Fiche de mathématiques
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Concours commun SUP 2007
des écoles des mines d'Albi, Alès, Douai, Nantes.
Epreuve de mathématiques (toutes filières)

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Instructions générales :
Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction :
les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées.
L'emploi d'une calculatrice est interdit.
Durée de l'épreuve : 4 heures.




 Premier problème


Pour tout t \in \mathbb{R}^*_+ on définit : f(t) = \exp\left(-\frac{1}{t}\right) et g(t) = \frac{f(t)}{t}

Partie A - Généralités

1. Prouver que f et g sont C^{\infty} sur \mathbb{R}_+^* et que pour tout t \in \mathbb{R}^*_+ \, , \, t f'(t) = g(t).
2. Montrer que g est prolongeable par continuité en 0 et que le prolongement (encore noté g) est dérivable en 0.
3. Faire un tableau de variations de g sur \mathbb{R}_+, en faire un graphe sachant que e^{-1} \approx 0,36 à 10-2 près.
4. Soit H la primitive sur \mathbb{R}_+^* de t \mapsto g(1/t), s'annulant en 1 :
      a) Calculer H.
      b) En former un développement limité à l'ordre 3 au voisinage de 1.
5. Soit n \ge 3 un entier naturel. On introduit l'équation (E_n) \: : \: f(t)=t/n, d'inconnue t \in \mathbb{R}^*_+.
      a) En utilisant la question 3., montrer que (E_n) a une unique solution dans ]0,1[, que l'on notera \alpha_n. On montrerait identiquement (mais ce n'est pas à faire) que (E_n) admet une unique solution dans ]1,+\infty[, que l'on notera \beta_n.
      b) Montrer que les suites (\alpha_n)_{n\ge 3} et (\beta_n)_{n\ge 3} sont monotones.
      c) Est-il possible que l'une des deux suites converge vers une limite l > 0 ? En déduire leurs limites.

Partie B - Etude d'une courbe paramétrée

On étudie ici, dans un repère orthonormal d'origine O, la courbe paramétrée définie sur \mathbb{R}_+^* par le point M(t) de coordonnées :
\lbrace {x(t) = f'(t) = \frac{\exp(-1/t)}{t^2}\\ y(t) = g(t) = \frac{\exp(-1/t)}{t}}
6. Déterminer les valeurs de t pour lesquelles M(t) se situe sur la première bissectrice du plan d'équation cartésienne y = x.
7. Etudier la limite de la pente de la droite (OM(t)) lorsque t tend vers 0^+ et +\infty.
8. En utilisant la question 3., faire un tableau de variation de x et y sur \mathbb{R}_+^* avec limites aux bornes 0^+ et +\infty.
9. En utilisant les deux questions précédentes, tracer la courbe en repérant les tangentes verticales ou horizontales, on pourra utiliser que 4e^{-2} \approx 0,54 à 10-2 près.

Partie C - Fonctions définies par des intégrales

On prolonge maintenant f à \mathbb{R}_+ en posant f(0)=0.
10. Montrer que l'application f ainsi prolongée est de classe C^1 sur \mathbb{R}_+ ; préciser f'(0) et montrer que l'égalité de la question 1. reste valable pour t = 0.
11. Soit x \in \mathbb{R}_+^*, on note : F(x) = \displaystyle \int_0^x f(t)dt, et G(x) = \displaystyle \int_0^x g(t) dt
      a) Justifier l'existence de ces intégrales que l'on ne cherchera surtout pas à calculer puis montrer que F(x) = x exp(-\frac{1}{x})-G(x).
      b) En séparant l'intégrale G(x) en deux, montrer qu'il existe une constante C réelle telle que pour tout x \ge 1, 0 \le G(x) \le C + \ln(x)
      c) En déduire que G(x) est négligeable devant x au voisinage de +\infty ainsi qu'un équivalent de F(x) au voisinage de +\infty.
12. Résoudre sur \mathbb{R}_+^* l'équation différentielle (E) : x^2y'+y = x^2, l'expression générale de la solution fera apparaitre la fonction F.

