Fiche de mathématiques

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École Polytechnique
Ecole supérieure de physique et de chimie industrielles
Concours d'admission 2003
Filière PC
Deuxième composition

Durée : 4 heures
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Pfaffien d'une matrice antisymétrique

Le but du problème est d'étudier une application définie sur les matrices antisymétriques réelles d'ordre pair, dont le carré est l'application déterminant.

Toutes les matrices considérées sont à coefficients réels. Une matrice d'ordre $p, \, p \in \mathbb{N}^*$ , est une matrice carrée à $p$ lignes et $p$ colonnes. On désigne par $id_E$ l'application identité d'un espace vectoriel E, par $I_p$ la matrice identité d'ordre $p$ et par $0_p$ la matrice nulle d'ordre $p$ . On note $\mathcal{A}_p$ l'espace vectoriel des matrices antisymétriques d'ordre $p$ .

Première partie

1. Montrer que si $A$ est une matrice antisymétrique d'ordre impair, $Det A = 0$ .

2. Soit D une matrice diagonale d'ordre $m, m \in \mathbb{N}^*$ . Calculer en fonction des coefficients diagonaux de $D$ le déterminant de la matrice d'ordre $2m, \, \begin{pmatrix} 0_m & -D\\ D & 0_m\\ \end{pmatrix}$ .

Soit $(E , ( | ))$ un espace vectoriel euclidien. Dans tout le problème $f$ est un endomorphisme de $E$ tel que : $f* = -f$ où $f*$ désigne l'adjoint de $f.$

3. On suppose que $f^2 = 0$ . Montrer que $f = 0$ .

4. On suppose que $f^2 + id_E = 0$ .
   a) Montrer que $f$ est un endomorphisme orthogonal de $E$ .
   b) Montrer que la dimension de $E$ est paire
   c) Soit $v \in E$ . A quelle condition les vecteurs $v$ et $f(v)$ sont-ils linéairement indépendants ?
   d) Soit $F$ l'orthogonal du sous-espace vectoriel de $E$ engendré par $v$ et $f(v)$ . Montrer que $f(F) \subset F$ .
   e) Soit $n = 2m, \, m \geq 1$ , la dimension de $E$ . Montrer qu'il existe une famille $(v_1, \cdots ,v_m)$ de vecteurs de $E$ telle que $(v_1, \cdots ,v_m, f(v_1), \cdots , f(v_m))$ soit une base orthonormale de $E$ . Quelle est la matrice de $f$ dans cette base ?

5. a) Montrer que $f^2$ est diagonalisable dans $\mathbb{R}$ . On note $\lambda_1, \cdots, \lambda_k$ les valeurs propres distinctes de $f^2$ et $E_i$ l'espace propre correspondant à la valeur propre $\lambda_i \, , \, 1 \leq i \leq k$ . Montrer qu'on a une décomposition en somme directe orthogonale, $E = \displaystyle \bigoplus_{i=1}^{k} E_i$ .
   b) Montrer que, pour tout $i$ tel que $1 \leq i \leq k \, , \, \lambda_i \leq 0$ .
   c) Montrer que, pour tout $i$ tel que $1 \leq i \leq k \, , \, f(E_i) \subset E_i$ .

6. a) En utilisant les résultats des questions précédentes, montrer que pour toute matrice $A \in \mathcal{A}_{2m}$ , il existe une matrice orthogonale $Q$ d'ordre $2m$ et une matrice diagonale $D$ d'ordre $m$ telles que :
$A = {}^tQ \begin{pmatrix} 0_m & -D \\ D & 0_m \end{pmatrix}Q$
   b) En déduire que pour toute matrice $A \in \mathcal{A}_{2m}$ , il existe une matrice $M$ d'ordre $2m$ telle que $A={}^tMJ_{2m}M$ où $J_{2m} = \begin{pmatrix} 0_m & -I_m\\ I_m & 0_m \end{pmatrix}.$

