Fiche de mathématiques

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Bac Scientifique
Pondichéry - Session Avril 2006

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Coefficient : 7 (pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité) ou 9 (pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité) Durée : 4 heures

4 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Dix affirmations, réparties en trois thèmes et numérotées de 1. a) à 3. d), sont proposées ci-dessous. Le candidat portera sur sa copie, en regard du numéro de l'affirmation, et avec le plus grand soin, la mention VRAI ou FAUX.
Chaque réponse convenable rapporte 0,4 point. Chaque réponse erronée enlève 0,1 point. Il n'est pas tenu compte de l'absence de réponse. Un éventuel total négatif est ramené à 0.

1. Pour tout réel $x$ , $e^x$ désigne l'image de $x$ par la fonction exponentielle.

Affirmation 1. a)	Pour tous les réels a et b : $\left(e^a\right)^b = e^{(a^b)}$
Affirmation 1. b)	Pour tous les réels a et b : $e^{a - b} = \dfrac{e^a}{e^b}$
Affirmation 1. c)	La droite d'équation y = $x$ + 1 est la tangente à la courbe représentative de la fonction exponentielle en son point d'abscisse 1.

2. Soit $f$ une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert I et soit a un élément de I.

Affirmation 2. a)	Si $f$ est dérivable en a, alors $f$ est continue en a.
Affirmation 2. b)	Si $f$ est continue en a, alors $f$ est dérivable en a.
Affirmation 2. c)	Si $f$ est dérivable en a, alors la fonction $h \mapsto \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}$ admet une limite finie en 0.

3. On considère deux suites (u_n) et (v_n) définies sur $\mathbb{N}$ .

Affirmation 3. a)	Si lim u_n = + $\infty$ et si lim v_n = - $\infty$ , alors lim (u_n + v_n) = 0.
Affirmation 3. b)	Si (u_n) converge vers un réel non nul et si lim v_n = + $\infty$ , alors la suite (u_n × v_n) ne converge pas.
Affirmation 3. c)	Si (u_n) converge vers un réel non nul, si (v_n) est positive et si lim v_n = 0, alors la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n}\right)$ ne converge pas.
Affirmation 3. d)	Si (u_n) et (v_n) convergent, alors la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n}\right)$ converge.

5 points

exercice 2 - Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct $(O; \vec{u}, \vec{v})$ . On prendra pour unité graphique 5 cm.
On pose z₀ = 2 et, pour tout entier naturel n, z_n+1 = $\dfrac{1 + i}{2}$ z_n. On note A_n le point du plan d'affixe z_n.

1. Calculer z₁, z₂, z₃, z₄ et vérifier que z₄ est un nombre réel.
Placer les points A₀, A₁, A₂, A₃ et A₄ sur une figure.

2. Pour tout entier naturel n, on pose u_n = |z_n|.
Justifier que la suite (u_n) est une suite géométrique puis établir que, pour tout entier naturel n, $u_n = 2\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^n$ .

3. A partir de quel rang n₀ tous les points A_n appartiennent-ils au disque de centre O et de rayon 0,1 ?

4. a) Etablir que, pour tout entier naturel n, $\dfrac{z_{n+1} - z_n}{z_{n+1}} = i$ .
En déduire la nature du triangle OA_nA_n+1.
b) Pour tout entier naturel n, on note L_n la longueur de la ligne brisée A₀A₁A₂...A_n-1A_n.
On a ainsi : L_n = A₀A₁ + A₁A₂ + ... + A_n-1A_n.
Exprimer L_n en fonction de n. Quelle est la limite de la suite (L_n) ?

5 points

exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct $(O; \vec{u}, \vec{v}$ ). On prendra 5 cm pour unité graphique.
Soit $f$ la transformation qui, à tout point M d'affixe z, associe le point M' d'affixe z' définie par : $z' = \left(\dfrac12 + \dfrac12 i\right)z + 1.$

1. Justifier que $f$ est une similitude directe dont on précisera le centre $\Omega$ (d'affixe $\omega$ ), le rapport k et l'angle $\theta$ .

2. On note A₀ le point O et, pour tout entier naturel n, on pose A_n+1 = $f$ (A_n).
    a) Déterminer les affixes des points A₁, A₂ et A₃ puis placer les points A₀, A₁, A₂ et A₃.
    b) Pour tout entier naturel n, on pose u_n = $\Omega \text{A_n}$ . Justifier que la suite (u_n) est une suite géométrique puis établir que, pour tout entier naturel n, u_n = $\sqrt{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^n$ .
    c) A partir de quel rang n₀ tous les points A_n appartiennent-ils au disque de centre $\Omega$ et de rayon 0,1 ?

3. a) Quelle est la nature du triangle $\Omega$ A₀A₁ ?
En déduire, pour tout entier naturel n, la nature du triangle $\Omega$ A_nA_n+1.
    b) Pour tout entier naturel n, on note L_n la longueur de la ligne brisée A₀A₁A₂...A_n-1A_n.
On a ainsi : L_n = A₀A₁ + A₁A₂ + ... + A_n-1A_n.
Exprimer L_n en fonction de n. Quelle est la limite de la suite (L_n) ?

