Fiche de mathématiques

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Concours commun SUP 2007
des écoles des mines d'Albi, Alès, Douai, Nantes.
Epreuve de mathématiques (toutes filières)

Instructions générales :
Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction :
les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées.
L'emploi d'une calculatrice est interdit.
Durée de l'épreuve : 4 heures.

Premier problème

Pour tout $t \in \mathbb{R}^*_+$ on définit : $f(t) = \exp\left(-\frac{1}{t}\right)$ et $g(t) = \frac{f(t)}{t}$

Partie A - Généralités

1. Prouver que $f$ et $g$ sont $C^{\infty}$ sur $\mathbb{R}_+^*$ et que pour tout $t \in \mathbb{R}^*_+ \, , \, t f'(t) = g(t)$ .
2. Montrer que $g$ est prolongeable par continuité en 0 et que le prolongement (encore noté $g$ ) est dérivable en 0.
3. Faire un tableau de variations de $g$ sur $\mathbb{R}_+$ , en faire un graphe sachant que $e^{-1} \approx 0,36$ à 10^-2 près.
4. Soit $H$ la primitive sur $\mathbb{R}_+^*$ de $t \mapsto g(1/t)$ , s'annulant en 1 :
a) Calculer H.
b) En former un développement limité à l'ordre 3 au voisinage de 1.
5. Soit $n \ge 3$ un entier naturel. On introduit l'équation $(E_n) \: : \: f(t)=t/n$ , d'inconnue $t \in \mathbb{R}^*_+$ .
a) En utilisant la question 3., montrer que $(E_n)$ a une unique solution dans ]0,1[, que l'on notera $\alpha_n$ . On montrerait identiquement (mais ce n'est pas à faire) que $(E_n)$ admet une unique solution dans $]1,+\infty[$ , que l'on notera $\beta_n$ .
b) Montrer que les suites $(\alpha_n)_{n\ge 3}$ et $(\beta_n)_{n\ge 3}$ sont monotones.
c) Est-il possible que l'une des deux suites converge vers une limite $l > 0$ ? En déduire leurs limites.

Partie B - Etude d'une courbe paramétrée

On étudie ici, dans un repère orthonormal d'origine O, la courbe paramétrée définie sur $\mathbb{R}_+^*$ par le point $M(t)$ de coordonnées :
$\lbrace {x(t) = f'(t) = \frac{\exp(-1/t)}{t^2}\\ y(t) = g(t) = \frac{\exp(-1/t)}{t}}$
6. Déterminer les valeurs de $t$ pour lesquelles $M(t)$ se situe sur la première bissectrice du plan d'équation cartésienne $y = x$ .
7. Etudier la limite de la pente de la droite $(OM(t))$ lorsque $t$ tend vers $0^+$ et $+\infty$ .
8. En utilisant la question 3., faire un tableau de variation de $x$ et $y$ sur $\mathbb{R}_+^*$ avec limites aux bornes $0^+$ et $+\infty$ .
9. En utilisant les deux questions précédentes, tracer la courbe en repérant les tangentes verticales ou horizontales, on pourra utiliser que $4e^{-2} \approx 0,54$ à 10^-2 près.

Partie C - Fonctions définies par des intégrales

On prolonge maintenant $f$ à $\mathbb{R}_+$ en posant $f(0)=0$ .
10. Montrer que l'application $f$ ainsi prolongée est de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}_+$ ; préciser $f'(0)$ et montrer que l'égalité de la question 1. reste valable pour $t = 0$ .
11. Soit $x \in \mathbb{R}_+^*$ , on note : $F(x) = \displaystyle \int_0^x f(t)dt$ , et $G(x) = \displaystyle \int_0^x g(t) dt$
a) Justifier l'existence de ces intégrales que l'on ne cherchera surtout pas à calculer puis montrer que $F(x) = x exp(-\frac{1}{x})-G(x)$ .
b) En séparant l'intégrale $G(x)$ en deux, montrer qu'il existe une constante C réelle telle que pour tout $x \ge 1$ , $0 \le G(x) \le C + \ln(x)$
c) En déduire que $G(x)$ est négligeable devant $x$ au voisinage de $+\infty$ ainsi qu'un équivalent de $F(x)$ au voisinage de $+\infty$ .
12. Résoudre sur $\mathbb{R}_+^*$ l'équation différentielle (E) : $x^2y'+y = x^2$ , l'expression générale de la solution fera apparaitre la fonction $F$ .

