Fiche de mathématiques
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École Polytechnique
Ecole supérieure de physique et de chimie industrielles
Concours d'admission 2003
Filière PC
Première composition

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Durée : 4 heures
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Résonance paramétrique

Ce problème propose une première approche mathématique de la résonance paramétrique, phénomène physique que l’on rencontre aussi bien dans les recherches sur le mouvement de la lune que dans la manière de faire démarrer une escarpolette, ou dans l’étude des matériaux semi-conducteurs.

Soit q une fonction réelle de la variable réelle t, continue et périodique de période T > 0,
\forall t \in \mathbb{R}, q(t + T) = q(t).
Soit \lambda un nombre complexe. On considère l’équation différentielle du second ordre
x'' + ( \lambda - q(t)) x = 0 ,        (1)
x est une fonction complexe, de classe C^2, de la variable réelle t.


Première partie

1. Soit \mathcal{E} l’ensemble des solutions de l’équation (1). Montrer que \mathcal{E} est un espace vectoriel complexe.

2. Soient x_1 et x_2 deux solutions de (1). On pose W(x_1, x_2) = x_1x'_2 - x'_1 x_2. Montrer que W(x_1, x_2) est indépendant de t.

3. Soit \mathcal{T} l’opérateur de translation par T qui, à une fonction complexe f, associe la fonction \mathcal{T}(f) telle que
\forall t \in \mathbb{R}, \, \mathcal{T}(f)(t) = f(t + T).
   a) Montrer que, si f \in \mathcal{E}, alors \mathcal{T}(f) \in \mathcal{E}.
   b) On désigne par \tau la restriction de \mathcal{T} à \mathcal{E}. Est-ce un isomorphisme de \mathcal{E} sur \mathcal{E} ?

4. a) Montrer qu’il existe une unique solution x_1 de (1) telle que
x_1(0) = 1, \, x'_1(0) = 0 ,
et une unique solution x_2 de (1) telle que
x_2(0) = 0, x'_2(0) = 1.
   b) Montrer que x_1 et x_2 forment une base de \mathcal{E}.

5. On désigne par M la matrice de l’endomorphisme \tau de \mathcal{E} dans la base (x_1, x_2).
   a) Évaluer les coefficients de M en fonction de  x_i(T), \, x'_i(T) \, \, (i = 1, 2).
   b) Évaluer Det(M).
On pose \Delta = \dfrac{1}{2} Tr M,Tr désigne la trace.
   c) Évaluer \Delta en fonction de x_i(T), x'_i(T) \, \, (i = 1, 2).

6. Montrer que les valeurs propres de l’endomorphisme \tau de \mathcal{E} sont racines du trinôme P(\rho) = \rho^2 - 2 \Delta \rho + 1.

Soit x \in \mathcal{E}. On dit que x est stable si |x| est bornée sur \mathbb{R}_+. On dit que x est fortement stable si \displaystyle \lim_{t \to +\infty} x(t) = 0.

7. On suppose \Delta réel et |\Delta| \neq 1.
   a) Montrer que \mathcal{E} est somme directe des sous-espaces propres de \tau.
   b) Montrer que, si |\Delta| < 1, toutes les solutions de (1) sont stables. Les fonctions propres de \tau sont-elles fortement stables dans ce cas ?
   c) Montrer que, si |\Delta| > 1, il existe une solution de (1) fortement stable. Est-elle unique ?
Existe-t-il dans ce cas des solutions stables mais non fortement stables ?

8. On suppose que \Delta = \epsilon,\epsilon = +1 ou \epsilon = -1.
   a) Montrer qu’il existe une base de \mathcal{E} dans laquelle la matrice de \tau est \begin{pmatrix} \epsilon & a \\ 0 & \epsilon \end{pmatrix}a est un nombre complexe.
   b) On suppose a \neq 0. Montrer que, dans ce cas, il existe une solution de (1) stable mais non fortement stable. Existe-t-il des solutions fortement stables ?


Deuxième partie

Dans cette partie, on fixe T = \pi et l'on suppose \lambda réel. Pour indiquer la dépendance par rapport au paramètre \lambda et au choix de la fonction q, on note \Delta_q(\lambda) la quantité \Delta définie à la question 5.

9. Dans cette question, on choisit q identiquement nulle, q = 0.
   a) Calculer \Delta_0(\lambda) en distinguant les cas suivant le signe de \lambda. La fonction \lambda \mapsto \Delta_0(\lambda) est-elle de classe C^1 ?
   b) Tracer le graphe de la fonction \lambda \mapsto \Delta_0(\lambda), pour \lambda \in \mathbb{R}.
   c) Déterminer la matrice M lorsque q = 0 et \lambda = n^2, \, n \in \mathbb{N}.