4 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

L'espace est muni d'un repère orthonormal (O; $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ ).

Partie A

(Cette partie constitue une restitution organisée de connaissances)

Soit a, b, c et d des réels tels que (a, b, c) different

(0, 0, 0).
Soit P le plan d'équation $ax + by + cz + d = 0$ .
On considère le point I de coordonnées $(x_I, y_I, z_I)$ et le vecteur $\vec{n}$ de coordonnées (a, b, c).
Le but de cette partie est de démontrer que la distance de I au plan P est égale à $\dfrac{\|ax_I + by_I + cz_I + d\|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ .

1. Soit $\Delta$ la droite passant par I et orthogonale au plan P.
Déterminer, en fonction de a, b, c, $x_I, y_I \text{ et } z_I$ , un système d'équations paramétriques de $\Delta$ .

2. On note H le point d'intersection de $\Delta$ et P.
    a) Justifier qu'il existe un réel k tel que $\overrightarrow{IH} = k\overrightarrow{n}$ .
    b) Déterminer l'expression de k en fonction de a, b, c, d, $x_I, y_I \text{ et } z_I$ .
    c) En déduire que IH = $\dfrac{\|ax_I + by_I + cz_I + d\|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ .

Partie B

Le plan Q d'équation $x - y + z - 11 = 0$ est tangent à une sphère S de centre $\Omega$ de coordonnées (1, -1, 3).
1. Déterminer le rayon de la sphère S.
2. Déterminer un système d'équations paramétriques de la droite $\Delta$ passant par $\Omega$ et orthogonale au plan Q.
3. En déduire les coordonnées du point d'intersection de la sphère S et du plan Q.

7 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

Les parties A et B sont indépendantes.

Un laboratoire de recherche étudie l'évolution d'une population animale qui semble en voie de disparition.

Partie A

En 2000, une étude est effectuée sur un échantillon de cette population dont l'effectif initial est égal à mille.
Cet échantillon évolue et son effectif, exprimé en milliers d'individus, est approché par une fonction $f$ du temps $t$ (exprimé en années à partir de l'origine 2000).

D'après le modèle d'évolution choisi, la fonction $f$ est dérivable, strictement positive sur [0; + $\infty$ [, et satisfait l'équation différentielle : $(E) ~ y' = -\dfrac{1}{20}y(3 - ln y)$

1. Démontrer l'équivalence suivante :
Une fonction $f$ , dérivable, strictement positive sur [0; + $\infty$ [, vérifie, pour tout t de [0; + $\infty$ [, $f'(t) = -\dfrac{1}{20} f(t) \left[3 - \ln(f(t))\right]$ si et seulement si la fonction g = ln( $f$ ) vérifie, pour tout t de [0; + $\infty$ [, g'(t) = $\dfrac{1}{20} g(t) - \dfrac{3}{20}$ .

2. Donner la solution générale de l'équation différentielle : (H) $z' = \dfrac{1}{20}z - \dfrac{3}{20}$ .

3. En déduire qu'il existe un réel C tel que, pour tout t de [0; + $\infty$ [ : $f(t) = \exp \left(3 + C \exp \left(\dfrac{t}{20}\right)\right)$ .
(la notation exp désigne la fonction exponentielle naturelle $x$ fleche2

$e^x$ ).

4. La condition initiale conduit donc à considérer la fonction $f$ définie par : $f(t) = \exp\left(3 - 3 \exp \left(\dfrac{t}{20}\right)\right)$ .
    a) Déterminer la limite de la fonction $f$ en + $\infty$ .
    b) Déterminer le sens de variation de $f$ sur [0, + $\infty$ [.
    c) Résoudre dans [0, + $\infty$ [ l'inéquation $f(t) < 0,02$ .
Au bout de combien d'années, selon ce modèle, la taille de l'échantillon sera-t-elle inférieure à vingt individus ?

Partie B

En 2005, ce laboratoire de recherche met au point un test de dépistage de la maladie responsable de cette disparition et fournit les renseignements suivants : " La population testée comporte 50% d'animaux malades. Si un animal est malade, le test est positif dans 99% des cas; si un animal n'est pas malade, le test est positif dans 0,1% des cas".

On note M l'événement " l'animal est malade ", $\bar{\text{M}}$ l'événement contraire et T l'événement " le test est positif".

1. Déterminer P(M), P_M(T), $\text{P_{\bar{M}}(T)}$ .
2. En déduire P(T).
3. Le laboratoire estime qu'un test est fiable, si sa valeur prédictive, c'est-à-dire la probabilité qu'un animal soit malade sachant que le test est positif, est supérieure à 0,999. Ce test est-il fiable ?

Correction

exercice 1 - Commun à tous les candidats

1.
Affirmation 1. a) On a, pour tous les réels a et b, (e^a)^b = e^ab
D'où : l'affirmation 1. a) est FAUSSE.

Affirmation 1. b) On a, pour tous les réels a et b, $e^{a - b} = e^a e^{-b} = \dfrac{e^a}{e^b}$
D'où : l'affirmation 1. b) est VRAIE.

