Fiche de mathématiques

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École Polytechnique
Concours d'admission 2008
Filière MP
Première composition

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
Durée : 4 heures

Équations différentielles de Sturm-Liouville

Ce problème est consacré à l'étude d'une équation différentielle avec paramètre. On désigne par $\mathcal{C}^\infty([0,1])$ l'espace des fonctions réelles de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur [0,1].

Première partie

Dans cette première partie, étant donné deux fonctions $p$ et $q$ de $\mathcal{C}^\infty([0,1])$ , on désigne par $A_{p,q}$ l'endomorphisme de $\mathcal{C}^\infty([0,1])$ défini par :
$A_{p,q}(y) = y'' + py' + qy$
et par $(D_{p,q})$ l'équation différentielle sur [0,1] : $A_{p,q}(y) = 0$ .

1. Soit $y$ une solution non identiquement nulle de $(D_{p,q})$ .
1. a) Montrer que les fonctions $y$ et $y'$ ne s'annulent pas simultanément.
1. b) Montrer que les zéros de $y$ sont en nombre fini.

2. Soit $y_1$ et $y_2$ deux solutions linéairement indépendantes de $(D_{p,q})$ ; on suppose que $y_1$ admet au moins deux zéros et on note $a$ et $b$ deux zéros consécutifs.
2. a) Montrer que $y_2$ admet au moins un zéro dans l'intervalle ouvert $]a,b[$ . [On pourra procéder par l'absurde et considérer le wronskien $W$ de $y_1$ et $y_2$ ].
2. b) La fonction $y_2$ peut-elle avoir plusieurs zéros dans $]a,b[$ ?

Étant donné deux fonctions $u$ et $v$ de $\mathcal{C}^\infty([0,1])$ , $u$ ne s'annulant en aucun point, on désigne par $B_{u,v}$ l'endomorphisme de $\mathcal{C}^\infty([0,1])$ défini par
$B_{u,v}(y) = (uy')' + vy$
et par $(E_{u,v})$ l'équation différentielle sur $[0,1]$ : $B_{u,v}(y)=0$ .

3. a) Soit $y_1$ et $y_2$ deux solutions linéairement indépendantes de $(D_{p,q})$ et soit $W$ leur wronskien. Vérifier la relation :
$y_1B_{u,v}(y_2) - y_2B_{u,v}(y_1) = (u'-up)W$ .

3. b) Montrer que, pour tout couple $(p,q)$ , il existe des couples $(u,v)$ tels que $Ker~A_{p,q}=Ker~B_{u,v}$ et déterminer tous ces couples $(u,v)$ .

4. On se donne trois fonctions $u$ , $v_1$ , $v_2$ de $\mathcal{C}^\infty([0,1])$ et on suppose
$u(x)>0 \quad , \quad v_2(x) < v_1(x)$ pour tout $x \in [0,1]$ .

Pour $i = 1,2$ , on note $y_i$ une solution non identiquement nulle de $(E_{u,v_i})$ ; on suppose que $y_2$ admet au moins deux zéros et on note $a$ et $b$ deux zéros consécutifs.

4. a) Vérifier la relation
$[u y_1 y'_2]_a^b = \displaystyle \int_a^b (v_1(x) - v_2(x))y_1(x)y_2(x)dx$
[On pourra considérer $\displaystyle \int_a^b \left(y_1 B_{u,v_2}(y_2) - y_2 B_{u,v_1}(y_1) \right) dx.$ ].

4. b) Montrer que $y_1$ admet au moins un zéro dans l'intervalle $]a,b[$ . [On pourra procéder par l'absurde].

Dans toute la suite du problème on note $r$ une fonction de $\mathcal{C}^{\infty}([0,1])$ ; pour tout nombre réel $\lambda$ on considère l'équation différentielle sur [0,1] :
$(D_\lambda) \qquad y''+ (\lambda - r)y = 0$ .
On note l'unique solution de $(D_\lambda)$ satisfaisant $y_{\lambda}(0) = 0$ , $y'_\lambda(0)=1$ , et $E_{\lambda}$ l'espace vectoriel (éventuellement réduit à zéro) des solutions de $(D_\lambda)$ satisfaisant $y(0) = y(1) = 0$ ; si cet espace n'est pas réduit à zéro, on dit que $\lambda$ est valeur propre.

Deuxième partie

5. a) Quelles sont les valeurs possibles de $\dim E_\lambda$ ?
5. b) Démontrer l'équivalence des conditions $E_{\lambda} \neq \lbrace 0 \rbrace$ et $y_\lambda(1) = 0$ .

6. Démontrer les assertions suivantes :
6. a) Toute valeur propre est supérieure ou égale à $\inf_{x \in [0,1]} r(x)$ .
6. b) Si $y_1 \in E_{\lambda_1}$ , $y_2 \in E_{\lambda_2}$ avec $\lambda_1 \neq \lambda_2$ , alors $\displaystyle \int_0^1 y_1(x) y_2(x) dx = 0$ .

Troisième partie

Dans les troisième et quatrième parties, on désigne par $N(\lambda)$ le nombre des zéros de la fonction $y_{\lambda}$ dans [0,1] et on se propose d'étudier $N(\lambda)$ en lien avec les valeurs de $y_{\lambda}(1}$ , ainsi que la répartition des valeurs propres.

