Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Général
Série Economique et Social
Amérique du Nord - Session 2006

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le candidat doit traiter les quatre exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Coefficient : 5 (pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité) ou 7 (pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité) Durée : 3 heures

5 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Questionnaire à choix multiples

Pour chaque question, une seule des trois réponses est exacte.
On demande d'indiquer la réponse exacte en cochant sans justification la grille réponse jointe en annexe.
Pour chaque question, une réponse exacte rapporte 0,5 point; une réponse inexacte enlève 0,25 point; l'absence de réponse donne 0 point. SI le total des points de l'exercice est négatif, la note est ramenée à 0.

Question Q₁
Si a $\in$ ]0 ; 1[ alors $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} a^x$ est égale à :
1. 0
2. $+ \infty$
3. $-\infty$

Question Q₂
Une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction $x \mapsto x e^{x^2}$ est :
1. $x \mapsto e^{x^2}$
2. $x \mapsto 2e^{x^2}$
3. $x \mapsto \dfrac12 e^{x^2}$

Question Q₃
La dérivée sur ]0 ; + $\infty$ [ de la fonction $x \mapsto x \ln x$ est :
1. $x \mapsto \dfrac{1}{x}$
2. $x \mapsto \ln x$
3. $x \mapsto \ln x + 1$

Question Q₄
e^{-2 ln 5} est égal à :
1. $\dfrac{1}{25}$
2. -25
3. $\dfrac52$

Question Q₅
L'équation $e^x = \dfrac{16}{e^x}$ admet sur $\mathbb{R}$ :
1. Aucune solution
2. Une solution
3. Deux solutions

Question Q₆
L'ensemble des solutions de l'inéquation $x \ln(0,2) - 5 \geq 0$ est :
1. $\left[\dfrac{5}{\ln(0,2)} \hspace{1pt} ; \hspace{1pt} 0\right[$
2. $\left]-\infty \hspace{1pt} ; \hspace{1pt} \dfrac{5}{\ln(0,2)} \right]$
3. $\left[\dfrac{5}{\ln(0,2)} \hspace{1pt} ; \hspace{1pt} +\infty \right[$

Dans les questions 7, 8, 9 et 10 : A et B sont deux événements d'un univers tels que P(A) = 0,4, P(B) = 0,3 P(A $\cap$ B) = 0,2.

Question Q₇
P(A $\cup$ B) =
1. 0,1
2. 0,5
3. 0,7

Question Q₈
P(A $\cap \overline{\text{B}}$ ) =
1. 0,1
2. 0,2
3. 0,4

Question Q₉
P( $\overline{\text{A} \cap \text{B}}$ ) =
1. 0,3
2. 0,5
3. 0,8

Question Q₁₀
P_A(B) =
1. $\dfrac23$
2. $\dfrac12$
3. $\dfrac34$

5 points

exercice 2 - Pour les candidats ne suivant pas l'enseignement de spécialité

Tous les résultats de cet exercice seront arrondis à 10^-2 près.

Un site touristique dont le billet d'entrée coûte 4 € propose deux possibilités de visite, une visite à pied sans frais supplémentaire ou une visite en car avec fais supplémentaires de 3 € par personne.

Une buvette est installée sur le site.
On y vend un seul type de boisson au prix de 2 € l'unité.
On suppose qu'à la buvette un touriste achète au plus une boisson.

Un touriste visite le site. On a établi que :
la probabilité pour qu'il visite à pied est 0,3
la probabilité qu'il visite à pied et achète une boisson est 0,18
la probabilité qu'il achète une boisson sachant qu'il visite en car est 0,8.

On note :
C l'événement : " le touriste visite en car ".
B l'événement : " le touriste achète une boisson ".

1. Donner p $(\overline{\text{C}} \cap \text{B})$ et p $(\overline{\text{C}})$ .

2. Le touriste visite à pied. Quelle est la probabilité qu'il achète une boisson ?

3. a) Montrer que p(B) = 0,74.
    b) En déduire la recette moyenne prévisible de la buvette lors d'une journée où 1000 touristes sont attendus sur le site.

4. On appelle d la dépense (entrée, transport éventuel, boisson éventuelle) associée à la visite du touriste.
    a) Quelles sont les valeurs possibles de d ?
    b) Etablir la loi de probabilité de d. On présentera le résultat dans un tableau.
    c) Calculer l'espérance mathématique de cette loi. Quelle interprétation peut-on en donner ?

