Fiche de mathématiques

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Bac Scientifique
Asie - Session 2006

L'utilisation d'une calcultrice est autorisée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Coefficient : 7 (ou 9 pour les candidats ayant choisis l'enseignement de spécialité) Durée de l'épreuve : 4 heures

4 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct $\left(O ; \overrightarrow{u} , \overrightarrow{v}\right)$ (unité graphique : 2 cm).
On rappelle que pour tout vecteur $\overrightarrow{w}$ non nul, d'affixe z, on a : |z| = || $\overrightarrow{w}$ || et arg(z) = $(\overrightarrow{u} , \overrightarrow{w})$ à 2 $\pi$ près.

Partie A : Restitution organisée de connaissances

Prérequis : On sait que si z et z' sont deux nombres complexes non nuls, alors : arg(zz') = arg(z) + arg(z').
Soient z et z' deux nombres complexes non nuls. Démontrer que : $arg(\frac{z}{z'}) = arg(z) - arg(z')$

Partie B

On note A et B les points d'affixes respectives -i et 3i.
On note $f$ l'application qui, à tout point M du plan, d'affixe z, distinct de A, associe le point M' d'affixe z' telle que : z' = $\frac{iz + 3}{z + i}$

1. Etude de quelques cas particuliers
   a) Démontrer que $f$ admet deux points invariants J et K appartenant au cercle de diamètre [AB].
Placer ces points sur le dessin.
   b) On note C le point d'affixe c = -2 + i. Démontrer que le point C', image de C par $f$ , appartient à l'axe des abscisses.

2. Pour tout point M du plan distinct de A et B, démontrer que arg(z') = $(\overrightarrow{\text{MA}}, \overrightarrow{\text{MB}}) + \frac{\pi}{2}$ à 2 $\pi$ près.

3. Etude de deux ensembles de points
   a) Déterminer l'ensemble des points M d'affixe z tels que z' soit un nombre complexe imaginaire pur.
   b) Soit M d'affixe z un point du cercle de diamètre [AB] privé des points A et B. A quel ensemble appartient le point M' '

5 points

exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

On considère le cube ABCDEFGH représenté ci-dessous. Dans tout l'exercice, l'espace est rapporté au repère orthonormal $(A ; \hspace{1pt} \overrightarrow{\text{AB}} , \hspace{1pt} \overrightarrow{\text{AD}} , \hspace{1pt} \overrightarrow{\text{AE}})$ .

sujet du bac scientifique asie 2006 : image 4

On note I le point de coordonnées $\left(\frac13 ; \hspace{1pt} 1 ; \hspace{1pt} 1\right)$ .

1. Placer le point I sur la figure.

2. Le plan (ACI) coupe la droite (EH) en J. Démontrer que les droites (IJ) et (AC) sont parallèles.

3. On note R le projeté prthogonal de I sur la droite (AC).
   a) Justifier que les deux conditions suivantes sont vérifiées :
      i. Il existe un réel k tel que $\overrightarrow{\text{AR}} = k\overrightarrow{\text{AC}}$ .
      ii. $\overrightarrow{\text{IR}} \cdot \overrightarrow{\text{AC}} = 0$ .
   b) Calculer les coordonnées du point R.
   c) En déduire que la distance IR s'exprime par IR = $\frac{\sqrt{11}}{3}$ .

4. Démontrer que le vecteur $\overrightarrow{n}$ de coordonnées (3 ; -3 ; 2) est normal au plan (ACI).
En déduire une équation cartésienne du plan (ACI).

5. Démontrer que la distance du point F au plan (ACI) est $\frac{5}{\sqrt{22}}$ .

5 points

exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Etant donné un entier naturel n $\geq$ 2, on se propose d'étudier l'existence de trois entiers naturels $x$ , y et z tels que $x^2$ + y² + z² $\equiv$ 2ⁿ -1 modulo 2ⁿ.