7. Dans cette question on exarime le cas où $r = 0$ et $\lambda > 0$ . On désigne par $E(a)$ la partie entière d'un nombre réel $a$ .
7. a) Calculer $y_\lambda(x)$ pour $x \in [0,1]$ .
7. b) Calculer $N(\lambda)$ .
7. c) Préciser le comportement de $N(\lambda)$ au voisinage d'un point $\lambda_0$ .

On ne suppose plus $r = 0$ ni $\lambda > 0$ . On admettra que la fonction de deux variables $(\lambda,x) \mapsto y_\lambda(x)$ est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ .

8. Dans cette question, on se propose de démontrer que, si $y_{\lambda_0}(1)$ est non nul, $N(\lambda)$ est constant dans un voisinage de $\lambda_0$ .
On désigne par $c_1,...,c_n$ , les zéros de $y_{\lambda_0}$ dans [0,1] avec
$0 = c_1 < c_2 < ... < c_n < 1$ .
8. a) Montrer qu'il existe une suite strictement croissante $(\xi_j)_{0 \leq j \leq 2n}$ de nombres réels, possédant les propriétés suivantes :
(i) $\xi_0 = 0, \xi_{2n}=1, \, 0 < \xi_1 < \xi_2,\, \xi_{2j-2} < c_j < \xi_{2j-1}$ pour $j = 2, \cdot , n$ ;
(ii) $(-1)^{j+i} y_{\lambda_0} > 0$ sur $[xi_{2j-1},\xi_{2j}]$ , $j = 1,...,n$ ;
(iii) $(-1)^j y'_{\lamda_0} > 0$ sur $[\xi_{2j},\xi_{2j+1}]$ , $j = 1,...,n-1$ .
8. b) Dans cette question, on considère une fonction $F$ de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ définie sur un ouvert contenant un rectangle compact $I \times J$ de $\mathbb{R}^2$ . Démontrer l'assertion suivante : pour tout $\epsilon > 0$ il existe $\delta > 0$ tel que les conditions $s_1, s_2 \in I$ impliquent
$|F(s_1 , t) - F(s_2 , t)| < \epsilon$ pour tout $t \in J$ .
8. c) Montrer que, pour tout $\lambda$ suffisamment voisin de $\lambda_0$ , $y_{\lambda}$ a exactement un zéro dans chacun des intervalles $[\xi_{2j} , \xi_{2j+1}]$ , mais n'en a aucun dans les intervalles $[\xi_{2j-1},\xi_{2j}]$ . Conclure.

9. Montrer que, pour tout $\lambda \geq \rho = \sup_{x \in [0,1]} r(x)$ , on a $N(\lambda) \ge E((\lambda-\rho)^{1/2}\pi^{-1})$ .
[On pourra utiliser la question 4 et la question 7 en y remplaçant $\lambda$ par un réel quelconque $\mu < \lambda - \rho$ .]

10. a) Montrer que, si $y_{\lambda}(1)$ est non nul pour tout $\lambda$ appartenant à un intervalle $I$ , $N(\lambda)$ est constant dans $I$ .
10. b) L'ensemble des valeurs propres est-il vide ou non vide ? fini ou infini ?

Quatrième partie

Dans cette quatrième partie, on étudie le comportement de $N(\lambda)$ au voisinage d'un point $\lambda_0$ tel que $y_\lambda_0(1) = 0$ . On écrira $y(\lambda,x)$ au lieu de $y_\lambda(x)$ et on rappelle que cette fonction de deux variables est de classe $\mathcal{C}^\infty$ ; l'équation $(D_\lambda)$ s'écrit donc :
$(i)$ $\dfrac{\partial^2 y}{\parital x^2} + (\lambda - r) y = 0$

11. Démontrer que la relation $(i)$ entraîne les relations suivantes :
$(ii)$ $\dfrac{\partial^3 y}{\partial x^2\partial\lambda}+(\lambda-r)\dfrac{\partial y}{\partial \lambda}+y=0$
$(iii)$ $\dfrac{\partial^2y}{\partial x^2} \dfrac{\partial y}{\partial\lambda} - \dfrac{\partial^3 y}{\partial x^2\partial\lambda}y-y^2=0$
$(iv)$ $\dfrac{\partial y}{\partial\lambda}(\lambda_0,1)\dfrac{\partial y}{\partial x}(\lambda_0,1) = \displaystyle \int_0^1y(\lambda_0,x)^2dx>0$

12. Montrer qu'il existe un réel $\epsilon>0$ ayant les propriétés suivantes :
$(i)$ si $\lambda \in [\lambda_0-\epsilon,\lambda_0]$ , on a $N(\lambda)=N({\lambda_0})-1$ ;
$(ii)$ si $\lambda \in [\lambda_0 , \lambda_0+\epsilon]$ , on a $N(\lambda) = N(\lambda_0)$ .

13. Montrer qu'on peut écrire les valeurs propres comme une suite croissante infinie $\lambda_1 < \lambda_2 < ...$ , et exprimer $N(\lambda_n)$ en fonction de $n$ .

Publié par puisea/ le 30-11--0001

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