Fiche de mathématiques

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Bac Economique et Social
Pondichéry - Session 2006

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Coefficient : 5 Durée : 3 heures

4 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

La courbe ci-dessous C_f est la représentation graphique d'une fonction $f$ définie, continue et dérivable sur $\left] -\infty ; \dfrac{5}{2} \right]$ .
On note $f'$ sa fonction dérivée et F la primitive de $f$ qui vérifie : F(1) = 2e.

sujet du bac ES Pondichéry 2006 - terminale : image 1

On précise :
$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$ et pour tout $x < 0, f(x) > 0$ .
La tangente à la courbe au point A(2 ; 0) passe par le point B(1 ; e²).
F(-3) = $\dfrac{6}{e^3}$ .

Pour chacune des huit affirmations, précisez sur votre copie si elle est vraie ou fausse (aucune justification n'est demandée et il n'est pas nécessaire de recopier l'énoncé).
Barème : A chaque question est attribué 0,5 point. Une réponse inexacte enlève 0,25 point. Une question sans réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Si le total est négatif, il est ramené à zéro.

Affirmation 1
Pour tout $x \in ]-\infty ; 2], f'(x) \geq 0$ .

Affirmation 2
Le nombre dérivé en 2 de la fonction $f$ est égal à e².

Affirmation 3
La fonction F présente un maximum en 2.

Affirmation 4
L'aire de la partie du plan comprise entre C_f, l'axe des abscisses, les droites d'équations $x = -3 \text{ et } x = 1$ est égale (en unité d'aire) à $\dfrac{2e^4 - 6}{e^3}$ .

Affirmation 5
$\displaystyle \int_0^2 f'(x) dx = -2$ .

Affirmation 6
La fonction $\dfrac{1}{f}$ est définie sur ]- $\infty$ ; 2].

Affirmation 7
La limite de la fonction $\dfrac{1}{f}$ en - $\infty$ est + $\infty$ .

Affirmation 8
La courbe représentative de la fonction $\dfrac{1}{f}$ présente une asymptote d'équation $x$ = 2.

5 points

exercice 2 - Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Pour passer le temps, Chloé et Margaux inventent un jeu avec leur paquet de 32 cartes à jouer et un paquet de bonbons.
On rappelle que, dans un jeu de 32 cartes, on trouve quatre couleurs (pique, trèfle, coeur, carreau) et, dans chaque couleur, on a une série de 8 cartes (7, 8, 9, 10, valet, dame, roi, as).

Margaux propose la règle suivante :
    On tire une carte, on regarde si c'est un roi. Sans remettre la carte dans le paquet, on tire une seconde carte et on regarde si c'est un roi.
    Si, sur les deux cartes, on a tiré exactement un roi, on gagne 10 bonbons ; si on a tiré deux rois, on gagne 20 bonbons ; sinon, on a perdu !
On note :
    R₁ l'événement " tirer un roi au premier tirage " et $\overline{R_1}$ son événement contraire,
    R₂ l'événement " tirer un roi au deuxième tirage " et $\overline{R_2}$ son événement contraire. nl]
1. Justifier les valeurs des probabilités suivantes :
$P(R_1) = \dfrac{1}{8} \hspace{50pt} P_R_1(R_2) = \dfrac{3}{31} \hspace{50pt} P_{\overline{R_1}}(R_2) = \dfrac{4}{31}$

2. On traduit le jeu par un arbre pondéré. Reproduire l'arbre ci-dessous en inscrivant les probabiltés, en écriture fractionnaire sur chaque branche.

sujet du bac ES Pondichéry 2006 - terminale : image 2

Dans ce qui suit, les probabilités seront données sous forme décimale arrondie au millième.

3. Calculer la probabilité des événements :
A " tirer un roi au premier tirage et au deuxième tirage "
B " tirer un roi à un seul des deux tirages "

4. On s'intéresse au nombre X de bonbons gagnés après deux tirages.
Compléter le tableau suivant qui donne la loi de probabilité de X.

Nombre de bonbons $x_i$	0	10	20
$p(X = x_i)$		0,226

5. Calculer l'espérance mathématique E de cette loi, arrondie au dixième.

5 points

exercice 2 - Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Pendant la saison estivale, deux sociétés de transport maritime ont l'exclusivité de l'acheminement des touristes entre deux îles du Pacifique. On admet que le nombre de touristes transportés pendant chaque saison est stable.

