École Polytechnique
Ecole supérieure de physique et de chimie industrielles
Concours d'admission 2003
Filière PC
Première composition
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Durée : 4 heures
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Résonance paramétrique
Ce problème propose une première approche mathématique de la résonance paramétrique, phénomène physique que l’on rencontre aussi bien dans les recherches sur le mouvement de la
lune que dans la manière de faire démarrer une escarpolette, ou dans l’étude des matériaux semi-conducteurs.
Soit une fonction réelle de la variable réelle continue et périodique de période
Soit un nombre complexe. On considère l’équation différentielle du second ordre
(1)
où est une fonction complexe, de classe , de la variable réelle
Première partie
1. Soit l’ensemble des solutions de l’équation (1). Montrer que est un espace vectoriel complexe.
2. Soient et deux solutions de (1). On pose Montrer que est indépendant de
3. Soit l’opérateur de translation par qui, à une fonction complexe associe la fonction telle que
a) Montrer que, si alors b) On désigne par la restriction de à Est-ce un isomorphisme de sur ?
4. a) Montrer qu’il existe une unique solution de (1) telle que
et une unique solution de (1) telle que
b) Montrer que et forment une base de
5. On désigne par la matrice de l’endomorphisme de dans la base a) Évaluer les coefficients de en fonction de b) Évaluer On pose où désigne la trace.
c) Évaluer en fonction de
6. Montrer que les valeurs propres de l’endomorphisme de sont racines du trinôme
Soit On dit que est stable si est bornée sur On dit que est fortement stable si
7. On suppose réel et a) Montrer que est somme directe des sous-espaces propres de b) Montrer que, si toutes les solutions de (1) sont stables. Les fonctions propres de sont-elles fortement stables dans ce cas ?
c) Montrer que, si il existe une solution de (1) fortement stable. Est-elle unique ?
Existe-t-il dans ce cas des solutions stables mais non fortement stables ?
8. On suppose que où ou a) Montrer qu’il existe une base de dans laquelle la matrice de est
où est un nombre complexe.
b) On suppose Montrer que, dans ce cas, il existe une solution de (1) stable mais non fortement stable. Existe-t-il des solutions fortement stables ?
Deuxième partie
Dans cette partie, on fixe et l'on suppose réel. Pour indiquer la dépendance par rapport au paramètre et au choix de la fonction on note la quantité définie à la question 5.
9. Dans cette question, on choisit identiquement nulle, a) Calculer en distinguant les cas suivant le signe de La fonction est-elle de classe ?
b) Tracer le graphe de la fonction pour c) Déterminer la matrice lorsque et
On va maintenant montrer que est proche de lorsque tend vers On suppose et l'on pose
On note le maximum sur de la fonction On pose et l'on définit par récurrence
10. Montrer par récurrence sur que
et
11. On pose
Le paramètre étant fixé, montrer que l'on définit ainsi des fonctions continues de la variable
12. On note et les dérivées par rapport à de et a) Calculer et sous forme d’intégrales contenant et respectivement.
b) Montrer que, pour
c) En déduire que et sont des fonctions de classe de la variable
13. Montrer que et satisfont les équations
Les fonctions et sont-elles toujours des fonctions de classe de la variable ?
14. a) Montrer que et sont solutions de (1) pour b) Montrer que, si
15. Montrer que, pour
16. Dans cette question, on suppose de plus que a) Montrer que
b) En déduire que, pour
17. On appelle intervalle d’instabilité un intervalle de sur lequel Montrer que, pour tout il existe assez grand pour que tout intervalle d’instabilité contenu
dans soit contenu dans un intervalle pour un entier Que peut-on dire de la position des intervalles d’instabilité quand ?
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concours en post-bac
une fonction réelle de la variable réelle 
continue et périodique de période 
 = q(t).)
un nombre complexe. On considère l’équation différentielle du second ordre
) x = 0 , )
(1)
est une fonction complexe, de classe 
, de la variable réelle 
l’ensemble des solutions de l’équation (1). Montrer que 
et 
deux solutions de (1). On pose  = x_1x'_2 - x'_1 x_2.)
