École Polytechnique
Concours d'admission 2008
Filière MP
Deuxième composition
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
Durée : 4 heures
Dénombrement d'applications entre ensembles finis
On se propose de démontrer quelques propriétés du nombre des applications surjectives d'un ensemble fini sur un autre.
Étant donné deux nombres entiers strictement positifs
et
, on note
le nombre de parties à
éléments de l'ensemble
, nul si
; on rappelle que
pour
;
le nombre d'applications injectives de
dans
, nul si
;
le nombre d'applications surjectives de
dans
, nul si
.
On posera aussi
.
Première partie
1. Préciser les valeurs de
et
.
2. Montrer que l'on a
si
.
Pour tout entier
, on note
(resp.
) la mattrice )
lignes et
colonnes de coefficients
(resp.
) pour
.
3. a) Montrer que l'on a, pour
et
:
.
3. b) Calculer le déterminant de la matrice
de coefficients
,
.
Deuxième partie
Pour tout entier
, on désigne par
l'espace vectoriel des polynômes à une indéterminée, à coefficients complexes, de degré
. On le munit de la base
; on définit un endomorphisme
de
par :
pour tout .
4. a) Déterminer les coefficients
de la matrice représentant
dans la base indiquée (ici,
).
4. b) Même question pour
dont on démontrera l'existence.
4. c) Étant donné deux vecteurs lignes
et
satisfaisant
et, pour
,
,
écrire les
en fonction des
.
4. d) Établir une formule de la forme
,
où
et où les
sont des coefficients à déterminer.
Dans la suite de cette seconde partie, on définit des éléments de
de
,
, par
5. Vérifier que les
forment une base de
.
6. Démontrer la formule
pour
7. a) Déterminer les coefficients
de la matrice représentant l'endomorphisme
dans la base ci-dessus.
7. b) Même question pour les coefficients de
.
8. Écrire les formules donnant les polynômes
,
, en fonction des polynômes
.
[On pourra utiliser la formule de la question
3. a)].
Troisième partie
Étant donné deux entiers
et
, on désigne par :
l'ensemble des applications de
dans
;
l'ensemble des applications surjectives de
dans
, ensemble bien entendu vide si
;
l'ensemble des applications
satisfaisant
;
le sous-ensemble du précédent formé des
telles que
pour tout
(ici,
).
9. Démontrer la " formule du multinôme ", pour
et
:
,
où
sont des nombres réels.
[On pourra procéder par récurrence sur
].
10. Montrer que
.
11. Montrer que, pour
, on a :
.
Quatrième partie
On considère une série entière à coefficients réels
; on suppose
; on note
son rayon de convergence supposé non nul, et
sa somme.
Pour
et
entiers
, on pose
12. Indiquer un minorant
du rayon de convergence de la série entière
où
;
déterminer la somme de cette série dans l'intervalle
.
On considère une seconde série entière
; on note
son rayon de convergence supposé non nul, et
sa somme.
13. Montrer que la série entière
a un rayon de convergence non nul, et préciser sa somme au voisinage de 0.
14. On considère la fonction
. Exprimer les coefficients de la série de Taylor de
à l'aide des nombres
.