Fiche de mathématiques
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ÉCOLE POLYTECHNIQUE
ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2013
Filière MP

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Composition de mathématiques A - (XLC)
(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
On se propose d'étudier des algèbres d'endomorphismes remarquables d'espaces vectoriels de dimension infinie.

Préambule


Une racine n-ième de l'unité est dite primitive si elle engendre le groupe des racines n-ièmes de l'unité.

Dans le problème, tous les espaces vectoriels ont pour corps de base le corps des nombres complexes \mathbb{C}. Si \mathcal{E} est un espace vectoriel, l'algèbre des endomorphismes de \mathcal{E} est noté \mathcal{L}(\mathcal{E}) et le groupe des automorphismes de \mathcal{E} est noté \text{GL}(\mathcal{E}). On note \text{Id}_{\mathcal{E}} l'application identité de \mathcal{E}. Si u\in\mathcal{L}(\mathcal{E}), on note \mathbb{C}[ u] la sous-algèbre \lbrace P(u) | P\in\mathbb{C}[X]\rbrace de \mathcal{L}(\mathcal{E}) des polynômes en u.

On note \mathbb{C}^{\mathbb{Z}} l'espace vectoriel des fonctions de \mathbb{Z} dans \mathbb{C}. Si f est une fonction de \mathbb{Z} dans  \mathbb{C}, on note \text{Supp}(f) l'ensemble des k\in\mathbb{Z} tels que f(k)\neq0. On appelle cet ensemble le support de f. Dans tout le problème, V désigne l'ensemble des fonctions de \mathbb{Z} dans  \mathbb{C} dont le support est un ensemble fini.


I - Opérateurs sur les fonctions à support fini


1. a. Montrer que V est un sous-espace vectoriel de \mathbb{C}^{\mathbb{Z}}. Étant donné f\in\mathbb{C}^{\mathbb{Z}}, on définit E(f)\in\mathbb{C}^{\mathbb{Z}} par E(f)(k)=f(k+1),\ k\in\mathbb{Z}.

1. b. Montrer que E\in\mathcal{L}(\mathbb{C}^{\mathbb{Z}}) et que V est stable par E.

Dans la suite, E désignera uniquement l'endomorphisme de V induit.

2. Montrer que E\in\text{GL}(V).

3. Pour i\in\mathbb{Z}, on définit v_i dans \mathbb{C}^{\mathbb{Z}} par
v_i(k)=\left\lbrace\begin{array}{l}1\ \text{si}\ k=i,\\0\ \text{si}\ k\neq i.\end{array}\right.

3. a. Montrer que la famille \lbrace v_i\rbrace_{i\in\mathbb{Z}} une base de V.

3. b. Calculer E(v_i).

Soient \lambda,\mu\in\mathbb{C}^{\mathbb{Z}}. On définit les applications linéaires F, H\in\mathcal{L}(V) respectivement par
H(v_i)=\lambda(i)v_i\qquad \text{et}\qquad F(v_i)=\mu(i)v_{i+1},\qquad i\in \mathbb{Z}.


4. Montrer que H\circ E=E\circ H+2E si et seulement si pour tout i\in\mathbb{Z},\ \lambda(i)=\lambda(0)-2i.

Dans la suite de cette partie I (mais pas dans les parties suivantes), on suppose que les conditions de la question 4 sont vérifiées.

5. Montrer que E\circ F=F\circ E+H si et seulement si pour tout i\in\mathbb{Z},\ \mu(i)=\mu(0)+I(\lambda(0)-1)-i^2.

6. a. Montrer que pour f\in V, l'espace vectoriel engendré par les H^n(f),\ n\in\mathbb{N}, est de dimension finie.

6. b. En déduire qu'un sous-espace non réduit à \lbrace0\rbrace de V, stable par H, contient au moins un des v_i.

Dans la suite de cette partie I (mais pas dans les parties suivantes), on suppose que les conditions de la question 5 sont vérifiées et que \lambda(0)=0,\ \mu(0)=1.

7. a. Montrer que F\in\text{GL}(V).

7. b. Montrer que E et F ne sont pas d'ordre fini dans le groupe \text{GL}(V).

7. c. Calculer le noyau de H et montrer que H^r\neq\text{Id}_V pour r\ge1.

8. On note \mathbb{C}[X] l'algèbre des polynômes à coefficients complexes en une indéterminée X.

8. a. Montrer que \mathbb{C}[E] est isomorphe (en tant qu'algèbre) à \mathbb{C}[X].

8. b. Montrer que \mathbb{C}[F] est isomorphe (en tant qu'algèbre) à \mathbb{C}[X].

8. c. Montrer que \mathbb{C}[H] est isomorphe (en tant qu'algèbre) à \mathbb{C}[X].



II - Intermède


Dans toute la suite du problème, on fixe un entier impair \ell \ge 3 et q une racine primitive \ell-ième de l'unité.

9. Montrer que q^2 est une racine primitive \ell-ième de l'unité.

Soient W_{\ell} =\displaystyle\bigoplus_{0\le i< \ell}\mathbb{C}v_i et a\in\mathbb{C}^*.