5 points

exercice 2 - Pour les candidats suivant l'enseignement de spécialité

Dans une entreprise, lors d'un mouvement social, le personnel est amené à se prononcer chaque jour sur l'opportunité ou non du déclenchement d'une grève.

Le premier jour, 15% du personnel souhaite le déclenchement d'une grève.

A partir de ce jour-là :
parmi ceux qui souhaitent le déclenchement d'une grève un certain jour, 35% changent d'avis le lendemain.
parmi ceux qui ne souhaitent pas le déclenchement d'une grève un certain jour, 33% changent d'avis le lendemain.

On note :

g_n la probabilité qu'un membre du personnel souhaite le déclenchement d'une grève le jour n,
t_n la probabilité qu'un membre du personnel ne souhaite pas le déclenchement d'une grève le jour n,
P_n = (g_n t_n), la matrice qui traduit l'état probabiliste au n-ième jour.

1. Déterminer l'état initial P₁.

2. a) Tracer un graphe probabiliste traduisant les données de l'énoncé.
   b) Donner la matrice de transition M associée à ce graphe.

3. Calculer le pourcentage de personnes favorables à la grève le 3^e jour.

4. Soit P = ( $x$    y) l'état probabiliste stable (on rappelle que $x$ + y = 1).
   a) Montrer que $x$ et y vérifient l'équation $x = 0,65x + 0,33y$ .
   b) Déterminer $x$ et y (on arrondira les résultats à 10^-3 près).
   c) Interpréter le résultat.

5 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

Tous les résultats numériques seront arrondis à l'unité près sauf indication contraire.

Une machine est achetée 3000 euros.
Le prix de revente y, exprimé en euros, est donné en fonction du nombre $x$ d'années d'utilisation par le tableau suivant :

$x_i$	0	1	2	3	4	5
y_i	3000	2400	1920	1536	1229	983

A. Ajustement affine

1. Représenter le nuage de points associé à la série statistique ( $x_i$ ; y_i) dans un repère orthogonal du plan. Les unités graphiques seront de 2 cm pour une année sur l'axe des abscisses et de 1 cm pour 200 euros sur l'axe des ordonnées.

2. Calculer le pourcentage de dépréciation du prix de revente après les trois premières années d'utilisation.

3. Dans cette question, les calculs effectués à la calculatrice ne seront pas justifiés.
Donner une équation de la droite de régression $\mathscr{D}$ de y en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés.
Représenter la droite $\mathscr{D}$ dans le repère précédent.

B. Ajustement non affine

On pose z = ln (y) et on admet qu'une équation de la droite de régression de z en $x$ est donnée par : z = -0,22 $x$ + 8,01.

1. Déterminer une expression de y en fonction de $x$ de la forme $y = \text{A}^x \times B$ où A est un réel arrondi au centième près et B est un réel arrondi à l'unité près.

2. En admettant que y = $0,80^x \times 3011$ , déterminer après combien d'années d'utilisation le prix de revente devient inférieur ou égal à 500 euros.

C. Comparaison des ajustements

Après 6 années d'utilisation le prix de revente d'une machine est de 780 euros.
Des deux ajustements précédents, quel est celui qui semble le mieux estimer le prix de revente après 6 années d'utilisation ? On argumentera la réponse.

5 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

Soit une fonction r définie sur l'intervalle [0 ; 12] par $r(x) = (900x)e^{-0,1(x - 2)}$

A. Etude d'une fonction $f$

1. On considèle la fonction $f$ définie sur ]0 ; 12] par $f(x) = \ln [r(x)]$ .
Démontrer que $f(x) = \ln(900) + \ln x - 0,1(x - 2)$

2. On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ , démontrer que $f'(x) = \dfrac{10 - x}{10x}$

3. Etudier le signe de $f'(x)$ pour tout $x$ de ]0 ; 12] puis dresser le tableau de variation de $f$ sur ]0 ; 12].

4. On désigne par r' la fonction dérivée de r, exprimer $f'$ en fonction de r' et de r puis justifier que $r'(x)$ et $f'(x)$ ont le même signe pour tout $x$ de ]0 ; 12].

