Bac Scientifique
Pondichéry - Session Avril 2006
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Coefficient : 7 (pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité) ou 9 (pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité) Durée : 4 heures
4 points exercice 1 - Commun à tous les candidats
Dix affirmations, réparties en trois thèmes et numérotées de 1. a) à 3. d), sont proposées ci-dessous. Le candidat portera sur sa copie, en regard du numéro de l'affirmation, et avec le plus grand soin, la mention VRAI ou FAUX.
Chaque réponse convenable rapporte 0,4 point. Chaque réponse erronée enlève 0,1 point. Il n'est pas tenu compte de l'absence de réponse. Un éventuel total négatif est ramené à 0.
1. Pour tout réel
,
désigne l'image de
par la fonction exponentielle.
Affirmation 1. a) |
Pour tous les réels a et b : |
Affirmation 1. b) |
Pour tous les réels a et b : |
Affirmation 1. c) |
La droite d'équation y = + 1 est la tangente à la courbe représentative de la fonction exponentielle en son point d'abscisse 1. |
2. Soit
une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert I et soit a un élément de I.
Affirmation 2. a) |
Si est dérivable en a, alors est continue en a. |
Affirmation 2. b) |
Si est continue en a, alors est dérivable en a. |
Affirmation 2. c) |
Si est dérivable en a, alors la fonction admet une limite finie en 0. |
3. On considère deux suites (u
n) et (v
n) définies sur
.
Affirmation 3. a) |
Si lim un = + et si lim vn = -, alors lim (un + vn) = 0. |
Affirmation 3. b) |
Si (un) converge vers un réel non nul et si lim vn = +, alors la suite (un × vn) ne converge pas. |
Affirmation 3. c) |
Si (un) converge vers un réel non nul, si (vn) est positive et si lim vn = 0, alors la suite ne converge pas. |
Affirmation 3. d) |
Si (un) et (vn) convergent, alors la suite converge. |
5 points exercice 2 - Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct
. On prendra pour unité graphique 5 cm.
On pose z
0 = 2 et, pour tout entier naturel n, z
n+1 =
z
n. On note A
n le point du plan d'affixe z
n.
1. Calculer z
1, z
2, z
3, z
4 et vérifier que z
4 est un nombre réel.
Placer les points A
0, A
1, A
2, A
3 et A
4 sur une figure.
2. Pour tout entier naturel n, on pose u
n = |z
n|.
Justifier que la suite (u
n) est une suite géométrique puis établir que, pour tout entier naturel n,
.
3. A partir de quel rang n
0 tous les points A
n appartiennent-ils au disque de centre O et de rayon 0,1 ?
4. a) Etablir que, pour tout entier naturel n,
.
En déduire la nature du triangle OA
nA
n+1.
b) Pour tout entier naturel n, on note L
n la longueur de la ligne brisée A
0A
1A
2...A
n-1A
n.
On a ainsi : L
n = A
0A
1 + A
1A
2 + ... + A
n-1A
n.
Exprimer L
n en fonction de n. Quelle est la limite de la suite (L
n) ?
5 points exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct
). On prendra 5 cm pour unité graphique.
Soit
la transformation qui, à tout point M d'affixe z, associe le point M' d'affixe z' définie par :
1. Justifier que
est une similitude directe dont on précisera le centre
(d'affixe
), le rapport k et l'angle
.
2. On note A
0 le point O et, pour tout entier naturel n, on pose A
n+1 =
(A
n).
a) Déterminer les affixes des points A
1, A
2 et A
3 puis placer les points A
0, A
1, A
2 et A
3.
b) Pour tout entier naturel n, on pose u
n =
. Justifier que la suite (u
n) est une suite géométrique puis établir que, pour tout entier naturel n, u
n =
.
c) A partir de quel rang n
0 tous les points A
n appartiennent-ils au disque de centre
et de rayon 0,1 ?