Partie D - Etude qualitative d'une équation différentielle

On considère maintenant une application $y$ solution de (E) : $x^2 y' + y = x^2$ cette fois sur $\mathbb{R}_+$ , de classe $C^{\infty}$ sur $\mathbb{R}_+$ . Nous allons, sans aucun calcul explicite de y, déterminer entièrement la suite des $u_n = y^{(n)}(0)$ à partir de l'équation (E).
13. Que vaut $u_0 = y(0)$ ?
14. En dérivant (E), calculer $u_1 = y'(0)$ et $u_2 = y''(0)$ .
15. Peut-on avoir y de la forme $x \mapsto \alpha x^2+\beta x + \gamma$ avec $(\alpha,\beta,\gamma) \in \mathbb{R}^3$ ?
16. Soit n un entier naturel.
a) On suppose ici $n \ge 3$ . Prouver à l'aide de la formule de Leibniz que pour tout $x \in \mathbb{R}_+$ :
$x^2y^{(n+1)}(x)+(1+2nx)y^{(n)}(x)+n(n-1)y^{(n-1)}(x)=0$
En déduire une relation de récurrence entre $u_n$ et $u_{n-1}$ .
b) Donner une expression de $u_n$ utilisant une factorielle, valable pour tout $n\ge 2$ ; en déduire les développements limités (dont on justifiera l'existence) de $y$ à tout ordre au voisinage de 0.

Deuxième problème

Dans tout ce problème, on se place dans l'espace usuel dont on notera $\scr{E}$ l'ensemble des points, E l'ensemble des vecteurs et $\overrightarrow{0}$ le vecteur nul. $\scr{E}$ est muni d'un repère orthonormal direct $\scr{R} = (O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$ , toutes les équations de l'énoncé seront relatives aux éléments de ce repère. Si $M \in \scr{E}$ et $\overrightarrow{OM} = x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}$ on pourra noter $M = (x,y,z)$ et $\overrightarrow{OM}=(x,y,z)$ .
On considère les ensembles P et Q d'équations cartésiennes : $P \: : \: x + z = 0$ et $Q \: : \: x+y+z-3=0$

Partie A - Etude d'un mouvement dans l'espace

Pour tout $t\in\mathbb{R}$ , on introduit le point $N(t)$ de $\scr{E}$ caractérisé dans $\scr{R}$ par les coordonnées :
$\lbrace {a(t) = \frac{\cos(t)}{\sqrt{2}}\\ b(t) = \sin(t)\\ c(t)=\frac{-\cos(t)}{\sqrt{2}}}$
1. Prouver que $N(t)$ appartient au plan P.
2. Donner une équation paramétrique de la droite D intersection de P et Q. Est-il possible que $N(t)\in D$ ?

3. Calculer $a^2(t)+b^2(t)+c^2(t)$ . En déduire que $N(t)$ appartient à un cercle de P dont on précisera le centre et le rayon.
4. Calculer la distance $N(t)$ à la droite D puis au plan Q, on pourra vérifier que leur rapport est constant.
5. Prouver que pour tout $t \in \mathbb{R}$ : $\exp(it) \: + \: \exp(i(t+2\pi/3)) \: + \: \exp(i(t-2\pi/3)) = 0$ .
6. En déduire l'isobarycentre des points $N(t), N(t+2\pi/3), N(t-2\pi/3)$ .

Partie B - Construction d'un polynôme

On fixe maintenant $t\in\mathbb{R}$ et on note : $\lbrace {s(t) = a(t)+b(t)+c(t)\\ d(t) = a(t)b(t)+a(t)c(t)+b(t)c(t)\\ p(t)=a(t)b(t)c(t)}$
7. Simplifier $s(t)$ .
8. Linéariser le produit de fonctions trigonométriques $p(t)$ .
9. Calculer $d(t)$ de deux manières différentes (on pourra utiliser un résultat de la question 3).
10. On considère maintenant le polynôme $R(X) = (X-a(t))(X-b(t))(X-c(t))$ , dont les racines sont donc $a(t), \, b(t) \text{ et } c(t)$ :
a) Dans cette question seulement $t = \pi/2$ . Montrer sans calculer $R(X)$ ni $R'(X)$ que $R'(0)=0$ .
b) Exprimer maintenant $R(X)$ en fonction de $s(t), \, d(t), \, p(t)$ , puis en fonction des résultats des questions précédentes.

Partie C - Endomorphismes à noyau imposé

11. Montrer que P définit un plan vectoriel de E.
12. Est-ce le cas pour Q ? Préciser, sans preuve, la structure algébrique de Q.
13. On introduit les vecteurs :
$\overrightarrow{i'} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\overrightarrow{i}-\overrightarrow{k})$ ; $\overrightarrow{j'} = \overrightarrow{j}$ ; $\overrightarrow{k'} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\overrightarrow{i}+\overrightarrow{k})$
Montrer que $(\overrightarrow{i'},\overrightarrow{j'})$ est une base orthonormale de P et que $\overrightarrow{k'}$ en est un vecteur normal. En déduire que $B' = (\overrightarrow{i'},\overrightarrow{j'},\overrightarrow{k'})$ est une base orthonormale de l'espace.
14. On désigne par $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$ le produit scalaire de deux vecteurs $\overrightarrow{a}$ et $\overrightarrow{b}$ . Soit $\overrightarrow{e}\in E$ . Prouver, autrement que par "c'est du cours", que ses coordonnées dans la base B' sont données par :
$\overrightarrow{e} = (\overrightarrow{e} \cdot \overrightarrow{i'})\overrightarrow{i'} + (\overrightarrow{e} \cdot \overrightarrow{j'})\overrightarrow{j'} + (\overrightarrow{e} \cdot \overrightarrow{k'})\overrightarrow{k'}$
15. On considère ici une application linéaire $u \: : \: E\rightarrow E$ telle que $P \subset ker(u)$ .
a) Prouver qu'il existe $\overrightarrow{z}\in E$ tel que $u(\overrightarrow{e}) = (\overrightarrow{e} \cdot \overrightarrow{k'})\overrightarrow{z}$ pour tout $\overrightarrow{e}\in E$ .
b) Réciproquement, montrer qu'une application $u$ donnée par la formule précédente est un endomorphisme de E tel que $P\subset ker(u)$ .
c) Donner une condition nécessaire et suffisante sur $\overrightarrow{z}$ pour que $P = ker(u)$ . Donner dans ce cas le rang et l'image de u.

