Fiche de mathématiques
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École Polytechnique - Écoles Normales Supérieures
Concours d'admission 2011
Filière MP
Deuxième composition

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Durée : 4 heures
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Transformation d'Euler et accélération de la convergence

Dans ce problème, \mathbb{R} désigne l'ensemble des réels, \mathbb{R}_+ est l'ensemble des réels positifs et \mathbb{R}^*_+ l'ensemble des réels strictement positifs. La notation \mathbb{N} désigne l'ensemble des entiers naturels et \mathbb{N}^* l'ensemble des entiers naturels non nuls.

On note E l'espace vectoriel des suites réelles. On note u = (u_n)_{n \in \mathbb{N}} une suite réelle de terme général u_n. On considère l'endomorphisme \Delta de E qui à toute suite u = (u_n)_{n \in \mathbb{N}} associe la suite de terme général (\Delta u)_n = u_{n+1} - u_n, \; n \in \mathbb{N}.

On pose, pour k et n dans \mathbb{N}, \; \left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right) = \dfrac{n!}{k! (n-k)!} si n \geq k. On convient que 0! = 1 et que \left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right) = 0 si k > n.

Les candidats vérifieront la convergence des séries qu'ils rencontrent, même si cela n'est pas explicitement demandé.


Première partie : suites complètement monotones

Pour tout p \in \mathbb{N}^*, on note \Delta^p le p-ième itéré de \Delta défini par \Delta^p = \Delta \circ \Delta^{p-1}, et par convention, \Delta^0 est l'identité de E.
On dit qu'une suite (u_n)_{n \in \mathbb{N}} est complètement monotone si pour tous entiers naturels p et n on a
(-1)^p (\Delta^p u)_n > 0.
1. Soit f une fonction sur \mathbb{R}_+ à valeurs réelles et indéfiniment dérivable. On considère la suite de terme général u_n = f(n).
1. a) Montrer que pour tout entier p \geq 1 et tout entier n, il existe un réel x dans l'intervalle ]n, n + p[ tel que
(\Delta^p u)_n = f^{(p)}(x).
On pourra raisonner par récurrence en considérant la fonction g(x) = f(x + 1) - f(x) et la suite de terme général v_n = g(n).
1. b) On considère la suite de terme général a_n = \dfrac{1}{n + 1}. Montrer que (a_n)_{n \in \mathbb{N}} est complètement monotone.

2. a) Démontrer que pour tout p \geq 1, on a
(\Delta^p u)_n = \displaystyle \sum_{k=0}^p (-1)^{p-k} \left( \begin{array}{c} p\\k \end{array} \right) u_{n+k}.
2. b) Soit b \in ]0, 1[. On considère la suite de terme général b_n = b^n. Calculer (\Delta^p b)_n pour tous les entiers naturels n et p et en déduire que (b_n)_{n \in \mazthbb{N}} est complètement monotone.

Soit \omega une fonction continue et positive sur [0, 1], non identiquement nulle. Jusqu'à la fin de la première partie, on considère la suite de terme général u_n = \displaystyle \int_0^1 t^n \omega(t) dt.

3. a) Montrer que la série de terme général (-1)^k u_k converge et que
\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} (-1)^k u_k = \int_0^1 \dfrac{\omega(t)}{1 + t} dt.
3. b) Montrer que la suite (u_n)_{n \in \mathbb{N}} est complètement monotone.
3. c) Démontrer que
\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} (-1)^k u_k = \dfrac{1}{2} \sum_{p=0}^{+\infty} \int_0^1 \left( \dfrac{1 - t}{2} \right)^p \omega(t) dt.
3. d) En déduire que l'on a
\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} (-1)^k u_k = \sum_{p=0}^{+\infty} \dfrac{(-1)^p}{2^{p+1}} (\Delta^p u)_0.

4. Déduire des questions précédentes que
\ln 2 = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{(-1)^n}{n + 1} = \sum_{p=0}^{+\infty} \dfrac{1}{(p + 1)2^{p+1}}.

5. On pose \mathfrak{E}_n = \dfrac{1}{2} \displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} \int_0^1 \left( \dfrac{1 - t}{2} \right)^k \omega(t) dt.
5. a) Montrer que \mathfrak{E}_n = \displaystyle \sum_{p=0}^n \dfrac{(-1)^p}{2^{p+1}} (\Delta^p u)_0.
5. b) On pose S = \displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} (-1)^k u_k. Montrer que |S - \mathfrak{E}_n| \leq \dfrac{S}{2^{n+1}}.


