Fiche de mathématiques

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École Polytechnique - Écoles Normales Supérieures
Concours d'admission 2011
Filière MP
Première composition

Durée : 4 heures
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Valeurs singulières d'une matrice et inégalités de traces

Notations et conventions

Dans ce problème l'espace vectoriel $C^n$ est muni du produit scalaire hermitien usuel noté $(.|.)$ ; on rappelle qu'il est linéaire à droite, semi-linéaire à gauche et que la base canonique $(e_1, \cdots , e_n)$ de $C^n$ est orthonormale. On note $\mathcal{M}_n(C)$ l'espace vectoriel sur $C$ des matrices à $n$ lignes et $n$ colonnes à coefficients complexes qu'on identifie à l'espace vectoriel des endormorphismes de $C^n$ et $I_n$ la matrice identité de $\mathcal{M}_n(C)$ . Le coefficient de la $i$ -ième ligne et $j$ -ième colonne d'une matrice $A$ est noté $A_{ij}.$ On note $A^*$ , appelée adjointe de la matrice $A$ de $\mathcal{M}_n(C)$ , la matrice définie pour tous $1 \leq i, j \leq n$ par $A^*_{ij} = \overline{A_{ji}}.$

On définit les sous-ensembles de $\mathcal{M}_n(C)$ suivants : $\mathcal{H}_n = \lbrace A \in \mathcal{M}_n(C) | A^* = A \rbrace\\ \mathcal{H}^+_n = \lbrace A \in \mathcal{H}_n | (\forall x \in C^n), (x|Ax) \geq 0 \rbrace \\ \mathcal{U}_n = \lbrace A \in \mathcal{M}_n(C)| (\forall x, y \in C^n), (Ax|Ay) = (x|y) \rbrace \\ \mathcal{N}_n = \lbrace A \in \mathcal{M}_n(C)| AA^* = A^*A \rbrace$
$\mathcal{D}_n$ désigne l'ensemble des matrices diagonales dans $\mathcal{M}_n(C)$ Enfin, pour tout sous-espace vectoriel $F$ de $C^n$ , $F^{\perp}$ désigne le sous-espace orthogonal pour le produit hermitien usuel.

Ce problème a pour but l'étude de quelques inégalités de traces sur les matrices carrées à coefficients complexes via l'introduction de la décomposition en valeurs singulières et le calcul de la distance minimale pour la norme de Frobenius entre deux matrices de $\mathcal{H}_n$ définies à équivalence près par des changements de bases dans $\mathcal{U}_n.$

Première partie : étude de $\mathcal{N}_n$

1. Soit $A$ une matrice de $\mathcal{M}_n(C).$ Montrer pour tout couple $(x, y)$ de vecteurs de $C^n \times C^n$ : $(A^* x|y) = (x|Ay).$ 2. a) Montrer que $A \in \mathcal{U}_n$ si et seulement si $A^*A = AA^* = I_n.$
2. b) Montrer que $A \in \mathcal{U}_n$ si et seulement si les colonnes de $A$ forment une base orthonormale de $C^n.$

3. a) Montrer que $A \in \mathcal{N}_n, \, A((ker A)^{\perp}) \subset (ker A)^{\perp}.$ En déduire que si $\lambda$ est une valeur propre de $A$ et si $E_{\lambda}$ est le sous-espace propre associé, alors $A(E^{\perp}_{\lambda}) \subset E^{\perp}_{\lambda}.$
3. b) En déduire que $\mathcal{N}_n = \lbrace UDU^* , U \in \mathcal{U}_n, D \in \mathcal{D}_n \rbrace.$

4. Soit $A$ une matrice de $\mathcal{M}_n(C).$ On note $\lambda_1, \, \lambda_2, \cdots , \, \lambda_n$ les racines du polynôme caractéristique (non nécessairement distinctes) de $A.$ Montrer que si $A \in \mathcal{N}_n,$ alors $\displaystyle \sum_{i=1}^n |\lambda_i|^2 = \displaystyle \sum_{i,j=1}^n |Ai,j|^2.$ (On pourra calculer la trace de $AA^*.$ )

5. a) Soit $A$ une matrice de $\mathcal{M}_n(C).$ Montrer que si $A \in \mathcal{N}_n,$ alors $A$ et $A^*$ ont même noyau.
5. b) Montrer que les deux propositions suivantes sont équivalentes :
(i) $A \in \mathcal{N}_n$
(ii) Tout vecteur propre de $A$ est vecteur propre de son adjointe $A^*$
Pour (ii) $\Longrightarrow$ (i), on pourra procéder par récurrence sur la dimension $n$ et pour un vecteur propre $x$ de $A$ considérer l'orthogonal de l'espace vectoriel engendré par $x$ .