Partie D - Matrices de projecteur

On note ici $p:E\rightarrow E$ le projecteur orthogonal sur le plan P, B la base $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$ et $B' = (\overrightarrow{i'},\overrightarrow{j'},\overrightarrow{k'})$ la base introduite à la question 13. On introduit les matrices :
$M'=\left({1 0 0\\0 1 0\\0 0 0}\right)$ et $I=\left({1 0 0\\0 1 0\\0 0 1}\right)$
16. Justifier très rapidement que M' est la matrice de p dans la base B'.
17. Donner la matrice de passage P de la base B à la base B' ainsi que son inverse (on détaillera le raisonnement pour cette dernière).
18. Soit M la matrice de p dans la base B :
a) Justifier sans calcul que M² = M.
b) En déduire que pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $(M+I)^n=I+(2^n-1)M$
c) Exprimer M en fonction de P, P^-1 et M'. Ensuite, calculer explicitement M.
19. On peut traiter cette partie sans avoir trouvé explicitement M. On introduit l'ensemble $\scr{M}$ des matrices du type $M_{a,b} = aM+bI$ , où a et b sont réels :
a) Montrer que l'ensemble $\scr{M}$ muni des lois usuelles sur les matrices a une structure de $\mathbb{R}$ -espace vectoriel dont on donnera une base et la dimension.
b) Les réels a et b étant donnés, exprimer $M_{a,b}$ en fonction de P, P^-1, I et M'. En déduire une formule factorisée du déterminant de $M_{a,b}$ ainsi qu'une condition nécessaire et suffisante pour qu'elle soit inversible.
c) Déterminer les réels e et f tels que $M_{a,b}\times M_{c,d}=M_{e,f}$ .
d) Lorsque $M_{a,b}$ est inversible, exprimer son inverse sous la forme d'un élément de $\scr{M}$

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Premier problème

Partie A - Généralités

$f(t) = e^{-1/t} \qquad g(t) = f(t)/t$

1. Pour $t \in ]0,+\infty[$ les fonctions $f$ et $g$ sont composées de fonctions continues et dérivables. Pour $t > 0$ on a :
$f'(t) = \frac{1}{t^2}e^{-1/t} = \frac{g(t)}{t}$

2. En posant $u=\frac{1}{t}$ on a :
$\displaystyle \lim_{t\rightarrow 0+}{g(t)} = \displaystyle \lim_{u\rightarrow +\infty}{ue^{-u}}=0$
donc en posant $g(0) = 0$ on obtient une fonction continue, et on a
$\displaystyle \lim_{t\to 0_+} \frac{g(t)-g(0)}{t} = \displaystyle \lim_{t\to 0_+}\frac{e^{-1/t}}{t^2} = \displaystyle \lim_{u\to +\infty}u^2e^{-u}=0$
ce qui prouve que $g$ est dérivable à droite en 0 et que $g'(0)=0.$

3. On a $g'(t) = \frac{(1-t)e^{-1/t}}{t^3}$ donc $g'$ a le même signe que $1-t$ . De plus $\displaystyle \lim_{t \rightarrow +\infty}g(t) = 0$ .
On a donc le tableau de variations suivant :
$\begin{array}{r||ccccc} t & 0 & & 1 & & +\infty \\ \hline g'(t) & & + & 0 & - & \\ \hline \hspace{1pt}& & & g(1) & & \\ g(t) & & \nearrow & & \searrow & \\ \hspace{1pt} & 0 & & & & 0 \end{array}$

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4. On a $tg(1/t) = t^2f(1/t)=t^2e^{-t}$ .