3. a) Quelle est la nature du triangle
A
0A
1 ?
En déduire, pour tout entier naturel n, la nature du triangle
A
nA
n+1.
b) Pour tout entier naturel n, on note L
n la longueur de la ligne brisée A
0A
1A
2...A
n-1A
n.
On a ainsi : L
n = A
0A
1 + A
1A
2 + ... + A
n-1A
n.
Exprimer L
n en fonction de n. Quelle est la limite de la suite (L
n) ?
4 points exercice 3 - Commun à tous les candidats
L'espace est muni d'un repère orthonormal (O;
).
Partie A
(Cette partie constitue une restitution organisée de connaissances)
Soit a, b, c et d des réels tels que (a, b, c)
(0, 0, 0).
Soit
P le plan d'équation
.
On considère le point I de coordonnées
et le vecteur
de coordonnées (a, b, c).
Le but de cette partie est de démontrer que la distance de I au plan
P est égale à
.
1. Soit
la droite passant par I et orthogonale au plan
P.
Déterminer, en fonction de a, b, c,
, un système d'équations paramétriques de
.
2. On note H le point d'intersection de
et
P.
a) Justifier qu'il existe un réel k tel que
.
b) Déterminer l'expression de k en fonction de a, b, c, d,
.
c) En déduire que IH =
.
Partie B
Le plan
Q d'équation
est tangent à une sphère
S de centre
de coordonnées (1, -1, 3).
1. Déterminer le rayon de la sphère
S.
2. Déterminer un système d'équations paramétriques de la droite
passant par
et orthogonale au plan
Q.
3. En déduire les coordonnées du point d'intersection de la sphère
S et du plan
Q.
7 points exercice 4 - Commun à tous les candidats
Les parties A et B sont indépendantes.
Un laboratoire de recherche étudie l'évolution d'une population animale qui semble en voie de disparition.
Partie A
En 2000, une étude est effectuée sur un échantillon de cette population dont l'effectif initial est égal à mille.
Cet échantillon évolue et son effectif, exprimé en milliers d'individus, est approché par une fonction
du temps
(exprimé en années à partir de l'origine 2000).
D'après le modèle d'évolution choisi, la fonction
est dérivable, strictement positive sur [0; +
[, et satisfait l'équation différentielle :
1. Démontrer l'équivalence suivante :
Une fonction
, dérivable, strictement positive sur [0; +
[, vérifie, pour tout t de [0; +
[,
si et seulement si la fonction g = ln(
) vérifie, pour tout t de [0; +
[, g'(t) =
.
2. Donner la solution générale de l'équation différentielle :
(H) .
3. En déduire qu'il existe un réel C tel que, pour tout t de [0; +
[ :
.
(la notation exp désigne la fonction exponentielle naturelle
).
4. La condition initiale conduit donc à considérer la fonction
définie par :
.
a) Déterminer la limite de la fonction
en +
.
b) Déterminer le sens de variation de
sur [0, +
[.
c) Résoudre dans [0, +
[ l'inéquation
.
Au bout de combien d'années, selon ce modèle, la taille de l'échantillon sera-t-elle inférieure à vingt individus ?
Partie B
En 2005, ce laboratoire de recherche met au point un test de dépistage de la maladie responsable de cette disparition et fournit les renseignements suivants : " La population testée comporte 50% d'animaux malades. Si un animal est malade, le test est positif dans 99% des cas; si un animal n'est pas malade, le test est positif dans 0,1% des cas".
On note M l'événement " l'animal est malade ",
l'événement contraire et T l'événement " le test est positif".
1. Déterminer P(M), P
M(T),
.
2. En déduire P(T).
3. Le laboratoire estime qu'un test est fiable, si sa valeur prédictive, c'est-à-dire la probabilité qu'un animal soit malade sachant que le test est positif, est supérieure à 0,999. Ce test est-il fiable ?
exercice 1 - Commun à tous les candidats
1.