6. a) Prouver que si la matrice $A \in \mathcal{N}_n$ , son adjointe $A^*$ peut s'exprimer comme un polynôme en $A$ à coefficients complexes. (On pourra utiliser les polynômes d'interpolation de Lagrange.)
6. b) Prouver que si $A$ et $B$ sont dans $\mathcal{N}_n$ et commutent alors $AB \in \mathcal{N}_n$ .

7. Prouver que si $A$ est une matrice de $\mathcal{M}_n(C)$ les deux propositions suivantes sont équivalentes :
(i) $A \in \mathcal{N}_n$
(ii) Il existe une matrice $U \in \mathcal{U}_n$ commutant avec $A$ telle que $A^* = AU$ .
On pourra construire $U$ à partir des valeurs propres de $A$ et raisonner dans une base orthonormale bien choisie.

Deuxième partie : valeurs singulières d'une matrice

8. Montrer que $A \in \mathcal{H}_n$ (resp. $\mathcal{H}^+_n$ ) si et seulement si $A$ est diagonalisable dans une base orthonormale et ses valeurs propres sont réelles (resp. réelles positives).

9. Montrer que si $A \in \mathcal{H}_n^+$ il existe une unique matrice $S \in \mathcal{H}_n^+$ telle que $S^2 = A$ . (Pour l'unicité, on pourra se ramener au cas où $A$ est un multiple de l'identité en considérant les sous-espaces propres de $A$ .)

Si $A$ est une matrice de $\mathcal{M}_n(C)$ on dit que $A = US$ est une décomposition polaire de $A$ si $S \in \mathcal{H}^+_n$ et $U \in \mathcal{U}_n$ . Dans la suite du problème, on admettra l'existence d'une décomposition polaire pour toute matrice $A$ de $\mathcal{M}_n(C)$ .

Si $A$ est une matrice de $\mathcal{M}_n(C)$ on dit que $A = UDW$ est une décomposition en valeurs singulières de $A$ si $U, W \in \mathcal{U}_n$ et $D \in \mathcal{D}_n$ est à coefficients réels positifs ou nuls.

10. Prouver que toute matrice $A$ de $\mathcal{M}_n(C)$ admet une décomposition en valeurs singulières.
(On pourra commencer par écrire une décomposition polaire de $A$ .)

11. Soit $A \in \mathcal{M}_n(C)$ . Montrer qu'il existe une décomposition en valeurs singulières de $A$ pour laquelle les coeﬃcients diagonaux $\alpha_i = D_{ii}$ de $D$ vérifient $\alpha_1 \geq \cdots \geq \alpha_n$ et que ces coefficients sont alors déterminés de façon unique. On les appelera les valeurs singulières de $A$ .

Troisième partie : inégalités de traces

12. Soit $P \in \mathcal{M}_n(C)$ une matrice vérifiant $(Pk) \; \; P^2 = P = P^*, \; \; \; \; \text{rang}(P) = k.$
12. a) Montrer que les coefficients de P vérifient :
(i) $0 \leq P_{ii} \leq 1$ pour tout entier $i$ entre 1 et $n$ ,
(ii) $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} P_{ii} = k.$
12. b) Soit $\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \cdots \geq \lambda_n$ des réels et $D$ la matrice diagonale telle que $D_{ii} = \lambda_i$ pour tout entier $i$ entre 1 et $n$ . Montrer que $Tr(PD) \leq \displaystyle \sum_{i=1}^{k} \lambda_i$ . Trouver une matrice $P$ vérifiant les conditions $(P_k)$ telle que $Tr(PD) = \displaystyle \sum_{i=1}^{k} \lambda_i$ .
12. c) Montrer que si $P_1, P_2$ sont deux matrices vérifiant les conditions $(P_k)$ , il existe $U \in \mathcal{U}_n$ telle que $P_2 = UP_1U^*$ . En déduire que $\displaystyle \sum_{i=1}^k \lambda_i = \underset{U \in \mathcal{U}_n}{\text{max}} Tr (UPU^*D)$ où $P$ est une matrice vérifiant $(P_k)$ .