La société " Alizés " a établi une enquête statistique sur les années 2001 à 2005 afin de prévoir l'évolution de la capacité d'accueil de ses navires.
L'analyse des résultats a conduit au modèle suivant : d'une année sur l'autre, la société " Alizés ", notée A, conserve 80 % de sa clientèle et récupère 15 % des clients de la société concurrente, notée B.

Pour tout entier naturel n, on note pour la saison (2005 + n) :
a_n la probabilité qu'un touriste ait choisi la société Alizés (A),
b_n la probabilité qu'un touriste ait choisi l'autre société de transport (B),
P_n = (a_n    b_n), la matrice traduisant l'état probabiliste,avec a_n + b_n = 1.

Les résultats pour les probabilités seront arrondies à 10^-4.

1. a) Modéliser le changement de situation par un graphe probabiliste de sommets nommés A et B.
    b) On note M la matrice de transition de ce graphe. Compléter la matrice suivante :
$\hspace{200pt} M = \left(0,8 \hspace{14pt} ...\\0,15 \hspace{8pt} ...\right)$

2. En 2005, la société " Alizés " a transporté 45 % des touristes. On a donc a₀ = 0,45.
    a) Calculer la probabilité qu'un touriste choisisse la société " Alizés " en 2006.
    b) Déterminer la matrice P₂ et interpréter ces résultats.

3. Soit P = (a    b) avec a et b deux réels positifs tels que a + b = 1.
    a) Déterminer a et b tels que P = P × M.
    b) En déduire $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} a_n$ .
    c) Interpréter ce résultat.

4. On admet qu'en 2015, la probabilité qu'un touriste choisisse la société A est $\frac37$ . On interroge quatre touristes choisis au hasard ; les choix des touristes sont indépendants les uns des autres.
Déterminer la probabilité qu'au moins un des quatre touristes choisisse la société " Alizés " pour ses vacances en 2015.

4 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

L'objectif de cet exercice est de démontrer la propriété algébrique fondamentale de la fonction logarithme népérien notée ln.
Propriété fondamentale :
Pour tous réels strictement positifs a et b, ln(ab) = ln a + ln b
Rappels On rappelle les résultats de cours suivants, auxquels le candidat fera clairement référence pour justifier chacune de ses affirmations au cours des étapes de la démonstration (on pourra en rappeler le numéro).
Théorème 1 : Sur un intervalle I, deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante.
Théorème 2 : Soit u une fonction définie, dérivable et strictement positive sur un intervalle I, la fonction composée définie par $x \mapsto \ln(u(x))$ est dérivable sur I, de fonction dérivée $x \mapsto \dfrac{u'(x)}{u(x)}$
Théorème 3 : La somme $f$ de deux fonctions dérivables u et v sur un même intervalle I est dérivable sur I et $f'$ = u' + v'.
Définition : ln 1 = 0.

Enoncé de l'exercice Soit a un réel constant strictement positif.
On considère les fonctions $f$ et g, de variable $x$ , définies sur ]0; + $\small \infty$ [ par : $f(x) = \ln(ax)$ et $g(x) = \ln a + \ln x$

Partie 1

Dans le cas où a = 2, donner les fonctions dérivées de $f : x$ fleche2

$\ln(2x)$ et $g : x$ fleche2

$\ln 2 + \ln x$ .

Partie 2 : Démonstration de la propriété

1. Calculer et comparer les dérivées de $f$ et de g dans le cas général où a est un réel constant strictement positif.

2. Pourquoi peut-on affirmer qu'il existe un réel $k$ tel que, pour tout $x \in ]0; +\infty[, \hspace{2pt} f(x) = g(x) + k$ ?

3. En posant $x$ = 1, déterminer la valeur de $k$ .

4. Justifier la propriété fondamentale de la fonction ln énoncée en début d'exercice.

7 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

Partie 1

Soient les fonctions $f$ et g définies sur [0 ; 9] par $f(x) = \dfrac{10}{1+x} - 1 \text{ et } g(x) = \dfrac{x}{2}$ .

1. Résoudre algébriquement l'équation : $f(x) = g(x)$ .

2. Calculer l'intégrale : I = $\displaystyle \int_3^9 f(x) dx$ ; on donnera la valeur exacte de I.

Partie 2

Un produit conditionné en boîte est mis sur le marché.
On désigne par $x$ le prix d'une boîte de ce produit en dizaine d'euros.
On admet que la quantité achetée par les consommateurs, en fonction du prix $x$ appliqué sur le marché, est donné par $f(x)$ en centaines de boîtes.
On admet que la quantité proposée sur le marché par les producteurs, en fonction du prix de vente $x$ auquel les producteurs sont disposés à vendre, est donnée par $g(x)$ en centaines de boîtes.