On va maintenant montrer que \Delta_q(\lambda) est proche de \Delta_0(\lambda) lorsque \lambda tend vers +\infty. On suppose \lambda > 0 et l'on pose \omega = \sqrt{\lambda}. On note Q le maximum sur \mathbb{R} de la fonction \left|q \right|.
On pose u_0(t, \omega) = \cos \omega t, \, \, v_0(t, \omega) = \dfrac{\sin \omega t}{\omega} et l'on définit par récurrence
u_n(t, \omega) = \displaystyle \int_0^t \dfrac{\sin(\omega(t - s))}{\omega} q(s) u_{n-1}(s, \omega) ds , \, n \geq 1,\\ v_n(t, \omega) = \displaystyle \int_0^t \dfrac{\sin(\omega(t - s))}{\omega} q(s) v_{n-1}(s, \omega) ds ,  n \geq 1.

10. Montrer par récurrence sur n \in \mathbb{N} que
\forall t \in \mathbb{R},\left \mid u_n(t, \omega) \right \mid \leq \dfrac{Q^n \mid t \mid^n}{\omega^n n!}     et     |v_n(t, \omega)| \leq \dfrac{Q^n \left|t \right|^n}{\omega^{n+1}n!}.

11. On pose
x_1(t, \omega) = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} u_n(t, \omega) \text{ et } x_2(t, \omega) = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} v_n(t, \omega).
Le paramètre \omega étant fixé, montrer que l'on définit ainsi des fonctions continues de la variable t \in \mathbb{R}.

12. On note u'_n et v'_n les dérivées par rapport à t de u_n et v_n.
   a) Calculer u'_n(t, \omega) et v'_n(t, \omega) sous forme d’intégrales contenant u_{n-1} et v_{n-1} respectivement.
   b) Montrer que, pour n \geq 1,
\forall t \in \mathbb{R}, |u'_n(t, \omega)| \leq \dfrac{Q^n |t|^n}{\omega_{n-1} n!} \text{ et } |v'_n(t, \omega)| \leq \dfrac{Q^n |t|^n}{\omega^n n!}.
   c) En déduire que x_1 et x_2 sont des fonctions de classe C^1 de la variable t.

13. Montrer que x_1 et x_2 satisfont les équations
x_1(t,\omega) = \cos \omega t + \displaystyle \int_0^t \dfrac{\sin(\omega(t - s))}{\omega} q(s) x_1(s, \omega) ds , \\ x_2(t, \omega) = \dfrac{\sin \omega t}{\omega} + \displaystyle \int_0^t \dfrac{\sin(\omega(t - s))}{\omega} q(s) x_2(s, \omega) ds .
Les fonctions x_1 et x_2 sont-elles toujours des fonctions de classe C^{\infty} de la variable t ?

14. a) Montrer que x_1 et x_2 sont solutions de (1) pour \lambda = \omega^2.
   b) Montrer que, si \lambda > 0, \, \lambda = \omega^2,
\Delta_q(\lambda) = \dfrac{1}{2} (x_1(\pi ,\omega) + x'_2(\pi ,\omega)).
15. Montrer que, pour \lambda > 0,
|\Delta_q(\lambda) - \Delta_0(\lambda)|  \leq \text{exp} \left( \dfrac{\pi Q}{\sqrt{\lambda}} \right) - 1 .

16. Dans cette question, on suppose de plus que \displaystyle \int_0^{\pi} q(t)dt = 0.
   a) Montrer que
u_1(\pi , \omega) + v'_1(\pi,\omega) = 0.
   b) En déduire que, pour \lambda \longrightarrow +\infty,
\Delta_q(\lambda) = \Delta_0(\lambda) + O \left( \dfrac{1}{\lambda} \right).
17. On appelle intervalle d’instabilité un intervalle de \mathbb{R}_+ sur lequel |\Delta_q(\lambda)| > 1. Montrer que, pour tout \alpha > 0, il existe \lambda_0 > 0 assez grand pour que tout intervalle d’instabilité contenu dans [\lambda_0, +\infty[ soit contenu dans un intervalle [(n - \alpha)^2,(n + \alpha)^2], pour un entier n. Que peut-on dire de la position des intervalles d’instabilité quand \lambda \longrightarrow +\infty ?
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