Fiche de mathématiques
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École Polytechnique - Écoles Normales Supérieures
Concours d'admission 2011
Filière MP
Première composition

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Durée : 4 heures
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Valeurs singulières d'une matrice et inégalités de traces

Notations et conventions

Dans ce problème l'espace vectoriel C^n est muni du produit scalaire hermitien usuel noté (.|.) ; on rappelle qu'il est linéaire à droite, semi-linéaire à gauche et que la base canonique (e_1, \cdots , e_n) de C^n est orthonormale. On note \mathcal{M}_n(C) l'espace vectoriel sur C des matrices à n lignes et n colonnes à coefficients complexes qu'on identifie à l'espace vectoriel des endormorphismes de C^n et I_n la matrice identité de \mathcal{M}_n(C). Le coefficient de la i-ième ligne et j-ième colonne d'une matrice A est noté A_{ij}. On note A^*, appelée adjointe de la matrice A de \mathcal{M}_n(C), la matrice définie pour tous 1 \leq i, j \leq n par A^*_{ij} = \overline{A_{ji}}.

On définit les sous-ensembles de \mathcal{M}_n(C) suivants :
\mathcal{H}_n = \lbrace A \in \mathcal{M}_n(C) | A^* = A \rbrace\\ \mathcal{H}^+_n = \lbrace A \in  \mathcal{H}_n | (\forall x \in C^n), (x|Ax) \geq 0 \rbrace \\ \mathcal{U}_n = \lbrace A \in  \mathcal{M}_n(C)| (\forall x, y \in C^n), (Ax|Ay) = (x|y) \rbrace \\ \mathcal{N}_n = \lbrace A \in \mathcal{M}_n(C)| AA^* = A^*A \rbrace
\mathcal{D}_n désigne l'ensemble des matrices diagonales dans \mathcal{M}_n(C)
Enfin, pour tout sous-espace vectoriel F de C^n, F^{\perp} désigne le sous-espace orthogonal pour le produit hermitien usuel.

Ce problème a pour but l'étude de quelques inégalités de traces sur les matrices carrées à coefficients complexes via l'introduction de la décomposition en valeurs singulières et le calcul de la distance minimale pour la norme de Frobenius entre deux matrices de \mathcal{H}_n définies à équivalence près par des changements de bases dans \mathcal{U}_n.


Première partie : étude de \mathcal{N}_n

1. Soit A une matrice de \mathcal{M}_n(C). Montrer pour tout couple (x, y) de vecteurs de C^n \times C^n :
(A^* x|y) = (x|Ay).
2. a) Montrer que A \in \mathcal{U}_n si et seulement si A^*A = AA^* = I_n.
2. b) Montrer que A \in \mathcal{U}_n si et seulement si les colonnes de A forment une base orthonormale de C^n.

3. a) Montrer que A \in \mathcal{N}_n, \, A((ker A)^{\perp}) \subset (ker A)^{\perp}. En déduire que si \lambda est une valeur propre de A et si E_{\lambda} est le sous-espace propre associé, alors A(E^{\perp}_{\lambda}) \subset E^{\perp}_{\lambda}.
3. b) En déduire que \mathcal{N}_n = \lbrace UDU^* , U \in \mathcal{U}_n, D \in \mathcal{D}_n \rbrace.

4. Soit A une matrice de \mathcal{M}_n(C). On note \lambda_1, \, \lambda_2, \cdots , \, \lambda_n les racines du polynôme caractéristique (non nécessairement distinctes) de A. Montrer que si A \in \mathcal{N}_n, alors \displaystyle \sum_{i=1}^n |\lambda_i|^2 = \displaystyle \sum_{i,j=1}^n |Ai,j|^2. (On pourra calculer la trace de AA^*.)