Partie A : Etude de deux cas particuliers

1. Dans cette question on suppose n = 2.
Montrer que 1, 3 et 5 satisfont à la condition précédente.

2. Dans cette question, on suppose n = 3.
a) Soit m un entier naturel. Reproduire et compléter le tableau ci-dessous donnant le reste r de la division euclidienne de m par 8 et le reste R de la division euclidienne de m² par 8.

r	0	1	2	3	4	5	6	7
R

b) Peut-on trouver trois entiers naturels $x$ , y et z tels que $x^2$ + y² + z² $\equiv$ 7 modulo 8 '

Partie B : Etude du cas général où n $\geq$ 3

Supposons qu'il existe trois entiers naturels $x$ , y et z tels que $x^2$ + y² + z² $\equiv$ 2ⁿ - 1 modulo 2ⁿ.

1. Justifier le fait que les trois entiers naturels $x$ , y et z sont tous impairs ou que deux d'entre eux sont pairs.

2. On suppose que $x$ et y sont pairs et que z est impair. On pose alors $x$ = 2q, y = 2r, z = 2s + 1 où q, r, s sont des entiers naturels.
   a) Montrer que $x^2$ + y² +z² $\equiv$ 1 modulo 4.
   b) En déduire une contradiction.

3. On suppose que $x$ , y, z sont impairs.
   a) Prouver que, pour tout entier naturel k non nul, k² + k est divisible par 2.
   b) En déduire que $x^2$ + y² + z² $\equiv$ 3 modulo 8.
   c) Conclure.

4 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

Pierre et Claude jouent au tennis. Les deux joueurs ont la même chance de gagner la première partie. Par la suite, lorsque Pierre gagne une partie, la probabilité qu'il gagne la suivante est 0,7. Et s'il perd une partie, la probabilité qu'il perde la suivante est 0,8.
Dans tout l'exercice, n est un entier naturel non nul. On considère les événements :

G_n : « Pierre gagne la n-ième partie »
P_n : « Pierre perd la n-ième partie »

On pose : p_n = p(G_n) et q_n = p(P_n).

1. Recherche d'une relation de récurrence
   a) Déterminer p₁ puis les probabilités conditionnelles p_G₁(G₂) et p_P₁(G₂).
   b) Justifier l'égalité p_n + q_n = 1.
   c) Démontrer que pour tout entier naturel n non nul, p_n+1 = 0,5p_n + 0,2.

2. Etude de la suite (p_n).
On pose, pour tout entier naturel n non nul, v_n = p_n - $\frac25$ .
   a) Prouver que la suite (v_n) est une suite géométrique et exprimer v_n en fonction de n.
   b) En déduire l'expression de p_n en fonction de n.
   c) Déterminer la limite de la suite (p_n) quand n tend vers + $\infty$ .

7 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

Partie A

On considère l'équation différentielle (E) : y' + y = e^-x

1. Démontrer que la fonction u définie sur l'ensemble $\mathbb{R}$ des nombres réels par $u(x) = xe^{-x}$ est une solution de (E).

2. Résoudre l'équation différentielle (E₀) : y' + y = 0.

3. Démontrer qu'une fonction v, définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ , est solution de (E) si et seulement si v - u est solution de (E₀).

4. En déduire toutes les solutions de (E).

5. Déterminer la fonction $f_2$ , solution de (E), qui prend la valeur 2 en 0.

Partie B

k étant un nombre réel donné, on note $f_k$ la fonction définie sur l'ensemble $\mathbb{R}$ par : $f_k(x) = (x + k)e^{-x}$ .
On note $\mathscr{C}_k$ la courbe représentative de la fonction $f_k$ dans un repère orthonormal $(O ; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ .

1. Déterminer les limites de $f_k$ en - $\infty$ et + $\infty$ .

2. Calculer $f'_k(x)$ pour tout réel $x$ .

3. En déduire le tableau de variations de $f_k$ .

Partie C

1. On considère la suite d'intégrales (I_n) définie par I₀ = $\displaystyle \int_{-2}^0 e^{-x} \text{d}x$ et pour tout entier naturel n $\geq$ 1 par : I_n = $\displaystyle \int_{-2}^0 x^n e^{-x} \text{d}x$ .
   a) Calculer la valeur exacte de l'intégrale I₀.
   b) En utilisant une intégration par parties, démontrer l'égalité : I_n+1 = (-2)ⁿ⁺¹e² + (n + 1)I_n.
   c) En déduire les valeurs exactes des intégrales I₁ et I₂.