5. En déduire les variations de r sur ]0 ; 12].

6. Déterminer pour quelle valeur $x_0$ la fonction r atteint un maximum et calculer $x_0$ arrondi à l'unité près.

B. Calcul de la valeur moyenne

1. Démontrer que la fonction R définie par $R(x) = -9000(x + 10)e^{-0,1(x - 2)}$ est une primitive de la fonction r sur [0 ; 12].

2. Calculer la valeur moyenne r_m de la fonction r sur [0 ; 12] définie par r_m = $\displaystyle \int_0^{12} r(x) \text{d}x$
On donnera d'abord la valeur exacte et ensuite une valeur arrondie à 10^-2 près.

Correction

exercice 1 - Commun à tous les candidats

1. Réponse correcte : 1
$a^x = e^{xlna}$
Si $a \in ]0,1[$ , $\ln a < 0 \: : \: \displaystyle \lim_{x \to +\infty}(x \ln a) = -\infty$
$\displaystyle \lim_{x\to +\infty} a^x = \displaystyle \lim_{x\to +\infty} e^{x \ln a} = 0$

2. Réponse correcte : 3
$F$ est dérivable sur $\mathbb{R}$
$F'(x) = \frac{1}{2} (2xe^x^2) = xe^x^2$

3. Réponse correcte : 3
$f$ est définie sur $]0 , +\infty[$ par : $f(x) = x\ln(x)$
Pour tout $x \in ]0 , +\infty[ \: : \: f'(x) = \ln x + x\left(\frac{1}{x}\right) = \ln x + 1$

4. Réponse correcte : 1
$e^{-2\ln 5} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$

5. Réponse correcte : 2
On a :
$e^{2x} = 16 \Longleftrightarrow 2x = \ln(16) = 4 \ln(2) \Longleftrightarrow x = 2\ln(2)$
Ce qui prouve l'existence et l'unicité de la solution.

6. Réponse correcte : 2
$x \ln(0,2) - 5 \geq 0 \: \Longleftrightarrow \: x \ln(0,2) \geq 5 \: \Longleftrightarrow \: x \leq \dfrac{5}{\ln 0,2}$ car ln(0,2) < 0
Ensemble solution : $\left] -\infty \, ; \, \dfrac{5}{\ln(0,2)} \right]$

7. Réponse correcte : 2
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0,4 + 0,3 - 0,2 = 0,5$

8. Réponse correcte : 2
$P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap \overline{B})$
car B et $\overline{B}$ forment une partition de l'univers
$P(A \cap \overline{B}) = P(A) - P(A \cap B) = 0,4 - 0,2 = 0,2$

9. Réponse correcte : 3
$P(\overline{A\cap B}) = 1 - P(A\cap B) = 1 - 0,2 = 0,8$

10. Réponse correcte : 2
$P_A(B) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(A)} = \dfrac{0,2}{0,4} = \dfrac{1}{2}$

exercice 2 - Pour les candidats ne suivant pas l'enseignement de spécialité

1. Soient C l'évènement : "le touriste visite en car" et B l'évènement : "le touriste achète une boisson"
Donc : $\overline{C}$ : "le touriste visite à pied"
Avec les notations du texte on a :
$P\left(\overline{C} \cap B\right) = 0,18 \hspace{30pt} P(\overline{C}) = 0,3 \hspace{30pt} P_C(B) = 0,8$

2. $P(\overline C) \neq 0$
$P_{\overline{C}}(B) = \frac{P(B\cap\overline{C})}{P(\overline{C})} = \frac{0,18}{0,3} = 0,6$

3. a) C et $\overline{C}$ forment une partition de l'univers :
$P(B) = P(B \cap C) + P(B\cap\overline{C}) = P_C(B) P(C) + 0,18 = 0,8(1 - P(\overline{C})) + 0,18 = 0,74$

3. b) La boisson est vendue 2 euros l'unité. Si 1000 touristes sont attendus, on peut compter sur 1000 × 0,74 = 740 touristes qui achèteront une boisson.
Donc une recette de 740 × 2 = 1480 euros.