Partie D - Etude qualitative d'une équation différentielle

On considère maintenant une application y solution de (E) : x^2 y' + y = x^2 cette fois sur \mathbb{R}_+, de classe C^{\infty} sur \mathbb{R}_+. Nous allons, sans aucun calcul explicite de y, déterminer entièrement la suite des u_n = y^{(n)}(0) à partir de l'équation (E).
13. Que vaut  u_0 = y(0) ?
14. En dérivant (E), calculer u_1 = y'(0) et u_2 = y''(0).
15. Peut-on avoir y de la forme x \mapsto \alpha x^2+\beta x + \gamma avec (\alpha,\beta,\gamma) \in \mathbb{R}^3 ?
16. Soit n un entier naturel.
      a) On suppose ici n \ge 3. Prouver à l'aide de la formule de Leibniz que pour tout x \in \mathbb{R}_+ :
x^2y^{(n+1)}(x)+(1+2nx)y^{(n)}(x)+n(n-1)y^{(n-1)}(x)=0
En déduire une relation de récurrence entre u_n et u_{n-1}.
      b) Donner une expression de u_n utilisant une factorielle, valable pour tout n\ge 2 ; en déduire les développements limités (dont on justifiera l'existence) de y à tout ordre au voisinage de 0.



 Deuxième problème


Dans tout ce problème, on se place dans l'espace usuel dont on notera \scr{E} l'ensemble des points, E l'ensemble des vecteurs et \overrightarrow{0} le vecteur nul. \scr{E} est muni d'un repère orthonormal direct \scr{R} = (O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}), toutes les équations de l'énoncé seront relatives aux éléments de ce repère. Si M \in \scr{E} et \overrightarrow{OM} = x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k} on pourra noter M = (x,y,z) et \overrightarrow{OM}=(x,y,z).
On considère les ensembles P et Q d'équations cartésiennes : P \: : \: x + z = 0 et Q \: : \:  x+y+z-3=0

Partie A - Etude d'un mouvement dans l'espace

Pour tout t\in\mathbb{R}, on introduit le point N(t) de \scr{E} caractérisé dans \scr{R} par les coordonnées :
\lbrace {a(t) = \frac{\cos(t)}{\sqrt{2}}\\ b(t) = \sin(t)\\ c(t)=\frac{-\cos(t)}{\sqrt{2}}}
1. Prouver que N(t) appartient au plan P.
2. Donner une équation paramétrique de la droite D intersection de P et Q. Est-il possible que N(t)\in D ?

3. Calculer a^2(t)+b^2(t)+c^2(t). En déduire que N(t) appartient à un cercle de P dont on précisera le centre et le rayon.
4. Calculer la distance N(t) à la droite D puis au plan Q, on pourra vérifier que leur rapport est constant.
5. Prouver que pour tout t \in \mathbb{R} : \exp(it) \: + \: \exp(i(t+2\pi/3)) \: + \: \exp(i(t-2\pi/3)) = 0.
6. En déduire l'isobarycentre des points N(t), N(t+2\pi/3), N(t-2\pi/3).

Partie B - Construction d'un polynôme

On fixe maintenant t\in\mathbb{R} et on note : \lbrace {s(t) = a(t)+b(t)+c(t)\\ d(t) = a(t)b(t)+a(t)c(t)+b(t)c(t)\\ p(t)=a(t)b(t)c(t)}
7. Simplifier s(t).
8. Linéariser le produit de fonctions trigonométriques p(t).
9. Calculer d(t) de deux manières différentes (on pourra utiliser un résultat de la question 3).
10. On considère maintenant le polynôme R(X) = (X-a(t))(X-b(t))(X-c(t)), dont les racines sont donc a(t), \, b(t) \text{ et } c(t) :
      a) Dans cette question seulement t = \pi/2. Montrer sans calculer R(X) ni R'(X) que R'(0)=0.
      b) Exprimer maintenant R(X) en fonction de s(t), \, d(t), \, p(t), puis en fonction des résultats des questions précédentes.

Partie C - Endomorphismes à noyau imposé

11. Montrer que P définit un plan vectoriel de E.
12. Est-ce le cas pour Q ? Préciser, sans preuve, la structure algébrique de Q.
13. On introduit les vecteurs :
\overrightarrow{i'} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\overrightarrow{i}-\overrightarrow{k}) ; \overrightarrow{j'} = \overrightarrow{j} ; \overrightarrow{k'} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\overrightarrow{i}+\overrightarrow{k})
Montrer que (\overrightarrow{i'},\overrightarrow{j'}) est une base orthonormale de P et que \overrightarrow{k'} en est un vecteur normal. En déduire que B' = (\overrightarrow{i'},\overrightarrow{j'},\overrightarrow{k'}) est une base orthonormale de l'espace.
14. On désigne par \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} le produit scalaire de deux vecteurs \overrightarrow{a} et \overrightarrow{b}. Soit \overrightarrow{e}\in E. Prouver, autrement que par "c'est du cours", que ses coordonnées dans la base B' sont données par :
\overrightarrow{e} = (\overrightarrow{e} \cdot \overrightarrow{i'})\overrightarrow{i'} + (\overrightarrow{e} \cdot \overrightarrow{j'})\overrightarrow{j'} + (\overrightarrow{e} \cdot \overrightarrow{k'})\overrightarrow{k'}
15. On considère ici une application linéaire u \: : \: E\rightarrow E telle que P \subset ker(u).
      a) Prouver qu'il existe \overrightarrow{z}\in E tel que u(\overrightarrow{e}) = (\overrightarrow{e} \cdot \overrightarrow{k'})\overrightarrow{z} pour tout \overrightarrow{e}\in E.
      b) Réciproquement, montrer qu'une application u donnée par la formule précédente est un endomorphisme de E tel que P\subset ker(u).
      c) Donner une condition nécessaire et suffisante sur \overrightarrow{z} pour que P = ker(u). Donner dans ce cas le rang et l'image de u.