Sur le graphique ci-dessous, sont tracées dans un repère orthonormal les courbes représentatives des fonctions $f$ et g.

sujet du bac ES Pondichéry 2006 - terminale : image 3

1. On pourra utiliser le graphique pour conjecturer les réponses aux questions suivantes, puis on les justifiera algébriquement.
    a) Combien de boîtes seront achetées par les consommateurs si le prix de vente est de 40 euros la boîte ?
    b) Lorsque l'offre est égale à la demande, le marché a atteint son équilibre. Donner le prix d'équilibre, en euros, et le nombre de boîtes correspondant.

2. a) D'après le graphique, les producteurs étaient disposés à vendre les boîtes à un prix inférieur au prix d'équilibre.
On appelle surplus des producteurs le gain réalisé en vendant les boîtes au prix d'équilibre. Ce gain est donné en milliers d'euros par l'aire du triangle OAE (1 unité d'aire = 1 millier d'euros).
Calculer ce surplus en euros.
    b) Le surplus des consommateurs est l'économie réalisée par les consommateurs qui étaient prêts à payer plus cher que le prix d'équilibre. Ce surplus est donné, en milliers d'euros, par l'aire de la partie grisée du plan sur le graphique (3 $\leq x \leq$ 9).
Préciser quelle intégrale permet de calculer ce surplus et en donner l'arrondi à l'euro.

Correction

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Affirmation 1
Pour tout $x \in ]-\infty \, ; \, 2], \: f'(x) \ge 0$ .
Réponse : Cette affirmation est fausse.
Pour information : la fonction $f$ est croissante sur $]-\infty ; 1]$ , et décroissante sur [1 ; 2].
Donc pour tout $x \in ]-\infty ; 1], \: f'(x) \ge 0$ et pour tout $x \in [1 ; 2], \: f'(x) \le 0$

Affirmation 2
Le nombre dérivé en 2 de la fonction $f$ est égal à e².
Réponse : Cette affirmation est fausse.
Pour information : la droite (AB), qui est la tangente à la courbe au point A, a pour coefficient directeur : $f'(2) = \dfrac{y_{\text{B}} - y_{\text{A}}}{x_{\text{B}} - x_{\text{A}}} = \dfrac{e^2}{-1} = -e^2$

Affirmation 3
La fonction F présente un maximum en 2.
Réponse : Cette affirmation est vraie.
Pour information : Nous savons que pour tout réel $x, \, F' (x) = f(x)$
Pour tout $x \in ]-\infty ; 2], \, f(x) \ge 0$ , donc la fonction F est croissante sur cet intervalle.
Pour tout $x \in [2 ; +\infty[, \, f(x) \le 0$ , donc la fonction F est décroissante sur cet intervalle.

Affirmation 4
L'aire de la partie du plan comprise entre C_f, l'axe des abscisses, les droites d'équations $x = -3 \text{ et } x = 1$ est égale (en unité d'aire) à $\dfrac{2e^4-6}{e^3}$ .
Réponse : Cette affirmation est vraie.
Pour information : $\displaystyle \int_{-3}^1 f(x) \: dx = F(1) - F(-3) = 2e - \frac{6}{e^3} = \frac{2e^4-6}{e^3}$

Affirmation 5
$\displaystyle \int_0^2 f'(x) \: dx = -2$
Réponse : Cette affirmation est vraie.

Affirmation 6
La fonction $\dfrac{1}{f}$ est définie sur $]-\infty ; 2]$ .
Réponse : Cette affirmation est fausse.
Pour information : $f(2) = 0$

Affirmation 7
La limite de la fonction $\dfrac{1}{f}$ en - $\infty$ est + $\infty$ .
Réponse : Cette affirmation est vraie.
Pour information : $\displaystyle \lim_{x\to-\infty} f(x) = 0$ et pour tout $x < 0, \, f(x) > 0$

