ÉCOLE POLYTECHNIQUE
CONCOURS D'ADMISSION 2013
Filière MP
Composition de mathématiques B - (X)
(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
Exposant de Hölder ponctuel d'une fonction continue
désigne l'ensemble des entiers naturels et
celui des nombres réels.
On note
l'espace vectoriel réel des fonctions continues définies sur l'intervalle compact
et à valeurs dans
.
Cet espace est muni de la norme
définie pour tout
, par
.
On note
le sous-espace de
formé par les fonctions
telles que
.
est la fonction définie pour
, par
, où
est le logarithme népérien.
Première partie : définition de l'exposant de Hölder ponctuel
Soit
. Pour tout
, on désigne par
le sous-ensemble de
formé par les fonctions
qui vérifient :
.
1. a. Montrer que
est un sous-espace vectoriel de
, puis que,
pour tous réels
et
vérifiant
, l'on a
. Enfin, déterminer
.
1. b. Soit
. Si
est dérivable en
, montrer que
pour tout
.
1. c. Montrer que pour tout
, il existe
non dérivable en
tel que pour tout
.
Pour tout
et tout
, on pose
. Le réel
est appelé
exposant de Hölder ponctuel de en ; il permet de mesurer finement la régularité locale de
au voisinage du point
.
2. Soit
. Déterminer l'exposant de Hölder ponctuel de
en
.
Pour tout
, on définit la fonction
, par
et
.
3. a. Montrer que
est croissante, et continue en 0.
3. b. Montrer que pour tous
tels que
vérifie
.
3. c. En déduire que
est continue sur
.
4. a. Soit
. On suppose que la fonction
est bornée sur
.
Pour tout
, montrer que
.
4. b. Soit
définie par
Montrer que pour tout
, mais que
ne tend pas vers 0 quand
tend vers 0.
Deuxième partie : le système de Schauder
On note
; pour
, on désigne par
l'ensemble
.
Pour tout
, soit
la fonction de
,
définie pour tout
par
La famille des fonctions
est appelée
le système de Schauder.
On note
la partie entière du réel
, c'est donc l'unique entier tel que
.
5. a. Montrer que pour tout
et tout
, il existe un unique entier
tel que
. On précisera le lien entre
et
.
5. b. Calculer
pour tous
.
5. c. Montrer que pour tout
, la fonction
est continue, affine sur chaque intervalle de la forme
où
et
.
5. d. Prouver que pour tous
et
, on a
.
Dans le reste de cette partie
est un élément de
.
Pour tout
, soit
la fonction de
définie par
,
où, pour tout
, on a posé
.
6. Montrer que
.
7. a. Pour tout
, calculer
.
7. b. Soit
une famille de réels indexée par
. On note
,
et on suppose que la série
est convergente.
Pour tout
, soit
la fonction définie par
.
Montrer que la série
est uniformément convergente sur
vers une fonction
noté
, qui appartient à
et qui vérifie, pour tout
.
8. a. On suppose
de classe
. Montrer qu'il existe une constante
telle que pour tous
.
En déduire que la suite de fonction
est uniformément convergente sur
lorsque
tend vers
.
8. b. On suppose
de classe
. Montrer qu'il existe une constante
telle que pour tous
.
9. a. Montrer que pour tout
et tout
, la fonction
est affine sur l'intervalle
.
9. b. Soit
. On suppose que pour tout
.
Montrer que l'on a aussi que pour tout
.
On pourra distinguer les cas suivant la parité de
.
9. c. En déduire que pour tout
et tout
.
10. a. Déduire de la question
9 que pour tout
de
,
.
10. b. Soit
. Montrer que
est un projecteur sur
, dont la norme subordonnée (à
vaut 1.
11. a. Soit
. Montrer que si
, alors
.
11. b. Montrer que si
, alors il existe un réel
, tel que pour tout
, on a,
.
Troisième partie : minoration de l'exposant de Hölder ponctuel
L'objectif de cette partie est d'établir une forme de réciproque du résultat de la question
11.b. Dans toute cette partie, on désigne par
une fonction vérifiant la propriété suivante :
il existe
et
, tels que pour tout
,
.
Dans tout le reste de cette partie, on fixe les
et
de la propriété
et
.
12. Montrer qu'il existe un unique
tel que
.
13. On rappelle que la notation
a été introduite en préambule de la deuxième partie.
On pose
Montrer que
14. a. Montrer que pour
(
est déterminé dans la question
12), on a
14. b. En déduire que, en posant
15. Montrer que pour tout
. En déduire, en posant
Dans la suite du problème, on suppose que
et on rappelle que la fonction
a été définie à la question
3.
16. Montrer qu'il existe un unique
tel que
17. Montrer que pour tout
, où
est déterminé dans la question
16, on a
On pourra utiliser les résultats des questions
9.a et
9.c.
18. a. Montrer que lorsque
, on a,
On suppose de plus dans la suite que la fonction
vérifie la propriété suivante :
pour tout entier
,
il existe un réel
, tel que pour tout
,
18. b. Pour tout entier
, on pose
. Montrer que
et en déduire
19. Déduire de ce qui précède que
On pourra distinguer les cas
et