Partie D - Matrices de projecteur

On note ici p:E\rightarrow E le projecteur orthogonal sur le plan P, B la base (\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}) et B' = (\overrightarrow{i'},\overrightarrow{j'},\overrightarrow{k'}) la base introduite à la question 13. On introduit les matrices :
M'=\left({1 0 0\\0 1 0\\0 0 0}\right) et I=\left({1 0 0\\0 1 0\\0 0 1}\right)
16. Justifier très rapidement que M' est la matrice de p dans la base B'.
17. Donner la matrice de passage P de la base B à la base B' ainsi que son inverse (on détaillera le raisonnement pour cette dernière).
18. Soit M la matrice de p dans la base B :
      a) Justifier sans calcul que M² = M.
      b) En déduire que pour tout n\in\mathbb{N}, (M+I)^n=I+(2^n-1)M
      c) Exprimer M en fonction de P, P-1 et M'. Ensuite, calculer explicitement M.
19. On peut traiter cette partie sans avoir trouvé explicitement M. On introduit l'ensemble \scr{M} des matrices du type M_{a,b} = aM+bI, où a et b sont réels :
      a) Montrer que l'ensemble \scr{M} muni des lois usuelles sur les matrices a une structure de \mathbb{R}-espace vectoriel dont on donnera une base et la dimension.
      b) Les réels a et b étant donnés, exprimer M_{a,b} en fonction de P, P-1, I et M'. En déduire une formule factorisée du déterminant de M_{a,b} ainsi qu'une condition nécessaire et suffisante pour qu'elle soit inversible.
      c) Déterminer les réels e et f tels que M_{a,b}\times M_{c,d}=M_{e,f}.
      d) Lorsque M_{a,b} est inversible, exprimer son inverse sous la forme d'un élément de \scr{M}



 Premier problème

Partie A - Généralités

f(t) = e^{-1/t} \qquad g(t) = f(t)/t

1. Pour t \in ]0,+\infty[ les fonctions f et g sont composées de fonctions continues et dérivables. Pour t > 0 on a :
f'(t) = \frac{1}{t^2}e^{-1/t} = \frac{g(t)}{t}

2. En posant u=\frac{1}{t} on a :
\displaystyle \lim_{t\rightarrow 0+}{g(t)} = \displaystyle \lim_{u\rightarrow +\infty}{ue^{-u}}=0
donc en posant g(0) = 0 on obtient une fonction continue, et on a
\displaystyle \lim_{t\to 0_+} \frac{g(t)-g(0)}{t} = \displaystyle \lim_{t\to 0_+}\frac{e^{-1/t}}{t^2} = \displaystyle \lim_{u\to +\infty}u^2e^{-u}=0
ce qui prouve que g est dérivable à droite en 0 et que g'(0)=0.

3. On a g'(t) = \frac{(1-t)e^{-1/t}}{t^3} donc g' a le même signe que 1-t. De plus \displaystyle \lim_{t \rightarrow +\infty}g(t) = 0.
On a donc le tableau de variations suivant :
\begin{array}{r||ccccc}  t & 0 & & 1 & & +\infty \\  \hline g'(t) & & + & 0 & - & \\  \hline \hspace{1pt}& & & g(1) & & \\  g(t) & & \nearrow & & \searrow & \\  \hspace{1pt} & 0 & & & & 0 \end{array}
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4. On a tg(1/t) = t^2f(1/t)=t^2e^{-t}.

4. a) On obtient une primitive de cette fonction en faisant successivement deux intégrations par parties.
\int t^2e^{-t}\,dt = -t^2e^{-t}+\int 2te^{-t}\,dt = -t^2e^{-t}-2te^{-t}+\int 2e^{-t}\,dt = (-t^2-2t-2)e^{-t}
En écrivant que H(1)=0, on trouve H(t)=(-t^2-2t-2)e^{-t}+5e^{-1}.

