Fiche de mathématiques
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École Polytechnique
Ecole supérieure de physique et de chimie industrielles
Concours d'admission 2003
Filière PC
Deuxième composition

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Durée : 4 heures
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Pfaffien d'une matrice antisymétrique

Le but du problème est d'étudier une application définie sur les matrices antisymétriques réelles d'ordre pair, dont le carré est l'application déterminant.

Toutes les matrices considérées sont à coefficients réels. Une matrice d'ordre p, \, p \in \mathbb{N}^*, est une matrice carrée à p lignes et p colonnes. On désigne par id_E l'application identité d'un espace vectoriel E, par I_p la matrice identité d'ordre p et par 0_p la matrice nulle d'ordre p. On note \mathcal{A}_p l'espace vectoriel des matrices antisymétriques d'ordre p.


Première partie

1. Montrer que si A est une matrice antisymétrique d'ordre impair, Det A = 0.

2. Soit D une matrice diagonale d'ordre m, m \in \mathbb{N}^*. Calculer en fonction des coefficients diagonaux de D le déterminant de la matrice d'ordre 2m, \, \begin{pmatrix} 0_m & -D\\ D & 0_m\\  \end{pmatrix}.

Soit (E , ( | )) un espace vectoriel euclidien. Dans tout le problème f est un endomorphisme de E tel que : f* = -ff* désigne l'adjoint de f.

3. On suppose que f^2 = 0. Montrer que f = 0.

4. On suppose que f^2 + id_E = 0.
   a) Montrer que f est un endomorphisme orthogonal de E.
   b) Montrer que la dimension de E est paire
   c) Soit v \in E. A quelle condition les vecteurs v et f(v) sont-ils linéairement indépendants ?
   d) Soit F l'orthogonal du sous-espace vectoriel de E engendré par v et f(v). Montrer que f(F) \subset F.
   e) Soit n = 2m, \, m \geq 1, la dimension de E. Montrer qu'il existe une famille (v_1, \cdots ,v_m) de vecteurs de E telle que (v_1, \cdots ,v_m, f(v_1), \cdots , f(v_m)) soit une base orthonormale de E. Quelle est la matrice de f dans cette base ?

5. a) Montrer que f^2 est diagonalisable dans \mathbb{R}. On note \lambda_1, \cdots, \lambda_k les valeurs propres distinctes de f^2 et E_i l'espace propre correspondant à la valeur propre \lambda_i \, , \, 1 \leq i \leq k. Montrer qu'on a une décomposition en somme directe orthogonale, E = \displaystyle \bigoplus_{i=1}^{k} E_i.
   b) Montrer que, pour tout i tel que 1 \leq i \leq k \, , \, \lambda_i \leq 0.
   c) Montrer que, pour tout i tel que 1 \leq i \leq k \, , \, f(E_i) \subset E_i.

6. a) En utilisant les résultats des questions précédentes, montrer que pour toute matrice A \in \mathcal{A}_{2m}, il existe une matrice orthogonale Q d'ordre 2m et une matrice diagonale D d'ordre m telles que :
A = {}^tQ \begin{pmatrix} 0_m & -D \\ D & 0_m \end{pmatrix}Q
   b) En déduire que pour toute matrice A \in \mathcal{A}_{2m}, il existe une matrice M d'ordre 2m telle que A={}^tMJ_{2m}MJ_{2m} = \begin{pmatrix} 0_m & -I_m\\ I_m & 0_m \end{pmatrix}.


Deuxième partie

Soit E un espace vectoriel réel et q un entier \geq 2. On appelle forme q-linéaire alternée sur E une application \omega : E^q \longrightarrow \mathbb{R} satisfaisant les conditions suivantes :
(A) si x_1, \cdots ,x_q sont des vecteurs de E et s'il existe un entier i, \, 1 \leq i \leq q - 1, tel que x_i = x_{i+1}, alors \omega (x_1, \cdots , x_q ) = 0 ;
en d'autres termes, l'application s'annule si deux arguments consécutifs sont égaux;
(B) pour tout entier i, \, 1 \leq i \leq q, si x_1, \cdots ,x_{i-1},x_{i+1}, \cdots ,x_q sont des vecteurs quelconques de E, l'application de E dans \mathbb{R} définie par x \mapsto \omega(x_1, \cdots ,x_{i-1},x,x_{i+1}, \cdots ,x_q) est linéaire; en d'autres termes, l'application \omega est linéaire par rapport à chaque variable.
On note Alt_q(E) l'ensemble des formes q-linéaires alternées sur E.

