École Polytechnique - Écoles Normales Supérieures
Concours d'admission 2011
Filière MP
Deuxième composition
Durée : 4 heures
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
Transformation d'Euler et accélération de la convergence
Dans ce problème,
désigne l'ensemble des réels,
est l'ensemble des réels positifs et
l'ensemble des réels strictement positifs.
La notation
désigne l'ensemble des entiers naturels et
l'ensemble des entiers naturels non nuls.
On note
l'espace vectoriel des suites réelles. On note
une suite réelle de terme général
. On considère l'endomorphisme
de
qui à toute suite
associe la suite
de terme général
.
On pose, pour
et
dans
si
On convient que 0! = 1 et que
si
Les candidats vérifieront la convergence des séries qu'ils rencontrent, même si cela n'est pas explicitement demandé.
Première partie : suites complètement monotones
Pour tout
, on note
le p-ième itéré de
défini par
, et par convention,
est l'identité de
On dit qu'une suite
est complètement monotone si pour tous entiers naturels
et
on a
1. Soit
une fonction sur
à valeurs réelles et indéfiniment dérivable. On considère la suite de terme général
1. a) Montrer que pour tout entier
et tout entier
il existe un réel
dans l'intervalle
tel que
On pourra raisonner par récurrence en considérant la fonction
et la suite de terme général
1. b) On considère la suite de terme général
Montrer que
est complètement monotone.
2. a) Démontrer que pour tout
on a
2. b) Soit
On considère la suite de terme général
Calculer
pour tous les entiers naturels
et
et en déduire que
est complètement monotone.
Soit
une fonction continue et positive sur [0, 1], non identiquement nulle. Jusqu'à la fin de la première partie, on considère la suite de terme général
3. a) Montrer que la série de terme général
converge et que
3. b) Montrer que la suite
est complètement monotone.
3. c) Démontrer que
3. d) En déduire que l'on a
4. Déduire des questions précédentes que
5. On pose
5. a) Montrer que
5. b) On pose
Montrer que
Deuxième partie : Transformée d'Euler
Dans cette partie, on se donne une suite
telle que la série de terme général
soit convergente, et l'on note
sa somme.
On ne suppose aucune autre propriété particulière de cette suite . Le but est de démontrer que
On dit que la série
est la transformée d'Euler de la série
6. a) Montrer que pour tout
on a
6. b) Montrer que pour toute suite
de limite nulle, on a
7. a) Montrer que pour tout
on a
7. b) Montrer que pour tout
on a
8. a) On pose
Montrer que
8. b) Conclure.
Troisième partie : une amélioration de la méthode
Dans cette partie, comme dans la question 3, on se donne une fonction
continue et positive sur [0, 1], non identiquement nulle. On considère la suite de terme général
et on pose
On se donne aussi une suite de polynômes à coefficients réels
telle que pour tout
Pour tout
on pose
9. a) Montrer que
9. b) En déduire que
où
10. Dans cette question, on choisit comme suite de polynômes
Donner une majoration explicite de
en fonction de
et
11. Dans cette question, on choisit comme suite de polynômes
Donner une majoration explicite de
en fonction de
et
12. a) Démontrer l'existence et l'unicité d'une suite de polynômes
vérifiant les conditions suivantes : pour tout
pour tout
12. b) Calculer
pour tout
12. c) Donner une majoration explicite de
Quatrième partie : comparaison des méthodes sur un exemple
Dans cette partie,
et
où les
sont les polynômes de la question 12.
13. Donner un équivalent de
et de
Comparez la vitesse de convergence de
avec celle de
et
Donner un équivalent de