4. b) On a H(1)=0. Puis, H'(t)=t^2e^{-t} donc H'(1)=e^{-1}, puis H''(t)=(2t-t^2)e^{-t}, d'où H''(1)=0 et enfin H^{(3)}(t) = (2-4t+t^2)e^{-t} et alors H^{(3)}(1)=-e^{-1}. La formule de Taylor à l'ordre 3 donne le développement limité suivant :
H(x)=e^{-1}(x-1)-\frac{e^{-1}}{6}(x-1)^3+ \varepsilon(x)(x-1)^3 \qquad {\rm avec}\quad \displaystyle \lim_{x\to 1}\varepsilon(x)=0

5. a) L'équation (E_n) est équivalente à l'équation g(t)=1/n. Pour n\geq 3, on a g(0) = 0 < 1/n < 1/e =g(1), donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, la fonction continue g prend la valeur 1/n dans ]0 , 1[. Comme elle est strictement croissante sur cet intervalle, elle la prend une seule fois. Le réel \alpha_n tel que g(\alpha_n) = 1/n est donc la seule solution de (E_n) dans ]0 , 1[.

5. b) On a g(\alpha_{n+1}) = \frac{1}{n+1}\quad <\quad \frac{1}{n}=g(\alpha_n) ce qui entraine \alpha_{n+1}<\alpha_n pour tout n parce que g est strictement croissante sur ]0,1[.
La suite (\alpha_n) est donc strictement décroissante.
De manière analogue, on a g(\beta_{n+1})=\frac{1}{n+1}\quad <\quad \frac{1}{n}=g(\beta_n). Comme g est strictement décroissante sur ]1,+\infty[, on en déduit que \beta_n<\beta_{n+1} donc la suite (\beta_n) est strictement croissante.

5. c) Supposons que la suite (\alpha_n) converge vers un réel l non nul. Comme g est continue, on a g(l)=\displaystyle \lim_{n\to +\infty}g(\alpha_n)=\displaystyle \lim_{n\to +\infty}(1/n)=0
Or le graphe de g montre que ceci est impossible. Le même raisonnement s'applique si on suppose que la suite (\beta_n) tend vers l non nul.
La suite (\alpha_n) est décroissante minorée par 0, donc elle est convergente. D'après ce qu'on vient de voir la seule possibilité est \displaystyle \lim_{n\to +\infty}\alpha_n=0
La suite (\beta_n) est croissante et tous ses termes sont supérieurs à 1. Si elle était majorée, elle aurait une limite non nulle, ce qui n'est pas possible. Elle est donc croissante, non majorée, donc \displaystyle \lim_{n\to +\infty}\beta_n=+\infty

Partie B - Etude d'une courbe paramétrée

Soit C la courbe paramétrée décrite par le point M(t)=(x(t),y(t)) pour t\in ]0,+\infty[x(t)=f'(t)=\frac{e^{-1/t}}{t^2}\qquad y(t)=g(t)=\frac{e^{-1/t}}{t}

6. On a x(t)=y(t) si et seulement si t = 1. L'intersection de C avec la droite D d'équation y=x est le point M(1).

7. On a y(t)/x(t)=t donc la pente de OM(t) tend vers 0 quand t tend vers 0_+ et vers +\infty quand t tend vers +\infty.

8. On a déjà étudié y(t). On a x'(t)=\frac{(1-2t)e^{-1/t}}{t^4} donc x'(t) a le même signe que (1-2t). De plus \displaystyle \lim_{t\to 0_+}x(t)=\displaystyle \lim_{t\to +\infty}x(t)=0. On a donc le tableau de variations suivant :
\begin{array}{c||ccccccc} t & 0 & & 1/2 & & 1 & & +\infty \\ \hline x'(t) & &+ & 0 & - &-e^{-1} & - & \\ \hline \hspace{1pt} & & & 4e^{-2} & & & & \\ & & \nearrow & & \searrow & & & \\ x(t) & & & & & e^{-1} & & \\ \hspace{1pt} & & & & & & \searrow & \\ \hspace{1pt} & 0 & & & & & & 0 \\ \hline y'(t) & & + & 4e^{-2} & + & 0 & - & \\ \hline \hspace{1pt} & & & & & e^{-1} & & \\ \hspace{1pt} & & & & \nearrow & & \searrow & \\ y(t) & & & 2e^{-2} & & & & \\ \hspace{1pt} & & \nearrow & & & & & \\ \hspace{1pt} & 0 & & & & & & 0 \\ \hline \end{array}
Le point M(1/2) est situé sur la droite d'équation y=x/2 et possède une tangente verticale. Le point M(1) est situé sur la première bissectrice et possède une tangente horizontale. On a déjà vu que la courbe s'approche de l'origine avec une demi-tangente horizontale (pour t tendant vers 0_+) et une demi-tangente verticale pour t tendant vers +\infty.
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Partie C - Fonctions définies par des intégrales