7. a) Soit \omega \in Alt_q(E). Montrer que, pour tout entier i tel que 1 \leq i \leq q - 1, on a l'identité
\omega (x_1, \cdots ,x_{i-1},x_{i+1},x_i,x_{i+2}, \cdots ,x_q ) = -\omega (x_1, \cdots ,x_q)
pour tous x_1, \cdots ,x_q dans E ; en d'autres termes \omega change de signe si l'on permute deux arguments consécutifs.
   b) Soit \omega \in Alt_q(E). Montrer que s'il existe des entiers i et j, \, i \neq j, 1 \leq i \leq q, 1 \leq j \leq q, tels que x_i=x_j, alors
\omega (x_1,\cdots , x_q) = 0

   c) Montrer que, pour tout entier q \geq 2, Alt_q(E) est un espace vectoriel réel.
   d) On admet que si E est de dimension n, la dimension de Alt_n(E) est égale à 1. Donner une base de cet espace vectoriel.

Soit \omega \in Alt_2(E). On définit une suite \omega^{(p)}, p entier \geq 1, par la récurrence suivante : \omega^{(1)} = \omega, et si p \geq 2,
\omega^{(p)} (x_1, \cdots ,x_{2p}) = \omega (x_1, x_2) \omega^{(p-1)} (x_3, \cdots ,x_{2p}) \\ + \displaystyle \sum_{i=3}^{2p-1} (-1)^i \omega (x_1,x_i) \omega^{(p-1)} (x_2, \cdots ,x_{i-1},x_{i+1},\cdots,x_{2p})\\ + (-1)^{2p} \omega (x_1,x_{2p}) \omega^{(p-1)} (x_2, \cdots ,x_{2p-1})
pour tous x_1, \cdots ,x_{2p} dans E. Chaque \omega^{(p)} est donc une application de E^{2p} dans \mathbb{R}. On écrira en abrégé :
\omega^{(p)} (x_1, \cdots , x_{2p}) = \displaystyle \sum_{i=2}^{2p} (-1)^i \omega (x_1,x_i) \omega^{(p-1)} (x_2, \cdots , x_{i-1} , x_{i+1} , \cdots , x_{2p}).

8. a) Expliciter \omega^{(2)}(x_1,x_2,x_3,x_4) et montrer que \omega^{(2)} \in Alt_4(E).
   b) Montrer que, pour tout p \geq 3 , \, \omega^{(p)} \in Alt_{2p}(E).

9. On suppose à nouveau que (E,(|)), est un espace vectoriel euclidien et que f est un endmorphisme de E tel que f*=-f. On pose, pour x_1 \in E, \, x_2 \in E,
\omega_f(x_1,x_2) = (x_1 | f(x_2))
Montrer que \omega_f \in Alt_2(E).

10. On suppose que E = \mathbb{R}^{2m} muni de la structure euclidienne canonique. Soit A une matrice antisymétrique d'ordre 2m et soit f l'endormorphisme de \mathbb{R}^{2m} associé à A. On reprend les notations des questions 8. et 9..
   a) Montrer qu'il existe un nombre réel P(A) tel que
(\omega_f)^{(m)}(x_1, \cdots, x_{2m}) = P(A) Det_{\mathcal{B}} (x_1, \cdots, x_{2m},
pour tous x_1, \cdots ,x_{2m} \in E, où Det_{\mathcal{B}} désigne le déterminant dans la base canonique de \mathbb{R}^{2m}. Le nombre P(A) est appelé pfaffien de A.
   b) Calculer P(A) lorsque A \in \mathcal{A}_4, en fonction des coefficients a_{1,2}, a_{1,3}, a_{1,4}, a_{2,3}, a_{2,4}, a_{3,4} de A.
   c) Lorsque A = \begin{pmatrix} 0_m & -D\\ D & 0_m \end{pmatrix}, où D est une matrice diagonale d'ordre m, calculer P(A) en fonction des coefficients diagonaux de D, et déterminer un nombre réel \alpha indépendant de D tel que
P(A) = \alpha Det D


Troisième partie

11. Soit A \in \mathcal{A}_{2m} et soit M une matrice d'ordre 2m.
   a) Montrer que {}^tMAM \in \mathcal{A}_{2m}.
   b) Montrer que P({}^t MAM) = Det(M) P(A).

