École Polytechnique - Écoles Normales Supérieures
Concours d'admission 2011
Filière MP
Première composition
Durée : 4 heures
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
Valeurs singulières d'une matrice et inégalités de traces
Notations et conventions
Dans ce problème l'espace vectoriel

est muni du produit scalaire hermitien usuel noté
)
; on rappelle qu'il est linéaire à droite, semi-linéaire à gauche et que la base canonique
)
de

est orthonormale. On note
)
l'espace vectoriel sur

des matrices à

lignes et

colonnes à coefficients complexes qu'on identifie à l'espace vectoriel des endormorphismes de

et

la matrice identité de
)
. Le coefficient de la

-ième ligne et

-ième colonne d'une
matrice

est noté

On note

, appelée adjointe de la matrice

de
)
, la matrice définie pour tous

par
On définit les sous-ensembles de
)
suivants :
désigne l'ensemble des matrices diagonales dans )
Enfin, pour tout sous-espace vectoriel

de

,

désigne le sous-espace orthogonal pour le produit hermitien usuel.
Ce problème a pour but l'étude de quelques inégalités de traces sur les matrices carrées à coefficients complexes via l'introduction de la décomposition en valeurs singulières et le calcul de la distance minimale pour la norme de Frobenius entre deux matrices de

définies à équivalence près par des changements de bases dans
Première partie : étude de 
1. Soit

une matrice de
.)
Montrer pour tout couple
)
de vecteurs de

:
2. a) Montrer que

si et seulement si
2. b) Montrer que

si et seulement si les colonnes de

forment une base orthonormale de
3. a) Montrer que
^{\perp}) \subset (ker A)^{\perp}.)
En déduire que si

est une valeur propre de

et
si

est le sous-espace propre associé, alors
3. b) En déduire que
4. Soit

une matrice de
.)
On note

les racines du polynôme caractéristique (non nécessairement distinctes) de

Montrer que si

alors

(On pourra calculer la trace de

)
5. a) Soit

une matrice de
.)
Montrer que si

alors

et

ont même noyau.
5. b) Montrer que les deux propositions suivantes sont équivalentes :
(i)
(ii) Tout vecteur propre de

est vecteur propre de son adjointe
Pour (ii)

(i), on pourra procéder par récurrence sur la dimension

et pour un vecteur propre

de

considérer l'orthogonal de l'espace vectoriel engendré par

.
6. a) Prouver que si la matrice

, son adjointe

peut s'exprimer comme un polynôme en

à coefficients complexes. (On pourra utiliser les polynômes d'interpolation de Lagrange.)
6. b) Prouver que si

et

sont dans

et commutent alors

.
7. Prouver que si

est une matrice de
)
les deux propositions suivantes sont équivalentes :
(i)
(ii) Il existe une matrice

commutant avec

telle que

.
On pourra construire

à partir des valeurs propres de

et raisonner dans une base orthonormale bien choisie.
Deuxième partie : valeurs singulières d'une matrice
8. Montrer que

(resp.

) si et seulement si

est diagonalisable dans une base orthonormale et ses valeurs propres sont réelles (resp. réelles positives).
9. Montrer que si

il existe une unique matrice

telle que

. (Pour l'unicité, on pourra se ramener au cas où

est un multiple de l'identité en considérant les sous-espaces propres de

.)
Si

est une matrice de
)
on dit que

est une décomposition polaire de

si

et

. Dans la suite du problème, on admettra l'existence d'une décomposition polaire pour toute matrice

de
)
.
Si

est une matrice de
)
on dit que

est une décomposition en valeurs singulières de

si

et

est à coefficients réels positifs ou nuls.
10. Prouver que toute matrice

de
)
admet une décomposition en valeurs singulières.
(On pourra commencer par écrire une décomposition polaire de

.)
11. Soit
)
. Montrer qu'il existe une décomposition en valeurs singulières de

pour laquelle les coefficients diagonaux

de

vérifient

et que ces coefficients sont alors déterminés de façon unique. On les appelera les valeurs singulières de

.
Troisième partie : inégalités de traces
12. Soit
)
une matrice vérifiant
12. a) Montrer que les coefficients de P vérifient :
(i)

pour tout entier

entre 1 et

,
(ii)
12. b) Soit

des réels et

la matrice diagonale telle que

pour tout entier

entre 1 et

.
Montrer que
 \leq \displaystyle \sum_{i=1}^{k} \lambda_i)
. Trouver une matrice

vérifiant les conditions
)
telle que
 = \displaystyle \sum_{i=1}^{k} \lambda_i)
.
12. c) Montrer que si

sont deux matrices vérifiant les conditions
)
, il existe

telle que

. En déduire que
)
où

est une matrice vérifiant
)
.
On dit qu'une matrice

de
)
est doublement stochastique si

est à coefficients réels positifs et vérifie

et

, pour tout entier

compris entre 1 et

. On note

l'ensemble des matrices doublement stochastiques dans
)
.
13. Montrer que si

, la matrice dont les coefficients sont les

est doublement stochastique.
14. Soit

une matrice doublement stochastique de
)
et soient

des réels. On suppose que

n'est pas la matrice identité

et on note

le plus petit entier tel que

.
14. a) Montrer qu'il existe deux entiers

et

vérifiant

et tels que

.
14. b) Construire une matrice doublement stochastique

de
)
vérifiant :
(i)
(ii)

ou

est nul,
(iii)
En déduire que
15. Soient

et

deux matrices dans
15. a) Soit

la matrice diagonale dont les coefficients diagonaux

sont les valeurs singulières de

et soit

la matrice diagonale dont les coefficients diagonaux

} sont les valeurs singulières de

telles que

Montrer qu'il existe

et

dans

telles que
15. b) Montrer que
 = \sum_{i,j=1}^n U_{ij}V_{ji} \alpha_j \beta_i)
et en déduire que
15. c) Soient

et

dans

Montrer que
16. Soient

et

dans

et soient

leurs valeurs propres.
Montrer que
^2},)
où la norme sur
)
est donnée par
)
. On pourra commencer par déterminer
)
.