10. On a \displaystyle \lim_{t\to 0_+}f(t)=0, donc en posant f(0)=0 on a bien une fonction continue. De plus \displaystyle \lim_{t\to 0_+}\frac{f(t)-f(0)}{t}=\displaystyle \lim_{t\to 0_+}g(t)=0 donc la fonction ainsi prolongée est dérivable en 0 et on a f'(0)=0. Comme \displaystyle \lim_{t\to 0_+}f'(t) = \displaystyle \lim_{t\to 0_+} \frac{e^{-1/t}}{t^2}=0=f'(0) la dérivée est aussi continue en 0 et la fonction prolongée est bien de classe C^1. Enfin, si on prolonge aussi g par g(0) = \displaystyle \lim_{t\to 0_+}g(t)=0, pour t=0 on a bien tf'(t)=0=g(0).

11. On pose F(x) = \displaystyle \int_0^x f(t)\,dt \qquad G(x)= \displaystyle \int_0^x g(t)dt
11. a) Ces intégrales sont bien définies car les fonctions f et g sont continues sur [0,+\infty[. Soit K(x)=xe^{-1/x}. On a :
K'(t) = e^{-1/t}+e^{-1/t}/t=f(t)+g(t) donc K est une primitive de f + g. Comme de plus K(0)=0, on a bien K(x)=F(x)+G(x).

11. b) Pour tout t \in ]0,+\infty[ on a e^{-1/t}<1 et par suite g(t)\leq 1/t. On en déduit que pour x\geq 1
G(x)= \displaystyle \int_0^1g(t)\,dt+\int_1^x g(t)\,dt \leq \int_0^1 g(t)\,dt+\int_1^xdt/t = \int_0^1 g(t)\,dt+\ln x
En posant C = \displaystyle \int_0^1 g(t)\,dt on a bien G(x)\leq C+\ln x.

11. c) On a :
\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \frac{G(x)}{x}\leq \displaystyle \lim_{x\to +\infty} \frac{C+\ln x}{x}=0
donc G est négligeable par rapport à x lorsque x tend vers +\infty.
F(x) = xe^{-1/x}-G(x) = x\left(1+\varepsilon(x)\right)-G(x)\varepsilon est une fonction qui tend vers 0 quand x tend vers +\infty. On a donc F(x)\approx x pour x tendant vers l'infini.

12. On considère l'équation différentielle (E) \qquad x^2y'+y=x^2
L'équation sans second membre : (E')\qquad x^2y'+y=0 équivaut à y'/y=-1/x^2. On en déduit l'existence d'un réel k tel que \ln|y(x)| = k+ (1/x) et, en posant C = \pm e^k et en remarquant que la fonction nulle est solution, on voit que les solutions de (E') sont y(x)=Ce^{1/x}\qquad{\rm avec}\ C\in \mathbb{R}
On cherche les solutions de (E) sous la forme y(x) = C(x)e^{1/x}C est une fonction dérivable sur ]0,+\infty[. On a alors x^2\left(C'(x) - \frac{C(x)}{x^2}\right)e^{1/x} + C(x)e^{1/x} = x^2
d'où C'(x) = e^{-1/x} et C(x) est une primitive de f. Les solutions de (E) sont donc
y(x)=(F(x)+C)e^{-1/x}\qquad{\rm avec}\ C\in \mathbb{R}

Partie D - Etude qualitative d'une équation différentielle

On note y une solution de (E) qui est de classe C^\infty sur [0,+\infty[ et on pose u_n=y^{(n)}(0). 13. En faisant x = 0 dans (E) on voit que u_0 = y(0)=0.

14. Soit (E') l'équation obtenue en dérivant (E). On a (E') \qquad x^2y''(x) + (2x+1)y'(x)=2x et en prenant x = 0 on voit que u_1 = y'(0)=0.
En dérivant à nouveau, on trouve (E) et pour x = 0, on trouve u_2 = y''(0)=2.

15. Le seul polynôme P du second degré tel que P(0) = P'(0)=0 et P''(0)=2 est P(x)=x^2 et il est immédiat qu'il n'est pas solution de (E).