Deuxième partie

Soit $E$ un espace vectoriel réel et $q$ un entier $\geq 2$ . On appelle forme $q$ -linéaire alternée sur $E$ une application $\omega : E^q \longrightarrow \mathbb{R}$ satisfaisant les conditions suivantes :
(A) si $x_1, \cdots ,x_q$ sont des vecteurs de $E$ et s'il existe un entier $i, \, 1 \leq i \leq q - 1$ , tel que $x_i = x_{i+1}$ , alors $\omega (x_1, \cdots , x_q ) = 0$ ;
en d'autres termes, l'application s'annule si deux arguments consécutifs sont égaux;
(B) pour tout entier $i, \, 1 \leq i \leq q$ , si $x_1, \cdots ,x_{i-1},x_{i+1}, \cdots ,x_q$ sont des vecteurs quelconques de $E,$ l'application de $E$ dans $\mathbb{R}$ définie par $x \mapsto \omega(x_1, \cdots ,x_{i-1},x,x_{i+1}, \cdots ,x_q)$ est linéaire; en d'autres termes, l'application $\omega$ est linéaire par rapport à chaque variable.
On note $Alt_q(E)$ l'ensemble des formes $q$ -linéaires alternées sur $E$ .

7. a) Soit $\omega \in Alt_q(E)$ . Montrer que, pour tout entier $i$ tel que $1 \leq i \leq q - 1$ , on a l'identité $\omega (x_1, \cdots ,x_{i-1},x_{i+1},x_i,x_{i+2}, \cdots ,x_q ) = -\omega (x_1, \cdots ,x_q)$ pour tous $x_1, \cdots ,x_q$ dans E ; en d'autres termes $\omega$ change de signe si l'on permute deux arguments consécutifs.
   b) Soit $\omega \in Alt_q(E)$ . Montrer que s'il existe des entiers $i$ et $j, \, i \neq j$ , $1 \leq i \leq q$ , $1 \leq j \leq q$ , tels que $x_i=x_j$ , alors $\omega (x_1,\cdots , x_q) = 0$
   c) Montrer que, pour tout entier $q \geq 2$ , $Alt_q(E)$ est un espace vectoriel réel.
   d) On admet que si $E$ est de dimension $n,$ la dimension de $Alt_n(E)$ est égale à 1. Donner une base de cet espace vectoriel.

Soit $\omega \in Alt_2(E)$ . On définit une suite $\omega^{(p)}$ , $p$ entier $\geq 1$ , par la récurrence suivante : $\omega^{(1)} = \omega$ , et si $p \geq 2$ , $\omega^{(p)} (x_1, \cdots ,x_{2p}) = \omega (x_1, x_2) \omega^{(p-1)} (x_3, \cdots ,x_{2p}) \\ + \displaystyle \sum_{i=3}^{2p-1} (-1)^i \omega (x_1,x_i) \omega^{(p-1)} (x_2, \cdots ,x_{i-1},x_{i+1},\cdots,x_{2p})\\ + (-1)^{2p} \omega (x_1,x_{2p}) \omega^{(p-1)} (x_2, \cdots ,x_{2p-1})$ pour tous $x_1, \cdots ,x_{2p}$ dans E. Chaque $\omega^{(p)}$ est donc une application de $E^{2p}$ dans $\mathbb{R}$ . On écrira en abrégé : $\omega^{(p)} (x_1, \cdots , x_{2p}) = \displaystyle \sum_{i=2}^{2p} (-1)^i \omega (x_1,x_i) \omega^{(p-1)} (x_2, \cdots , x_{i-1} , x_{i+1} , \cdots , x_{2p}).$
8. a) Expliciter $\omega^{(2)}(x_1,x_2,x_3,x_4)$ et montrer que $\omega^{(2)} \in Alt_4(E)$ .
   b) Montrer que, pour tout $p \geq 3 , \, \omega^{(p)} \in Alt_{2p}(E)$ .