12. En utilisant le résultat de la question 6. a), montrer que, pour A \in \mathcal{A}_{2m},
(P(A))^2 = Det(A)

13. Soit \Pi : \mathcal{A}_{2m} \longrightarrow \mathbb{R} une application telle que \Pi ({}^t MAM) = \Det(M) \Pi(A), pour tout A \in \mathcal{A}_{2m}, et pour toute matrice M d'ordre 2m. Montrer qu'il existe un nombre réel \kappa tel que, pour tout A \in \mathcal{A}_{2}, \, \Pi(A) = \kappa P(A).

14. Soit M une matrice d'ordre 2m telle que {}^tM\mathcal{I}_{2m}M = \mathcal{I}_{2m}, où \mathcal{I}_{2m} est la matrice définie à la question 6. b). Montrer que Det(M) = 1.

15. a) Soit B une matrice d'ordre m et soit A = \begin{pmatrix} 0_m & -{}^t B \\ B & 0_m \end{pmatrix}. Exprimer P(A) en fonction de Det(B).
   b) Soient m_1 et m_2 des entiers \geq 1, A_1 \in \mathcal{A}_{2m_1} , \, A_2 \in \mathcal{A}_{2m_2}, et soit A = \begin{pmatrix} A_1 & 0_{2m_1,2m_2} \\ 0_{2m_2,2m_1} & A_2} \end{pmatrix}, où 0_{m,m'} désigne la matrice nulle à m lignes et m' colonnes. Exprimer P(A) en fonction de P(A_1) et de P(A_2).



Le déterminant d'une matrice antisymétrique peut toujours être exprimé comme carré d'un polynôme des coefficients de la matrice. Ce polynôme est appelé le Pfaffien de la matrice. En fait, le mot Pfaffien fut introduit par le mathématicien britannique Arhtur Cayley (1821-1895) en faisant réference au mathématicien allemand Johann Friedrich Pfaff (1765-1825) à cause du lien de ces polynômes avec les recherches de ce dernier sur les équations différentielles...

Première Partie

1. On sait que : \det (A) = \det(^tA) \red (1)
Et puisque A est antisymétrique, ^t A= -A
Donc : \det(^t A) = \det(-A) = (-1)^n \det(A) \red (2)
De \red (1) et \red (2) : \det (A) = (-1)^n \det (A).
D'où, si n est impair , \boxed{\det(A)=0}.

2. On pose M = \left(\begin{array}{cc} 0_m&-D\\D&0_m \end{array} \right) et d_1,\cdots, d_m les éléments diagonaux de D.
Soit (e_1,\cdots, e_m,e_{m+1},\cdots, e_{2m}) la base canonique de \mathbb{R}^{2m}.
On considère la base : \mathfrak{B}=(e_1,e_{m+1},\cdots,e_k,e_{m+k},\cdots, e_{2m}) avec k\in\lbrace 1,\cdots, m\rbrace .
Soit l'endomorphisme u:X\longrightarrow MX,
\forall k\in\lbrace 1,\cdots, m\rbrace , le sous espace Vect(e_k,e_{k+m}) est stable par u.
Donc u a pour matrice dans la base \mathfrak{B} une matrice M^' diagonale par blocs :
Concours Ecole Polytechnique filière PC Deuxième épreuve 2003 - supérieur : image 2

Les déterminants de M et M' sont égaux et : \boxed{\det M=\det M'= d_1^2 d_2^2\cdots d_m^2}

3. Soit x\in E
L'adjoint vérifie : 0=(x|f^2(x))=(-f(x)|f(x))=-||f(x)||^2
et puisque (.|.) est un produit scalaire, donc il est défini positif , c'est-à-dire : f(x)=0.
Donc : \fbox {f=0}.