16. a) On part de (E)\qquad x^2y'+y=x^2. On dérive n fois en utilisant la formule de Leibniz (fg)^{(n)} = \Bigsum_{k=0}^n{\left(n\\k\right)f^{(k)}g^{(n-k)} avec f(x) = x^2 et g = y'. La somme contient au maximum 3 termes (pour k de 0 à 2) car pour k > 2, f^{(k)} est nulle. On obtient, pour n > 2 : x^2y^{(n+1)} + n(2x)y^{(n)} + \frac{n(n-1)}{2}\time 2 y^{(n-1)} + y^{(n)} = 0, soit en simplifiant :
x^2y^{(n+1)}+(2nx+1)y^{(n)}+n(n-1)y^{(n-1)}=0
Pour x = 0, \, \, u_n=-n(n-1)u_{n-1}.

16. b) On sait que u_2 = 2. Supposons que u_n = (-1)^nn((n-1)!)^2. Alors u_{n+1} = -(n+1)nu_n = (-1)^{n+1}(n+1)(n!)^2 ce qui prouve que la formule est juste.
La fonction y est C^{\infty} admet le développement limité d'ordre n
y(x) = \sum_{k=0}^n \frac{y_k(0)}{k!}x^k + \varepsilon (x)x^n = \sum_{k=2}^n (-1)^k(k-1)!x^k + \varepsilon (x)x^n
\varepsilon est une fonction qui tend vers 0 quand x tend vers 0.



 Deuxième problème

Partie A - Etude d'un mouvement dans l'espace

P = \lbrace (x,y,z)\in\mathbb{R}^3\ |\  x+z=0\rbrace Q=\lbrace (x,y,z)\in\mathbb{R}^3\ |\ x+y+z=3\rbrace et N(t)=(a(t),b(t),c(t)) avec
a(t) = \frac{\cos t}{\sqrt 2} \hspace{15pt} b(t) = \sin(t) \hspace{15pt} c(t)=\frac{-\cos t}{\sqrt 2}

1. Comme a(t) + c(t)=0, on a bien N(t)\in P.

2. Les points (x,y,z) de D = P \cap Q vérifient x+z=0 et x+y+z=3 donc D=\lbrace (t,3,-t)\ |\ t\in\mathbb{R}\rbrace . Comme b(t)\leq 1, le point N(t)\notin D.

3. On a a^2(t)+b^2(t)+c^2(t) = (\cos^2t)/2+\sin^2t+(\cos^2t)/2 = \cos^2t+\sin^2t=1. Le point N(t) décrit l'intersection de P avec la sphère de centre O et de rayon 1. Il s'agit du cercle de centre O et de rayon 1 situé dans le plan P.

4. La question 2. nous montre que le point A(0,3,0) \in D et que le vecteur \overrightarrow{v} (1,0,-1) est directeur de D, donc :
d(N(t),D) = \frac{||\overrightarrow{AN(t)}\wedge\overrightarrow{v}||}{\overrightarrow{v}}=3-\sin(t)
Or, on connait l'équation cartésienne de Q, on en déduit :
d(N(t),Q) = \frac{|a(t)+b(t)+c(t)-3|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}} = \frac{3-sin(t)}{\sqrt{3}}
et le rapport \Large\frac{d(N(t),D)}{d(N(t),Q)} est bien constant.

5. Comme \left(e^{2i\pi/3}\right)^3=1 on trouve
e^{i(t-2\pi/3)} + e^{it} + e^{i(t+2\pi/3)} = e^{i(t-2\pi/3)}(1+e^{2i\pi/3} + e^{4i\pi/3}) = \frac{e^{i(t-2\pi/3)}(1-(e^{2i\pi/3})^3)}{1-e^{2i\pi/3}} = 0

6. On aa(t-2\pi/3) + a(t) + a(t+2\pi/3) = c(t-2\pi/3)+c(t)+c(t+2\pi/3) = Re(e^{i(t-2\pi/3)}+e^{it}+e^{i(t+2\pi/3)})/\sqrt 2=0 et
b(t-2\pi/3)+b(t)+b(t+2\pi/3) = Im(e^{i(t-2\pi/3)}+e^{it}+e^{i(t+2\pi/3)})/\sqrt 2=0 donc l'isobarycentre des points N(t-2\pi/3), N(t) et  N(t+2\pi/3) est O.

Partie B - Construction d'un polynôme

7. s(t) = a(t) + b(t) + c(t) = \sin t.

8. p(t) = a(t)b(t)c(t) = \cos^2t\sin t/2 = (\cos t\sin 2t)/4 = (\sin 3t +\sin t)/8.