Affirmation 8
La courbe représentative de la fonction $\dfrac{1}{f}$ présente une asymptote d'équation $x = 2$ .
Réponse : Cette affirmation est vraie.
Pour information : $\displaystyle \lim_{\begin{array}{l} x \to 2\\x > 2 \end{array}} f(x) = -\infty$
$\displaystyle \lim_{\begin{array}{l} x \to 2\\ x < 2\end{array}} f(x) = +\infty$

exercice 2 - Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. Justifions les valeurs des probabilités :
Pour $P(R_1) = \dfrac{1}{8}$
Il y a 4 rois dans un jeu de 32 cartes, donc nous avons 4 chances sur 32 de tirer un roi.
Pour $P_R_1(R_2) = \dfrac{3}{31}$
Après avoir tiré un roi, il reste 3 rois dans le jeu de 31 cartes, donc nous avons 3 chances sur 31 de tirer un roi.
Pour $P_{\overline{R_1}}(R_2) = \dfrac{4}{31}$
Après avoir tiré une carte qui n'est pas un roi, il reste 4 rois dans un jeu de 31 cartes, donc nous avons 4 chances sur 31 de tirer un roi.

2. Complétons l'arbre pondéré :

sujet du bac ES Pondichéry 2006 - terminale : image 4

3. Déterminons la probabilité de l'évènement A :
On tire un roi au premier tirage et au deuxième tirage, donc : p(A) = 0,125 × 0,097
D'où : la probabilité de l'évènement A est environ 0,012 (valeur arrondie au millième).

Déterminons la probabilité de l'évènement B :
On tire un roi à un seul des deux tirages, donc :
Si je tire un roi au premier tirage, je ne dois pas en tirer au second, donc $0,125 \times 0,903 \approx 0,113$
Si je ne tire pas de roi au premier tirage, je dois en tirer un au second, donc : $0,875 \times 0,903 \approx 0,113$
Ainsi, on a : la probabilité de l'évènement B est environ 0,113 + 0,113, soit 0,226 (valeur arrondie au millième).

4. Complétons le tableau suivant qui donne la loi de probabilité de X :

Nombre de bonbons $x_i$	0	10	20
$p(X = x_i)$	0,762	0,226	0,012

Pour information :
Si il n'y a aucun bonbon gagné, cela signifie qu'aucun roi n'a été tiré.
S'il y a 20 bonbons gagnés, cela signifie qu'il y a eu 2 rois tirés.

5. Calculons l'espérance mathématique E de cette loi :
E(X) = 10 × 0,226 + 20 × 0,012
L'espérance mathématique de cette loi est 2,5.

exercice 2 - Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

1. a) Modélisons le changement de situation par un graphe probabiliste de sommets nommés A et B :

sujet du bac ES Pondichéry 2006 - terminale : image 5

1. b) La matrice cherchée est la suivante :
$\hspace{200pt} M = \left(\begin{array}{ccc}0,8&&0,2\\ 0,15&&0,85 \end{array}\right)$
Pour information : Dans une matrice de transition, la somme des éléments d'une ligne est toujours égal à 1.
la première ligne contient les probabilités de passer de l'état $a_n$ aux états $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$

2. En 2005, la société " Alizés " a transporté 45 % des touristes. On a donc a₀ = 0,45.

2. a) Calculons la probabilité qu'un touriste choisisse la société " Alizés " en 2006 :
La société " Alizés " conserve 80 % de sa clientèle d'une année à l'autre.
D'où : a₁ = 0,8 × a₀ = 0,8 × 0,45 = 0,36
La probabilité qu'un touriste choisisse la société "Alizés" est de 0,36.

2. b) Déterminons la matrice P₂ :
$P_2 = \left(a_2 \; b_2\right) = P_0 \times M^2$
Or, $P_0 = \left(a_0 \; b_0\right) = \left(0,45 \; \; 0,55\right)$
et
$M^2 = \left(\begin{array}{ccc}0,8& \hspace{5pt} & 0,2\\0,15&&0,85\\\end{array}\right) \times \left(\begin{array}{ccc} 0,8& \hspace{5pt} & 0,2\\0,15&&0,85\\\end{array}\right) \\ \hspace{20pt} = \left(\begin{array}{ccc}0,67& \hspace{5pt} &0,33\\0,2475&&0,7525\\\end{array}\right)$
(Vérification : 0,67 + 0,33 = 1 et 0,2475 + 0,7525 = 1)
D'où :
$P_2 = P_0 \times M^2\\ \hspace{19pt} = \left(0,45 \; \; 0,55\right) \times \left(\begin{array}{ccc}0,67 & \hspace{5pt} &0,33\\ 0,2475&&0,7525\\ \end{array}\right) \\ \hspace{19pt} \approx \left(\begin{array}{ccc} 0,4376 & \hspace{5pt} & 0,5624\\ \end{array}\right)$
(Vérification : 0,4376 + 0,5624 = 1)
Interprétation des résultats :
La probabilité qu'un touriste ait choisi la société Alizés en 2 007 est à peu près 0,4376.
la probabilité qu'un touriste ait choisi l'autre société de transport est à peu près 0,5624.