4. a) Par hypothèse : f^* f = -f^2=id_E
Donc : f est orthogonal.

4. b) Soit n=\dim E.
On a : f^* = -f et \det(f)=\det (f^*).
Donc : \det(f)=(-1)^n \det( f)
Or, |\det(f)|= 1\not = 0.
Donc : n est pair.

4. c) On a : f^*=-f.
Alors pour tout v de E : (v|f(v)) = -(v|f(v)).
Donc : \forall v\in E : (v|f(v)) = 0.
Or, (f(v)|f(v))=-(v|f^2(v))=(v|v)
Donc : ||f(v) || = ||v||.
Donc, quand v\not = 0 , v et f(v) sont indépendants.

4. d) Puisque f^2=-v, le sev Vect(v,f(v)) est stable par f.
Or, soit G un sev quelconque stable par f
puisque f^*=-f, G^{\perp} est aussi stable par f.
En effet : \forall x\in G^{\perp} , \forall y\in G : (f(x)|y)=(x|-f(y))=0 , donc f(x) reste bien dans G^{\perp}.
Et dans notre cas, on aura : Vect(v,f(v))^{\perp} est stable par f.
Or : Vect(v,f(v))^{\perp} = F.
On en déduit : \fbox {f(F)\subset F} .

4. e) On fait une démonstration par récurrence sur m. Pour m = 1, on sait déjà qu'il y a une base de la forme (v,f(v)). Supposons le résultat prouvé pour un entier m et n=2(m+1). On choisit (v_{m+1},f(v_{m+1})) linéairement indépendants. L'orthogonal F de Vect(v_{m+1},f(v_{m+1})) est stable par f, de dimension 2m et la restriction de f à F vérifie f^2+Id_F^2=0. L'hypothèse de récurrence assure l'existence d'une base de F de la forme (v_1,...,v_m,f(v_1),...,f(v_m))
et (v_1,...,v_m,v_{m+1},f(v_1),...,f(v_m),f(v_{m+1})) est une base de E qui répond à la question. Comme f(f(v_k))=-v_k, la matrice de f par rapport à cette base est
\left(\begin{array}{cc} O_m & -I_m\\ I_m & O_m\end{array}\right)O_m est la matrice nulle m \times m et I_m la matrice unité m\times m.

5. a) Comme (f^2)^*=f^*f^*=(-f)(-f)=f^2, l'endomorphisme f^2 est symétrique et on sait qu'un tel endomorphisme est diagonalisable dans une base orthogonale.

5. b) Soient \lambda une valeur propre de f^2 et v un vecteur propre relatif à \lambda. On a alors
0=(f^2(v)-\lambda v|f^2(v)-\lambda v)=(f^2(v)|f^2(v))-2\lambda(f^2(v)|v)+\lambda^2(v|v)=(f^2(v)|f^2(v))-2\lambda(f(v)|f^*(v))+\lambda^2(v|v)=(f^2(v)|f^2(v))+2\lambda(f(v)|f(v))+\lambda^2(v|v)
et comme (x|x) est positif pour tout x, ceci entraine \lambda \leq 0.

5. c) En gardant les mêmes notations, on a
f^2(f(v))=f(f^2(v))=f(\lambda v)=\lambda f(v)
ce qui montre que chaque sous-espace propre est stable par f.

6. a) Si \lambda_i=0, d'après 3, f induit la fonction nulle sur le sous-espace stable E_i.
Supposons \lambda_i < 0 et posons \mu_i=\sqrt{-\lambda_i}. La fonction g induite par (1/\mu_i)f sur E_i, vérifie g^2+Id_{E_i}=0, donc on peut construire comme dans 4. e) une base orthogonale de E_i de la forme (v_{i,1},...,v_{i,k_i},g(v_{i,1}),...,g(v_{i,k_i}))). On a
alors f(v_{i,j})=\mu_iv_{i,j} et f(f(v_{i,j}))=-\mu f(v_{i,j}) ce qui fait que la matrice de la retriction de f à E_i par rapport à la base orthogonale (v_{i,1},...,v_{i,k_i},f(v_{i,1}),...,f(v_{i,k_i})) est de la forme
\left(\begin{array}{rr} O_{k_i} & -\mu_iI_{k_i}\\ \mu_iI_{k_i} & O_{k_i}\end{array}\right).
Compte tenu du fait que les sous-espaces propres forment une somme directe orthogonale, en réunissant toutes ces bases et en les renumérotant (les v d'abord et les f(v) ensuite), on trouve bien une base orthogonale par rapport à laquelle la matrice est de la forme demandée et donc aussi une matrice orthogonale Q telle que
A=^tQ\left(\begin{array}{rr}O_m & -D \\ D & O_m\end{array}\right)Q