10. On considère l'élément G_a de \mathcal{L}(W_{\ell}) dont la matrice dans la base \lbrace v_i\rbrace _{0\le i< \ell} est :
\begin{pmatrix}0&0&0&\cdots&0&a\\1&0&0&\cdots&0&0\\0&1&0&\cdots&0&0\\\vdots&0&\ddots&\ddots& \vdots&\vdots\\0&\vdots&\ddots&\ddots&0&0\\0&0&\cdots&0&1&0\end{pmatrix}

10. a. Calculer G_a^{\ell}. Montrer que G_a est diagonalisable.

10. b. Soit b une racine \ell-ième de a. Calculer les vecteurs propres de G_a et les valeurs propres associées en fonction de b,\ q et des v_i.

On définit une application linéaire P_a:V \rightarrow V par P_a(v_i)=a^pv_ri\in\mathbb{Z}, on définit r et p respectivement comme le reste et le quotient de la division euclidienne de i par \ell ; autrement dit, i=p \ell+r0\le r< \ell et p\in\mathbb{Z}.

11. Montrer que P_a est un projecteur d'image W_{\ell}.



III - Opérateurs quantiques


12. Montrer que H\circ E=q^2 E\circ H si et seulement si pour tout i\in\mathbb{Z},\ \lambda(i) =\lambda(0)q^{-2i}.

Dans la suite du problème, on suppose que les conditions de la question 12 sont vérifiées et que \lambda(0)\neq0.

13. Montrer que H\in GL(V).

14. Montrer que E\circ F=F\circ E+H-H^{-1} si et seulement si
pour tout i\in\mathbb{Z},\ \mu(i)=\mu(i-1)+\lambda(0)q^{-2i}-\lambda(0)^{-1}q^{2i}.

Dans la suite du problème, on suppose que les conditions de la question 14 sont vérifiées.

15. a. Montrer que \lambda et \mu sont périodiques sur \mathbb{Z}, de périodes divisant \ell.

15. b. Montrer que la période de \lambda est égale à \ell.

15. c. Montrer que la période de \mu est aussi égale à \ell.

16. Soit C=(q-q^{-1})E\circ F+q^{-1}H+qH^{-1} avec H^{-1} l'inverse de H.

16. a. Montrer que C=(q-q^{-1})F\circ E+qH+q^{-1}H^{-1}.

16. b. Pour i\in\mathbb{Z}, montrer que v_i est un vecteur propre de C.

16. c. En déduire que C est une homothétie de V dont on calculera le rapport R(\lambda(0),\mu(0),q) en fonction de \lambda(0),\ \mu(0) et q.

16. d. On fixe q et \lambda(0). Montrer que l'application \mu(0)\mapsto R(\lambda(0), \mu(0),q) est une bijection de \mathbb{C} sur \mathbb{C}.

16. e. On fixe q et \mu(0). Montrer que l'application \lambda(0)\mapsto R(\lambda(0), \mu(0),q) est une surjection de \mathbb{C}^* sur \mathbb{C} mais pas une bijection.



IV - Opérateurs quantiques modulaires


Soient \ell, W_{\ell},a,P_a comme dans la partie II. On dit qu'un élément \phi de \mathcal{L}(V) est compatible avec P_a si P_a\circ\phi\circ P_a=P_a\circ\phi.

17. a. Montrer que si \phi\in\mathcal{L}(V) commute avec P_a, alors \phi est compatible avec P_a.

17. b. Montrer que H et H^{-1} sont compatibles avec P_a.

Soit \mathcal{U}_q l'ensemble des endomorphismes \phi\in\mathcal{L}(V) qui sont compatibles avec P_a.

18. Montrer que \mathcal{U}_q est une sous-algèbre de \mathcal{L}(V).

19. Montrer que E\in\mathcal{U}_q et F\in\mathcal{U}_q.

20. a. Montrer qu'il existe un unique morphisme d'algèbres \Psi_a:\mathcal{U}_q\rightarrow\mathcal{L}(W_{\ell}) tel que
\forall\phi\in\mathcal{U}_q,\ \Psi_a(\phi)\circ P_a=P_a\circ\phi.

20. b. Montrer que \phi\in\mathcal{U}_q est contenue dans le noyau de \Psi_a si et seulement si l'image de \phi est dans le sous-espace de V engendré par les vecteurs v_i-a^pv_r,\ i\in\mathbb{Z}, où i=p \ell+r est la division euclidienne de i par \ell.

21. On étudie dans cette question \Psi_a(E).

21. a. Déterminer \Psi_a(E)(v_0).

21. b. En déduire \Psi_a(E^{\ell}).

21. c. Calculer la dimension du sous-espace vectoriel \mathbb{C}[\Psi_a(E)].

21. d. Calculer les vecteurs propres de \Psi_a(E).

22. Soit W un sous-espace non nul de W_{\ell} stable par \Psi_a(H).

22. a. Montrer que W contient au moins un des vecteurs v_i.

22. b. Que dire si W est de plus stable par \Psi_a(E) ?

23. Donner une condition nécessaire et suffisante sur R(\lambda(0),\mu(0),q) pour que l'opérateur \Psi_a(F) soit nilpotent.
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