Fiche de mathématiques

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE

CONCOURS D'ADMISSION 2013
Filière MP

Composition de mathématiques B - (X)
(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Exposant de Hölder ponctuel d'une fonction continue

$\mathbb{N}$ désigne l'ensemble des entiers naturels et $\mathbb{R}$ celui des nombres réels.
On note $\mathcal{C}$ l'espace vectoriel réel des fonctions continues définies sur l'intervalle compact $[0,1]$ et à valeurs dans $\mathbb{R}$ . Cet espace est muni de la norme $||.||_{\infty}$ définie pour tout $f \in \mathcal{C}$ , par $||f||_{\infty}=\displaystyle\sup_{x\in[0,1]}|f(x)|$ .
On note $\mathcal{C}_0$ le sous-espace de $\mathcal{C}$ formé par les fonctions $f$ telles que $f(0)=f(1)=0$ .
$\log_2$ est la fonction définie pour $t\in]0,+\infty[$ , par $\log_2t=\cfrac{\ln t}{\ln2}$ , où $\ln$ est le logarithme népérien.

Première partie : définition de l'exposant de Hölder ponctuel

Soit $x_0\in[0,1]$ . Pour tout $s\in[0,1[$ , on désigne par $\Gamma^s(x_0)$ le sous-ensemble de $\mathcal{C}$ formé par les fonctions $f$ qui vérifient :
$\displaystyle\sup_{x\in[0,1]\backslash\lbrace x_0\rbrace}\cfrac{|f(x)-f(x_0)|}{|x-x_0|^s}<+\infty$ .

1. a. Montrer que $\Gamma^s(x_0)$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{C}$ , puis que, pour tous réels $s_1$ et $s_2$ vérifiant $0\le s_1\le s_2<1$ , l'on a $\Gamma^{s_2}(x_0) \subset \Gamma^{s_1}(x_0)$ . Enfin, déterminer $\Gamma^0(x_0)$ .

1. b. Soit $f\in\mathcal{C}$ . Si $f$ est dérivable en $x_0$ , montrer que $f \in \Gamma^s (x_0)$ pour tout $s\in[0,1[$ .

1. c. Montrer que pour tout $x_0 \in ]0,1[$ , il existe $f\in\mathcal{C}$ non dérivable en $x_0$ tel que pour tout $s\in[0,1[,\ f\in\Gamma^s(x_0)$ .

Pour tout $f\in\mathcal{C}$ et tout $x_0\in[0,1]$ , on pose $\alpha_f(x_0)=\sup\lbrace s\in[0,1[\ |f \in \Gamma^s(x_0)\rbrace$ . Le réel $\alpha_f(x_0)$ est appelé exposant de Hölder ponctuel de $f$ en $x_0$ ; il permet de mesurer finement la régularité locale de $f$ au voisinage du point $x_0$ .

2. Soit $p:[0,1]\rightarrow\mathbb{R},\ x\mapsto\sqrt{|1-4x^2|}$ . Déterminer l'exposant de Hölder ponctuel de $p$ en $\cfrac{1}{2}$ .

Pour tout $f\in\mathcal{C}$ , on définit la fonction $\omega_f:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}_+$ , par $\omega_f(h)=\sup\lbrace|f(x)-f(y) |\ |x,y\in[0,1]$ et $|x-y|\le h\rbrace$ .

3. a. Montrer que $\omega_f$ est croissante, et continue en 0.

3. b. Montrer que pour tous $h,h'\in[0,1]$ tels que $h\le h',\ \omega_f$ vérifie $\omega_f(h') \le\omega_f(h)\le\omega_f(h)+\omega_f(h'-h)$ .

3. c. En déduire que $\omega_f$ est continue sur $[0,1]$ .

4. a. Soit $s\in[0,1[$ . On suppose que la fonction $h\mapsto\cfrac{\omega_f(h)}{h^s}$ est bornée sur $]0,1]$ . Pour tout $x_0\in[0,1]$ , montrer que $f\in\Gamma^s(x_0)$ .

