Fiche de mathématiques
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ÉCOLE POLYTECHNIQUE

CONCOURS D'ADMISSION 2013
Filière MP

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Composition de mathématiques B - (X)
(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Exposant de Hölder ponctuel d'une fonction continue


\mathbb{N} désigne l'ensemble des entiers naturels et \mathbb{R} celui des nombres réels.
On note \mathcal{C} l'espace vectoriel réel des fonctions continues définies sur l'intervalle compact [0,1] et à valeurs dans \mathbb{R}. Cet espace est muni de la norme ||.||_{\infty} définie pour tout f \in \mathcal{C}, par ||f||_{\infty}=\displaystyle\sup_{x\in[0,1]}|f(x)|.
On note \mathcal{C}_0 le sous-espace de \mathcal{C} formé par les fonctions f telles que f(0)=f(1)=0.
\log_2 est la fonction définie pour t\in]0,+\infty[, par \log_2t=\cfrac{\ln t}{\ln2}, où \ln est le logarithme népérien.


Première partie : définition de l'exposant de Hölder ponctuel


Soit x_0\in[0,1]. Pour tout s\in[0,1[, on désigne par \Gamma^s(x_0) le sous-ensemble de \mathcal{C} formé par les fonctions f qui vérifient :
\displaystyle\sup_{x\in[0,1]\backslash\lbrace x_0\rbrace}\cfrac{|f(x)-f(x_0)|}{|x-x_0|^s}<+\infty.


1. a. Montrer que \Gamma^s(x_0) est un sous-espace vectoriel de \mathcal{C}, puis que, pour tous réels s_1 et s_2 vérifiant 0\le s_1\le s_2<1, l'on a \Gamma^{s_2}(x_0) \subset \Gamma^{s_1}(x_0). Enfin, déterminer \Gamma^0(x_0).

1. b. Soit f\in\mathcal{C}. Si f est dérivable en x_0, montrer que f \in \Gamma^s (x_0) pour tout s\in[0,1[.

1. c. Montrer que pour tout x_0 \in ]0,1[, il existe f\in\mathcal{C} non dérivable en x_0 tel que pour tout s\in[0,1[,\ f\in\Gamma^s(x_0).

Pour tout f\in\mathcal{C} et tout x_0\in[0,1], on pose \alpha_f(x_0)=\sup\lbrace s\in[0,1[\ |f \in \Gamma^s(x_0)\rbrace. Le réel \alpha_f(x_0) est appelé exposant de Hölder ponctuel de f en x_0 ; il permet de mesurer finement la régularité locale de f au voisinage du point x_0.

2. Soit p:[0,1]\rightarrow\mathbb{R},\ x\mapsto\sqrt{|1-4x^2|}. Déterminer l'exposant de Hölder ponctuel de p en \cfrac{1}{2}.

Pour tout f\in\mathcal{C}, on définit la fonction \omega_f:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}_+, par \omega_f(h)=\sup\lbrace|f(x)-f(y) |\ |x,y\in[0,1] et |x-y|\le h\rbrace.

3. a. Montrer que \omega_f est croissante, et continue en 0.

3. b. Montrer que pour tous h,h'\in[0,1] tels que h\le h',\ \omega_f vérifie \omega_f(h') \le\omega_f(h)\le\omega_f(h)+\omega_f(h'-h).

3. c. En déduire que \omega_f est continue sur [0,1].

4. a. Soit s\in[0,1[. On suppose que la fonction h\mapsto\cfrac{\omega_f(h)}{h^s} est bornée sur ]0,1]. Pour tout x_0\in[0,1], montrer que f\in\Gamma^s(x_0).

4. b. Soit q:[0,1]\rightarrow\mathbb{R} définie par \left\lbrace\begin{array}{l}q(x)=x\cos\left(\cfrac{\pi}{x}\right)\ \text{pour}\ x>0,\\q(0)=0.\end{array}\right.
Montrer que pour tout x_0\in[0,1],\ \alpha_q(x_0)=1, mais que \cfrac{\omega_q(h)}{\sqrt{h}} ne tend pas vers 0 quand h tend vers 0.


Deuxième partie : le système de Schauder


On note \mathcal{I}=\lbrace(j,k)\in\mathbb{N}^2|j\in\mathbb{N}\ \text{et}\ 0\le k<2^j\rbrace ; pour j\in \mathbb{N}, on désigne par T_j l'ensemble
T_j=\lbrace k\in\mathbb{N}|0\le k<2^j\rbrace.
Pour tout (j,k)\in\mathcal{I}, soit \theta_{j,k}:[0,1]\rightarrow[0,1] la fonction de \mathcal{C}_0, définie pour tout x\in[0,1] par
\theta_{j,k}(x)=\left\lbrace\begin{array}{l}1-|2^{j+1}x-2k-1|\ \text{si}\ x\in [k2^{-j},(k+1)2^{-j}],\\0\ \text{sinon}.\end{array}\right.
La famille des fonctions (\theta_{j,k})_{(j,k)\in\mathcal{I}} est appelée le système de Schauder.
On note \tilde{k}_j(x) la partie entière du réel 2^jx, c'est donc l'unique entier tel que \tilde{k}_j(x) \le2^jx<\tilde{k}_j(x)+1.