On dit qu'une matrice $A$ de $\mathcal{M}_n(C)$ est doublement stochastique si $A$ est à coefficients réels positifs et vérifie $\displaystyle \sum_{i=1}^n A_{ik} = 1$ et $\displaystyle \sum_{j=1}^n A_{kj} = 1$ , pour tout entier $k$ compris entre 1 et $n$ . On note $\mathcal{DS}_n$ l'ensemble des matrices doublement stochastiques dans $\mathcal{M}_n}(C)$ .

13. Montrer que si $U \in \mathcal{U}_n$ , la matrice dont les coeﬃcients sont les $|U_{i,j}|^2$ est doublement stochastique.

14. Soit $A$ une matrice doublement stochastique de $\mathcal{M}_n(C)$ et soient $\alpha_1 \geq \alpha_2 \geq \cdots \geq \alpha_n, \; \; \beta_1 \geq \beta_2 \geq \cdots \geq \beta_n$ des réels. On suppose que $A$ n'est pas la matrice identité $I_n$ et on note $k$ le plus petit entier tel que $A_{kk} \neq 1$ .

14. a) Montrer qu'il existe deux entiers $m$ et $\ell$ vérifiant $k < m \leq n, k < \ell \leq n$ et tels que $A_{mk} \neq 0, A_{k \ell} \neq 0, A_{m \ell} \neq 1$ .
14. b) Construire une matrice doublement stochastique $A^{\prime}$ de $\mathcal{M}_n(C)$ vérifiant :
(i) $A^{\prime}_{ij} = A_{ij} si (i, j) \not \in \lbrace (k, k), (m, k), (k, \ell), (m, \ell)},$
(ii) $A^{\prime}_{mk}$ ou $A^{\prime}_{k\ell}$ est nul,
(iii) $\sum_{i,j=1}^n A^{\prime}_{i,j} \alpha_{i} \beta_j \geq \sum_{i,j=1}^n A_{i,j} \alpha_{i} \beta_j.$
En déduire que $\underset{A \in \mathcal{DS}_n}{\text{max}} \sum_{i=1,j=1}^n A_{i,j} \alpha_i \beta_j = \sum_{i=1}^n \alpha_i \beta_i.$

15. Soient $A$ et $B$ deux matrices dans $\mathcal{M}_n(C).$
15. a) Soit $D$ la matrice diagonale dont les coefficients diagonaux $\alpha_i = D_{ii}$ sont les valeurs singulières de $A$ et soit $T$ la matrice diagonale dont les coefficients diagonaux $\beta_i = T_{ii$ } sont les valeurs singulières de $B$ telles que $\alpha_1 \geq \alpha_2 \geq \cdots \geq \alpha_n, \; \; \; \beta_1 \geq \beta_2 \geq \cdots \geq \beta_n.$ Montrer qu'il existe $U$ et $V$ dans $\mathcal{U}_n$ telles que $Tr (AB) = Tr (UDVT).$
15. b) Montrer que $Tr (AB) = \sum_{i,j=1}^n U_{ij}V_{ji} \alpha_j \beta_i$ et en déduire que $|Tr (AB)| \leq \sum_{i=1}^n \alpha_i \beta_i.$ 15. c) Soient $A$ et $B$ dans $\mathcal{H}^+_n.$ Montrer que $|Tr(AB)| \leq Tr (A)Tr (B).$

16. Soient $A$ et $B$ dans $\mathcal{H}_n$ et soient $\alpha_1 \geq \alpha_2 \geq \cdots \geq \alpha_n, \; \; \; \beta_1 \geq \beta_2 \geq \cdots \geq \beta_n.$ leurs valeurs propres.
Montrer que $\underset{U \in \mathcal{U}_n}{\text{min}} \| A - U^* BU \| = \sqrt{\displaystyle \sum_{i=1}^n (\alpha_i - \beta_i)^2},$ où la norme sur $\mathcal{M}_n(C)$ est donnée par $\|A\|^2 = Tr (A^*A)$ . On pourra commencer par déterminer $\underset{U \in \mathcal{U}_n}{\text{max}} Tr(AU^*BU)$ .

Publié par Cel/ le 30-11--0001

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