Affirmation 1. c) Pour tout réel x, f(x) = e^x, donc f(1) = e¹ = e.
Pour tout réel x, f'(x) = e^x, donc f'(1) = e¹ = e.
La tangente à la courbe représentative de la fonction exponentielle au point d'abscisses 1 a pour équation :
y = f'(1)(x - 1) + f(1) = ex - e + e = ex
D'où : l'affirmation 1. c) est FAUSSE.

2.
Affirmation 2. a) L'affirmation 2. a) est VRAIE.

Affirmation 2. b) La fonction valeur absolue définie sur $\mathbb{R}$ est continue en 0 mais n'est pas dérivable en 0.
L'affirmation 2. b) est FAUSSE.

Affirmation 2. c) C'est la définition de la dérivabilité en a.
L'affirmation 2. c) est VRAIE.

3.
Affirmation 3. a) C'est une forme indétermiinée.
L'affirmation 3. a) est FAUSSE.

Affirmation 3. b) Si (u_n) converge vers un réel non nul et si lim v_n = + $\infty$ , alors lim (u_n × v_n) = $\pm \infty$ .
Donc la suite (u_n × v_n) ne converge pas.
L'affirmation 3. b) est VRAIE.

Affirmation 3. c) Si (u_n) converge vers un réel non nul, si (v_n) est positive et si lim v_n = 0, alors lim $\left(\dfrac{u_n}{v_n}\right) = +\infty$ . Donc la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n}\right)$ ne converge pas.
L'affirmation 3. c) est VRAIE.

Affirmation 3. d) Si (u_n) et (v_n) convergent, alors on ne peut rien dire sur la limite de la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n}\right)$ . Elle peut être une forme indéterminée de la forme $\dfrac00$ .
L'affirmation 3. d) est FAUSSE.

exercice 2 - Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité

1. Calculons z₁ :
$z_1 = z_{0+1} = \dfrac{1+i}{2} \times z_0 = \dfrac{1+i}{2} \times 2 = 1 + i$
D'où : z₁ = 1 + i

Calculons z₂ :
$z_2 = z_{1 + 1} = \dfrac{1+i}{2} \times z_1 = \dfrac{1+i}{2} (1 + i) = \dfrac{(1+i)^2}{2} = \dfrac{1 + 2i - 1}{2} = i$
D'où : z₂ = i

Calculons z₃ :
$z_3 = z_{2+1} = \dfrac{1+i}{2} \times z_2 = \dfrac{1+i}{2} i = \dfrac{-1+i}{2}$
D'où : $z_3 = -\dfrac12 + \dfrac12i$

Calculons z₄ :
$z_4 = \dfrac{1+i}{2} \times z_3 = \dfrac{1+i}{2} \times \left(\dfrac{-1+i}{2}\right) = \dfrac{-1 + i - i - 1}{4} = \dfrac{-2}{4} = -\dfrac{1}{2}$
D'où : $z_4 = -\dfrac12$
z₄ est bien un nombre réel.

sujet du bac scientifique Pondichéry 2006 : image 1

2. Justifions que la suite (u_n) est une suite géométrique :
Pour tout entier naturel n,
$u_{n+1} = |z_{n+1}| = |\dfrac{1+i}{2} |z_n| = \|\dfrac{1+i}{2}\| \times |z_n| = \sqrt{\left(\dfrac12\right)^2 + \left(\dfrac12\right)^2} |z_n| = \sqrt{\dfrac{2}{4}}|z_n| = \sqrt{\dfrac{1}{2}}|z_n| = \dfrac{1}{\sqrt{2}}|z_n|$
D'où : (u_n) est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ et de premier terme u₀ = |z₀| = 2.
On en déduit que, pour tout entier naturel n, $u_n = 2\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^n$

3. Déterminons le rang n₀ à partir duquel tous les points A_n appartiennent au disque de centre O et de rayon 0,1 :
On a pour tout entier naturel n : OA_n = |z_n - z_O| = |z_n - 0| = |z_n| = u_n
Dire que les points A_n appartiennent au disque de centre O et de rayon 0,1 revient à dire que u_n $\leq$ 0,1, donc :
$2\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^n \leq 0,1\\ \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^n \leq 0,05\\ n \ln \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) \leq \ln 0,05 \\ -n \ln \sqrt{2} \leq \ln 0,05 \\ n \geq -\dfrac{\ln 0,05}{\ln \sqrt{2}}$
Or, $-\dfrac{\ln 0,05}{\ln \sqrt{2}} \approx 8,64$ donc à partir du rang n₀ = 9, tous les points A_n appartiennent au disque de centre O et de rayon 0,1.