9. On suppose à nouveau que $(E,(|)),$ est un espace vectoriel euclidien et que $f$ est un endmorphisme de $E$ tel que $f*=-f.$ On pose, pour $x_1 \in E, \, x_2 \in E,$ $\omega_f(x_1,x_2) = (x_1 | f(x_2))$ Montrer que $\omega_f \in Alt_2(E)$ .

10. On suppose que $E = \mathbb{R}^{2m}$ muni de la structure euclidienne canonique. Soit $A$ une matrice antisymétrique d'ordre $2m$ et soit $f$ l'endormorphisme de $\mathbb{R}^{2m}$ associé à $A.$ On reprend les notations des questions 8. et 9..
   a) Montrer qu'il existe un nombre réel $P(A)$ tel que $(\omega_f)^{(m)}(x_1, \cdots, x_{2m}) = P(A) Det_{\mathcal{B}} (x_1, \cdots, x_{2m},$ pour tous $x_1, \cdots ,x_{2m} \in E$ , où $Det_{\mathcal{B}}$ désigne le déterminant dans la base canonique de $\mathbb{R}^{2m}.$ Le nombre $P(A)$ est appelé pfaffien de $A.$
   b) Calculer $P(A)$ lorsque $A \in \mathcal{A}_4,$ en fonction des coefficients $a_{1,2}, a_{1,3}, a_{1,4}, a_{2,3}, a_{2,4}, a_{3,4}$ de $A.$
   c) Lorsque $A = \begin{pmatrix} 0_m & -D\\ D & 0_m \end{pmatrix}$ , où $D$ est une matrice diagonale d'ordre $m,$ calculer $P(A)$ en fonction des coefficients diagonaux de $D,$ et déterminer un nombre réel $\alpha$ indépendant de $D$ tel que $P(A) = \alpha Det D$

Troisième partie

11. Soit $A \in \mathcal{A}_{2m}$ et soit $M$ une matrice d'ordre $2m.$
   a) Montrer que ${}^tMAM \in \mathcal{A}_{2m}$ .
   b) Montrer que $P({}^t MAM) = Det(M) P(A).$

12. En utilisant le résultat de la question 6. a), montrer que, pour $A \in \mathcal{A}_{2m}$ , $(P(A))^2 = Det(A)$
13. Soit $\Pi : \mathcal{A}_{2m} \longrightarrow \mathbb{R}$ une application telle que $\Pi ({}^t MAM) = \Det(M) \Pi(A),$ pour tout $A \in \mathcal{A}_{2m}$ , et pour toute matrice $M$ d'ordre $2m.$ Montrer qu'il existe un nombre réel $\kappa$ tel que, pour tout $A \in \mathcal{A}_{2}, \, \Pi(A) = \kappa P(A).$

14. Soit $M$ une matrice d'ordre $2m$ telle que ${}^tM\mathcal{I}_{2m}M = \mathcal{I}_{2m}$ , où $\mathcal{I}_{2m}$ est la matrice définie à la question 6. b). Montrer que $Det(M) = 1$ .

15. a) Soit $B$ une matrice d'ordre $m$ et soit $A = \begin{pmatrix} 0_m & -{}^t B \\ B & 0_m \end{pmatrix}$ . Exprimer $P(A)$ en fonction de $Det(B).$
   b) Soient $m_1$ et $m_2$ des entiers $\geq 1$ , $A_1 \in \mathcal{A}_{2m_1} , \, A_2 \in \mathcal{A}_{2m_2}$ , et soit $A = \begin{pmatrix} A_1 & 0_{2m_1,2m_2} \\ 0_{2m_2,2m_1} & A_2} \end{pmatrix}$ , où $0_{m,m'}$ désigne la matrice nulle à $m$ lignes et $m'$ colonnes. Exprimer $P(A)$ en fonction de $P(A_1)$ et de $P(A_2).$

Voir la correction

Le déterminant d'une matrice antisymétrique peut toujours être exprimé comme carré d'un polynôme des coefficients de la matrice. Ce polynôme est appelé le Pfaffien de la matrice. En fait, le mot Pfaffien fut introduit par le mathématicien britannique Arhtur Cayley (1821-1895) en faisant réference au mathématicien allemand Johann Friedrich Pfaff (1765-1825) à cause du lien de ces polynômes avec les recherches de ce dernier sur les équations différentielles...