Montrer que )
est indépendant de 
l’opérateur de translation par 
qui, à une fonction complexe 
associe la fonction )
telle que
(t) = f(t + T).)
alors  \in \mathcal{E}.)
la restriction de 
Est-ce un isomorphisme de  = 1, \, x'_1(0) = 0 ,)
 = 0, x'_2(0) = 1.)
la matrice de l’endomorphisme .)
, \, x'_i(T) \, \, (i = 1, 2).)
.)
où 
désigne la trace.
en fonction de , x'_i(T) \, \, (i = 1, 2).)
 = \rho^2 - 2 \Delta \rho + 1.)
On dit que 
est bornée sur 
On dit que  = 0.)
toutes les solutions de (1) sont stables. Les fonctions propres de 
il existe une solution de (1) fortement stable. Est-elle unique ?
où 
ou 
où 
est un nombre complexe.
Montrer que, dans ce cas, il existe une solution de (1) stable mais non fortement stable. Existe-t-il des solutions fortement stables ?
et l'on suppose 
on note )
la quantité 
)
en distinguant les cas suivant le signe de 
La fonction )
est-elle de classe 
?
,)
pour 
et 
On suppose 
et l'on pose 
On note 
le maximum sur 
de la fonction 
 = \cos \omega t, \, \, v_0(t, \omega) = \dfrac{\sin \omega t}{\omega})
et l'on définit par récurrence
 = \displaystyle \int_0^t \dfrac{\sin(\omega(t - s))}{\omega} q(s) u_{n-1}(s, \omega) ds , \, n \geq 1,\\ v_n(t, \omega) = \displaystyle \int_0^t \dfrac{\sin(\omega(t - s))}{\omega} q(s) v_{n-1}(s, \omega) ds , n \geq 1.)
que
 \right \mid \leq \dfrac{Q^n \mid t \mid^n}{\omega^n n!})
et | \leq \dfrac{Q^n \left|t \right|^n}{\omega^{n+1}n!}.)
 = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} u_n(t, \omega) \text{ et } x_2(t, \omega) = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} v_n(t, \omega).)
étant fixé, montrer que l'on définit ainsi des fonctions continues de la variable 
et 
les dérivées par rapport à 
de 
et 
)
et )
sous forme d’intégrales contenant 
et 
respectivement.
| \leq \dfrac{Q^n |t|^n}{\omega_{n-1} n!} \text{ et } |v'_n(t, \omega)| \leq \dfrac{Q^n |t|^n}{\omega^n n!}.)
 = \cos \omega t + \displaystyle \int_0^t \dfrac{\sin(\omega(t - s))}{\omega} q(s) x_1(s, \omega) ds , \\ x_2(t, \omega) = \dfrac{\sin \omega t}{\omega} + \displaystyle \int_0^t \dfrac{\sin(\omega(t - s))}{\omega} q(s) x_2(s, \omega) ds .)
de la variable 
 = \dfrac{1}{2} (x_1(\pi ,\omega) + x'_2(\pi ,\omega)).)
 - \Delta_0(\lambda)| \leq \text{exp} \left( \dfrac{\pi Q}{\sqrt{\lambda}} \right) - 1 .)
dt = 0.)
 + v'_1(\pi,\omega) = 0.)
 = \Delta_0(\lambda) + O \left( \dfrac{1}{\lambda} \right).)
sur lequel | > 1.)
Montrer que, pour tout 
il existe 
assez grand pour que tout intervalle d’instabilité contenu
dans 
soit contenu dans un intervalle ![[(n - \alpha)^2,(n + \alpha)^2],](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[(n - \alpha)^2,(n + \alpha)^2],)
pour un entier 
Que peut-on dire de la position des intervalles d’instabilité quand 
?Publié par Cel/
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