4. a) On obtient une primitive de cette fonction en faisant successivement deux intégrations par parties.
$\int t^2e^{-t}\,dt = -t^2e^{-t}+\int 2te^{-t}\,dt = -t^2e^{-t}-2te^{-t}+\int 2e^{-t}\,dt = (-t^2-2t-2)e^{-t}$
En écrivant que H(1)=0, on trouve $H(t)=(-t^2-2t-2)e^{-t}+5e^{-1}.$

4. b) On a $H(1)=0$ . Puis, $H'(t)=t^2e^{-t}$ donc $H'(1)=e^{-1}$ , puis $H''(t)=(2t-t^2)e^{-t}$ , d'où $H''(1)=0$ et enfin $H^{(3)}(t) = (2-4t+t^2)e^{-t}$ et alors $H^{(3)}(1)=-e^{-1}$ . La formule de Taylor à l'ordre 3 donne le développement limité suivant :
$H(x)=e^{-1}(x-1)-\frac{e^{-1}}{6}(x-1)^3+ \varepsilon(x)(x-1)^3 \qquad {\rm avec}\quad \displaystyle \lim_{x\to 1}\varepsilon(x)=0$

5. a) L'équation $(E_n)$ est équivalente à l'équation $g(t)=1/n$ . Pour $n\geq 3$ , on a $g(0) = 0 < 1/n < 1/e =g(1)$ , donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, la fonction continue $g$ prend la valeur $1/n$ dans ]0 , 1[. Comme elle est strictement croissante sur cet intervalle, elle la prend une seule fois. Le réel $\alpha_n$ tel que $g(\alpha_n) = 1/n$ est donc la seule solution de $(E_n)$ dans ]0 , 1[.

5. b) On a $g(\alpha_{n+1}) = \frac{1}{n+1}\quad <\quad \frac{1}{n}=g(\alpha_n)$ ce qui entraine $\alpha_{n+1}<\alpha_n$ pour tout $n$ parce que $g$ est strictement croissante sur $]0,1[$ .
La suite $(\alpha_n)$ est donc strictement décroissante.
De manière analogue, on a $g(\beta_{n+1})=\frac{1}{n+1}\quad <\quad \frac{1}{n}=g(\beta_n)$ . Comme $g$ est strictement décroissante sur $]1,+\infty[$ , on en déduit que $\beta_n<\beta_{n+1}$ donc la suite $(\beta_n)$ est strictement croissante.

5. c) Supposons que la suite $(\alpha_n)$ converge vers un réel $l$ non nul. Comme $g$ est continue, on a $g(l)=\displaystyle \lim_{n\to +\infty}g(\alpha_n)=\displaystyle \lim_{n\to +\infty}(1/n)=0$
Or le graphe de $g$ montre que ceci est impossible. Le même raisonnement s'applique si on suppose que la suite $(\beta_n)$ tend vers $l$ non nul.
La suite $(\alpha_n)$ est décroissante minorée par 0, donc elle est convergente. D'après ce qu'on vient de voir la seule possibilité est $\displaystyle \lim_{n\to +\infty}\alpha_n=0$
La suite $(\beta_n)$ est croissante et tous ses termes sont supérieurs à 1. Si elle était majorée, elle aurait une limite non nulle, ce qui n'est pas possible. Elle est donc croissante, non majorée, donc $\displaystyle \lim_{n\to +\infty}\beta_n=+\infty$

Partie B - Etude d'une courbe paramétrée

Soit $C$ la courbe paramétrée décrite par le point $M(t)=(x(t),y(t))$ pour $t\in ]0,+\infty[$ où $x(t)=f'(t)=\frac{e^{-1/t}}{t^2}\qquad y(t)=g(t)=\frac{e^{-1/t}}{t}$

6. On a $x(t)=y(t)$ si et seulement si $t = 1.$ L'intersection de $C$ avec la droite $D$ d'équation $y=x$ est le point $M(1).$

7. On a $y(t)/x(t)=t$ donc la pente de $OM(t)$ tend vers 0 quand $t$ tend vers $0_+$ et vers $+\infty$ quand $t$ tend vers $+\infty.$

8. On a déjà étudié $y(t).$ On a $x'(t)=\frac{(1-2t)e^{-1/t}}{t^4}$ donc $x'(t)$ a le même signe que $(1-2t).$ De plus $\displaystyle \lim_{t\to 0_+}x(t)=\displaystyle \lim_{t\to +\infty}x(t)=0.$ On a donc le tableau de variations suivant :
$\begin{array}{c||ccccccc} t & 0 & & 1/2 & & 1 & & +\infty \\ \hline x'(t) & &+ & 0 & - &-e^{-1} & - & \\ \hline \hspace{1pt} & & & 4e^{-2} & & & & \\ & & \nearrow & & \searrow & & & \\ x(t) & & & & & e^{-1} & & \\ \hspace{1pt} & & & & & & \searrow & \\ \hspace{1pt} & 0 & & & & & & 0 \\ \hline y'(t) & & + & 4e^{-2} & + & 0 & - & \\ \hline \hspace{1pt} & & & & & e^{-1} & & \\ \hspace{1pt} & & & & \nearrow & & \searrow & \\ y(t) & & & 2e^{-2} & & & & \\ \hspace{1pt} & & \nearrow & & & & & \\ \hspace{1pt} & 0 & & & & & & 0 \\ \hline \end{array}$
Le point $M(1/2)$ est situé sur la droite d'équation $y=x/2$ et possède une tangente verticale. Le point $M(1)$ est situé sur la première bissectrice et possède une tangente horizontale. On a déjà vu que la courbe s'approche de l'origine avec une demi-tangente horizontale (pour $t$ tendant vers $0_+$ ) et une demi-tangente verticale pour $t$ tendant vers $+\infty$ .