Première Partie

1. On sait que : $\det (A) = \det(^tA)$ $\red (1)$
Et puisque $A$ est antisymétrique, $^t A= -A$
Donc : $\det(^t A) = \det(-A) = (-1)^n \det(A)$ $\red (2)$
De $\red (1)$ et $\red (2)$ : $\det (A) = (-1)^n \det (A)$ .
D'où, si $n$ est impair , $\boxed{\det(A)=0}$ .

2. On pose $M = \left(\begin{array}{cc} 0_m&-D\\D&0_m \end{array} \right)$ et $d_1,\cdots, d_m$ les éléments diagonaux de $D$ .
Soit $(e_1,\cdots, e_m,e_{m+1},\cdots, e_{2m})$ la base canonique de $\mathbb{R}^{2m}$ .
On considère la base : $\mathfrak{B}=(e_1,e_{m+1},\cdots,e_k,e_{m+k},\cdots, e_{2m})$ avec $k\in\lbrace 1,\cdots, m\rbrace$ .
Soit l'endomorphisme $u:X\longrightarrow MX$ ,
$\forall k\in\lbrace 1,\cdots, m\rbrace$ , le sous espace $Vect(e_k,e_{k+m})$ est stable par $u$ .
Donc $u$ a pour matrice dans la base $\mathfrak{B}$ une matrice $M^'$ diagonale par blocs :

Concours Ecole Polytechnique filière PC Deuxième épreuve 2003 - supérieur : image 2

Les déterminants de $M$ et $M'$ sont égaux et : $\boxed{\det M=\det M'= d_1^2 d_2^2\cdots d_m^2}$

3. Soit $x\in E$
L'adjoint vérifie : $0=(x|f^2(x))=(-f(x)|f(x))=-||f(x)||^2$
et puisque $(.|.)$ est un produit scalaire, donc il est défini positif , c'est-à-dire : $f(x)=0$ .
Donc : $\fbox {f=0}$ .

4. a) Par hypothèse : $f^* f = -f^2=id_E$
Donc : $f$ est orthogonal.

4. b) Soit $n=\dim E$ .
On a : $f^* = -f$ et $\det(f)=\det (f^*)$ .
Donc : $\det(f)=(-1)^n \det( f)$
Or, $|\det(f)|= 1\not = 0$ .
Donc : n est pair.

4. c) On a : $f^*=-f$ .
Alors pour tout $v$ de $E$ : $(v|f(v)) = -(v|f(v))$ .
Donc : $\forall v\in E$ : $(v|f(v)) = 0$ .
Or, $(f(v)|f(v))=-(v|f^2(v))=(v|v)$
Donc : || $f(v)$ || = ||v||.
Donc, quand $v\not = 0$ , $v$ et $f(v)$ sont indépendants.

4. d) Puisque $f^2=-v$ , le sev $Vect(v,f(v))$ est stable par $f$ .
Or, soit $G$ un sev quelconque stable par $f$
puisque $f^*=-f$ , $G^{\perp}$ est aussi stable par $f$ .
En effet : $\forall x\in G^{\perp}$ , $\forall y\in G$ : $(f(x)|y)=(x|-f(y))=0$ , donc $f(x)$ reste bien dans $G^{\perp}$ .
Et dans notre cas, on aura : $Vect(v,f(v))^{\perp}$ est stable par $f$ .
Or : $Vect(v,f(v))^{\perp}$ = $F$ .
On en déduit : $\fbox {f(F)\subset F}$ .