5. a. Montrer que pour tout j\in\mathbb{N} et tout k\in\mathcal{T}_{j+1}, il existe un unique entier k'\in\mathcal{T}_j tel que
[k2^{-j-1},(k+1)2^{-j-1}]\subset[k'2^{-j},(k'+1)2^{-j}]. On précisera le lien entre k et k'.

5. b. Calculer \theta_{j,k}(\ell 2^{-j-1}) pour tous j\in\mathbb{N},\ k\in\mathcal{T}_j,\ \ell \in \mathcal{T}_{j+1}.

5. c. Montrer que pour tout (j,k)\in\mathcal{I}, la fonction \theta_{j,k} est continue, affine sur chaque intervalle de la forme [\ell 2^{-n};(\ell + 1)2^{-n}]n > j et \ell \in \mathcal{T}_n.

5. d. Prouver que pour tous (j,k)\in\mathcal{I} et (x,y)\in[0,1]^2, on a |\theta_{j,k}(x)-\theta_{j,k}(y)|\le2^{j+1}|x-y|.

Dans le reste de cette partie f est un élément de \mathcal{C}_0.
Pour tout n\in\mathbb{N}, soit S_nf la fonction de \mathcal{C}_0 définie par S_nf=\displaystyle \sum_{j=0}^n\sum_{k\in\mathcal{T}_j}c_{j,k}(f)\theta_{j,k}, où, pour tout (j,k)\in\mathcal{I}, on a posé c_{j,k}(f)= f\left(\left(k+\cfrac{1}{2}\right)2^{-j}\right)-\cfrac{f(k2^{-j})+f((k+1)2^{-j})}{2}.

6. Montrer que \displaystyle\lim_{j\to+\infty}\max_{k\in\mathcal{T}_j}|c_{j,k}(f)|=0.

7. a. Pour tout (j,k)\in\mathcal{I},\ (i, \ell) \in\mathcal{I}, calculer c_{j,k}(\theta_{i, \ell}).

7. b. Soit a_{j,k} une famille de réels indexée par (j,k) \in \mathcal{I}. On note b_j= \displaystyle\max_{k\in\mathcal{T}_j}|a_{j,k}|, et on suppose que la série \sum b_j est convergente.
Pour tout j\in\mathbb{N}, soit f_j^a la fonction définie par f_j^a(x)=\displaystyle\sum_{k\in\mathcal{T}_j}a_{j,k}\theta_{j,k}(x).
Montrer que la série \sum f_j^a est uniformément convergente sur [0,1] vers une fonction noté f^a, qui appartient à \mathcal{C}_0 et qui vérifie, pour tout (j,k)\in\mathcal{I},\ c_{j,k}(f^a)=a_{j,k}.

8. a. On suppose f de classe \mathcal{C}^1. Montrer qu'il existe une constante M\ge0 telle que pour tous
(j,k)\in\mathcal{I},\ |c_{j,k}(f)|\le M2^{-j}.
En déduire que la suite de fonction S_nf est uniformément convergente sur [0,1] lorsque n tend vers \infty.

8. b. On suppose f de classe \mathcal{C}^2. Montrer qu'il existe une constante M'\ge0 telle que pour tous
(j,k)\in\mathcal{I},\ |c_{j,k}(f)|\le M'4^{-j}.

9. a. Montrer que pour tout n\in\mathbb{N} et tout \ell \in \mathcal{T}_{n+1}, la fonction S_nf est affine sur l'intervalle
[\ell 2^{-n-1},(\ell + 1)2^{-n-1}].

9. b. Soit n\in\mathbb{N}. On suppose que pour tout \ell \in \mathcal{T}_n,\ (S_{n-1}f)(\ell 2^{-n}) = f(\ell 2^{-n}). Montrer que l'on a aussi que pour tout \ell \in \mathcal{T}_{n+1},\ (S_nf)(\ell 2^{-n-1}) = f( \ell 2^{-n-1}).
On pourra distinguer les cas suivant la parité de \ell.

9. c. En déduire que pour tout n\in\mathbb{N} et tout \ell \in \mathcal{T}_{n+1},\ (S_nf)(\ell 2^{-n-1}) = f(\ell 2^{-n-1}).

10. a. Déduire de la question 9 que pour tout f de \mathcal{C}_0, \displaystyle \lim_{n\to+\infty}||f-S_nf||_{\infty}=0.

10. b. Soit n\in\mathbb{N}. Montrer que S_n est un projecteur sur \mathcal{C}_0, dont la norme subordonnée (à ||.||_{\infty}) vaut 1.