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Partie C - Fonctions définies par des intégrales

10. On a $\displaystyle \lim_{t\to 0_+}f(t)=0,$ donc en posant $f(0)=0$ on a bien une fonction continue. De plus $\displaystyle \lim_{t\to 0_+}\frac{f(t)-f(0)}{t}=\displaystyle \lim_{t\to 0_+}g(t)=0$ donc la fonction ainsi prolongée est dérivable en 0 et on a $f'(0)=0.$ Comme $\displaystyle \lim_{t\to 0_+}f'(t) = \displaystyle \lim_{t\to 0_+} \frac{e^{-1/t}}{t^2}=0=f'(0)$ la dérivée est aussi continue en 0 et la fonction prolongée est bien de classe $C^1$ . Enfin, si on prolonge aussi $g$ par $g(0) = \displaystyle \lim_{t\to 0_+}g(t)=0$ , pour $t=0$ on a bien $tf'(t)=0=g(0).$

11. On pose $F(x) = \displaystyle \int_0^x f(t)\,dt \qquad G(x)= \displaystyle \int_0^x g(t)dt$
11. a) Ces intégrales sont bien définies car les fonctions $f$ et $g$ sont continues sur $[0,+\infty[$ . Soit $K(x)=xe^{-1/x}.$ On a :
$K'(t) = e^{-1/t}+e^{-1/t}/t=f(t)+g(t)$ donc $K$ est une primitive de $f + g.$ Comme de plus $K(0)=0,$ on a bien $K(x)=F(x)+G(x).$

11. b) Pour tout $t \in ]0,+\infty[$ on a $e^{-1/t}<1$ et par suite $g(t)\leq 1/t.$ On en déduit que pour $x\geq 1$
$G(x)= \displaystyle \int_0^1g(t)\,dt+\int_1^x g(t)\,dt \leq \int_0^1 g(t)\,dt+\int_1^xdt/t = \int_0^1 g(t)\,dt+\ln x$
En posant $C = \displaystyle \int_0^1 g(t)\,dt$ on a bien $G(x)\leq C+\ln x.$

11. c) On a :
$\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \frac{G(x)}{x}\leq \displaystyle \lim_{x\to +\infty} \frac{C+\ln x}{x}=0$
donc G est négligeable par rapport à $x$ lorsque $x$ tend vers $+\infty.$
$F(x) = xe^{-1/x}-G(x) = x\left(1+\varepsilon(x)\right)-G(x)$ où $\varepsilon$ est une fonction qui tend vers 0 quand $x$ tend vers $+\infty.$ On a donc $F(x)\approx x$ pour $x$ tendant vers l'infini.

12. On considère l'équation différentielle $(E) \qquad x^2y'+y=x^2$
L'équation sans second membre : $(E')\qquad x^2y'+y=0$ équivaut à $y'/y=-1/x^2.$ On en déduit l'existence d'un réel $k$ tel que $\ln|y(x)| = k+ (1/x)$ et, en posant $C = \pm e^k$ et en remarquant que la fonction nulle est solution, on voit que les solutions de $(E')$ sont $y(x)=Ce^{1/x}\qquad{\rm avec}\ C\in \mathbb{R}$
On cherche les solutions de $(E)$ sous la forme $y(x) = C(x)e^{1/x}$ où $C$ est une fonction dérivable sur $]0,+\infty[$ . On a alors $x^2\left(C'(x) - \frac{C(x)}{x^2}\right)e^{1/x} + C(x)e^{1/x} = x^2$
d'où $C'(x) = e^{-1/x}$ et $C(x)$ est une primitive de $f.$ Les solutions de $(E)$ sont donc
$y(x)=(F(x)+C)e^{-1/x}\qquad{\rm avec}\ C\in \mathbb{R}$

Partie D - Etude qualitative d'une équation différentielle

On note $y$ une solution de $(E)$ qui est de classe $C^\infty$ sur $[0,+\infty[$ et on pose $u_n=y^{(n)}(0).$ 13. En faisant $x = 0$ dans $(E)$ on voit que $u_0 = y(0)=0.$

14. Soit $(E')$ l'équation obtenue en dérivant $(E).$ On a $(E') \qquad x^2y''(x) + (2x+1)y'(x)=2x$ et en prenant $x = 0$ on voit que $u_1 = y'(0)=0.$
En dérivant à nouveau, on trouve $(E)$ et pour $x = 0$ , on trouve $u_2 = y''(0)=2.$

15. Le seul polynôme $P$ du second degré tel que $P(0) = P'(0)=0$ et $P''(0)=2$ est $P(x)=x^2$ et il est immédiat qu'il n'est pas solution de $(E).$