4. a) Etablissons que pour tout entier naturel n, $\dfrac{z_{n+1} - z_n}{z_{n+1}} = i$ :
Pour tout entier naturel n,
$\dfrac{z_{n+1} - z_n}{z_{n+1}} = \dfrac{\frac{1+i}{2}z_n - z_n}{\dfrac{1+i}{2}z_n}\\ = \dfrac{(1 + i - 2) z_n}{2 \times \frac{1+i}{2}z_n}\\ = \dfrac{-1+i}{1+i} = \dfrac{(-1 + i)(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)}\\ = \dfrac{-1 + i +i +1}{1 + 1} = \dfrac{2i}{2} = i$
On a bien établi la formule proposée.

Déduisons-en la nature du triangle OA_nA_n+1 :
Pour tout entier naturel n,
$(\overrightarrow{\text{OA}_{n+1}}; \overrightarrow{\text{A}_n\text{A}_{n+1}}) = \arg \left(\dfrac{z_{n+1} - z_n}{z_{n+1} - z_0} \right) (2\pi)\\ = \arg\left(\dfrac{z_{n+1} - z_n}{z_{n+1}}\right)(2\pi)\\ = \arg i (2\pi) = \dfrac{\pi}{2} (2\pi)$
On en déduit alors que : $(\overrightarrow{\text{A}_{n+1}O}; \overrightarrow{\text{A}_{n+1}\text{A}_n}) = \dfrac{\pi}{2} (2\pi)$
Le triangle OA_nA_n+1 est donc rectangle en A_n+1.
De plus, $\left|\dfrac{z_{n+1} - z_n}{z_{n+1}}\right| = |i| = 1$ donc |z_n+1 - z_n| = |z_n+1|, c'est-à-dire A_nA_n+1 = OA_n+1.
Le triangle OA_nA_n+1 est donc isocèle en A_n+1.
D'où : le triangle OA_nA_n+1 est rectangle et isocèle en A_n+1.

4. b) Exprimons L_n en fonction de n :
Pour tout entier naturel n,
L_n = A₀A₁ + A₁A₂ + ... + A_n-1A_n
L_n = |z₁ - z₀| + |z₂ - z₁| + ... + |z_n - z_n-1|
L_n = |iz₁| + |iz₂| + ... + |iz_n| d'après la question 4. a)
L_n = |i||z₁| + |i||z₂| + ... + |i||z_n|
L_n = |z₁| + |z₂| + ... + |z_n|
L_n = u₁ + u₂ + ... + u_n
$\text{L}_n = 2\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) + 2\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + ... + 2\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^n \text{ en utilisant la question 2}\\ \text{L}_n = 2 \times \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) \left[1 + \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) + ... + \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^{n-1}\right]\\ \text{L}_n = \dfrac{2}{\sqrt{2}} \dfrac{1 - \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^n}{1 - \dfrac{1}{\sqrt{2}}}\\ \text{L}_n = 2 \dfrac{1 - \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^n}{\sqrt{2} - 1}$
$\text{L}_n = \dfrac{2}{\sqrt{2} - 1}\left(1 - \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^n\right)\\ \text{L}_n = \dfrac{2(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)}\left(1 - \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^n\right)\\ \text{L}_n = \dfrac{2(\sqrt{2} + 1)}{2-1}\left(1 - \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^n\right)\\ \text{L}_n = 2(\sqrt{2} + 1)\left(1 - \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^n\right)$
D'où, pour tout entier naturel n, $\text{L}_n = 2(\sqrt{2} + 1)\left(1 - \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^n\right)$

Déterminons la limite de la suite (L_n) :
Comme $-1 < \dfrac{1}{\sqrt{2}} < 1$ , alors $\displaystyle \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^n = 0$
Donc : $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \text{L}_n = 2(\sqrt{2} + 1)$

exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

1. Justifions que f est une similitude directe :
L'écriture complexe de f est de la forme z' = az + b avec a $\in \mathbb{C^*}$ et $b \in \mathbb{C}$ , donc f est une similitude directe.

Déterminons son centre :
a est un nombre complexe différent de 1, f admet donc un centre $\Omega$ d'affixe $\omega$ vérifiant $\omega = \left(\dfrac12 + \dfrac12 i\right)\omega + 1$ . Donc :
$\left(1 - \dfrac12 - \dfrac12 i\right)\omega = 1\\ \left(\dfrac12 - \dfrac12i\right)\omega = 1\\ \omega = \dfrac{1}{\dfrac12 - \dfrac12 i} = \dfrac{\dfrac12 + \dfrac12 i}{\left(\dfrac12\right)^2 + \left(\dfrac12\right)^2} = \dfrac{\dfrac12 + \dfrac12 i}{\dfrac12} = 1 + i$
D'où : $\Omega (1+i)$

Déterminons son rapport k :
k = |a| = $\|\dfrac12 + \dfrac12 i\| = \sqrt{\left(\dfrac12\right)^2 + \left(\dfrac12\right)^2} = \sqrt{\dfrac14 + \dfrac14} = \sqrt{\dfrac12} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Déterminons son angle $\theta$ :
$\theta = \arg(a) [2\pi]$ , donc :
$\theta = \arg \left(\dfrac12 + \dfrac12 i\right) [2\pi]\\ \theta = \arg \left(\dfrac12(1 + i)\right) [2\pi]\\ \theta = \arg (1 + i) [2\pi]\\ \theta = \dfrac{\pi}{4} [2\pi]$
D'où : f est une similitude directe de centre $\Omega$ d'affixe $\omega$ = 1 + i, de rapport k = $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et d'angle $\theta = \dfrac{\pi}{4} [2\pi]$