4. b. Soit $q:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}$ définie par $\left\lbrace\begin{array}{l}q(x)=x\cos\left(\cfrac{\pi}{x}\right)\ \text{pour}\ x>0,\\q(0)=0.\end{array}\right.$
Montrer que pour tout $x_0\in[0,1],\ \alpha_q(x_0)=1$ , mais que $\cfrac{\omega_q(h)}{\sqrt{h}}$ ne tend pas vers 0 quand $h$ tend vers 0.

Deuxième partie : le système de Schauder

On note $\mathcal{I}=\lbrace(j,k)\in\mathbb{N}^2|j\in\mathbb{N}\ \text{et}\ 0\le k<2^j\rbrace$ ; pour $j\in \mathbb{N}$ , on désigne par $T_j$ l'ensemble
$T_j=\lbrace k\in\mathbb{N}|0\le k<2^j\rbrace$ .
Pour tout $(j,k)\in\mathcal{I}$ , soit $\theta_{j,k}:[0,1]\rightarrow[0,1]$ la fonction de $\mathcal{C}_0$ , définie pour tout $x\in[0,1]$ par
$\theta_{j,k}(x)=\left\lbrace\begin{array}{l}1-|2^{j+1}x-2k-1|\ \text{si}\ x\in [k2^{-j},(k+1)2^{-j}],\\0\ \text{sinon}.\end{array}\right.$
La famille des fonctions $(\theta_{j,k})_{(j,k)\in\mathcal{I}}$ est appelée le système de Schauder.
On note $\tilde{k}_j(x)$ la partie entière du réel $2^jx$ , c'est donc l'unique entier tel que $\tilde{k}_j(x) \le2^jx<\tilde{k}_j(x)+1$ .

5. a. Montrer que pour tout $j\in\mathbb{N}$ et tout $k\in\mathcal{T}_{j+1}$ , il existe un unique entier $k'\in\mathcal{T}_j$ tel que
$[k2^{-j-1},(k+1)2^{-j-1}]\subset[k'2^{-j},(k'+1)2^{-j}]$ . On précisera le lien entre $k$ et $k'$ .

5. b. Calculer $\theta_{j,k}(\ell 2^{-j-1})$ pour tous $j\in\mathbb{N},\ k\in\mathcal{T}_j,\ \ell \in \mathcal{T}_{j+1}$ .

5. c. Montrer que pour tout $(j,k)\in\mathcal{I}$ , la fonction $\theta_{j,k}$ est continue, affine sur chaque intervalle de la forme $[\ell 2^{-n};(\ell + 1)2^{-n}]$ où $n > j$ et $\ell \in \mathcal{T}_n$ .

5. d. Prouver que pour tous $(j,k)\in\mathcal{I}$ et $(x,y)\in[0,1]^2$ , on a $|\theta_{j,k}(x)-\theta_{j,k}(y)|\le2^{j+1}|x-y|$ .

Dans le reste de cette partie $f$ est un élément de $\mathcal{C}_0$ .
Pour tout $n\in\mathbb{N}$ , soit $S_nf$ la fonction de $\mathcal{C}_0$ définie par $S_nf=\displaystyle \sum_{j=0}^n\sum_{k\in\mathcal{T}_j}c_{j,k}(f)\theta_{j,k}$ , où, pour tout $(j,k)\in\mathcal{I}$ , on a posé $c_{j,k}(f)= f\left(\left(k+\cfrac{1}{2}\right)2^{-j}\right)-\cfrac{f(k2^{-j})+f((k+1)2^{-j})}{2}$ .

6. Montrer que $\displaystyle\lim_{j\to+\infty}\max_{k\in\mathcal{T}_j}|c_{j,k}(f)|=0$ .

7. a. Pour tout $(j,k)\in\mathcal{I},\ (i, \ell) \in\mathcal{I}$ , calculer $c_{j,k}(\theta_{i, \ell})$ .