4. a) Les frais des touristes peuvent se résumer de la façon suivante :
Visite à pied sans frais : 4 euros
Visite à pied plus achat de boisson : 6 euros
Visite en car avec frais supplémentaires : 4 + 3 = 7 euros
Visite en car plus achat de boisson : 4 + 3 + 2 = 9 euros
Les valeurs possibles de d sont : 4 ; 6 ; 7 ; 9

4. b) On a :
$P(d = 4) = P(\overline{C}\cap\overline{B}) = P(\overline{C}) - P(\overline{C} \cap{B}) = 0,3 - 0,18 = 0,12$
P(d = 6) = $P(\overline{C} \cap{B})$ = 0,18
$P(d = 7) = P(C\cap \overline{B}) = P(C) - P(C\cap B) = 0,7 - 0,56 = 0,14$
$P(d = 9) = P(C\cap B) = 0,56$

d_i	4	6	7	9
P(d = d_i)	0,12	0,18	0,14	0,56

4. c) E(d) = 4 × 0,12 + 6 × 0,18 + 7 × 0,14 + 9 × 0,56 = 7,58
En moyenne chaque touriste qui visite le site dépense 7,58 euros.

exercice 2 - Pour les candidats suivant l'enseignement de spécialité

1. L'état intial $P_1$ est donné par le texte : $P_1$ = (0,15 0,85) car le 1er jour 15% du personnel souhaite le déclenchement d'une grève.

2. a) Graphe probabiliste

2. b) La matrice de transition associée au graphe est : M = $\left(\begin{array}{lcl} 0,65 & \hspace{5pt} & 0,35\\ 0,33 && 0,67 \end{array}\right)$

3. $P_3 = P_1 M^2$
$M^2 = \left(\begin{array}{lcl} 0,5380 & \hspace{5pt} & 0,4620\\ 0,4356& \hspace{5pt} &0,5644\end{array}\right)$
Donc : $P_3 = \left(\begin{array}{lcl} 0,15 & \hspace{5pt} & 0,85 \end{array}\right) \: \left(\begin{array}{lcl} 0,5380 & \hspace{5pt} & 0,4620\\ 0,4356 & \hspace{5pt} & 0,5644\end{array}\right)$ , alors : $P_3 = \left(\begin{array}{lll} 0,45096 & \hspace{5pt} & 0,54904\end{array})$
Le pourcentage des personnes favorables à la grève le 3eme jour est 45,1% arrondi au dixième.

4. a) Soit $P(x,y)$ l'état probabiliste stable
P = PM et $x + y = 1$
$(x,y) = (x,y) \left(\begin{array}{lll} 0,65 & \hspace{5pt} & 0,35\\0,33& \hspace{5pt} &0,67\end{array}\right)$ et $x + y = 1$
On a le système : $\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 0,65x + 0,33y & x \\ 0,35x + 0,67y & y \\ \end{array} \right.$ et $x + y = 1$
$x$ et $y$ vérifient donc bien $x = 0,65x + 0,33y$

4. b) $x = 0,65x + 0,33y$ s'écrit $0,35x - 0,33y = 0$ , ou encore $35x = 33y$ .
$x + y = 1$ s'écrit aussi $33x + 33y = 33$ , donc, avec $35x = 33y, \, 68x = 33$ .
On en déduit $x = \frac{33}{68} = 0,485$ , puis $y$ = 1 - 0,485 = 0,515

4. c) A terme 48,5% de personnes seront favorables au déclenchement de la grève contre 51,5% qui n'y seront pas favorables.

exercice 3 - Commun à tous les candidats

Partie A :

1. voir représentation du nuage de points

2. Le pourcentage de dépréciation après les 3 premières utilisations est de $\frac{1536 - 3000}{3000} \times 100$ , soit -48,8%.
Le prix de vente a donc baissé de 48,8%

3. On trouve a = -399 et b = 2 843.
L'équation de $\scr{D}$ est donc : $y = -399x + 2843$

Partie B :

1. On pose z = ln y
z = -0,22 $x$ + 8,01
ln y = -0,22 $x$ + 8,01
$y = e^{-0,22x + 8,01} = (e^{-022})^x \times e^{8,01} = A^x.B$
Le coefficient A arrondi au centième est 0,80 et le coefficient B arrondi à l'unité est 3 011.

2. Le prix de vente est inférieur à 500 Euros si et seulement si :
$0,80^x \times 3011 \le 500 \\ \Longleftrightarrow \: 0,8^x \leq \frac{500}{3011} \\ \Longleftrightarrow \: x \ln(0,8) \leq \ln\left(\frac{500}{3011}\right) \\ \Longleftrightarrow \: x \geq \frac{\ln\left(\frac{500}{3011}\right)}{\ln(0,8)} \approx 8,05 \text{ car } ln 0,8 < 0$
Après 9 ans le prix de vente sera inférieur ou égal à 500 euros.