16. a) On part de $(E)\qquad x^2y'+y=x^2$ . On dérive n fois en utilisant la formule de Leibniz $(fg)^{(n)} = \Bigsum_{k=0}^n{\left(n\\k\right)f^{(k)}g^{(n-k)}$ avec $f(x) = x^2$ et $g = y'$ . La somme contient au maximum 3 termes (pour k de 0 à 2) car pour k > 2, $f^{(k)}$ est nulle. On obtient, pour n > 2 : $x^2y^{(n+1)} + n(2x)y^{(n)} + \frac{n(n-1)}{2}\time 2 y^{(n-1)} + y^{(n)} = 0$ , soit en simplifiant :
$x^2y^{(n+1)}+(2nx+1)y^{(n)}+n(n-1)y^{(n-1)}=0$
Pour $x = 0, \, \, u_n=-n(n-1)u_{n-1}.$

16. b) On sait que $u_2 = 2.$ Supposons que $u_n = (-1)^nn((n-1)!)^2.$ Alors $u_{n+1} = -(n+1)nu_n = (-1)^{n+1}(n+1)(n!)^2$ ce qui prouve que la formule est juste.
La fonction $y$ est $C^{\infty}$ admet le développement limité d'ordre $n$
$y(x) = \sum_{k=0}^n \frac{y_k(0)}{k!}x^k + \varepsilon (x)x^n = \sum_{k=2}^n (-1)^k(k-1)!x^k + \varepsilon (x)x^n$
où $\varepsilon$ est une fonction qui tend vers 0 quand $x$ tend vers 0.

Deuxième problème

Partie A - Etude d'un mouvement dans l'espace

$P = \lbrace (x,y,z)\in\mathbb{R}^3\ |\ x+z=0\rbrace$ $Q=\lbrace (x,y,z)\in\mathbb{R}^3\ |\ x+y+z=3\rbrace$ et $N(t)=(a(t),b(t),c(t))$ avec
$a(t) = \frac{\cos t}{\sqrt 2} \hspace{15pt} b(t) = \sin(t) \hspace{15pt} c(t)=\frac{-\cos t}{\sqrt 2}$

1. Comme $a(t) + c(t)=0,$ on a bien $N(t)\in P.$

2. Les points $(x,y,z)$ de $D = P \cap Q$ vérifient $x+z=0$ et $x+y+z=3$ donc $D=\lbrace (t,3,-t)\ |\ t\in\mathbb{R}\rbrace .$ Comme $b(t)\leq 1$ , le point $N(t)\notin D.$

3. On a $a^2(t)+b^2(t)+c^2(t) = (\cos^2t)/2+\sin^2t+(\cos^2t)/2 = \cos^2t+\sin^2t=1.$ Le point $N(t)$ décrit l'intersection de $P$ avec la sphère de centre $O$ et de rayon 1. Il s'agit du cercle de centre $O$ et de rayon 1 situé dans le plan $P.$

4. La question 2. nous montre que le point $A(0,3,0) \in D$ et que le vecteur $\overrightarrow{v} (1,0,-1)$ est directeur de D, donc :
$d(N(t),D) = \frac{||\overrightarrow{AN(t)}\wedge\overrightarrow{v}||}{\overrightarrow{v}}=3-\sin(t)$
Or, on connait l'équation cartésienne de $Q$ , on en déduit :
$d(N(t),Q) = \frac{|a(t)+b(t)+c(t)-3|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}} = \frac{3-sin(t)}{\sqrt{3}}$
et le rapport $\Large\frac{d(N(t),D)}{d(N(t),Q)}$ est bien constant.

5. Comme $\left(e^{2i\pi/3}\right)^3=1$ on trouve
$e^{i(t-2\pi/3)} + e^{it} + e^{i(t+2\pi/3)} = e^{i(t-2\pi/3)}(1+e^{2i\pi/3} + e^{4i\pi/3}) = \frac{e^{i(t-2\pi/3)}(1-(e^{2i\pi/3})^3)}{1-e^{2i\pi/3}} = 0$

6. On a $a(t-2\pi/3) + a(t) + a(t+2\pi/3) = c(t-2\pi/3)+c(t)+c(t+2\pi/3) = Re(e^{i(t-2\pi/3)}+e^{it}+e^{i(t+2\pi/3)})/\sqrt 2=0$ et
$b(t-2\pi/3)+b(t)+b(t+2\pi/3) = Im(e^{i(t-2\pi/3)}+e^{it}+e^{i(t+2\pi/3)})/\sqrt 2=0$ donc l'isobarycentre des points $N(t-2\pi/3)$ , $N(t)$ et $N(t+2\pi/3)$ est $O.$

Partie B - Construction d'un polynôme

7. $s(t) = a(t) + b(t) + c(t) = \sin t$ .