2. a) Déterminons les affixes des points A₁, A₂ et A₃ :
A₁ = f(A₀).
On note z₁ l'affixe du point A₁ :
$z_1 = \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}i\right) \times 0 + 1$
D'où : z₁ = 1

A₂ = f(A₁)
On note z₂ l'affixe du point A₂ :
$z_2 = \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}i) \times z_1 + 1 = \dfrac12 + \dfrac12 i + 1$
D'où : z₂ = $\dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{2}i$

A₃ = f(A₂)
On note z₃ l'affixe du point A₃ :
$z_3 = \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}i\right) \times z_2 + 1 = \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}i\right)\left(\dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{2}i\right) + 1 = \dfrac34 + \dfrac14 i + \dfrac34 i - \dfrac14 + 1$
d'où : z₃ = $\frac{3}{2} + i$

sujet du bac scientifique Pondichéry 2006 : image 2

2. b) Justifions que la suite (u_n) est une suite géométrique :
Pour tout entier naturel n, $\Omega \text{A}_{n+1} = k \Omega \text{A}_n = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \Omega \text{A}_n$ ,
donc pour tout entier naturel n, u_n+1 = $\dfrac{1}{\sqrt{2}} \Omega \text{A}_n$
La suite (u_n) est donc une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ et de premier terme $u_0 = \Omega \text{A}_0 = |z_0 - \omega| = \sqrt{2}$
Donc : pour tout entier naturel n, $u_n = \sqrt{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^n$

2. c) Déterminons le rang n₀ à partir duquel tous les points A_n appartiennent au disque de centre $\Omega$ et de rayon 0,1 :
Dire que les points A_n appartiennent au disque de centre $\Omega$ et de rayon 0,1 revient à dire que $\Omega \text{A}_n \leq 0,1$ , c'est-à-dire $u_n \leq 0,1$ .
Or, $u_n = \sqrt{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^n$ , donc :
$u_n \le 0,1 \Longleftrightarrow \sqrt{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^n \le 0,1\\ \hspace{50pt} \Longleftrightarrow \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^{n-1} \leq 0,1\\ \hspace{50pt} \Longleftrightarrow (n - 1) \ln\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) \leq \ln 0,1\\ \hspace{50pt} \Longleftrightarrow -(n - 1) \ln\left(\sqrt{2}\right) \leq \ln 0,1\\ \hspace{50pt} \Longleftrightarrow -n + 1 \leq \dfrac{\ln 0,1}{\ln\left(\sqrt{2}\right)}\\ \hspace{50pt} \Longleftrightarrow -n \leq \dfrac{\ln 0,1}{\ln\left(\sqrt{2}\right)} - 1\\ \hspace{50pt} \Longleftrightarrow n \geq -\dfrac{\ln 0,1}{\ln\left(\sqrt{2}\right)} + 1$
Or, $-\dfrac{\ln 0,1}{\ln\left(\sqrt{2}\right)} + 1 \approx 7,6$ à 10^-1 près, donc à partir du rang n₀ = 8, tous les points A_n appartiennent au disque de centre $\Omega$ et de rayon 0,1.

3. a) Déterminons la nature du triangle $\Omega \text{A}_0\text{A}_1$ :
On a :
A₀A₁ = |z₁ - z₀| = |z₁| = 1,
$\Omega \text{A}_1 = |\omega - z_1|$ = |1 + i - 1| = |i| = 1.

De plus,
$(\overrightarrow{\text{A}_1\Omega}, \overrightarrow{\text{A}_1\text{A}_0}) = \arg\left(\dfrac{z_0 - z_1}{\omega - z_1}\right) [2\pi]\\ (\overrightarrow{\text{A}_1\Omega}, \overrightarrow{\text{A}_1\text{A}_0}) = \arg \left(\dfrac{-1}{1+i-1}\right) [2\pi]\\ (\overrightarrow{\text{A}_1\Omega}, \overrightarrow{\text{A}_1\text{A}_0}) = \arg \left(\dfrac{-1}{i}\right) [2\pi]\\ (\overrightarrow{\text{A}_1\Omega}, \overrightarrow{\text{A}_1\text{A}_0}) = \arg \left(\dfrac{-i}{-1}\right) [2\pi]\\ (\overrightarrow{\text{A}_1\Omega}, \overrightarrow{\text{A}_1\text{A}_0}) = \arg i [2\pi]\\ (\overrightarrow{\text{A}_1\Omega}, \overrightarrow{\text{A}_1\text{A}_0}) = \dfrac{\pi}{2} [2\pi]$
D'où : le triangle $\Omega \text{A}_0\text{A}_1$ est rectangle et isocèle en A₁.