2. Le graphique ci-dessous représente une courbe $\mathscr{C}_k$ qui est la représentation graphique d'une fonction $f_k$ définie à la partie B.

sujet du bac scientifique asie 2006 : image 1

a) A l'aide des renseignements donnés par le graphique, déterminer la valeur du nombre réel k correspondant.
b) Soit $\mathscr{S}$ l'aire de la partie hachurée (en unité d'aire) ; exprimer $\mathscr{S}$ en fonction de I₁ et I₀ et en déduire sa valeur exacte.

Correction

exercice 1

Partie A

Soit $z$ et $z'$ deux complexes non nuls. On a : $\dfrac{z}{z'}\times z'=z$ donc $\arg\left(\dfrac{z}{z'}\times z'\right)=\arg(z)$
Ce qui s'écrit $\arg\left(\dfrac{z}{z'}\right)+\arg(z')=\arg(z)$ (d'après le prérequis)
ou encore $\arg\left(\dfrac{z}{z'}\right)=\arg(z)-\arg(z')$

Partie B

1.a) Déterminons les points invariants par $f$ .
$\begin{matrix} M(z) \text{ invariant par } f &\Longleftrightarrow& f(z)=z\\ &\Longleftrightarrow& \displaystyle z=\frac{iz+3}{z+i} \\ &\Longleftrightarrow& z^{2} +iz= iz+3 \text{ avec } z\in\mathbb{C}-\lbrace -i\rbrace \\&\Longleftrightarrow& z^2=3 \text{ avec } z\in\mathbb{C}-\lbrace -i\rbrace\\&\Longleftrightarrow& z=\sqrt{3} \text{ ou } z=-\sqrt{3} \end{matrix}$
$f$ admet donc 2 points invariants $J(\sqrt{3})$ et $K(-\sqrt{3})$
Montrons que $J(\sqrt{3})$ et $K(-\sqrt{3})$ appartiennent au cercle de diamètre [AB].

$\overrightarrow{KB}\text{ a pour affixe }(\sqrt{3}+3i) \text{ et }\overrightarrow{KA}\text{ a pour affixe }(\sqrt{3}-i)\text{ donc le produit scalaire } \overrightarrow{KA}.\overrightarrow{KB} \text{ vaut } :$
$\overrightarrow{KA}.\overrightarrow{KB} = \sqrt{3}\times\sqrt{3}+3\times (-1)=3-3=0$
Donc le point K appartient au cercle de diamètre [AB].
Par symétrie par rapport à l'axe des ordonnées, J appartient également au cercle de diamètre [AB]
donc $J$ et $K$ appartiennent bien au cercle de diamètre [AB]
Conclusion: $\boxed{ f\text{ admet deux points invariants } J(\sqrt{3}) \text{ et } K(-\sqrt{3}) \text{ qui appartiennent au cercle de diamètre } [AB]}$
Le dessin:

sujet du bac scientifique asie 2006 : image 3

1.b)
$\begin{matrix} C^{'}(c^{'}) \text{ est l'image de } C(c) \text{ par } f &\Longleftrightarrow & c^{'}=f(c) \\ &\Longleftrightarrow & \displaystyle c^{'}=\frac{ic+3}{c+i} \\ &\Longleftrightarrow & \displaystyle c^{'}=\frac{i(-2+i)+3}{-2+i+i} \\ &\Longleftrightarrow & \displaystyle c^{'}=\frac{-2i+2}{-2+2i} \\ &\Longleftrightarrow & \displaystyle c^{'}=-\frac{2-2i}{2-2i} \\ &\Longleftrightarrow & \displaystyle c^{'}=-1\in\mathbb{R} \end{matrix}$
Conclusion: $\boxed{\displaystyle \text{ Le point } C^{'} \text{ image du point C par }f \text{ appartient à l'axe des abscisses } }$
2)
On a:
$\begin{matrix}\arg(z^{'})&=&\displaystyle\arg\left(\frac{iz+3}{z+i}\right)\\&=&\displaystyle \arg\left(i\frac{z-3i}{z-(-i)}\right) \\ &=&\displaystyle \arg(i)+\arg\left(\frac{z-3i}{z-(-i)}\right) \\ &=&\displaystyle \frac{\pi}{2} + \arg\left(\frac{z-3i}{z-(-i)}\right) \text{ à } 2\pi \text{ près } \\&=&\displaystyle \frac{\pi}{2} + \left(\overrightarrow{AM}, \overrightarrow{BM}\right) \text{ à } 2\pi \text{ près } \\&=&\boxed{\displaystyle \frac{\pi}{2} + \left(\overrightarrow{MA}, \overrightarrow{MB}\right) \text{ à } 2\pi \text{ près }} \end{matrix}$
3.a)
$z^{'} \text{ est imaginaire pur } \Longleftrightarrow z^{'}=0 \text{ ou pour }z^{'}\neq 0 ~,~\arg(z^{'})=\dfrac{\pi}{2} \text{ à }\pi \text{ près .}$
$z^{'} \text{ est imaginaire pur } \Longleftrightarrow M=B \text{ ou pour } M\neq B \text{ et } M\neq A~,~(\overrightarrow{MA}, \overrightarrow{MB})+\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{\pi}{2}\text{ à } \pi \text{ près.}$
$z^{'} \text{ est imaginaire pur } \Longleftrightarrow M=B \text{ ou pour } M\neq B \text{ et } M\neq A~,~(\overrightarrow{MA}, \overrightarrow{MB})=0\text{ à } \pi \text{ près.}$
Conclusion: $\boxed{ \text{ L'ensemble des points M d'affixe z tel que } z^{'} \text{ soit imaginaire pur est la droite (AB) privée de A }}$
3.b) Soit $M$ un point d'affixe $z$ et appartenant au cercle de diamètre $[AB]$ excepté de $A$ et $B$ , donc il y a deux cas:
$M$ appartient au demi-cercle qui contient le point $K$ (le demi-cercle gauche sur le dessin), dans ce cas: $\displaystyle (\overrightarrow{MA}, \overrightarrow{MB})=\frac{\pi}{2}$ et donc: $\arg(z^{'})=\pi$ , on en déduit que l'affixe $z^{'}$ de $M'$ est réel négatif.
$M$ appartient au demi-cercle qui contient le point $J$ (le demi-cercle droite sur le dessin), dans ce cas: $\displaystyle (\overrightarrow{MA}, \overrightarrow{MB})=-\frac{\pi}{2}$ et donc: $\arg(z^{'})=0$ , on en déduit que l'affixe $z^{'}$ de $M'$ est réel positif.
Dans les deux cas, l'affixe $z^{'}$ est réel, et donc: $\boxed{M'\text{ appartient à l'axe des abscisses } }$

exercice 2- CANDIDATS N'AYANT PAS SUIVI L'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ

sujet du bac scientifique asie 2006 : image 5

2. Le plan $(ACI)$ coupe les deux faces parallèles $(ABCD)$ et $(EFGH)$ suivant deux parallèles. Donc $(IJ)//(AC)$
3. a)
(i) Puisque $R\in(AC)$ , alors $\overrightarrow{AR} \text{ et } \overrightarrow{AC}$ sont colinéaires. Il existe donc k réel, tel que $\overrightarrow{AR}=k\overrightarrow{AC}}$
(ii) D'autre part, puisque $\text{ R est le projeté orthogonal de I sur (AC), alors: } (IR)\perp (AC)$ et le produit scalaire des deux vecteurs est nul. On obtient: $\overrightarrow{IR}.\overrightarrow{AC}=0$
3. b) Posons $(x_{R},y_{R},z_{R})$ les coordonnées du point $R$ .
En sachant que: $A(0,0,0) \text{ et } C(1,1,0)$ , alors: $\overrightarrow{AC}(1,1,0)$
$\overrightarrow{AR}=k\overrightarrow{AC} \Longleftrightarrow \begin{cases} x_{R}=k \\ y_{R}=k \\z_{R}=0\end{cases}$
Or, on a $\displaystyle I(\frac{1}{3},1,1)$ , donc : $\overrightarrow{IR}(k-\frac{1}{3}, k-1,-1)$
$\begin{matrix}\overrightarrow{IR}.\overrightarrow{AC}=0 &\Longleftrightarrow& \displaystyle (k-\frac{1}{3})\times 1 + (k-1)\times 1 + (-1)\times 0 =0 \\&\Longleftrightarrow& \displaystyle 2k-\frac{4}{3}=0 \\&\Longleftrightarrow& \displaystyle k=\frac{2}{3}\end{matrix}$
En remplaçant $k$ par sa valeur, on obtient les coordonnées du point R: $\boxed{ R\left(\frac{2}{3},\frac{2}{3},0\right) }$
3. c) On avait vu que : $\overrightarrow{IR}(k-\frac{1}{3}, k-1,-1) \text{ , donc : } \overrightarrow{IR}(\frac{1}{3}, -\frac{1}{3},-1)$
Donc:
$\begin{matrix} IR &=& \displaystyle \sqrt{\left(\frac{1}{3}\right)^{2}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}+(-1)^2}\\&=& \boxed{\displaystyle \frac{\sqrt{11}}{3} } \end{matrix}$
4. On a: $\displaystyle \overrightarrow{n}(3,-3,2) \text{ , } \overrightarrow{AC}(1,1,0) \text{ et } \overrightarrow{AI}(\frac{1}{3},1,1)$
$\begin{cases} \overrightarrow{n}.\overrightarrow{AC} =3-3+0=0 \\ \overrightarrow{n}.\overrightarrow{AI}=\displaystyle 3\frac{1}{3}-3+2=0 \end{cases}$
$\overrightarrow{n}$ est orthogonal à deux droites sécantes $(AC) \text{ et } (AI)$ du plan $(ACI)$
$\boxed{\text{Le vecteur } \overrightarrow{n} \text{ est donc normal au plan (ACI) }}$
On en déduit directement une équation du plan $(ACI):3x-3y+2z+d=0$ avec d réel.
Or, on a : $A\in (ACI) \Longrightarrow d=0$
Donc une équation du plan est: $\boxed{(ACI):3x-3y+2z=0}$
5. La distance de $F(1,0,1)$ au plan $(ACI)$ vaut: $d(F,(ACI))=\displaystyle\frac{|3\times 1-3\times 0+2\times 1|}{\sqrt{3^2+3^2+2^2}}=\boxed{\displaystyle \frac{5}{\sqrt{22}} }$

exercice 2- CANDIDATS AYANT SUIVI L'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ

Partie A

1.Pour $n=2$ , on remarque que $1^2+ 3^2+ 5^2=1+9+25=35=4\times 8+3\equiv 3[4]$
Donc: $\boxed{ \text{ Le triplet (1,3,5) est donc solution } }$
2. a) Dans cette question, $n=3$
Faisons la démonstration pour par exemple $r=3$ .
$\text{ Si } m = 8n + 3 \text{ alors } m^{2} = 64n^{2} + 48n + 9 = 64n^{2} + 48n + 8+ 1 =8(n^{2}+6n +1)+1$
On obtient $m^{2} \equiv 1 [8]$ , et donc $R=1$
En refaisant une démonstration analogue pour tous les autres cas, on obtient:

r	0	1	2	3	4	5	6	7
R	0	1	4	1	0	1	4	1

2. b)Les seuls restes possibles sont donc $0, 1 \text{ et } 4$ .
Donc, avec trois carrés, la somme des restes ne peut être que $0~,~1~,~2~,~3~,~4~,~5 \text{ ou } 6$ et pas 7.
Conclusion: $\boxed{\text{Il n'existe pas d'entiers } x~, ~y~, ~z \text{ tels que : } x^{2}+y^{2}+z^{2} \equiv 7[8]}$