9. d(t) = a(t)b(t)+a(t)c(t)+b(t)c(t).
Calcul direct : d(t) = b(t)(a(t)+c(t))+a(t)c(t) = -(\cos^2 t)/2.
Calcul utilisant 3. 2d(t) = (a(t)+b(t)+c(t))^2-(a^2(t)+b^2(t)+c^2(t)) = \sin^2t-1=-\cos^2 t.

10. R(X)=(X-a(t))(X-b(t))(X-c(t)).
10 a) Pour t = \pi/2 le on a a(\pi/2) = c(\pi/2)=0 ; comme R admet 0 pour racine double, on a R(0) = R'(0)=0.

10. b) R(X) = X^3-s(t)X^2+d(t)X-p(t) = X^3-(\sin t)X^2-(\cos^2 t/2)X+\sin t

Partie C - Endomorphismes à noyau imposé

11. P est un plan vectoriel car O\in P.

12. Comme O \notin Q il ne s'agit pas d'un plan vectoriel. Q est un plan affine.
\overrightarrow{i'} = \frac{1}{\sqrt 2}(\overrightarrow{i}-\overrightarrow{k})\hspace{15pt} \overrightarrow{j'} = \overrightarrow{j}\hspace{15pt} \overrightarrow{k'} = \frac{1}{\sqrt 2}(\overrightarrow{i}+\overrightarrow{k})

13. Il est clair que \overrightarrow{i'} et \vec j' sont dans P. Soit (x,y,z)\in P c'est-à-dire tel que x=-z. Alors
(x,y,z) = x\overrightarrow{i} + y\overrightarrow{j} + z\overrightarrow{k} = x\sqrt 2\overrightarrow{i'} + y\overrightarrow{j'} et il est clair que cette écriture est unique.
Ceci prouve que (\overrightarrow{i'},\overrightarrow{j'}) est une base de P. De plus, comme \vec j est orthogonal à \vec j et à \vec k il est orthogonal à leur différence, donc la base (\overrightarrow{i'},\overrightarrow{j'}) est orthogonale. Enfin, les vecteurs \vec j et (1/\sqrt 2,0 ,-1/\sqrt 2) sont bien de norme 1, donc la base est orthonormale.
On voit de même que \overrightarrow{ j'} est orthogonal à \overrightarrow{k'}. Comme \overrightarrow{i'} \cdot \overrightarrow{k'} = 0 et comme \overrightarrow{k'} \cdot \overrightarrow{k'} = 1 le vecteur \overrightarrow{k'} est normal à P.

14. D'après la question précédente, (\overrightarrow{i'},\overrightarrow{j'},\overrightarrow{k'}) est une base orthonormée de E.
Soienta, \, b et c les réels tels que \vec e = a\overrightarrow{i'} + b\overrightarrow{j'}+c\overrightarrow{k'}. On a alors
\vec e \cdot \overrightarrow{i'} = a\overrightarrow{i'} \cdot \overrightarrow{i'} + b\overrightarrow{i'} \cdot \overrightarrow{j'} = a\times 1 + b\times 0 = a On voit de même que b = \overrightarrow{e} \cdot \overrightarrow{j'} et que c = \overrightarrow{e} \cdot \overrightarrow{k'}.

15. Soit u : E\rightarrow E une application linéaire telle que P\subset ker(u).

15. a) Soit \vec e\in E. En reprenant les notations de la question précédente et en sachant que u(\overrightarrow{i'}) = u(\overrightarrow{j'}) = 0, on voit que
u(\vec e)=cu(\overrightarrow{k'}). En posant \vec z=u(\overrightarrow{k'}), on a bien u(\vec e)=(\overrightarrow{e} \cdot \overrightarrow{k'})\vec z.

15. b) Soit \vec z un vecteur et soit u définie pour tout \overrightarrow{e} par u(\vec e) = (\overrightarrow{e} \cdot \overrightarrow{k'})\vec z. Pour \vec e et \overrightarrow{e'} dans E et a et a' réels, on a :
u(a\vec e +a'\overrightarrow{e'}) = ((a\overrightarrow{e}+a'\overrightarrow{e'}) \cdot \overrightarrow{k'})\vec z = a(\overrightarrow{e} \cdot \overrightarrow{k'})\vec z + a'(\overrightarrow{e'} \cdot \overrightarrow{k'})\vec z = au(\overrightarrow{e}) + a'u(\overrightarrow{e'})
donc u est linéaire. De plus, si \vec e \in P, on a \vec e \dot \overrightarrow{k'} = 0 (car \overrightarrow{k'} est normal à P) donc P \subset ker(u).