Partie C :

Pour $x = 6$
$y = -399 x + 2843 = -399 \time 6 + 2843 = 449$ euros
$y = 0,8^x \time 3011 = 0,8^6 \time 3011 = 789,3$ euros
Le deuxième ajustement estime donc le mieux un prix de vente de 780 euros après 6 années d'utilisation.

exercice 4 - Commun à tous les candidats

Partie A :

1. Pour tout $x \in ]0,12]$ on a $r(x) > 0$ car 900 > 0 et car une exponentielle est strictement positive, donc
$f(x) = \ln[r(x)]$ est bien définie sur ]0 ; 12].
En utilisant les propriétés de ln, il vient sur cet intervalle :
$f(x) = \ln\left(900xe^{-0,1(x-2)}\right) = \ln(900) + \ln(x) + \ln(e^{-0.1(x-2)}) = \ln(900) + \ln(x) - 0,1(x-2)$

2. Pour tout $x \in ]0 ; 12]$
$f'(x) = \frac{1}{x} - 0,1 = \frac{10-x}{10x}$

3.
Pour tout $x \in ]0 ; 12]$ ,
$10x > 0$ et $10 - x > 0 \Longleftrightarrow x < 10$
On en déduit : $f'(x) > 0$ pour $x \in ]0 ; 10[$
$f'(x) < 0$ pour $x \in ]10 ; 12]$
$f'(10) = 0$
D'où le tableau :
$\begin{array}{|c|llcccc|} \hline {x}& 0& &&10&&12 \\ \hline {f'(x)} &||& &+&0&-& \\ \hline \hspace{1pt} &||& &&f(10)&& \\ {f(x)}&||& &\nearrow &&\searrow &\\ \hspace{1pt} &||&-\infty &&&& f(12)\\ \hline \end{array}$

4. Pour tout $x \in ]0 ; 12] \, , \, f(x) = \ln[r(x)]$
Donc $f'(x) = \frac{r'(x)}{r(x)}$
Pour $x \in ]0 ; 12] \: : \: 900x > 0 \text{ et } e^{-0,1(x-2)} > 0$
Donc pour $x \in ]0 ; 12] \, , \, r(x) > 0$
On en déduit que pour $x \in ]0 ; 12] \, , \, r'(x) \text{ et } f'(x)$ sont de même signe.

5. Pour $x \in ]0 ; 10[, \, r'(x) > 0$
Pour $x \in ]10 ; 12], \, r'(x) < 0$
Enfin, r'(10) = 0.
Donc, r est strictement croissante sur ]0 ; 10[ et est strictement décroissante sur ]10 ; 12].

6. r atteint donc son maximum en $x_0 = 10$

Partie B :

1. Soit R la fonction définie pour tout réel $x$ par $R(x) = -9000(x+10)e^{-0,1(x-2)}$
R est dérivable comme produit de fonctions dérivables sur ]0 ; 12].
R est de la forme -9000 uv dont la dérivée est -9000(u'v+uv')
avec $u(x) = x + 10 \text{ et } u'(x) = 1$
$v(x) = e^{-0,1(x-2)} \text{ et } v'(x) = (-0,1) e^{-0,1(x-2)}$
D'où :
$R'(x) = -9000\left( e^{-0,1(x-2)}-(0,1)(x+10)e^{-0,1(x-2)} \right) = -9000e^{-0,1(x-2)}(1-0,1(x+10)) \\ R'(x) = -9000e^{-0,1(x-2)}(1-0,1x-1) = -9000e^{-0,1(x-2)}(-0,1x) = 900x \times e^{-0,1(x-2)} =r(x)$
Donc R est une primitive de r sur ]0 ; 12].

2. $r_m = \frac{1}{12} \displaystyle \int_0^{12}r(x) \text{d}x = \dfrac{1}{12}[R(12) -R(0)]=\frac 1{12}(-9000 \times 22e^{-1} + 90000e^{0,2})$
$r_m = \dfrac{16500}{e} + 7500e^{0,2} \approx 3090,51$ arrondi au centième près.

Publié par Océane/cva le 30-04-2008

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