8. $p(t) = a(t)b(t)c(t) = \cos^2t\sin t/2 = (\cos t\sin 2t)/4 = (\sin 3t +\sin t)/8.$

9. $d(t) = a(t)b(t)+a(t)c(t)+b(t)c(t).$
Calcul direct : $d(t) = b(t)(a(t)+c(t))+a(t)c(t) = -(\cos^2 t)/2.$
Calcul utilisant 3. $2d(t) = (a(t)+b(t)+c(t))^2-(a^2(t)+b^2(t)+c^2(t)) = \sin^2t-1=-\cos^2 t.$

10. $R(X)=(X-a(t))(X-b(t))(X-c(t)).$
10 a) Pour $t = \pi/2$ le on a $a(\pi/2) = c(\pi/2)=0$ ; comme $R$ admet 0 pour racine double, on a $R(0) = R'(0)=0.$

10. b) $R(X) = X^3-s(t)X^2+d(t)X-p(t) = X^3-(\sin t)X^2-(\cos^2 t/2)X+\sin t$

Partie C - Endomorphismes à noyau imposé

11. $P$ est un plan vectoriel car $O\in P.$

12. Comme $O \notin Q$ il ne s'agit pas d'un plan vectoriel. $Q$ est un plan affine.
$\overrightarrow{i'} = \frac{1}{\sqrt 2}(\overrightarrow{i}-\overrightarrow{k})\hspace{15pt} \overrightarrow{j'} = \overrightarrow{j}\hspace{15pt} \overrightarrow{k'} = \frac{1}{\sqrt 2}(\overrightarrow{i}+\overrightarrow{k})$

13. Il est clair que $\overrightarrow{i'}$ et $\vec j'$ sont dans $P.$ Soit $(x,y,z)\in P$ c'est-à-dire tel que $x=-z.$ Alors
$(x,y,z) = x\overrightarrow{i} + y\overrightarrow{j} + z\overrightarrow{k} = x\sqrt 2\overrightarrow{i'} + y\overrightarrow{j'}$ et il est clair que cette écriture est unique.
Ceci prouve que $(\overrightarrow{i'},\overrightarrow{j'})$ est une base de $P$ . De plus, comme $\vec j$ est orthogonal à $\vec j$ et à $\vec k$ il est orthogonal à leur différence, donc la base $(\overrightarrow{i'},\overrightarrow{j'})$ est orthogonale. Enfin, les vecteurs $\vec j$ et $(1/\sqrt 2,0 ,-1/\sqrt 2)$ sont bien de norme 1, donc la base est orthonormale.
On voit de même que $\overrightarrow{ j'}$ est orthogonal à $\overrightarrow{k'}.$ Comme $\overrightarrow{i'} \cdot \overrightarrow{k'} = 0$ et comme $\overrightarrow{k'} \cdot \overrightarrow{k'} = 1$ le vecteur $\overrightarrow{k'}$ est normal à $P.$

14. D'après la question précédente, $(\overrightarrow{i'},\overrightarrow{j'},\overrightarrow{k'})$ est une base orthonormée de $E.$
Soient $a, \, b$ et $c$ les réels tels que $\vec e = a\overrightarrow{i'} + b\overrightarrow{j'}+c\overrightarrow{k'}.$ On a alors
$\vec e \cdot \overrightarrow{i'} = a\overrightarrow{i'} \cdot \overrightarrow{i'} + b\overrightarrow{i'} \cdot \overrightarrow{j'} = a\times 1 + b\times 0 = a$ On voit de même que $b = \overrightarrow{e} \cdot \overrightarrow{j'}$ et que $c = \overrightarrow{e} \cdot \overrightarrow{k'}.$

15. Soit $u : E\rightarrow E$ une application linéaire telle que $P\subset ker(u).$

15. a) Soit $\vec e\in E.$ En reprenant les notations de la question précédente et en sachant que $u(\overrightarrow{i'}) = u(\overrightarrow{j'}) = 0,$ on voit que
$u(\vec e)=cu(\overrightarrow{k'}).$ En posant $\vec z=u(\overrightarrow{k'}),$ on a bien $u(\vec e)=(\overrightarrow{e} \cdot \overrightarrow{k'})\vec z.$

15. b) Soit $\vec z$ un vecteur et soit $u$ définie pour tout $\overrightarrow{e}$ par $u(\vec e) = (\overrightarrow{e} \cdot \overrightarrow{k'})\vec z.$ Pour $\vec e$ et $\overrightarrow{e'}$ dans E et $a$ et $a'$ réels, on a :
$u(a\vec e +a'\overrightarrow{e'}) = ((a\overrightarrow{e}+a'\overrightarrow{e'}) \cdot \overrightarrow{k'})\vec z = a(\overrightarrow{e} \cdot \overrightarrow{k'})\vec z + a'(\overrightarrow{e'} \cdot \overrightarrow{k'})\vec z = au(\overrightarrow{e}) + a'u(\overrightarrow{e'})$
donc $u$ est linéaire. De plus, si $\vec e \in P,$ on a $\vec e \dot \overrightarrow{k'} = 0$ (car $\overrightarrow{k'}$ est normal à $P$ ) donc $P \subset ker(u).$