4. e) On fait une démonstration par récurrence sur $m.$ Pour $m = 1$ , on sait déjà qu'il y a une base de la forme $(v,f(v)).$ Supposons le résultat prouvé pour un entier $m$ et $n=2(m+1).$ On choisit $(v_{m+1},f(v_{m+1}))$ linéairement indépendants. L'orthogonal $F$ de $Vect(v_{m+1},f(v_{m+1}))$ est stable par $f$ , de dimension $2m$ et la restriction de $f$ à $F$ vérifie $f^2+Id_F^2=0$ . L'hypothèse de récurrence assure l'existence d'une base de $F$ de la forme $(v_1,...,v_m,f(v_1),...,f(v_m))$
et $(v_1,...,v_m,v_{m+1},f(v_1),...,f(v_m),f(v_{m+1}))$ est une base de $E$ qui répond à la question. Comme $f(f(v_k))=-v_k$ , la matrice de $f$ par rapport à cette base est
$\left(\begin{array}{cc} O_m & -I_m\\ I_m & O_m\end{array}\right)$ où $O_m$ est la matrice nulle $m \times m$ et $I_m$ la matrice unité $m\times m$ .

5. a) Comme $(f^2)^*=f^*f^*=(-f)(-f)=f^2$ , l'endomorphisme $f^2$ est symétrique et on sait qu'un tel endomorphisme est diagonalisable dans une base orthogonale.

5. b) Soient $\lambda$ une valeur propre de $f^2$ et $v$ un vecteur propre relatif à $\lambda.$ On a alors
$0=(f^2(v)-\lambda v|f^2(v)-\lambda v)=(f^2(v)|f^2(v))-2\lambda(f^2(v)|v)+\lambda^2(v|v)=(f^2(v)|f^2(v))-2\lambda(f(v)|f^*(v))+\lambda^2(v|v)=(f^2(v)|f^2(v))+2\lambda(f(v)|f(v))+\lambda^2(v|v)$
et comme $(x|x)$ est positif pour tout $x,$ ceci entraine $\lambda \leq 0.$

5. c) En gardant les mêmes notations, on a
$f^2(f(v))=f(f^2(v))=f(\lambda v)=\lambda f(v)$
ce qui montre que chaque sous-espace propre est stable par $f.$

6. a) Si $\lambda_i=0$ , d'après 3, $f$ induit la fonction nulle sur le sous-espace stable $E_i.$
Supposons $\lambda_i < 0$ et posons $\mu_i=\sqrt{-\lambda_i}$ . La fonction $g$ induite par $(1/\mu_i)f$ sur $E_i$ , vérifie $g^2+Id_{E_i}=0$ , donc on peut construire comme dans 4. e) une base orthogonale de $E_i$ de la forme $(v_{i,1},...,v_{i,k_i},g(v_{i,1}),...,g(v_{i,k_i})))$ . On a
alors $f(v_{i,j})=\mu_iv_{i,j}$ et $f(f(v_{i,j}))=-\mu f(v_{i,j})$ ce qui fait que la matrice de la retriction de $f$ à $E_i$ par rapport à la base orthogonale $(v_{i,1},...,v_{i,k_i},f(v_{i,1}),...,f(v_{i,k_i}))$ est de la forme
$\left(\begin{array}{rr} O_{k_i} & -\mu_iI_{k_i}\\ \mu_iI_{k_i} & O_{k_i}\end{array}\right).$
Compte tenu du fait que les sous-espaces propres forment une somme directe orthogonale, en réunissant toutes ces bases et en les renumérotant (les $v$ d'abord et les $f(v)$ ensuite), on trouve bien une base orthogonale par rapport à laquelle la matrice est de la forme demandée et donc aussi une matrice orthogonale $Q$ telle que
$A=^tQ\left(\begin{array}{rr}O_m & -D \\ D & O_m\end{array}\right)Q$

6. b) Soit $N=\left(\begin{array}{rr} D\ & O_m\\ O_m & I_m\end{array}\right)$ . On vérifie facilement que $A={}^tQ{}^tNJ_{2m}NQ$ .