3. a) Déterminons a et b tels que P = P × M :
P = P × M se traduit par :
$\left(ab\right) = \left(ab\right) \times \left(\begin{array}{ccc} 0,8& \hspace{5pt} &0,2\\0,15&&0,85\\\end{array}\right) \\ \hspace{20pt} = \left(0,8a+0,15b \; \; 0,2a+0,85b\right)$
En identifiant et en nous rappelant que a + b = 1, nous obtenons :
$\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} a+b& 1\\a&0,8a+0,15b \\ b& 0,2a+0,85b\end{array} \right. \\ \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} a+b & 1 \\ 0,2a-0,15b & 0 \end{array} \right. \\ \left \lbrace \begin{array}{lcl} a & \approx & 0,4286\\ b & \approx& 0,5714\end{array} \right.$

3. b) Déduisons-en $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} a_n$ :
$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} a_n = a = 0,4286$

3. c) Interprétons ce résultat :
La probabilité qu'un touriste ait choisi la société Alizés au bout d'un grand nombre d'années est à peu près 0,4286.

4. Déterminons la probabilité qu'au moins un des quatre touristes choisisse la société " Alizés " pour ses vacances en 2015 :
L'événement contraire de " au moins un des quatre touristes choisisse la société " Alizés " pour ses vacances en 2015 " est :
" Aucun des quatre touristes ne choisit la société "Alizés" ", c'est à dire " les quatre touristes choisissent la société de transport ".
Calculons la probabilité que les quatre touristes choississent la société de transport :
La probabilité qu'un touriste choisisse la société B est $\dfrac{4}{7}$ .
$\left(\dfrac{4}{7}\right)^4 = \dfrac{256}{2401} \approx 0,1066$
D'où, la probabilité que les quatre touristes choississent la société de transport est 0,1066.
Or, 1 - 0,1066 = 0,8934
La probabilité qu'au moins un des quatre touristes choisisse la société " Alizés " pour ses vacances en 2015 est à peu près 0,8934.

exercice 3 - Commun à tous les candidats

Partie 1

Dans le cas où a = 2, donnons les fonctions dérivées de $f$ et $g$ :
Soit w la fonction définie sur l'intervalle ]0 ; + $\infty$ [ par $w(x) = 2x$ .
w est une fonction strictement positive et dérivable sur ]0 ; + $\infty$ [ et pour tout $x$ de ]0 ; + $\infty$ [, nous avons $w' (x) = 2$ .
Nous avons d'après le théorème 2 : $f' (x) = \dfrac{2}{2x} = \dfrac{1}{x}$
Soient $u$ et $v$ les fonctions définies sur l'intervalle ]0 ; + $\infty$ [ par $u(x) = \ln(2)$ et $v(x) = \ln(x)$ .
$u$ et $v$ sont des fonctions dérivables sur ]0 ; + $\infty$ [ et pour tout $x$ de ]0 ; + $\infty$ [, nous avons : $u'(x) = 0 \hspace{15pt} v'(x)=\dfrac{1}{x}$
Nous avons d'après le théorème 3 :
$g'(x) = \dfrac{1}{x}$

Partie 2 : Démonstration de la propriété

1. Calculons et comparons les dérivées de $f$ et de g dans le cas général où a est un réel constant strictement positif :
Soit u la fonction définie sur l'intervalle ]0 ; + $\infty$ [ par $u(x) = a x$ .
u est une fonction strictement positive et dérivable sur ]0 ; + $\infty$ [ et pour tout $x$ de ]0 ; + $\infty$ [, nous avons $u'(x) = a$ .
Nous avons d'après le théorème 2 :
$f'(x) = \dfrac{a}{ax} = \dfrac{1}{x}$
Soient $u$ et $v$ les fonctions définies sur l'intervalle ]0 ; + $\infty$ [ par $u(x) = \ln(2)$ et $v(x) = \ln(x)$ .
$u$ et $v$ sont des fonctions dérivables sur ]0 ; + $\infty$ [ et pour tout $x$ de ]0 ; + $\infty$ [, nous avons : $u'(x) = 0 \hspace{20pt} v'(x)=\dfrac{1}{x}$
Nous avons d'après le théorème 3 :
$g'(x) = u'(x) + v'(x) = \dfrac{1}{x}$
Ainsi, pour tout $x$ de ]0 ; + $\infty$ [, $f' (x) = g' (x)$ .