5. a) Soit A une matrice de \mathcal{M}_n(C). Montrer que si A \in \mathcal{N}_n, alors A et A^* ont même noyau.
5. b) Montrer que les deux propositions suivantes sont équivalentes :
(i) A \in \mathcal{N}_n
(ii) Tout vecteur propre de A est vecteur propre de son adjointe A^*
Pour (ii) \Longrightarrow (i), on pourra procéder par récurrence sur la dimension n et pour un vecteur propre x de A considérer l'orthogonal de l'espace vectoriel engendré par x.

6. a) Prouver que si la matrice A \in \mathcal{N}_n, son adjointe A^* peut s'exprimer comme un polynôme en A à coefficients complexes. (On pourra utiliser les polynômes d'interpolation de Lagrange.)
6. b) Prouver que si A et B sont dans \mathcal{N}_n et commutent alors AB \in \mathcal{N}_n.

7. Prouver que si A est une matrice de \mathcal{M}_n(C) les deux propositions suivantes sont équivalentes :
(i) A \in \mathcal{N}_n
(ii) Il existe une matrice U \in \mathcal{U}_n commutant avec A telle que A^* = AU.
On pourra construire U à partir des valeurs propres de A et raisonner dans une base orthonormale bien choisie.


Deuxième partie : valeurs singulières d'une matrice

8. Montrer que A \in \mathcal{H}_n (resp. \mathcal{H}^+_n) si et seulement si A est diagonalisable dans une base orthonormale et ses valeurs propres sont réelles (resp. réelles positives).

9. Montrer que si A \in \mathcal{H}_n^+ il existe une unique matrice S \in \mathcal{H}_n^+ telle que S^2 = A. (Pour l'unicité, on pourra se ramener au cas où A est un multiple de l'identité en considérant les sous-espaces propres de A.)

Si A est une matrice de \mathcal{M}_n(C) on dit que A = US est une décomposition polaire de A si S \in \mathcal{H}^+_n et U \in \mathcal{U}_n. Dans la suite du problème, on admettra l'existence d'une décomposition polaire pour toute matrice A de \mathcal{M}_n(C).

Si A est une matrice de \mathcal{M}_n(C) on dit que A = UDW est une décomposition en valeurs singulières de A si U, W \in \mathcal{U}_n et D \in \mathcal{D}_n est à coefficients réels positifs ou nuls.

10. Prouver que toute matrice A de \mathcal{M}_n(C) admet une décomposition en valeurs singulières.
(On pourra commencer par écrire une décomposition polaire de A.)

11. Soit A \in \mathcal{M}_n(C). Montrer qu'il existe une décomposition en valeurs singulières de A pour laquelle les coefficients diagonaux \alpha_i = D_{ii} de D vérifient \alpha_1 \geq \cdots \geq \alpha_n et que ces coefficients sont alors déterminés de façon unique. On les appelera les valeurs singulières de A.


Troisième partie : inégalités de traces

12. Soit P \in \mathcal{M}_n(C) une matrice vérifiant
(Pk) \; \; P^2 = P = P^*, \; \;  \; \; \text{rang}(P) = k.

12. a) Montrer que les coefficients de P vérifient :
(i) 0 \leq P_{ii} \leq 1 pour tout entier i entre 1 et n,
(ii) \displaystyle \sum_{i=1}^{n} P_{ii} = k.
12. b) Soit \lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \cdots \geq \lambda_n des réels et D la matrice diagonale telle que D_{ii} = \lambda_i pour tout entier i entre 1 et n. Montrer que Tr(PD) \leq \displaystyle \sum_{i=1}^{k} \lambda_i. Trouver une matrice P vérifiant les conditions (P_k) telle que Tr(PD) = \displaystyle \sum_{i=1}^{k} \lambda_i.
12. c) Montrer que si P_1, P_2 sont deux matrices vérifiant les conditions (P_k), il existe U \in \mathcal{U}_n telle que P_2 = UP_1U^*. En déduire que \displaystyle \sum_{i=1}^k \lambda_i = \underset{U \in \mathcal{U}_n}{\text{max}} Tr (UPU^*D)P est une matrice vérifiant (P_k).