Deuxième partie

7. a) On a
$0=\omega(x_1,...,x_i+x_{i+1},x_i+x_{i+1},...,x_q)=\omega(x_1,...,x_i,x_i,...,x_q)+\omega(x_1,...,x_i,x_{i+1},...,x_q)+\omega(x_1,...,x_{i+1},x_i,...x_q)+\omega(x_1,...,x_{i+1},x_{i+1},...,x_q)$ .
et, le premier et le dernier terme de cette somme étant nuls, on trouve bien $\omega(x_1,...,x_{i+1},x_i,...,x_q)=-\omega(x_1,...,x_i,x_{i+1},...,x_q)$ .

7. b) Supposons que $j=i+k$ . En échangeant $x_i$ avec $x_{i+1}$ , puis avec $x_{i+2}$ , on trouve $\omega(x_1,...,x_i,...,x_{i+k}, ..., x_q)=(-1)^{k-1}\omega(x_1,...,x_{i+1},...,x_{i+k-1}, x_i,x_{i+k},...,x_q)=0$

7. c) Soient $\omega_1$ et $\omega_2$ deux éléments de $\scr{Alt}_q(E)$ et $\lambda_1$ et $\lambda_2$ des réels. Il est clair que l'application $\lambda_1\omega_1+\lambda_2\omega_2$ et l'application nulle vérifient les conditions A) et B) donc elles appartiennent à $\scr{Alt}_q(E)$ ce qui prouve que $\scr{Alt}_q(E)$ est un espace vectoriel réel.

7. d) L'application déterminant est un élément non nul de $\scr{Alt}_q(E)$ , donc c'est une base de cet espace vectoriel qui est de dimension 1.

8. a) $\omega^{(2)}(x_1,x_2,x_3,x_4)=\omega(x_1,x_2)\omega(x_3,x_4)-\omega(x_1,x_3)\omega(x_2,x_4)+\omega(x_1,x_4)\omega(x_2,x_3)$
Il est clair que l'application $\omega^{(2)}$ est linéaire par rapport à chacune de ses variables. De plus
$\omega^{(2)}(x_1,x_1,x_3,x_4)=0-\omega(x_1,x_3)\omega(x_1,x_4)+\omega(x_1,x_4)\omega(x_1,x_3)=0$
$\omega^{(2)}(x_1,x_2,x_2,x_4)=\omega(x_1,x_2)\omega(x_2,x_4)-\omega(x_1,x_2)\omega(x_2,x_4)+0=0$
$\omega^{(2)}(x_1,x_2,x_3,x_3)=0-\omega(x_1,x_3)\omega(x_2,x_3)+\omega(x_1,x_3)\omega(x_2,x_3)=0$
donc $\omega^{(2)}\in\scr{Alt}_4(E).$

8. b) Soit $p \geq 3$ et supposons que $\omega^{(p-1)} \in {\scr Alt}_{2(p-1)}(E).$ On a
$\omega^{(p)} (x_1, \cdots, x_\{2p}) = \displaystyle \sum_{i=2}^{2p} (-1)^i \omega(x_1,x_i) \omega^{(p-1)} (x_2, \cdots ,x_{i-1}, x_{i+1}, \cdots ,x_{2p})$ .
Il est clair que cette application est linéaire par rapport à chacune de ses variables.
Soit maintenant $k$ tel que $1 < k < 2p-1$ . En tenant compte de l'hypothèse de récurrence, si on prend $x_k=x_{k+1}$ , on trouve bien
$\omega^{(p)}(x_1,...,x_k,x_k,...,x_{2p}) \\ = (-1)^k\omega(x_1,x_k)(\omega^{(p-1)}(x_1,...,x_k,x_{k+2},...,x_{2p})+(-1)^{k+1}\omega(x_1,x_k)\omega^{(p-1)}(x_1,...,x_k,x_{k+2},...,x_{2p})=0$
De plus, si on prend $x_1=x_2$ , on trouve

9. La bilinéarité est vérifiée car $f$ est linéaire et le produit scalaire est bilinéaire.
L'antisymétrie est vérifiée par définition de $f^*=-f$

10. a) Comme $\omega_{f}^{(2m)}$ est dans $Alt_{2m}$ , cette forme est proportionnelle à la forme (non nulle) $Det(x_1, . . . , x_{2m})$ , d où l existence d un coefficient de proportionnalité $P(A)$ .