6. b) Soit N=\left(\begin{array}{rr} D\  & O_m\\ O_m & I_m\end{array}\right). On vérifie facilement que A={}^tQ{}^tNJ_{2m}NQ.


Deuxième partie

7. a) On a
0=\omega(x_1,...,x_i+x_{i+1},x_i+x_{i+1},...,x_q)=\omega(x_1,...,x_i,x_i,...,x_q)+\omega(x_1,...,x_i,x_{i+1},...,x_q)+\omega(x_1,...,x_{i+1},x_i,...x_q)+\omega(x_1,...,x_{i+1},x_{i+1},...,x_q).
et, le premier et le dernier terme de cette somme étant nuls, on trouve bien \omega(x_1,...,x_{i+1},x_i,...,x_q)=-\omega(x_1,...,x_i,x_{i+1},...,x_q).

7. b) Supposons que j=i+k. En échangeant x_i avec x_{i+1}, puis avec x_{i+2}, on trouve \omega(x_1,...,x_i,...,x_{i+k}, ..., x_q)=(-1)^{k-1}\omega(x_1,...,x_{i+1},...,x_{i+k-1}, x_i,x_{i+k},...,x_q)=0

7. c) Soient \omega_1 et \omega_2 deux éléments de \scr{Alt}_q(E) et \lambda_1 et \lambda_2 des réels. Il est clair que l'application \lambda_1\omega_1+\lambda_2\omega_2 et l'application nulle vérifient les conditions A) et B) donc elles appartiennent à \scr{Alt}_q(E) ce qui prouve que \scr{Alt}_q(E) est un espace vectoriel réel.

7. d) L'application déterminant est un élément non nul de \scr{Alt}_q(E), donc c'est une base de cet espace vectoriel qui est de dimension 1.

8. a) \omega^{(2)}(x_1,x_2,x_3,x_4)=\omega(x_1,x_2)\omega(x_3,x_4)-\omega(x_1,x_3)\omega(x_2,x_4)+\omega(x_1,x_4)\omega(x_2,x_3)
Il est clair que l'application \omega^{(2)} est linéaire par rapport à chacune de ses variables. De plus
\omega^{(2)}(x_1,x_1,x_3,x_4)=0-\omega(x_1,x_3)\omega(x_1,x_4)+\omega(x_1,x_4)\omega(x_1,x_3)=0
\omega^{(2)}(x_1,x_2,x_2,x_4)=\omega(x_1,x_2)\omega(x_2,x_4)-\omega(x_1,x_2)\omega(x_2,x_4)+0=0
\omega^{(2)}(x_1,x_2,x_3,x_3)=0-\omega(x_1,x_3)\omega(x_2,x_3)+\omega(x_1,x_3)\omega(x_2,x_3)=0
donc \omega^{(2)}\in\scr{Alt}_4(E).

8. b) Soit p \geq 3 et supposons que \omega^{(p-1)} \in {\scr Alt}_{2(p-1)}(E). On a
\omega^{(p)} (x_1, \cdots, x_\{2p}) = \displaystyle \sum_{i=2}^{2p} (-1)^i \omega(x_1,x_i) \omega^{(p-1)} (x_2, \cdots ,x_{i-1}, x_{i+1}, \cdots ,x_{2p}).
Il est clair que cette application est linéaire par rapport à chacune de ses variables.
Soit maintenant k tel que 1 < k < 2p-1. En tenant compte de l'hypothèse de récurrence, si on prend x_k=x_{k+1}, on trouve bien
\omega^{(p)}(x_1,...,x_k,x_k,...,x_{2p}) \\ = (-1)^k\omega(x_1,x_k)(\omega^{(p-1)}(x_1,...,x_k,x_{k+2},...,x_{2p})+(-1)^{k+1}\omega(x_1,x_k)\omega^{(p-1)}(x_1,...,x_k,x_{k+2},...,x_{2p})=0
De plus, si on prend x_1=x_2, on trouve