Déduisons-en, pour tout entier naturel n, la nature du triangle $\Omega \text{A}_n\text{A}_{n+1}$ :
Montrons pas récurrence que pour tout entier naturel n, $\Omega \text{A}_n\text{A}_{n+1}$ est un triangle rectangle et isocèle en A_n+1 :
- au rang 0 : on a montré précédemment que le triangle $\Omega \text{A}_0\text{A}_1$ est rectangle et isocèle en A₁.
La propriété est donc vraie au rang 0.
Supposons que la propriété soit vraie au rang n et montrons qu'elle l'est encore au rang (n + 1) :
On a $(\Omega \text{A}_{n+1}\text{A}_{n+2}) = f(\Omega \text{A}_{n}\text{A}_{n+1})$ .
Or, une similitude transforme un triangle en un triangle de même nature, donc le triangle $\Omega \text{A}_{n+1}\text{A}_{n+2}$ est rectangle et isocèle en A_n+2.
La propriété est donc vraie au rang (n+1).
D'où : pour tout entier naturel n, le triangle $\Omega \text{A}_n\text{A}_{n+1}$ est rectangle et isocèle en A_n+1.

3. b) Exprimons L_n n fonction de n :
L_n = A₀A₁ + A₁A₂ + ... + A_n-1A_n
Or, pour tout entier naturel n, le triangle $\Omega \text{A}_n\text{A}_{n+1}$ est rectangle et isocèle en A_n+1, donc A_nA_n+1 = $\Omega \text{A}_{n+1}$ . Donc, pour tout entier naturel n,
L_n = $\Omega\text{A}_1 + \Omega\text{A}_2 + ... + \Omega\text{A}_n$
L_n = u₁ + u₂ + ... + u_n
$\text{L}_n = \sqrt{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) + \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + ... + \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^n\\ \text{L}_n = \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\left[1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + ... + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{n-1}\right]\\ \text{L}_n = \dfrac{1 - \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^n}{1 - \dfrac{1}{\sqrt{2}}}\\ \text{L}_n = \sqrt{2} \dfrac{1 - \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^n}{\sqrt{2} - 1}\\ \text{L}_n = \sqrt{2}(\sqrt{2} + 1) \dfrac{1 - \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^n}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)}\\ \text{L}_n = (2 + \sqrt{2}) \dfrac{1 - \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^n}{2 - 1}\\ \text{L}_n = (2 + \sqrt{2}) \left(1 - \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^n\right)$

Déterminons la limite de la suite (L_n) :
Comme $-1 < \dfrac{1}{\sqrt{2}} < 1$ , alors $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^n = 0$ ,
donc $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} L_n = 2 + \sqrt{2}$

exercice 3 - Commun à tous les candidats

Partie A

1. Déterminons un système d'équations paramétriques de $\Delta$ :
Soit M(x; y; z) un point appartenant à la droite $\Delta$ .
$\vec{n}$ (a, b, c) est un vecteur normal au plan P. La droite $\Delta$ est orthogonale à P, donc $\overrightarrow{n}$ est un vecteur directeur de $\Delta$ .
Donc, il existe un réel t tel que $\overrightarrow{\text{IM}} = t \overrightarrow{n}$ .
Donc : $\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} x - x_I & ta \\ y - y_I & tb \\ z - z_I & tc \\ \end{array} \right.$ où $t \in \mathbb{R}$
D'où : un système d'équations paramétriques de $\Delta$ est $\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} x & ta + x_I \\ y & tb + y_I \\ z & tc + z_I \\ \end{array} \right.$ où $t \in \mathbb{R}$

2. a) Justifions qu'il existe un réel k tel que $\overrightarrow{\text{IH}} = k\overrightarrow{n}$ :
H est le point d'intersection de $\Delta$ et P, donc $\overrightarrow{\text{IH}}$ est un vecteur directeur de la droite $\Delta$ . Les vecteurs $\overrightarrow{\text{IH}}$ et $\overrightarrow{n}$ sont donc colinéaires.
D'où : il existe donc un réel k tel que $\overrightarrow{\text{IH}} = k\overrightarrow{n}$

2. b) Déterminons l'expression de k :
D'après la question précédente, $\overrightarrow{\text{IH}} = k\overrightarrow{n}$ , donc $\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} x_H - x_I & ka \\ y_H - y_I & kb \\ z_H - z_I & kc \\ \end{array} \right.$
c'est-à-dire : $\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} x_H & ka + x_I \\ y_H & kb + y_I \\ z_H & kc + z_I \\ \end{array} \right.$
Or, H est un point du plan P, donc ax_H + by_H + cz_H + d = 0.
Donc : a(ka + x_I) + b(kb + y_I) + c(kc + z_I) + d = 0
ka² + ax_I + kb² + by_I + kc² + cz_I + d = 0
k(a² + b² + c²) = -ax_I - by_I - cz_I - d
$k = -\dfrac{ax_I + by_I + cz_I + d}{a^2 + b^2 + c^2}$ car $a^2 + b^2 + c^2 \neq 0$