On dit qu'une matrice A de \mathcal{M}_n(C) est doublement stochastique si A est à coefficients réels positifs et vérifie \displaystyle \sum_{i=1}^n A_{ik} = 1 et \displaystyle \sum_{j=1}^n A_{kj} = 1, pour tout entier k compris entre 1 et n. On note \mathcal{DS}_n l'ensemble des matrices doublement stochastiques dans \mathcal{M}_n}(C).

13. Montrer que si U \in \mathcal{U}_n, la matrice dont les coefficients sont les |U_{i,j}|^2 est doublement stochastique.

14. Soit A une matrice doublement stochastique de \mathcal{M}_n(C) et soient
\alpha_1 \geq \alpha_2 \geq \cdots \geq \alpha_n, \; \; \beta_1 \geq \beta_2 \geq \cdots \geq \beta_n
des réels. On suppose que A n'est pas la matrice identité I_n et on note k le plus petit entier tel que A_{kk} \neq  1.

14. a) Montrer qu'il existe deux entiers m et \ell vérifiant k < m \leq n, k < \ell \leq n et tels que A_{mk} \neq 0, A_{k \ell} \neq 0, A_{m \ell} \neq 1.
14. b) Construire une matrice doublement stochastique A^{\prime} de \mathcal{M}_n(C) vérifiant :
(i) A^{\prime}_{ij} =  A_{ij} si (i, j) \not \in \lbrace (k, k), (m, k), (k, \ell), (m, \ell)},
(ii) A^{\prime}_{mk} ou A^{\prime}_{k\ell} est nul,
(iii) \sum_{i,j=1}^n A^{\prime}_{i,j} \alpha_{i} \beta_j \geq \sum_{i,j=1}^n A_{i,j} \alpha_{i} \beta_j.
En déduire que \underset{A \in \mathcal{DS}_n}{\text{max}} \sum_{i=1,j=1}^n A_{i,j} \alpha_i \beta_j = \sum_{i=1}^n \alpha_i \beta_i.

15. Soient A et B deux matrices dans \mathcal{M}_n(C).
15. a) Soit D la matrice diagonale dont les coefficients diagonaux \alpha_i = D_{ii} sont les valeurs singulières de A et soit T la matrice diagonale dont les coefficients diagonaux \beta_i = T_{ii} sont les valeurs singulières de B telles que
\alpha_1 \geq \alpha_2 \geq \cdots \geq \alpha_n, \; \; \; \beta_1 \geq \beta_2 \geq \cdots \geq \beta_n.
Montrer qu'il existe U et V dans \mathcal{U}_n telles que Tr (AB) = Tr (UDVT).
15. b) Montrer que Tr (AB) = \sum_{i,j=1}^n U_{ij}V_{ji} \alpha_j \beta_i et en déduire que
|Tr (AB)| \leq \sum_{i=1}^n \alpha_i \beta_i.
15. c) Soient A et B dans \mathcal{H}^+_n. Montrer que |Tr(AB)| \leq Tr (A)Tr (B).

16. Soient A et B dans \mathcal{H}_n et soient
\alpha_1 \geq \alpha_2 \geq \cdots \geq \alpha_n, \; \; \; \beta_1 \geq \beta_2 \geq \cdots \geq \beta_n.
leurs valeurs propres.
Montrer que
\underset{U \in \mathcal{U}_n}{\text{min}} \| A  - U^* BU \| = \sqrt{\displaystyle \sum_{i=1}^n (\alpha_i - \beta_i)^2},
où la norme sur \mathcal{M}_n(C) est donnée par \|A\|^2 = Tr (A^*A). On pourra commencer par déterminer \underset{U \in \mathcal{U}_n}{\text{max}} Tr(AU^*BU).
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