Affirmation
1. a) On a, pour tous les réels a et b, (e
a)
b = e
ab
D'où : l'affirmation 1. a) est
FAUSSE.
Affirmation
1. b) On a, pour tous les réels a et b,
D'où : l'affirmation 1. b) est
VRAIE.
Affirmation
1. c) Pour tout réel
x, f(
x) = e
x, donc f(1) = e
1 = e.
Pour tout réel
x, f'(
x) = e
x, donc f'(1) = e
1 = e.
La tangente à la courbe représentative de la fonction exponentielle au point d'abscisses 1 a pour équation :
y = f'(1)(
x - 1) + f(1) = e
x - e + e = e
x
D'où : l'affirmation 1. c) est
FAUSSE.
2.
Affirmation
2. a) L'affirmation 2. a) est
VRAIE.
Affirmation
2. b) La fonction valeur absolue définie sur
est continue en 0 mais n'est pas dérivable en 0.
L'affirmation 2. b) est
FAUSSE.
Affirmation
2. c) C'est la définition de la dérivabilité en a.
L'affirmation 2. c) est
VRAIE.
3.
Affirmation
3. a) C'est une forme indétermiinée.
L'affirmation 3. a) est
FAUSSE.
Affirmation
3. b) Si (u
n) converge vers un réel
non nul et si lim v
n = +
, alors lim (u
n × v
n) =
.
Donc la suite (u
n × v
n) ne converge pas.
L'affirmation 3. b) est
VRAIE.
Affirmation
3. c) Si (u
n) converge vers un réel non nul, si (v
n) est
positive et si lim v
n = 0, alors lim
. Donc la suite
ne converge pas.
L'affirmation 3. c) est
VRAIE.
Affirmation
3. d) Si (u
n) et (v
n) convergent, alors on ne peut rien dire sur la limite de la suite
. Elle peut être une forme indéterminée de la forme
.
L'affirmation 3. d) est
FAUSSE.
exercice 2 - Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité
1. Calculons z1 :
D'où :
z1 = 1 + i
Calculons z2 :
D'où :
z2 = i
Calculons z3 :
D'où :
Calculons z4 :
D'où :
z
4 est bien un nombre réel.
2. Justifions que la suite (un) est une suite géométrique :
Pour tout entier naturel n,
D'où : (u
n) est une suite géométrique de raison
et de premier terme u
0 = |z
0| = 2.
On en déduit que, pour tout entier naturel n,
3. Déterminons le rang n0 à partir duquel tous les points An appartiennent au disque de centre O et de rayon 0,1 :
On a pour tout entier naturel n : OA
n = |z
n - z
O| = |z
n - 0| = |z
n| = u
n
Dire que les points A
n appartiennent au disque de centre O et de rayon 0,1 revient à dire que u
n 0,1, donc :
Or,
donc à partir du rang n
0 = 9, tous les points A
n appartiennent au disque de centre O et de rayon 0,1.
4. a) Etablissons que pour tout entier naturel n, :
Pour tout entier naturel n,
On a bien établi la formule proposée.
Déduisons-en la nature du triangle OAnAn+1 :
Pour tout entier naturel n,
On en déduit alors que :
Le triangle OA
nA
n+1 est donc rectangle en A
n+1.
De plus,
donc |z
n+1 - z
n| = |z
n+1|, c'est-à-dire A
nA
n+1 = OA
n+1.
Le triangle OA
nA
n+1 est donc isocèle en A
n+1.
D'où : le triangle OA
nA
n+1 est rectangle et isocèle en A
n+1.