2. c) Déduisons-en que IH = $\dfrac{\|ax_I + by_I + cz_I + d\|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ :
D'après la question 2. a), $\overrightarrow{\text{IH}} = k\overrightarrow{n}$ , donc $IH = |k| \times ||\overrightarrow{n}||$
$\displaystyle \text{IH} = \|-\dfrac{ax_I + by_I + cz_I + d}{a^2+b^2+c^2}\| \times \sqrt{a^2+b^2+c^2}\\ \text{IH} = \dfrac{|ax_I + by_I + cz_I + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$

Partie B

1. Déterminons le rayon de la sphère S :
Soit H le point d'intersection de la sphère S et du plan Q.
Le rayon de la sphère est donné par $\Omega \text{H}$
D'après la partie A, on a :
$\Omega \text{H} = \dfrac{\|ax_{\Omega} + by_{\Omega} + cz_{\Omega} + d\|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}\\ \Omega \text{H} = \dfrac{|1 \times 1 + (-1) \times (-1) + 1 \times 3 + (-11)|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2}}\\ \Omega \text{H} = \dfrac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$
D'où : $\Omega \text{H} = 2\sqrt{3}$

2. Déterminons un système d'équations paramétriques de la droite $\Delta$ passant par $\Omega$ et orthogonale au plan Q :
Soit M(x, y, z) un point de la droite $\Delta$ .
La droite $\Delta$ est orthogonale au plan Q, donc les vecteurs $\overrightarrow{\Omega \text{M}}$ et $\overrightarrow{n}$ sont colinéaires.
Il existe donc un réel t tel que $\overrightarrow{\Omega \text{H}} = t \hspace{2pt} \overrightarrow{n}$ ,
C'est-à-dire $\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} x - x_{\Omega} & ta \\ y - y_{\Omega} & tb \\ z - z_{\Omega} & tc \\ \end{array} \right.$ où $t\in \mathbb{R}$
D'où : $(\Delta) : \ \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} x & t + 1 \\y & -t - 1 \\ z & t + 3 \\ \end{array} \right.$ où $t \in \mathbb{R}$

3. Déduisons-en les coordonnées du point d'intersection de la sphère S et du plan Q :
Le point H appartient au plan Q, donc x_H - y_H + z_H - 11 = 0.
Or, H appartient aussi à la droite $\Delta$ , donc : $\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} x_H & t + 1\\ y_H & -t - 1 \\ z_H & t + 3 \\ \end{array} \right.$
Donc : (t + 1) - (-t - 1) + (t + 3) - 11 = 0
t + 1 + t + 1 + t + 3 - 11 = 0
3t = 6
t = 2
Donc : $\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} x_H & t + 1 = 3\\ y_H & -t - 1 = -3 \\ z_H & t + 3 = 5 \\ \end{array} \right.$
D'où : H(3; -3; 5).

exercice 3 - Commun à tous les candidats

Partie A

1. Démontrons l'équivalence :
Pour tout t de [0; + $\infty$ [,
$f'(t) = -\dfrac{1}{20}f(t)[3 - \ln f(t)]\\ \Longleftrightarrow \dfrac{f'(t)}{f(t)} = -\dfrac{1}{20}[3 - \ln f(t)] \hspace{10pt} \text{ car f est strictement positive sur [0; }+\infty[\\ \Longleftrightarrow \left(\ln f(t)\right)' = -\dfrac{1}{20}[3 - \ln f(t)]\\ \Longleftrightarrow g'(t) = -\dfrac{1}{20}[3 - g(t)]\\ \Longleftrightarrow g'(t) = \dfrac{1}{20}g(t) - \dfrac{3}{20}$
D'où l'équivalence attendue.

2. Donnons la solution générale de l'équation différentielle (H) :
Les solutions de (H) sont toutes les fonctions définies sur [0; + $\small \infty$ [ par $g(t) = Ce^{-\frac{t}{20}} + 3$ où C est un réel.

3. Déduisons-en, qu'il existe un réel C tel que, pour tout t de [0; + $\infty$ [ : $f(t) = \exp \left(3 + C \exp \left(\dfrac{t}{20}\right)\right)$ :
Pour tout t positif, g'(t) = $\dfrac{1}{20}g(t) - \dfrac{3}{20}$
$\Longleftrightarrow$ g est solution de l'équation différentielle (H)
$\Longleftrightarrow$ Il existe un réel C tel que, pour tout réel t positif, g(t) = C exp $\left(\dfrac{t}{20}\right)$ + 3
$\Longleftrightarrow$ Il existe un réel C, tel que pour tout réel t tpositif, ln f(t) = C exp $\left(\dfrac{t}{20}\right)$ + 3
$\Longleftrightarrow$ Il existe un réel C, tel que pour tout réel t positif, f(t) = exp(3 + C exp $\left(\dfrac{t}{20}\right)$ + 3) car exp est une fonction bijective de $\mathbb{R}$ sur ]0; + $\infty$ [.