11. a. Soit s\in]0,1[. Montrer que si a,b\ge0, alors a^s+b^s\le2^{1-s}(a+b)^s.

11. b. Montrer que si f\in\Gamma^s(x_0)\cap\mathcal{C}_0, alors il existe un réel c_1>0, tel que pour tout (j,k)\in\mathcal{I}, on a, |c_{j,k}(f)|\le c_1(2^{-j}+|k2^{-j}-x_0|)^s.


Troisième partie : minoration de l'exposant de Hölder ponctuel


L'objectif de cette partie est d'établir une forme de réciproque du résultat de la question 11.b. Dans toute cette partie, on désigne par f\in\mathcal{C}_0 une fonction vérifiant la propriété suivante : (\mathcal{P}_1) il existe x_0\in[0,1],\ s\in]0,1[ et c_1\in]0,+\infty[, tels que pour tout (j,k)\in \mathcal{I}, |c_{j,k}(f)|\le c_1(2^{-j}+|k2^{-j}-x_0|)^s.

Dans tout le reste de cette partie, on fixe les x_0,\ s et c_1 de la propriété \mathcal{P}_1 et x\in[0,1]\backslash\lbrace x_0\rbrace.

12. Montrer qu'il existe un unique n_0\in\mathbb{N} tel que 2^{-n_0-1}<|x-x_0|\le 2^{-n_0}.

13. On rappelle que la notation \tilde{k}_j(x) a été introduite en préambule de la deuxième partie.
On pose W_j=\displaystyle\sum_{k\in\mathcal{T}_j}|c_{j,k}(f)||\theta_{j,k}(x)-\theta_{j,k}(x_0)|.
Montrer que W_j\le(|c_{j,\tilde{k}_j(x)}(f)|+|c_{j,\tilde{k}_j(x_0)}(f)|)2^{j+1}|x-x_0|.

14. a. Montrer que pour j\le n_0 (n_0 est déterminé dans la question 12), on a W_j\le4c_12^{(1-s)j}3^s|x-x_0|.

14. b. En déduire que, en posant c_2=8(2^{1-s}-1)^{-1}(3/2)^sc_1,\ \displaystyle\sum_{j=0}^{n_0}\sum_{k\in\mathcal{T}_j}|c_{j,k}(f)||\theta_{j,k}(x)-\theta_{j,k}(x_0)|\le c_2|x-x_0|^s.

15. Montrer que pour tout j\in\mathbb{N},\ |c_{j,\tilde{k}_j(x_0)}(f)|\le2^{s(1-j)}c_1. En déduire, en posant
c_3=(1-2^{-s})^{-1}2^sc_1,\ \displaystyle\sum_{j=n_0+1}^{+\infty}\sum_{k\in\mathcal{T}_j}|c_{j,k}(f)||\theta_{j,k}(x_0)|\le c_3|x-x_0|^s.

Dans la suite du problème, on suppose que ||f||_{\infty}=1 et on rappelle que la fonction \omega_f a été définie à la question 3.

16. Montrer qu'il existe un unique n_1\in\mathbb{N} tel que \omega_f(2^{-n_1-1})< 2^{-n_0s}\le\omega_f(2^{-n_1}).

17. Montrer que pour tout n\ge n_1, où n_1 est déterminé dans la question 16, on a ||f-S_nf||_{\infty}\le2^{s+1}|x-x_0|^s.
On pourra utiliser les résultats des questions 9.a et 9.c.

18. a. Montrer que lorsque n_0<n_1, on a, \displaystyle\sum_{j=n_0+1}^{n_1} \sum_{k\in\mathcal{T}_j}|c_{j,k}(f)||\theta_{j,k}(x)|\le c_13^s(n_1-n_0)|x-x_0|^s.

On suppose de plus dans la suite que la fonction \omega_f vérifie la propriété suivante : (\mathcal{P}_2) pour tout entier N\ge1, il existe un réel c_4(N)>0, tel que pour tout h\in]0,1], \omega_f(h)\le c_4(N)(1+|\log_2h|)^{-N}.

18. b. Pour tout entier N\ge1, on pose c_5(N)=3^sc_1(c_4(N))^{\frac{1}{N}}. Montrer que n_1-n_0\le n_1+1\le\left(\cfrac{c_4(N)}{\omega_f(2^{-n_1})}\right)^{\frac{1}{N}} et en déduire \displaystyle\sum_{j=n_0+1}^{n_1}\sum_{k\in\mathcal{T}_j}|c_{j,k}(f)||\theta_{j,k}(x)|\le c_5(N)|x-x_0|^{(1-\frac{1}{N})s}.

19. Déduire de ce qui précède que \alpha_f(x_0)\ge s.
On pourra distinguer les cas n_0\ge n_1 et n_0<n_1.
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