2. Les fonctions $f$ et $g$ sont des primitives de la fonction $x[ \mapsto \dfrac{1}{x}$ sur l'intervalle ]0 ; + $\infty$ [.
D'après le théorème 1, il existe une constante k, tel que pour tout $x$ de ]0 ; + $\infty$ [, $f(x) - g(x) = k$
Autrement dit, pour tout $x \in ]0; +\infty[, \; f(x) = g(x) + k$

3. $f(1) = \ln(a) \text{ et } g(1) = \ln(a)$
D'où k = 0

4. Justifions la propriété fondamentale de la fonction ln énoncée en début d'exercice :
D'après les questions précédentes, nous avons pour tous réels a et b de ]0 ; + $\infty$ [, $f(b) = g(b)$
Ainsi, $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$

exercice 4 - Commun à tous les candidats

Partie 1

1. Résolvons algébriquement l'équation : $f(x) = g(x)$ :
$f(x) = g(x) \\ \Longleftrightarrow \: \dfrac{10}{1+x}-1 = \dfrac{x}{2} \\ \Longleftrightarrow \: \dfrac{20}{2(1+x)} - \dfrac{2(1+x)}{2(1+x)} = \dfrac{x(1+x)}{2(1+x)}\\ \Longleftrightarrow \: 20-2(1+x) = x(1+x)\\ \Longleftrightarrow \: 18-2x = x+x^2\\ \Longleftrightarrow \: x^2+3x-18 = 0 \\ \Delta = 9 + 4 \times 18 = 81 = 9^2$
L'équation $x^2 + 3 x - 18 = 0$ admet deux solutions :
$x_1 = \dfrac{-3-\sqrt{\Delta}}{2} = \dfrac{-3-9}{2}=-6 \hspace{25pt} x_2 = \dfrac{-3+\sqrt{\Delta}}{2} = \dfrac{-3+9}{2}=3$
Dans l'intervalle [0 ; 9], seul $x_2$ est solution. Ainsi, la solution de l'équation $f(x) = g(x)$ est 3.

2. Calculons I :
$I = \displaystyle \int_3^9 f(x) \, dx\\ \hspace{5pt} = \displaystyle \int_3^9 \left(\frac{10}{1+x}-1\right) \, dx \\ \hspace{5pt} = 10 \displaystyle \int_3^9 \frac{dx}{1+x} - \displaystyle \int_3^9 1 \, dx\\ \hspace{5pt} = 10\left[\ln(1+x)\right]_3^9 - \left[x\right]_3^9\\ \hspace{5pt} = 10\ln(10) - 9 - 10\ln(4) + 3\\ \hspace{5pt} = 10 [\ln(10) - \ln(4)] - 6\\ \hspace{5pt} = 10 \ln \left(\dfrac{10}{4} \right) - 6\\ \hspace{5pt} = 10\ln(2,5) - 6$
D'où : $\boxed{I = 10 \ln(2,5) - 6}$

Partie 2

1. a) Le prix de vente est de 4 dizaines d'euros.
$f(40) = \dfrac{10}{1+4}-1 = 2-1 = 1$
Si le prix de vente est de 40 euros la boîte, alors la quantité achetée par les consommateurs est 100 boîtes.

1. b) Si l'offre est égale à la demande, alors $f(x) = g(x)$ .
D'après la question 1. de la partie 1, le prix d'équilibre est de 30 euros.
Or, g(3) = 1,5, donc le nombre de boîtes correspondant est de 1,5 centaines de boîtes soit 150 boîtes.

2. a) L'aire du triangle OAE rectangle en A est :
$\dfrac{\text{OA} \times \text{AE}}{2} = \dfrac{3 \times \frac{3}{2}}{2} = \dfrac{9}{4}$
Ainsi, ce surplus est 2 250 euros.

2. b) L'intégrale permettant de calculer ce surplus est $\displaystyle \int_3^9 f(x) \, dx = I$ .
Ce surplus est d'environ 3 163 euros.

Publié par Océane/Muriel le 04-12-2015

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