de Green-Riemann, montrer l'identité :
\displaystyle \int_0^{2\pi} \int_0^R \left(\dfrac{\partial Q}{\partial x_1}(x+ru_\theta)-\dfrac{\partial P}{\partial x_2}(x+ru\theta)\right)r~dr~d\theta \\ = \displaystyle \int_0^{2\pi} P(x+Ru\theta)(-R\sin\theta )d\theta + \int_0^{2\pi}Q(x+Ru_\theta)R\cos\theta d\theta

Dans les questions 7. à 13., on suppose que f vérifie les hypothèses du lemme.

7. Établir, pour tout (x,R) \in Q_A, les deux identités suivantes :
\displaystyle \iint_{\mathbb{R}^2} f(y_1,y_2)dy_1~dy_2 = \iint_{\mathbb{R}^2}f(x_1+z_1,x_2+z_2)dz_1~dz_2\\ \hspace{45pt} = \displaystyle \int_0^{2\pi}\int_0^Rf(x_1+r\cos\theta,x_2+r\sin\theta)r~dr~d\theta


8. Soit R > A. Montrer que W_1 et W_2 sont constantes sur \overset{°}B(O,R-A) et établir, pour tout x \in \overset{°}B(O,R-A), les relations :
\displaystyle \int_0^{2\pi}f(x_1+R\cos\theta,x_2+R\sin\theta)\cos\theta d\theta=0 \, (3)\\ \text{ et } \\ \displaystyle \int_0^{2\pi} f(x_1+R\cos\theta,x_2+R\sin\theta)\sin\theta d\theta=0 \, \, (4)

Pour i=1,2, on introduit les fonctions suivantes :
\begin{array}{rcl} y_i f : \mathbb{R}^2 & \to & \mathbb{R}\\ y = (y_1,y_2) & \mapsto & y_if(y)\\ \end{array}

Plus généralement, pour une fonction g de \mathbb{R} dans \mathbb{R}, on note g(y_i)f la fonction définie par :
\begin{array}{rcl} g(y_i)f : \mathbb{R}^2 & \to & \mathbb{R}\\ y = (y_1,y_2) & \mapsto & g(y_i)f(y) \\ \end{array}


9. Montrer que y_1f et y_2f satisfont les hypothèses du lemme.

10. Soit (x,R)\in Q_A. Montrer, pour tous les entiers k et l, l'identité suivante :
\displaystyle \int_0^{2\pi}f(x+Ru_\theta)\cos^k\theta\sin^l\theta ~d\theta=0 \, \, (5)

On pourra raisonner par récurrence sur n=k+l.

11. Soit (x,R)\in Q_A. En déduire, pour tout entier n, les identités :
\displaystyle \int_0^{2\pi} f(x+Ru_\theta)\cos(n\theta)~d\theta=0     et     \displaystyle \int_0^{2\pi}f(x+Ru_\theta)\sin(n\theta)~d\theta=0.


12. Établir, pour tout (x,R)\in Q_A, que
\displaystyle \int_0^{2\pi}f^2(x_1+R\cos\theta,x_2+R\sin\theta)~d\theta=0


13. Prouver le lemme.


III. Théorème de support

Définition 2.
Pour f \in \mathscr{C}_K^1(\mathbb{R}^2 ; \mathbb{R}), on pose
\widehat{f}(\theta,p) = \displaystyle \int_{\mathbb{R}}f(pu_\theta+tv_\theta)dt  pour \theta\in[0,2\pi[, \quad p\ge 0.


On veut montrer le théorème de support suivant :
Théorème 1.
Soit f \in \mathscr{C}_K^1(\mathbb{R}^2;\mathbb{R}). Si il existe A > 0 tel que \widehat{f}(\theta,p)=0 pour p > A quel que soit \theta alors f(x) = 0 pour ||x|| >A .


Soit f une fonction qui satisfait les hypothèses du théorème. On suppose dans les question 14. à 16. que f est radiale. Soit F \in \mathscr{C}_K^1(\mathbb{R}^+;\mathbb{R}) telle que f(x)=F(||x||).

14. Montrer, pour tout \theta \in [0,2\pi[ et pour tout p \ge 0, les identités suivantes :
\widehat{f}(\theta,p)=\widehat{f}(0,p) = 2 \displaystyle\int_0^{+\infty}F(\sqrt{p^2+t^2})dt


15. Etablir, pour tout v > 0, l'identité
\widehat{f}(0,\sqrt{v}) = \displaystyle \int_v^{+\infty}F(\sqrt{u})(u-v)^{-1/2}du


16. En déduire que F  est nulle sur ]A,+\infty[.
On ne suppose plus que f est radiale. Soit x un élément quelconque de \mathbb{R}^2.

17. Etablir, pour tout (\theta,p), l'identité
\widehat{\tau_{f,x}}(\theta,p) = \dfrac{1}{2\pi} \displaystyle \int_0^{2\pi} \displaystyle \int_{\mathbb{R}}T_{f,x}(pu_\theta+tv_\theta,\varphi)~dt~d\varphi


18. Montrer pour tout \theta \in [0,2\pi[, la propriété :
\widehat{\tau_{f,x}}(\theta,p)=0 pour p > A+||x||.


19. Quel est géométriquement, l'ensemble \lbrace x+ \text{Rot}_\varphi (y),\varphi\in[0,2\pi]\rbrace ? Que signifie géométriquement la condition ||y||>A+||x|| ?

20. Prouver le théorème.
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