15. c) Si \vec z = \vec 0, u est l'application nulle et ker(u) = E\neq P.
Si \vec z\neq \vec 0, on sait que P \subset ker(u) et, pour tout réel c on a u(\vec k') = c\vec z donc u n'est pas l'application nulle.
Comme P est de dimension 2 et comme ker(u)\neq E, on a P = ker(u). Dans ce cas im(u) est la droite vectorielle engendrée par \vec z donc rg(u)=1.

Partie D - Matrices de projecteur

16. Comme \overrightarrow{i'},\overrightarrow{j'} est une base de P, on a p(\overrightarrow{i'}) = \overrightarrow{i'} \text{ et } p(\overrightarrow{k'}) = \overrightarrow{j'} et, puisque \overrightarrow{k'} est normal à P on a p(\overrightarrow{k'}) = 0. On a donc
M_{B'}(p) = \left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right) = M'

17. On connait les vecteurs de B' en fonction de ceux de B ; on a donc
P = \left(\begin{array}{rrr}1/\sqrt 2 & 0 & 1/\sqrt 2\\ 0 & 1 & 0\\ -1/\sqrt 2 & 0 & 1/\sqrt 2\end{array}\right)
On a \overrightarrow{i}=(\overrightarrow{i'}+\overrightarrow{k'})/\sqrt 2\qquad \overrightarrow{j}=\overrightarrow{j'}\qquad \overrightarrow{k}=(-\overrightarrow{i'}+\overrightarrow{k'})/\sqrt 2 donc
P^{-1}=\left(\begin{array}{rrr}1/\sqrt 2 & 0 & -1/\sqrt 2\\ 0 & 1 & 0\\ 1/\sqrt 2 & 0 & 1/\sqrt 2\end{array}\right)

18. a) Comme M est la matrice du projecteur p qui vérifie p\circ p=p et comme M^2 est la matrice de p\circ p, on a M^2=M.

18. b) On a (I+M)^0=I=I+(2^0-1)M. Soit n > 0 un entier et supposons que (I+M)^n=I+(2^n-1)M. On a alors en tenant compte du fait que M^2=M,
(I+M)^{n+1}=(I+M)( I+(2^n-1)M)=I+2^nM+(2^n-1)M^2=I+(2^{n+1}-1)M
ce qui prouve la vérité de l'assertion pour tout entier n.

18. c) On a M=P^{-1}M'P et on trouve
M=\left(\begin{array}{ccc}1/2 & 0 & 1/2\\ 0 & 1 & 0\\ 1/2 & 0 & 1/2\end{array}\right)

19. On pose pour M_{a,b} = aM + bI pour (a,b)\in R^2 et {\cal M} = \lbrace M_{a,b}\ |\ (a,b)\in R^2\rbrace .

19. a) Soient a,b,\alpha,a',b',\alpha' des réels. On a
\alpha M_{a,b}+\alpha'M_{a',b'}=(\alpha a +\alpha' a')M+(\alpha b+\alpha ' b')I=M_{\alpha a+\alpha' a',\alpha b+\alpha'b'}
ce qui montre que \cal M est un sous-espace vectoriel de l'espace {\cal M}_2(R).
De plus, comme toute matrice de \cal M s'écrit de manière unique M_{a,b}=aM+bI la famille (M,I) est une base, donc \cal M est de dimension 2.

19. b) On a M_{a,b} = aM+bI=P^{-1}(aM'+b'I)P donc \det(M_{a,b}=\det(P^{-1})\det(aM'+bI)\det(P)=\det(AM'+bI). Or \det P^{-1}\det P=1 et la matrice aM'+bI est la matrice diagonale Diag(a+b,a+b,b). On a donc \det M_{a,b}=b(a+b)^2 et M_{a,b} est inversible si et seulement si \det M_{a,b}\neq 0 c'est-à-dire si et seulement si \rm b\not=0 et a\not=-b

19. c) M_{a,b}M_{c,d}=(aM+bI)(cM+dI)=acM^2+(ad+bc)M+bdI. Comme M^2=M, on a M_{a,b}M_{c,d}=M_{ac+ad+bc,bd}.

19. d) Supposons M_{a,b} inversible. On cherche c,d tels que M_{a,b}M_{c,d}=M_{ac+ad+bc,bd}=M_{0,1}.
On a alors bd=1, donc d=1/b (et b est bien supposé non nul) et c(a+b)+ad=0 d'où c=-a/b(a+b) donc M_{a,b}^{-1}=M_{-a/b(a+b),1/b}.
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