9. La bilinéarité est vérifiée car f est linéaire et le produit scalaire est bilinéaire.
L'antisymétrie est vérifiée par définition de f^*=-f

10. a) Comme \omega_{f}^{(2m)} est dans Alt_{2m}, cette forme est proportionnelle à la forme (non nulle) Det(x_1, . . . , x_{2m}), d où l existence d un coefficient de proportionnalité P(A) .

10. b) Il suffit de faire le calcul de \omega_{f}^{(2m)} pour les vecteurs de la base canonique de \mathbb{R}^{2m}, puisqu'alors leur déterminant vaut 1. En appelant (e1, . . . , e2m) les vecteurs de cette base, il vient :
\omega_{f}^{(2)}(e_1,e_2,e_3,e_4)=(e_1|f(e_2)).(e_3|f(e_4))-(e_1|f(e_3)).(e_2|f(e_4)))+(e_1|f(e_4)).(e_2|f(e_3))
d où par définition de la matrice de f et des composantes dans une base orthonormée, P(A) = a_{12}a_{34} - a_{13}a_{24}+a_{14}a_{23} .

10. c) Comme avant, P(A)=\omega_{f}^{(2m)}(e_1,\cdots, e_{2m})
Par la définition de f , seuls les termes \omega_{f}(e_k,e_{m+k})=-d_k avec 1\leq k\leq m sont a priori non nuls, d?où :
P(A) =(-1)^{m+1}(-d1)\omega_{f}^{(m-1)}(e_2,\cdots, e_{m},e_{m+2},\cdots, e_{2m})=(-1)^m d_1 \omega_{f}^{(m-1)}(e_1,\cdots, \tild{e_{m+1}},\cdots,e_{2m})
et par une récurrence immédiate, P(A) = (-1)^m d_1 (-1)^{m-1} d_2 \cdots (-1)^1d_m = (-1)^{m(m+1)/2} DetD .


Troisième partie

11.a) Puisque Aet M sont deux matrices d'ordre 2m. Alors : ^tMAM est d'ordre 2m.
De plus : {}^t({}^tMAM) = {}^tM^tAM=-{}^tMAM car {}^tA=-A
Donc {}^tMAM \in \mathfrak{A}_{2m}.

11. b) Soit f et g les deux endormorphismes de \mathbb{R}^{2m} associés resp. aux matrices A et {}^tMAM, donc :
f : X \longrightarrow AX     et     g : X \longrightarrow {}^tMAMX.
On a : \omega_g(x,y) = (x|^tMAMy) = \omega_f(Mx|My)
Par une récurrence évidente, on retrouve que : \forall k\in \lbrace 1,\cdots, m\rbrace : \omega_g^{(k)}(x_1,\cdots,x_{2k})=\omega_f^{(k)} (Mx_1,\cdots,Mx_{2k})
Donc :
\begin{array}{cl} \omega_g^{(m)}(x_1,\cdots,x_{2m}) &=\omega_f^{(m)} (Mx_1,\cdots,Mx_{2m})\\ &=P(A)\det(Mx_1,\cdots,Mx_{2m})\\ &=P(A)\det(M)\det(x_1,\cdots,x_{2m}) \end{array}
D'où : P(^tMAM)=P(A)\det(M).