7. b. Soit $a_{j,k}$ une famille de réels indexée par $(j,k) \in \mathcal{I}$ . On note $b_j= \displaystyle\max_{k\in\mathcal{T}_j}|a_{j,k}|$ , et on suppose que la série $\sum b_j$ est convergente.
Pour tout $j\in\mathbb{N}$ , soit $f_j^a$ la fonction définie par $f_j^a(x)=\displaystyle\sum_{k\in\mathcal{T}_j}a_{j,k}\theta_{j,k}(x)$ .
Montrer que la série $\sum f_j^a$ est uniformément convergente sur $[0,1]$ vers une fonction noté $f^a$ , qui appartient à $\mathcal{C}_0$ et qui vérifie, pour tout $(j,k)\in\mathcal{I},\ c_{j,k}(f^a)=a_{j,k}$ .

8. a. On suppose $f$ de classe $\mathcal{C}^1$ . Montrer qu'il existe une constante $M\ge0$ telle que pour tous
$(j,k)\in\mathcal{I},\ |c_{j,k}(f)|\le M2^{-j}$ .
En déduire que la suite de fonction $S_nf$ est uniformément convergente sur $[0,1]$ lorsque $n$ tend vers $\infty$ .

8. b. On suppose $f$ de classe $\mathcal{C}^2$ . Montrer qu'il existe une constante $M'\ge0$ telle que pour tous
$(j,k)\in\mathcal{I},\ |c_{j,k}(f)|\le M'4^{-j}$ .

9. a. Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}$ et tout $\ell \in \mathcal{T}_{n+1}$ , la fonction $S_nf$ est affine sur l'intervalle
$[\ell 2^{-n-1},(\ell + 1)2^{-n-1}]$ .

9. b. Soit $n\in\mathbb{N}$ . On suppose que pour tout $\ell \in \mathcal{T}_n,\ (S_{n-1}f)(\ell 2^{-n}) = f(\ell 2^{-n})$ . Montrer que l'on a aussi que pour tout $\ell \in \mathcal{T}_{n+1},\ (S_nf)(\ell 2^{-n-1}) = f( \ell 2^{-n-1})$ .
On pourra distinguer les cas suivant la parité de $\ell$ .

9. c. En déduire que pour tout $n\in\mathbb{N}$ et tout $\ell \in \mathcal{T}_{n+1},\ (S_nf)(\ell 2^{-n-1}) = f(\ell 2^{-n-1})$ .

10. a. Déduire de la question 9 que pour tout $f$ de $\mathcal{C}_0$ , $\displaystyle \lim_{n\to+\infty}||f-S_nf||_{\infty}=0$ .

10. b. Soit $n\in\mathbb{N}$ . Montrer que $S_n$ est un projecteur sur $\mathcal{C}_0$ , dont la norme subordonnée (à $||.||_{\infty})$ vaut 1.

11. a. Soit $s\in]0,1[$ . Montrer que si $a,b\ge0$ , alors $a^s+b^s\le2^{1-s}(a+b)^s$ .

11. b. Montrer que si $f\in\Gamma^s(x_0)\cap\mathcal{C}_0$ , alors il existe un réel $c_1>0$ , tel que pour tout $(j,k)\in\mathcal{I}$ , on a, $|c_{j,k}(f)|\le c_1(2^{-j}+|k2^{-j}-x_0|)^s$ .

Troisième partie : minoration de l'exposant de Hölder ponctuel

L'objectif de cette partie est d'établir une forme de réciproque du résultat de la question 11.b. Dans toute cette partie, on désigne par $f\in\mathcal{C}_0$ une fonction vérifiant la propriété suivante : $(\mathcal{P}_1)$ il existe $x_0\in[0,1],\ s\in]0,1[$ et $c_1\in]0,+\infty[$ , tels que pour tout $(j,k)\in \mathcal{I}$ , $|c_{j,k}(f)|\le c_1(2^{-j}+|k2^{-j}-x_0|)^s$ .