15. c) Si $\vec z = \vec 0,$ $u$ est l'application nulle et $ker(u) = E\neq P.$
Si $\vec z\neq \vec 0,$ on sait que $P \subset ker(u)$ et, pour tout réel $c$ on a $u(\vec k') = c\vec z$ donc $u$ n'est pas l'application nulle.
Comme $P$ est de dimension 2 et comme $ker(u)\neq E,$ on a $P = ker(u).$ Dans ce cas $im(u)$ est la droite vectorielle engendrée par $\vec z$ donc $rg(u)=1.$

Partie D - Matrices de projecteur

16. Comme $\overrightarrow{i'},\overrightarrow{j'}$ est une base de $P$ , on a $p(\overrightarrow{i'}) = \overrightarrow{i'} \text{ et } p(\overrightarrow{k'}) = \overrightarrow{j'}$ et, puisque $\overrightarrow{k'}$ est normal à $P$ on a $p(\overrightarrow{k'}) = 0.$ On a donc
$M_{B'}(p) = \left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right) = M'$

17. On connait les vecteurs de $B'$ en fonction de ceux de $B$ ; on a donc
$P = \left(\begin{array}{rrr}1/\sqrt 2 & 0 & 1/\sqrt 2\\ 0 & 1 & 0\\ -1/\sqrt 2 & 0 & 1/\sqrt 2\end{array}\right)$
On a $\overrightarrow{i}=(\overrightarrow{i'}+\overrightarrow{k'})/\sqrt 2\qquad \overrightarrow{j}=\overrightarrow{j'}\qquad \overrightarrow{k}=(-\overrightarrow{i'}+\overrightarrow{k'})/\sqrt 2$ donc
$P^{-1}=\left(\begin{array}{rrr}1/\sqrt 2 & 0 & -1/\sqrt 2\\ 0 & 1 & 0\\ 1/\sqrt 2 & 0 & 1/\sqrt 2\end{array}\right)$

18. a) Comme $M$ est la matrice du projecteur $p$ qui vérifie $p\circ p=p$ et comme $M^2$ est la matrice de $p\circ p,$ on a $M^2=M.$

18. b) On a $(I+M)^0=I=I+(2^0-1)M.$ Soit $n > 0$ un entier et supposons que $(I+M)^n=I+(2^n-1)M.$ On a alors en tenant compte du fait que $M^2=M,$
$(I+M)^{n+1}=(I+M)( I+(2^n-1)M)=I+2^nM+(2^n-1)M^2=I+(2^{n+1}-1)M$
ce qui prouve la vérité de l'assertion pour tout entier $n.$

18. c) On a $M=P^{-1}M'P$ et on trouve
$M=\left(\begin{array}{ccc}1/2 & 0 & 1/2\\ 0 & 1 & 0\\ 1/2 & 0 & 1/2\end{array}\right)$

19. On pose pour $M_{a,b} = aM + bI$ pour $(a,b)\in R^2$ et ${\cal M} = \lbrace M_{a,b}\ |\ (a,b)\in R^2\rbrace .$

19. a) Soient $a,b,\alpha,a',b',\alpha'$ des réels. On a
$\alpha M_{a,b}+\alpha'M_{a',b'}=(\alpha a +\alpha' a')M+(\alpha b+\alpha ' b')I=M_{\alpha a+\alpha' a',\alpha b+\alpha'b'}$
ce qui montre que $\cal M$ est un sous-espace vectoriel de l'espace ${\cal M}_2(R).$
De plus, comme toute matrice de $\cal M$ s'écrit de manière unique $M_{a,b}=aM+bI$ la famille $(M,I)$ est une base, donc $\cal M$ est de dimension 2.

19. b) On a $M_{a,b} = aM+bI=P^{-1}(aM'+b'I)P$ donc $\det(M_{a,b}=\det(P^{-1})\det(aM'+bI)\det(P)=\det(AM'+bI).$ Or $\det P^{-1}\det P=1$ et la matrice $aM'+bI$ est la matrice diagonale $Diag(a+b,a+b,b).$ On a donc $\det M_{a,b}=b(a+b)^2$ et $M_{a,b}$ est inversible si et seulement si $\det M_{a,b}\neq 0$ c'est-à-dire si et seulement si $\rm b\not=0 et a\not=-b$

19. c) $M_{a,b}M_{c,d}=(aM+bI)(cM+dI)=acM^2+(ad+bc)M+bdI.$ Comme $M^2=M,$ on a $M_{a,b}M_{c,d}=M_{ac+ad+bc,bd}.$

19. d) Supposons $M_{a,b}$ inversible. On cherche $c,d$ tels que $M_{a,b}M_{c,d}=M_{ac+ad+bc,bd}=M_{0,1}.$
On a alors $bd=1,$ donc $d=1/b$ (et $b$ est bien supposé non nul) et $c(a+b)+ad=0$ d'où $c=-a/b(a+b)$ donc $M_{a,b}^{-1}=M_{-a/b(a+b),1/b}.$

Publié par Puisea/Camélia & Panter le 30-11--0001

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