Fiche de mathématiques
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École Polytechnique
Concours d'admission 2008
Filière MP
Première composition

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Durée : 4 heures


Équations différentielles de Sturm-Liouville

Ce problème est consacré à l'étude d'une équation différentielle avec paramètre. On désigne par \mathcal{C}^\infty([0,1]) l'espace des fonctions réelles de classe \mathcal{C}^\infty sur [0,1].

Première partie

Dans cette première partie, étant donné deux fonctions p et q de \mathcal{C}^\infty([0,1]), on désigne par A_{p,q} l'endomorphisme de \mathcal{C}^\infty([0,1]) défini par :
A_{p,q}(y) = y'' + py' + qy

et par (D_{p,q}) l'équation différentielle sur [0,1] : A_{p,q}(y) = 0.

1. Soit y une solution non identiquement nulle de (D_{p,q}).
1. a) Montrer que les fonctions y et y' ne s'annulent pas simultanément.
1. b) Montrer que les zéros de y sont en nombre fini.

2. Soit y_1 et y_2 deux solutions linéairement indépendantes de (D_{p,q}) ; on suppose que y_1 admet au moins deux zéros et on note a et b deux zéros consécutifs.
2. a) Montrer que y_2 admet au moins un zéro dans l'intervalle ouvert ]a,b[. [On pourra procéder par l'absurde et considérer le wronskien W de y_1 et y_2].
2. b) La fonction y_2 peut-elle avoir plusieurs zéros dans ]a,b[ ?

Étant donné deux fonctions u et v de \mathcal{C}^\infty([0,1]), u ne s'annulant en aucun point, on désigne par B_{u,v} l'endomorphisme de \mathcal{C}^\infty([0,1]) défini par
B_{u,v}(y) = (uy')' + vy

et par (E_{u,v}) l'équation différentielle sur [0,1] : B_{u,v}(y)=0.

3. a) Soit y_1 et y_2 deux solutions linéairement indépendantes de (D_{p,q}) et soit W leur wronskien. Vérifier la relation :
y_1B_{u,v}(y_2) - y_2B_{u,v}(y_1) = (u'-up)W.


3. b) Montrer que, pour tout couple (p,q), il existe des couples (u,v) tels que Ker~A_{p,q}=Ker~B_{u,v} et déterminer tous ces couples (u,v).

4. On se donne trois fonctions u, v_1, v_2 de \mathcal{C}^\infty([0,1]) et on suppose
u(x)>0 \quad , \quad v_2(x) < v_1(x) pour tout x \in [0,1].


Pour i = 1,2, on note y_i une solution non identiquement nulle de (E_{u,v_i}) ; on suppose que y_2 admet au moins deux zéros et on note a et b deux zéros consécutifs.

4. a) Vérifier la relation
[u y_1 y'_2]_a^b = \displaystyle \int_a^b (v_1(x) - v_2(x))y_1(x)y_2(x)dx

[On pourra considérer \displaystyle \int_a^b \left(y_1 B_{u,v_2}(y_2) - y_2 B_{u,v_1}(y_1) \right) dx.].

4. b) Montrer que y_1 admet au moins un zéro dans l'intervalle ]a,b[. [On pourra procéder par l'absurde].


Dans toute la suite du problème on note r une fonction de \mathcal{C}^{\infty}([0,1]); pour tout nombre réel \lambda on considère l'équation différentielle sur [0,1] :
(D_\lambda) \qquad y''+ (\lambda - r)y = 0.

On note l'unique solution de (D_\lambda) satisfaisant y_{\lambda}(0) = 0, y'_\lambda(0)=1, et E_{\lambda} l'espace vectoriel (éventuellement réduit à zéro) des solutions de (D_\lambda) satisfaisant y(0) = y(1) = 0 ; si cet espace n'est pas réduit à zéro, on dit que \lambda est valeur propre.


Deuxième partie

5. a) Quelles sont les valeurs possibles de \dim E_\lambda ?
5. b) Démontrer l'équivalence des conditions E_{\lambda} \neq \lbrace 0 \rbrace et y_\lambda(1) = 0.

6. Démontrer les assertions suivantes :
6. a) Toute valeur propre est supérieure ou égale à \inf_{x \in [0,1]} r(x).
6. b) Si y_1 \in E_{\lambda_1}, y_2 \in E_{\lambda_2} avec \lambda_1 \neq \lambda_2, alors \displaystyle \int_0^1 y_1(x) y_2(x) dx = 0.


Troisième partie

Dans les troisième et quatrième parties, on désigne par N(\lambda) le nombre des zéros de la fonction y_{\lambda} dans [0,1] et on se propose d'étudier N(\lambda) en lien avec les valeurs de y_{\lambda}(1}, ainsi que la répartition des valeurs propres.