10. b) Il suffit de faire le calcul de $\omega_{f}^{(2m)}$ pour les vecteurs de la base canonique de $\mathbb{R}^{2m}$ , puisqu'alors leur déterminant vaut 1. En appelant $(e1, . . . , e2m)$ les vecteurs de cette base, il vient :
$\omega_{f}^{(2)}(e_1,e_2,e_3,e_4)=(e_1|f(e_2)).(e_3|f(e_4))-(e_1|f(e_3)).(e_2|f(e_4)))+(e_1|f(e_4)).(e_2|f(e_3))$
d où par définition de la matrice de $f$ et des composantes dans une base orthonormée, $P(A) = a_{12}a_{34} - a_{13}a_{24}+a_{14}a_{23}$ .

10. c) Comme avant, $P(A)=\omega_{f}^{(2m)}(e_1,\cdots, e_{2m})$
Par la définition de $f$ , seuls les termes $\omega_{f}(e_k,e_{m+k})=-d_k$ avec $1\leq k\leq m$ sont a priori non nuls, d?où :
$P(A) =(-1)^{m+1}(-d1)\omega_{f}^{(m-1)}(e_2,\cdots, e_{m},e_{m+2},\cdots, e_{2m})=(-1)^m d_1 \omega_{f}^{(m-1)}(e_1,\cdots, \tild{e_{m+1}},\cdots,e_{2m})$
et par une récurrence immédiate, $P(A) = (-1)^m d_1 (-1)^{m-1} d_2 \cdots (-1)^1d_m = (-1)^{m(m+1)/2} DetD$ .

Troisième partie

11.a) Puisque $A$ et $M$ sont deux matrices d'ordre $2m$ . Alors : $^tMAM$ est d'ordre $2m$ .
De plus : ${}^t({}^tMAM) = {}^tM^tAM=-{}^tMAM$ car ${}^tA=-A$
Donc ${}^tMAM \in \mathfrak{A}_{2m}$ .

11. b) Soit $f$ et $g$ les deux endormorphismes de $\mathbb{R}^{2m}$ associés resp. aux matrices $A$ et ${}^tMAM$ , donc :
$f : X \longrightarrow AX$ et $g : X \longrightarrow {}^tMAMX$ .
On a : $\omega_g(x,y) = (x|^tMAMy) = \omega_f(Mx|My)$
Par une récurrence évidente, on retrouve que : $\forall k\in \lbrace 1,\cdots, m\rbrace$ : $\omega_g^{(k)}(x_1,\cdots,x_{2k})=\omega_f^{(k)} (Mx_1,\cdots,Mx_{2k})$
Donc :
$\begin{array}{cl} \omega_g^{(m)}(x_1,\cdots,x_{2m}) &=\omega_f^{(m)} (Mx_1,\cdots,Mx_{2m})\\ &=P(A)\det(Mx_1,\cdots,Mx_{2m})\\ &=P(A)\det(M)\det(x_1,\cdots,x_{2m}) \end{array}$
D'où : $P(^tMAM)=P(A)\det(M)$ .

12. D'après 6. a) $A = {}^tQ \begin{pmatrix} 0_m & -D \\ D & 0_m \end{pmatrix} Q$
d'où, d'après 10. c) et 11. b) : $P(A)=(\det Q) (-1)^{\frac{m(m+1)}{2}} (\det D)$
Or, puisque $Q$ est orthogonale, $\displaystyle |\det Q |= 1$
Donc : $\det A =\det \begin{pmatrix} 0_m&-D\\D&0_m \end{pmatrix} =(\det(D))^2$
De plus : $(P(A))^2=(-1)^{m(m+1)} (\det (D))^2 = (\det (D))^2$
On en déduit que : $\boxed{P(A)^2=\det A}$

13. D'après 6. b) : $A= {}^tMJ_{2m} M$
Par définition de l'application $\prod$ : $\prod(A)=\prod(^tM J_{2m} M)=\det M\prod(J_{2m})$ .
tandis que : $P(A)=(\det M) P(J_{2m}) = (-1)^{\frac{m(m+1)}{2}} \det M$
On en déduit que : $\prod(A) =(-1)^{\frac{m(m+1)}{2}} \prod(J_{2m})P(A)$
Or : $\prod : \mathfrak{A}_{2m} \longrightarrow \mathbb{R}$
On pose alors : $k=(-1)^{\frac{m(m+1)}{2}}\bigprod(J_{2m})\in\mathbb{R}$ .
D'où le résultat.