Partie B

Soit $n\in\mathbb{N} \text{ tel que } n\geq 3$
1.
S'il existe trois entiers naturels $x, y \text{ et } z \text{ tels que : } x^{2}+y^{2}+z^{2} \equiv 2^{n}-1 [2^{n}]$
Alors $x^{2}+y^{2}+z^{2} = 2^{n}q +2^{n}-1 = 2^{n}(q+1)-1$ ( $q\in\mathbb{N}$ ), ce qui veut dire qu'on aurait $x^{2}+y^{2}+z^{2}$ est impaire.
Etudions alors les différents cas possibles:
Le cas $x,y,z$ tous impairs est possible, car :
Soient $k,s,t$ trois entiers tels que: $x=2k+1, y=2s+1 \text{ et } z=2t+1$
$x^{2}+y^{2}+z^{2}=(2k+1)^{2}+(2s+1)^{2}+(2t+1)^{2}=2[2(k^{2}+s^{2}+t^{2})+2(k+s+t)+1]+1$ est impair
Le cas deux pairs et un impair est aussi possible, car :
Soient $k,s,t$ trois entiers tels que: $x=2k, y=2s \text{ et } z=2t+1$
$x^{2}+y^{2}+z^{2}=(2k)^{2}+(2s)^{2}+(2t+1)^{2}=4[(k^{2}+s^{2}+t^{2})+t]+1$ est impair
Le cas $x,y,z$ tous pairs est impossible, car :
Soient $k,s,t$ trois entiers tels que: $x=2k, y=2s \text{ et } z=2t$
$x^{2}+y^{2}+z^{2}=(2k)^{2}+(2s)^{2}+(2t)^{2}=4(k^{2}+s^{2}+t^{2})$ est paire
Et en dernier, le cas un pair et deux impairs est impossible, car :
Soient $k,s,t$ trois entiers tels que: $x=2k, y=2s+1 \text{ et } z=2t+1$
$x^{2}+y^{2}+z^{2}=(2k)^{2}+(2s+1)^{2}+(2t+1)^{2}=2[2(k^{2}+s^{2}+t^{2})+2(s+t)+1]$ est pair
En conclusion, les deux seuls cas envisageables pour x, y et z sont:
$\boxed{\bullet \text{ Tous impairs } \bullet \text{ L'un d'eux est impair et les deux autres sont pairs}}$
2. a) En sachant que : $x=2q \text{ , } y=2r \text{ et } z=2s+1$ , alors: $x^2+ y^2+ z^2=4q^2+4r^2+4s^2+4s+1=4(q^2+r^2+s^2+s)+1$
Conclusion: $\boxed{\displaystyle x^2+ y^2+ z^2 \equiv 1[4]}$
2. b) Rappelons qu'on avait supposé au début de cette partie que: $\displaystyle x^2+ y^2+ z^2 \equiv 2^{n}-1[2^{n}] \text{ pour } n\geq 3$
Prenons le cas $n=3$
Alors: $x^2+ y^2+ z^2 \equiv 7[8]$
Il existe donc $q\in\mathbb{N}$ tel que : $x^{2}+y^{2}+z^{2}=8q+7=8(q+1)-1=4\alpha -1 \text{avec } \alpha=2(q+1)$
Donc $x^2+ y^2+ z^2$ est à la fois un multiple de $4$ plus $1$ et un multiple de $4$ moins $1$ , ce qui est impossible. En effet :
Soient $p,q$ deux entiers tels que : $8p-1=8q+1 \Longleftrightarrow 8p-8q=2 \Longleftrightarrow 4p-4q=1$
Cela est impossible car la différence entre deux multiples de $4$ ne peut être égal à $1$
Contradiction : $\boxed{\text{Un multiple de 4 plus 1 ne peut pas être égal à un multiple de 4 moins 1}}$
Conclusion : $\boxed{\text{ Il n'existe pas de triplet }(x,y,z) \text{ deux pairs et un impair qui soit solution du problème.}}$
3. a) Soit $k\in\mathbb{N}^{*}$
On a $k^{2}+k=k(k+1)$ qui est un produit de deux entiers consécutifs et donc, ou bien $k$ ou bien $k+1$ est pair, on en déduit que le produit $k(k+1)$ est toujours pair.
$\boxed{\forall k\in\mathbb{N}^{*} \text{ , } k^{2}+k \text{ est pair }}$
3.b) Posons $x= 2q+1$ , $y= 2r+1$ et $z=2s+1 \text{ , }(q,r,s\text{ dans }\mathbb{N})$
$\begin{matrix} x^2+ y^2+ z^2 &=& (2q+1)^2+(2r+1)^2+(2s+1)^2\\ &=& 4q^2+4q+1+4r^2+4r+1+4s^2+4s+1 \\ &=&4(q^2+q)+1+4(r^2+r)+1+4(s^2+s)+1\\ &=&4[(q^2+q)+(r^2+r)+(s^2+s)]+3\end{matrix}$
Or, d'après 3.a), il existe $a,b,c\in\mathbb{N}$ tels que : $q^2+q=2a \text{ , } r^2+r=2b \text{ et } s^2+s=2c$
d'où : $x^2+ y^2+ z^2 = 8(a+b+c)+3$
Conclusion : $\boxed{x^2+ y^2+ z^2 \equiv 3[8]}$
3. c) On cherche à déterminer les triplets x, y et z tels que $x^2+ y^2+ z^2=8k+7 \text{ avec } k\in\mathbb{N} \text{ ou encore }x^2+ y^2+ z^2=8a-1 \text{ avec } a\in\mathbb{N}$
Or, d'après 3.b) , il existe $b\in\mathbb{N}$ tel que $x^2+ y^2+ z^2= 8b+3$
On aura alors : $8a-1=8b+3 \Longleftrightarrow 8a-8b=4 \Longleftrightarrow 2a-2b=1$
Cela est impossible car la différence de deux nombres pairs est paire et ne peut pas être égale à 1.
$\text{ On en déduit qu'il n'existe pas de triplet }(x,y,z) \text{ tous impairs et solution du problème.}$
Conclusion : $\boxed{\text{Dans le cas où } n\geq 3 \text{ il n'existe pas } x~,~y~,~z \text{ tels que } x^2+ y^2+ z^2 \equiv 2^n-1[2^n] }$