12. D'après 6. a) A = {}^tQ \begin{pmatrix} 0_m & -D \\ D & 0_m \end{pmatrix} Q
d'où, d'après 10. c) et 11. b) : P(A)=(\det Q) (-1)^{\frac{m(m+1)}{2}} (\det D)
Or, puisque Q est orthogonale, \displaystyle |\det Q |= 1
Donc : \det A =\det \begin{pmatrix} 0_m&-D\\D&0_m \end{pmatrix} =(\det(D))^2
De plus : (P(A))^2=(-1)^{m(m+1)} (\det (D))^2  = (\det (D))^2
On en déduit que : \boxed{P(A)^2=\det A}

13. D'après 6. b) : A= {}^tMJ_{2m} M
Par définition de l'application \prod : \prod(A)=\prod(^tM J_{2m} M)=\det M\prod(J_{2m}).
tandis que : P(A)=(\det M) P(J_{2m}) = (-1)^{\frac{m(m+1)}{2}} \det M
On en déduit que : \prod(A) =(-1)^{\frac{m(m+1)}{2}} \prod(J_{2m})P(A)
Or : \prod : \mathfrak{A}_{2m} \longrightarrow \mathbb{R}
On pose alors : k=(-1)^{\frac{m(m+1)}{2}}\bigprod(J_{2m})\in\mathbb{R}.
D'où le résultat.

14. D'après 11. b) : P(J_{2m}) = P(^tM J_{2m} M)=(\det M )P(J_{2m})
et comme |P(J_{2m}) |=1 , alors : P(J_{2m}) \neq 0
Il en découle \det M = 1.

15. a) On a : A = \begin{pmatrix} 0_m & -{}^tB\\B & 0_m \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {}^tB & 0_m\\0_m & I_m \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0_m & -I_m\\I_m & 0_m \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} B & 0_m\\0_m & I_m \end{pmatrix}.
d'après les propriétés du Pfaffien et du déterminant : P(A)=\det(B).P(J_{2m}) = (-1)^{\frac{m(m+1)}{2}} \det(B)

15. b) i) Commençons par un cas particulier : A_1=J_{2m_1} et A_2=J_{2m_2}.
La matrice obtenue se ramène à la matrice J_{2(m_1+m_2)} (qui est semblable à lui), lorsqu'on intervertit, dans la base canonique (e_1,\cdots, e_{2m_1+2m_2}) les vecteurs e_{m_1+1},\cdots, e_{m_1+m_2} avec les vecteurs e_{2m_1+1},\cdots, e_{2m_1+m_2 }. Cela correspond à un changement de base orthonormée de determinant (-1)^{m_1m_2} en réalisant m_1 m_2transpositions de vecteurs consécutifs.
D'après la formule de 11. b) on a :
\begin{equation*} P \begin{pmatrix} J_{2m_1}&0_{2m_1,2m_2}\\0_{2m_1,2m_2}&J_{2m_2}\end{pmatrix} &= (-1)^{m_1m_2}P(J_{2(m_1+m_2)}) \\ &=(-1)^{m_1m_2}(-1)^{\frac{(m_1+m_2)(m_1+m_2+1)}{2}}\\ =(-1)^{m_1(m_1+1)/2} . (-1)^{m_2(m_2+1)/2} \end{equation}

ii) Dans le cas général, on écrit : A_1=^tM_1J_{2m_1} M_1 et A_2=^tM_2J_{2m_2} M_2.
A=\begin{pmatrix} A_1&0_{2m_1,2m_2}\\0_{2m_1,2m_2}&A_2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {}^tM_1J_{2m_1}M_1&0_{2m_1,2m_2}\\0_{2m_1,2m_2}&^tM_2J_{2m_2}M_2}\end{pmatrix}\\ = \begin{pmatrix} {}^tM_1&0_{2m_1,2m_2}\\0_{2m_1,2m_2}&^tM_2} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} J_{2m_1}&0_{2m_1,2m_2}\\0_{2m_1,2m_2}&J_{2m_2}} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} M_1&0_{2m_1,2m_2}\\0_{2m_1,2m_2}&M_2}\end{pmatrix}

Et par propriété du Pfaffien :
\begin{equation*} P(A) &=\det(M_1)\det(M_2)P \begin{pmatrix} J_{2m_1}&0_{2m_1,2m_2}\\0_{2m_1,2m_2}&J_{2m_2}}\end{pmatrix} \\ &=(-1)^{m_1(m_1+1)/2}\det(M_1) . (-1)^{m_2(m_2+1)/2} \det(M_2) \\ & =P(A_1).P(A_2) \end{equation}
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