7. Dans cette question on exarime le cas où r = 0 et \lambda > 0. On désigne par E(a) la partie entière d'un nombre réel a.
7. a) Calculer y_\lambda(x) pour x \in [0,1].
7. b) Calculer N(\lambda).
7. c) Préciser le comportement de N(\lambda) au voisinage d'un point \lambda_0.

On ne suppose plus r = 0 ni \lambda > 0. On admettra que la fonction de deux variables (\lambda,x) \mapsto y_\lambda(x) est de classe \mathcal{C}^{\infty}.

8. Dans cette question, on se propose de démontrer que, si y_{\lambda_0}(1) est non nul, N(\lambda) est constant dans un voisinage de \lambda_0.
On désigne par c_1,...,c_n, les zéros de y_{\lambda_0} dans [0,1] avec
0 = c_1 < c_2 < ... < c_n < 1.

8. a) Montrer qu'il existe une suite strictement croissante (\xi_j)_{0 \leq j \leq 2n} de nombres réels, possédant les propriétés suivantes :
      (i) \xi_0 = 0, \xi_{2n}=1, \, 0 < \xi_1 < \xi_2,\,  \xi_{2j-2} < c_j < \xi_{2j-1} pour j = 2, \cdot , n;
      (ii) (-1)^{j+i} y_{\lambda_0} > 0 sur [xi_{2j-1},\xi_{2j}], j = 1,...,n;
      (iii) (-1)^j y'_{\lamda_0} > 0 sur [\xi_{2j},\xi_{2j+1}], j = 1,...,n-1.
8. b) Dans cette question, on considère une fonction F de classe \mathcal{C}^{\infty} définie sur un ouvert contenant un rectangle compact I \times J de \mathbb{R}^2. Démontrer l'assertion suivante : pour tout \epsilon > 0il existe \delta > 0 tel que les conditions s_1, s_2 \in I impliquent
|F(s_1 , t) - F(s_2 , t)| < \epsilon pour tout t \in J.

8. c) Montrer que, pour tout \lambda suffisamment voisin de \lambda_0, y_{\lambda} a exactement un zéro dans chacun des intervalles [\xi_{2j} , \xi_{2j+1}], mais n'en a aucun dans les intervalles [\xi_{2j-1},\xi_{2j}]. Conclure.

9. Montrer que, pour tout \lambda \geq \rho = \sup_{x \in [0,1]} r(x), on a
N(\lambda) \ge E((\lambda-\rho)^{1/2}\pi^{-1}).

[On pourra utiliser la question 4 et la question 7 en y remplaçant \lambda par un réel quelconque \mu < \lambda - \rho.]

10. a) Montrer que, si y_{\lambda}(1) est non nul pour tout \lambda appartenant à un intervalle I, N(\lambda) est constant dans I.
10. b) L'ensemble des valeurs propres est-il vide ou non vide ? fini ou infini ?


Quatrième partie

Dans cette quatrième partie, on étudie le comportement de N(\lambda) au voisinage d'un point \lambda_0 tel que y_\lambda_0(1) = 0. On écrira y(\lambda,x) au lieu de y_\lambda(x) et on rappelle que cette fonction de deux variables est de classe \mathcal{C}^\infty ; l'équation (D_\lambda) s'écrit donc :
(i)
\dfrac{\partial^2 y}{\parital x^2} + (\lambda - r) y = 0


11. Démontrer que la relation (i) entraîne les relations suivantes :
(ii)
\dfrac{\partial^3 y}{\partial x^2\partial\lambda}+(\lambda-r)\dfrac{\partial y}{\partial \lambda}+y=0

(iii)
\dfrac{\partial^2y}{\partial x^2} \dfrac{\partial y}{\partial\lambda} - \dfrac{\partial^3 y}{\partial x^2\partial\lambda}y-y^2=0

(iv)
\dfrac{\partial y}{\partial\lambda}(\lambda_0,1)\dfrac{\partial y}{\partial x}(\lambda_0,1) = \displaystyle \int_0^1y(\lambda_0,x)^2dx>0


12. Montrer qu'il existe un réel \epsilon>0 ayant les propriétés suivantes :
(i) si \lambda \in [\lambda_0-\epsilon,\lambda_0], on a N(\lambda)=N({\lambda_0})-1;
(ii) si \lambda \in [\lambda_0 , \lambda_0+\epsilon], on a N(\lambda) = N(\lambda_0).

13. Montrer qu'on peut écrire les valeurs propres comme une suite croissante infinie \lambda_1 < \lambda_2 < ..., et exprimer N(\lambda_n) en fonction de n.
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puisea Posteur d'énigmes
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