14. D'après 11. b) : $P(J_{2m}) = P(^tM J_{2m} M)=(\det M )P(J_{2m})$
et comme $|P(J_{2m}) |=1$ , alors : $P(J_{2m}) \neq 0$
Il en découle $\det M = 1$ .

15. a) On a : $A = \begin{pmatrix} 0_m & -{}^tB\\B & 0_m \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {}^tB & 0_m\\0_m & I_m \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0_m & -I_m\\I_m & 0_m \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} B & 0_m\\0_m & I_m \end{pmatrix}$ .
d'après les propriétés du Pfaffien et du déterminant : $P(A)=\det(B).P(J_{2m}) = (-1)^{\frac{m(m+1)}{2}} \det(B)$

15. b) i) Commençons par un cas particulier : $A_1=J_{2m_1}$ et $A_2=J_{2m_2}$ .
La matrice obtenue se ramène à la matrice $J_{2(m_1+m_2)}$ (qui est semblable à lui), lorsqu'on intervertit, dans la base canonique $(e_1,\cdots, e_{2m_1+2m_2})$ les vecteurs $e_{m_1+1},\cdots, e_{m_1+m_2}$ avec les vecteurs $e_{2m_1+1},\cdots, e_{2m_1+m_2 }$ . Cela correspond à un changement de base orthonormée de determinant $(-1)^{m_1m_2}$ en réalisant $m_1 m_2$ transpositions de vecteurs consécutifs.
D'après la formule de 11. b) on a :
$\begin{equation*} P \begin{pmatrix} J_{2m_1}&0_{2m_1,2m_2}\\0_{2m_1,2m_2}&J_{2m_2}\end{pmatrix} &= (-1)^{m_1m_2}P(J_{2(m_1+m_2)}) \\ &=(-1)^{m_1m_2}(-1)^{\frac{(m_1+m_2)(m_1+m_2+1)}{2}}\\ =(-1)^{m_1(m_1+1)/2} . (-1)^{m_2(m_2+1)/2} \end{equation}$

ii) Dans le cas général, on écrit : $A_1=^tM_1J_{2m_1} M_1$ et $A_2=^tM_2J_{2m_2} M_2$ .
$A=\begin{pmatrix} A_1&0_{2m_1,2m_2}\\0_{2m_1,2m_2}&A_2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {}^tM_1J_{2m_1}M_1&0_{2m_1,2m_2}\\0_{2m_1,2m_2}&^tM_2J_{2m_2}M_2}\end{pmatrix}\\ = \begin{pmatrix} {}^tM_1&0_{2m_1,2m_2}\\0_{2m_1,2m_2}&^tM_2} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} J_{2m_1}&0_{2m_1,2m_2}\\0_{2m_1,2m_2}&J_{2m_2}} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} M_1&0_{2m_1,2m_2}\\0_{2m_1,2m_2}&M_2}\end{pmatrix}$

Et par propriété du Pfaffien :
$\begin{equation*} P(A) &=\det(M_1)\det(M_2)P \begin{pmatrix} J_{2m_1}&0_{2m_1,2m_2}\\0_{2m_1,2m_2}&J_{2m_2}}\end{pmatrix} \\ &=(-1)^{m_1(m_1+1)/2}\det(M_1) . (-1)^{m_2(m_2+1)/2} \det(M_2) \\ & =P(A_1).P(A_2) \end{equation}$

Publié par puisea/Panter le 25-08-2011

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