4. a) Déterminons la limite de la fonction $f$ en + $\infty$ :
$\left. \begin{array}{l} \exp \dfrac{t}{20} \xrightarrow[t \longrightarrow +\infty]{} +\infty \\ -3 \exp \dfrac{t}{20} \xrightarrow[t \longrightarrow +\infty]{} -\infty\\ 3 - 3\exp \dfrac{t}{20} \xrightarrow[t \longrightarrow +\infty]{} -\infty\\ \end{array} \right \rbrace \text{ donc : } \exp \left(3 - 3\exp \dfrac{t}{20}\right) \xrightarrow[t \longrightarrow +\infty]{} 0$
D'où : $\boxed{\displaystyle \lim_{+\infty} f = 0}$

4. b) Déterminons le sens de variation de $f$ sur [0, + $\infty$ [ :
Pour tout réel t positif, $f '(t) = -\dfrac{1}{20} f(t) (3 - \ln f(t))$ , donc :
$f'(t) = -\dfrac{1}{20} f(t) \left[3 - \ln \left(\exp \left(3 - 3 \exp \dfrac{t}{20}\right) \right) \right]\\ f'(t) = -\dfrac{1}{20} f(t) \left(3 - \left(3 - 3 \exp \dfrac{t}{20}\right)\right)\\ f'(t) = -\dfrac{1}{20} f(t) \times 3 \exp \dfrac{t}{20}$
Or, pour tout réel positif t, exp $\dfrac{t}{20} > 0$ et f(t) > 0,
Donc pour tout réel positif t, f '(t) < 0.
D'où : f est strictement décroissante sur [0; + $\infty$ [.

4. c) Résolvons dans [0, + $\infty$ [ l'inéquation $f(t) < 0,02$ :
$f(t) < 0,02\\ \Longleftrightarrow \exp \left(3 - 3\exp \left({\dfrac{t}{20}}\right) \right) < 0,02\\ \Longleftrightarrow 3 - 3 \exp \left(\dfrac{t}{20}\right) < \ln 0,02 \hspace{10pt} \text{ car ln est strictement croissante sur } ]0; +\infty[\\ \Longleftrightarrow -3\exp \dfrac{t}{20} < \ln 0,02 - 3\\ \Longleftrightarrow \exp \dfrac{t}{20} > \dfrac{3 - \ln 0,02}{3}\\ \Longleftrightarrow \dfrac{t}{20} > \ln\left(\dfrac{3 - \ln 0,02}{3}\right) \hspace{10pt} \text{ car ln est strictement croissante sur } ]0; +\infty[\\ \Longleftrightarrow t > 20 \ln \left(\dfrac{3 - \ln 0,02}{3}\right)$
D'où : $\mathcal{S} = ]20\ln\left(\dfrac{3 - \ln0,02}{3}\right); +\infty[$

La taille de l'échantillon f est exprimée en milliers d'individus. 20 individus correspondent à 0,02 milliers d'individus.
On veut savoir au bout de combien de d'années la taille de l'échantillon sera inférieure à 20 individus.
On cherche donc t tel que f(t) < 0,02.
D'après la question précédente, $f(t) < 0,02 \Longleftrightarrow t > 20 \ln \left(\dfrac{3 - \ln 0,02}{3}\right)$
Or, $20 \ln \left(\dfrac{3 - \ln 0,02}{3}\right) \approx 16,7$ , donc la taille de l'échantillon sera inférieure à vingt individus au bout de 17 années.

Partie B

1. Déterminons les probabilités Déterminer P(M), P_M(T), $\text{P_{\bar{M}}(T)}$ :
La population testée comporte 50% d'animaux malades, donc P(M) = $\dfrac{1}{2} = 0,5$
Si un animal est malade, le test est positif dans 99% des cas, donc P_M(T) = $\dfrac{99}{100} = 0,99$
Si un animal n'est pas malade, le test est positif dans 0,1% des cas, donc $\text{P}_{\bar{\text{M}}}(\text{T}) = \dfrac{0,1}{100} = 0,001$

2. Déduisons-en P(T) :
$P(\text{T}) = P(\text{T} \cap \text{M}) + P(\text{T} \cap \overline{\text{M}})\\ P(\text{T}) = \text{P}_{\text{M}}(\text{T}) \times P(\text{M}) + \text{P}_{\overline{\text{M}}}(\text{T}) \times P(\overline{\text{M})}\\ P(\text{T}) = \text{P}_{\text{M}}(\text{T}) \times P(\text{M}) + \text{P}_{\overline{\text{M}}}}(\text{T}) \times (1 - P(\text{M}))$
P(T) = 0,99 × 0,5 + 0,001 × (1 - 0,5)
P(T) = 0,495 + 0,0005
P(T) = 0,4955

3. Déterminons si le test est fiable ou non :
$P_{\text{T}}(\text{M}) = \dfrac{P(\text{T} \cap \text{M})}{P(\text{T})}} = \dfrac{0,99 \times 0,5}{0,4955} \approx 0,998\,99$
Donc P_T(M) < 0,999. Le test n'est donc pas fiable.

Publié par Océane/correction : Elda-Revelli le 24-05-2006

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