exercice 3

On peut s'aider, si on le désire, d'un arbre pondéré:

sujet du bac scientifique asie 2006 : image 2

1. a) D'après l'énoncé: $p_{1} = 0.5\text{, } p_{G_{1}}(G_{2})=0.7 \text{ et que } p_{P_{1}}(G_{2})= 1-0.8 =0.2$
1. b) $P_n=\bar{G_n} \text{, donc }p_n=1-q_n$
D'où: $\boxed{p_n+q_n=1}$
1. c) En se servant de l'arbre précédent et d'après la formule des probabilités totales on a:
$\begin{matrix}p_{n+1}&=&p(G{n+1})\\&=&0.7p_n+0.2(1-p_n)\\&=& 0.7p_n+0.2-0.2p_n\\&=&\boxed{0.5p_n+0.2}\end{matrix}$
2. a)On a $\text{Pour tout } n\text{ de }\mathbb{N}^{*}$ : $\displaystyle v_{n}=p_{n}-\frac{2}{5}$
$\text{Pour tout } n\text{ de }\mathbb{N}^{*}~,~v_{n+1}=p_{n+1}-\dfrac{2}{5} = 0.5p_n+0.2-\dfrac{2}{5}=0.5p_n-\dfrac{1}{5}=0.5(p_n-\dfrac{2}{5})=0.5v_n$
$(v_n) \text{ est une suite géométrique de raison } 0.5 \text{ et de 1er terme }v_1=p_1-0.4=0.1$
$\boxed{\text{Pour tout } n\text{ de }\mathbb{N}^{*} \text{ , } v_n=v_1 (0.5)^{n-1}=0.1 (0.5)^{n-1} }$
2. b) Puisque : $\text{Pour tout } n\text{ de }\mathbb{N}^{*}$ : $\displaystyle v_{n}=p_{n}-\frac{2}{5}$
Alors: $\boxed{ \text{Pour tout } n\text{ de }\mathbb{N}^{*} \text{ : } p_n=v_n+0.4=0.1 (0.5)^{n-1}+0.4}$
2. c)Puisque $|0.5|<1$ alors $\displaystyle \lim_{n\to+\infty}(0.5)^{n-1}=0$
On en déduit: $\boxed{\displaystyle \lim_{n\to+\infty}p_n=0.4}$