4. b) Exprimons Ln en fonction de n :
Pour tout entier naturel n,
L
n = A
0A
1 + A
1A
2 + ... + A
n-1A
n
L
n = |z
1 - z
0| + |z
2 - z
1| + ... + |z
n - z
n-1|
L
n = |iz
1| + |iz
2| + ... + |iz
n| d'après la question 4. a)
L
n = |i||z
1| + |i||z
2| + ... + |i||z
n|
L
n = |z
1| + |z
2| + ... + |z
n|
L
n = u
1 + u
2 + ... + u
n
D'où, pour tout entier naturel n,
Déterminons la limite de la suite (Ln) :
Comme
, alors
Donc :
exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
1. Justifions que f est une similitude directe :
L'écriture complexe de f est de la forme z' = az + b avec a
et
, donc f est une similitude directe.
Déterminons son centre :
a est un nombre complexe différent de 1, f admet donc un centre
d'affixe
vérifiant
. Donc :
D'où :
Déterminons son rapport k :
k = |a| =
Déterminons son angle
:
, donc :
D'où : f est une similitude directe de centre
d'affixe
= 1 + i, de rapport k =
et d'angle
2. a) Déterminons les affixes des points A1, A2 et A3 :
A
1 = f(A
0).
On note z
1 l'affixe du point A
1 :
D'où : z
1 = 1
A
2 = f(A
1)
On note z
2 l'affixe du point A
2 :
D'où : z
2 =
A
3 = f(A
2)
On note z
3 l'affixe du point A
3 :
d'où : z
3 =
2. b) Justifions que la suite (un) est une suite géométrique :
Pour tout entier naturel n,
,
donc pour tout entier naturel n, u
n+1 =
La suite (u
n) est donc une suite géométrique de raison
et de premier terme
Donc : pour tout entier naturel n,
2. c) Déterminons le rang n0 à partir duquel tous les points An appartiennent au disque de centre et de rayon 0,1 :
Dire que les points A
n appartiennent au disque de centre
et de rayon 0,1 revient à dire que
, c'est-à-dire
.
Or,
, donc :
Or,
à 10
-1 près, donc à partir du rang n
0 = 8, tous les points A
n appartiennent au disque de centre
et de rayon 0,1.
3. a) Déterminons la nature du triangle :
On a :
A
0A
1 = |z
1 - z
0| = |z
1| = 1,
= |1 + i - 1| = |i| = 1.
De plus,
D'où : le triangle
est rectangle et isocèle en A
1.
Déduisons-en, pour tout entier naturel n, la nature du triangle :
Montrons pas récurrence que pour tout entier naturel n,
est un triangle rectangle et isocèle en A
n+1 :
- au rang 0 : on a montré précédemment que le triangle
est rectangle et isocèle en A
1.
La propriété est donc vraie au rang 0.
Supposons que la propriété soit vraie au rang n et montrons qu'elle l'est encore au rang (n + 1) :
On a
.
Or, une similitude transforme un triangle en un triangle de même nature, donc le triangle
est rectangle et isocèle en A
n+2.
La propriété est donc vraie au rang (n+1).
D'où : pour tout entier naturel n, le triangle
est rectangle et isocèle en A
n+1.
3. b) Exprimons Ln n fonction de n :
L
n = A
0A
1 + A
1A
2 + ... + A
n-1A
n
Or, pour tout entier naturel n, le triangle
est rectangle et isocèle en A
n+1, donc A
nA
n+1 =
. Donc, pour tout entier naturel n,
L
n =
L
n = u
1 + u
2 + ... + u
n
Déterminons la limite de la suite (Ln) :
Comme
, alors
,
donc
exercice 3 - Commun à tous les candidats
Partie A
1. Déterminons un système d'équations paramétriques de :
Soit M(x; y; z) un point appartenant à la droite
.
(a, b, c) est un vecteur normal au plan
P. La droite
est orthogonale à
P, donc
est un vecteur directeur de
.
Donc, il existe un réel t tel que
.
Donc :
où
D'où : un système d'équations paramétriques de
est
où
2. a) Justifions qu'il existe un réel k tel que :
H est le point d'intersection de
et
P, donc
est un vecteur directeur de la droite
. Les vecteurs
et
sont donc colinéaires.