Deuxième partie : Transformée d'Euler

Dans cette partie, on se donne une suite (u_n)_{n \in \mathbb{N}} telle que la série de terme général (-1)^n u_n soit convergente, et l'on note S sa somme. On ne suppose aucune autre propriété particulière de cette suite (u_n)_{n \in \mathbb{N}}. Le but est de démontrer que
S = \displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} (-1)^k u_k = \displaystyle \sum_{p=0}^{+\infty} \dfrac{(-1)^p}{2^{p+1}} (\Delta^p u)_0.
On dit que la série \displaystyle \sum \dfrac{(-1)^p}{2^{p+1}} (\Delta^p u)_0 est la transformée d'Euler de la série \displaystyle \sum (-1)^k u_k.

6. a) Montrer que pour tout p \in \mathbb{N}, on a \displaystyle \lim_{n \to \infty} (\Delta^p u)_n = 0.
6. b) Montrer que pour toute suite (r_n)_{n \in \mathbb{N}} de limite nulle, on a \displaystyle \lim_{p \to \infty} \dfrac{1}{2^p} \sum_{k=0}^p \begin{array}{c} p\\k \end{array} r_k = 0.

7. a) Montrer que pour tout n \in \mathbb{N}, on a
u_n = \displaystyle \sum_{p=0}^{+\infty} \left( \dfrac{(-1)^p}{2^p} (\Delta^p u)_n - \dfrac{(-1)^{p+1}}{2^{p+1}} (\Delta^{p+1} u)_n \right).
7. b) Montrer que pour tout p \in \mathbb{N}, on a
\dfrac{(-1)^p}{2^{p+1}} (\Delta^p u))0 = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \left( \dfrac{(-1)^p}{2^p} (\Delta^p u)_n - \dfrac{(-1)^{p+1}}{2^{p+1}} (\Delta^{p+1}u)_n \right).


8. a) On pose E_n = \displaystyle \sum_{p=0}^n \dfrac{(-1)^p}{2^{p+1}} (\Delta^p u)_0. Montrer que
E_n - S = - \dfrac{1}{2^{n+1}} \displaystyle \sum_{p=0}^{n+1} \left( \begin{array}{c} n + 1\\p \end{array} \right) \left( \displaystyle \sum_{k \geq p} (-1)^k u_k \right).
8. b) Conclure.


Troisième partie : une amélioration de la méthode

Dans cette partie, comme dans la question 3, on se donne une fonction \omega continue et positive sur [0, 1], non identiquement nulle. On considère la suite de terme général u_n = \displaystyle \int_0^1 t^n \omega(t) dt et on pose
S = \displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} (-1)^k u_k.
On se donne aussi une suite de polynômes à coefficients réels (P_n)_{n \in \mathbb{N}} telle que pour tout n, \; P_n(-1) \neq 0. Pour tout n \in \mathbb{N}, on pose
T_n = \dfrac{1}{P_n(-1)} \displaystyle \int_0^1 \dfrac{P_n(-1) - P_n(t)}{1 + t} \omega(t) dt.

9. a) Montrer que S - T_n = \displaystyle \int_0^1 \dfrac{P_n(t)}{P_n(-1)(1 + t)} \omega(t) dt.
9. b) En déduire que |S - T_n| \leq \dfrac{S M_n}{|P_n(-1)|}M_n = \underset{t \in [0,1]}{\text{sup}} |Pn(t)|.

10. Dans cette question, on choisit comme suite de polynômes P_n(x) = (1 - x)^n. Donner une majoration explicite de |S - T_n|, en fonction de S et n.

11. Dans cette question, on choisit comme suite de polynômes P_n(x) = (1 - 2x)^n. Donner une majoration explicite de |S - T_n|, en fonction de S et n.

12. a) Démontrer l'existence et l'unicité d'une suite de polynômes (P_n)_{n \in \mathbb{N}} vérifiant les conditions suivantes : pour tout n \in \mathbb{N}, pour tout t \in \mathbb{R},
\deg P_n = n, \; P_n(\sin^2 t) = \cos(2nt)
12. b) Calculer P_n(-1) pour tout n \in \mathbb{N}.
12. c) Donner une majoration explicite de |S - T_n|.


Quatrième partie : comparaison des méthodes sur un exemple

Dans cette partie, u_n = \dfrac{1}{n + 1}, \; S = \displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} (-1)^k u_k, \; S_n = \displaystyle \sum_{k=0}^n (-1)^k u_k, \; E_n = \displaystyle \sum_{k=0}^n \dfrac{1}{(k + 1)2^{k+1}} et T_n = \dfrac{1}{P_n(-1)} \displaystyle \int_0^1 \dfrac{P_n(-1) - P_n(t)}{1 + t} dt, où les P_n sont les polynômes de la question 12.

13. Donner un équivalent de S - S_n et de S - E_n. Comparez la vitesse de convergence de T_n avec celle de S_n et E_n. Donner un équivalent de S - T_n.
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