Dans tout le reste de cette partie, on fixe les $x_0,\ s$ et $c_1$ de la propriété $\mathcal{P}_1$ et $x\in[0,1]\backslash\lbrace x_0\rbrace$ .

12. Montrer qu'il existe un unique $n_0\in\mathbb{N}$ tel que $2^{-n_0-1}<|x-x_0|\le 2^{-n_0}$ .

13. On rappelle que la notation $\tilde{k}_j(x)$ a été introduite en préambule de la deuxième partie.
On pose $W_j=\displaystyle\sum_{k\in\mathcal{T}_j}|c_{j,k}(f)||\theta_{j,k}(x)-\theta_{j,k}(x_0)|.$
Montrer que $W_j\le(|c_{j,\tilde{k}_j(x)}(f)|+|c_{j,\tilde{k}_j(x_0)}(f)|)2^{j+1}|x-x_0|.$

14. a. Montrer que pour $j\le n_0$ ( $n_0$ est déterminé dans la question 12), on a $W_j\le4c_12^{(1-s)j}3^s|x-x_0|.$

14. b. En déduire que, en posant $c_2=8(2^{1-s}-1)^{-1}(3/2)^sc_1,\ \displaystyle\sum_{j=0}^{n_0}\sum_{k\in\mathcal{T}_j}|c_{j,k}(f)||\theta_{j,k}(x)-\theta_{j,k}(x_0)|\le c_2|x-x_0|^s.$

15. Montrer que pour tout $j\in\mathbb{N},\ |c_{j,\tilde{k}_j(x_0)}(f)|\le2^{s(1-j)}c_1$ . En déduire, en posant
$c_3=(1-2^{-s})^{-1}2^sc_1,\ \displaystyle\sum_{j=n_0+1}^{+\infty}\sum_{k\in\mathcal{T}_j}|c_{j,k}(f)||\theta_{j,k}(x_0)|\le c_3|x-x_0|^s.$

Dans la suite du problème, on suppose que $||f||_{\infty}=1$ et on rappelle que la fonction $\omega_f$ a été définie à la question 3.

16. Montrer qu'il existe un unique $n_1\in\mathbb{N}$ tel que $\omega_f(2^{-n_1-1})< 2^{-n_0s}\le\omega_f(2^{-n_1}).$

17. Montrer que pour tout $n\ge n_1$ , où $n_1$ est déterminé dans la question 16, on a $||f-S_nf||_{\infty}\le2^{s+1}|x-x_0|^s.$
On pourra utiliser les résultats des questions 9.a et 9.c.

18. a. Montrer que lorsque $n_0<n_1$ , on a, $\displaystyle\sum_{j=n_0+1}^{n_1} \sum_{k\in\mathcal{T}_j}|c_{j,k}(f)||\theta_{j,k}(x)|\le c_13^s(n_1-n_0)|x-x_0|^s.$

On suppose de plus dans la suite que la fonction $\omega_f$ vérifie la propriété suivante : $(\mathcal{P}_2)$ pour tout entier $N\ge1$ , il existe un réel $c_4(N)>0$ , tel que pour tout $h\in]0,1]$ , $\omega_f(h)\le c_4(N)(1+|\log_2h|)^{-N}.$

18. b. Pour tout entier $N\ge1$ , on pose $c_5(N)=3^sc_1(c_4(N))^{\frac{1}{N}}$ . Montrer que $n_1-n_0\le n_1+1\le\left(\cfrac{c_4(N)}{\omega_f(2^{-n_1})}\right)^{\frac{1}{N}}$ et en déduire $\displaystyle\sum_{j=n_0+1}^{n_1}\sum_{k\in\mathcal{T}_j}|c_{j,k}(f)||\theta_{j,k}(x)|\le c_5(N)|x-x_0|^{(1-\frac{1}{N})s}.$

19. Déduire de ce qui précède que $\alpha_f(x_0)\ge s.$
On pourra distinguer les cas $n_0\ge n_1$ et $n_0<n_1.$

Publié par david9333/ le 30-11--0001

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