D'où : il existe donc un réel k tel que
2. b) Déterminons l'expression de k :
D'après la question précédente,
, donc
c'est-à-dire :
Or, H est un point du plan
P, donc ax
H + by
H + cz
H + d = 0.
Donc : a(ka + x
I) + b(kb + y
I) + c(kc + z
I) + d = 0
ka² + ax
I + kb² + by
I + kc² + cz
I + d = 0
k(a² + b² + c²) = -ax
I - by
I - cz
I - d
car
2. c) Déduisons-en que IH = :
D'après la question 2. a),
, donc
Partie B
1. Déterminons le rayon de la sphère S :
Soit H le point d'intersection de la sphère
S et du plan
Q.
Le rayon de la sphère est donné par
D'après la partie A, on a :
D'où :
2. Déterminons un système d'équations paramétriques de la droite passant par et orthogonale au plan Q :
Soit M(x, y, z) un point de la droite
.
La droite
est orthogonale au plan
Q, donc les vecteurs
et
sont colinéaires.
Il existe donc un réel t tel que
,
C'est-à-dire
où
D'où :
où
3. Déduisons-en les coordonnées du point d'intersection de la sphère S et du plan Q :
Le point H appartient au plan
Q, donc x
H - y
H + z
H - 11 = 0.
Or, H appartient aussi à la droite
, donc :
Donc : (t + 1) - (-t - 1) + (t + 3) - 11 = 0
t + 1 + t + 1 + t + 3 - 11 = 0
3t = 6
t = 2
Donc :
D'où : H(3; -3; 5).
exercice 3 - Commun à tous les candidats
Partie A
1. Démontrons l'équivalence :
Pour tout t de [0; +
[,
D'où l'équivalence attendue.
2. Donnons la solution générale de l'équation différentielle (H) :
Les solutions de (H) sont toutes les fonctions définies sur [0; +
[ par
où C est un réel.
3. Déduisons-en, qu'il existe un réel C tel que, pour tout t de [0; +[ : :
Pour tout t positif, g'(t) =
g est solution de l'équation différentielle (H)
Il existe un réel C tel que, pour tout réel t positif, g(t) = C exp
+ 3
Il existe un réel C, tel que pour tout réel t tpositif, ln f(t) = C exp
+ 3
Il existe un réel C, tel que pour tout réel t positif, f(t) = exp(3 + C exp
+ 3) car exp est une fonction bijective de
sur ]0; +
[.
4. a) Déterminons la limite de la fonction en + :
D'où :
4. b) Déterminons le sens de variation de sur [0, +[ :
Pour tout réel t positif,
, donc :
Or, pour tout réel positif t, exp
et f(t) > 0,
Donc pour tout réel positif t, f '(t) < 0.
D'où : f est strictement décroissante sur [0; +
[.
4. c) Résolvons dans [0, +[ l'inéquation :
D'où :
La taille de l'échantillon f est exprimée en milliers d'individus. 20 individus correspondent à 0,02 milliers d'individus.
On veut savoir au bout de combien de d'années la taille de l'échantillon sera inférieure à 20 individus.
On cherche donc t tel que f(t) < 0,02.
D'après la question précédente,
Or,
, donc la taille de l'échantillon sera inférieure à vingt individus au bout de 17 années.
Partie B
1. Déterminons les probabilités Déterminer P(M), PM(T), :
La population testée comporte 50% d'animaux malades, donc P(M) =
Si un animal est malade, le test est positif dans 99% des cas, donc P
M(T) =
Si un animal n'est pas malade, le test est positif dans 0,1% des cas, donc
2. Déduisons-en P(T) :
P(T) = 0,99 × 0,5 + 0,001 × (1 - 0,5)
P(T) = 0,495 + 0,0005
P(T) = 0,4955
3. Déterminons si le test est fiable ou non :
Donc P
T(M) < 0,999. Le test n'est donc pas fiable.