exercice 4

Partie A

1. La fonction $u$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme produit de fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$ .
$\text{Pour tout } x\text{ de }\mathbb{R} \text{ : } u^{'}(x)= e^{-x}-xe^{-x}$
Donc: $u^{'}(x)+u(x)= e^{-x}-xe^{-x}+xe^{-x}=e^{-x}$
On en déduit que: $\boxed{\text{ La fonction }u\text{ est solution de l'équation différentielle E}}$
2. $(E_{0}):y'+y=0 \Longleftrightarrow y^{'}=-y\Longleftrightarrow y(x)= ke^{-x} \text{ avec } k =-1$
$\boxed{ \text{ Les solutions de l'équation différentielle } (E_{0}) \text{ sont les fonctions } f\text{ définies sur }\mathbb{R} \text{ par } f(x) = ke^{-x} \text{ avec } k \text{ constante de }\mathbb{R}}$
3. Une fonction $v$ est solution de $(E)$ si et seulement si $v^{'}+v=e^{-x}$
Or d'après 1. $u$ est solution de $(E)$ donc $u^{'}+u=e^{-x}$
En calculant la différence membre à membre, on obtient $v^{'}-u^{'}+v-u=0 \text{ soit } (v-u)^{'}+(v-u)=0$
Ce qui signifie que $v-u$ est solution de $E_{0}$
Inversement, Supposons que la fonction $v-u$ soit solution de $E_{0}$ , alors: $(v-u)^{'}+(v-u)=0 \text{ ou encore : } v^{'}-u^{'}+v-u=0$
Or, $u^{'}+u=e^{-x}$ , donc $v^{'}+v=e^{-x}$ et $v$ est solution de $E$
D'où l'équivalence demandée.
4. D'après ce qui précède,
$\begin{matrix}v \text{ solution de } (E)& \Longleftrightarrow &v-u \text{ solution de }(E_0)\\&\Longleftrightarrow& v-u=ke^{-x}\\&\Longleftrightarrow& v = u +ke^{-x}\\ &\Longleftrightarrow& v=xe^{-x}+ke^{-x} \\&\Longleftrightarrow& \boxed{ v=(x+k)e^{-x} \text{ , } k\in\mathbb{R}} \end{matrix}$
5. D'après 4), $f_2$ est de la forme : $f_2(x)=(x+k)e^{-x}$
Or, $f_2(0)=ke^{0}=2$ , soit $k=2$
On en déduit que : $\boxed{f_2 \text{ est définie sur }\mathbb{R} \text{ par }f_2(x) = (x+2)e^{-x}}$

Partie B

$\text{Pour tout } x\text{ de }\mathbb{R} \text{ : }f_k(x)=(x+k)e^{-x}$
1.
$x\text{ tend vers } -\infty$ :
$\displaystyle \lim_{x\to-\infty} f_{k}(x)=\displaystyle \lim_{x\to-\infty}(x+k)e^{-x}$
D'après le cours: $\displaystyle \lim_{x\to-\infty} e^{-x}=+\infty \text{ et } \displaystyle \lim_{x\to-\infty} x+k=-\infty$
On en déduit: $\boxed{\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f_{k}(x)=-\infty}$
$x\text{ tend vers } +\infty$ : $\displaystyle \lim_{x\to+\infty} f_{k}(x)=\displaystyle \lim_{x\to+\infty}(x+k)e^{-x} =\displaystyle \lim_{x\to+\infty} xe^{-x}+ke^{-x}$
D'après le cours: $\displaystyle \lim_{x\to+\infty} ke^{-x}=0 \text{ et } \displaystyle \lim_{x\to+\infty} xe^{-x}=\lim_{x\to+\infty} \frac{1}{\frac{e^{x}}{x}}=0$
On en déduit: $\boxed{\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f_{k}(x)=0}$
2. $f_k$ est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$ et pour tout $x\text{ de }\mathbb{R}$ , on a :
$\begin{matrix} f^{'}_k(x)&=&e^{-x}-(x+k)(e^{-x})\\&=&\boxed{e^{-x}(1-k-x)}\end{matrix}$
3.
$\text{ Etude de signe :}$
$\text{Pour tout } x\text{ de }\mathbb{R} \text{ : } e^{-x}>0$ , donc $f_{k}^{'}(x)$ a le même signe que $1-k-x=-x+(1-k)$ qui s'annule en $x=1-k$
On en déduit que: $\begin{cases} f_k \text{ est strictement croissante sur} ]-\infty,1-k ] \\ f_k \text{ est strictement décroissante sur} [1-k,+\infty[ \end{cases}$
$\text{ Tableau de variations :}$
$\begin{tabvar}{|C|CCCCC|} \hline x & -\infty & & 1-k & & +\infty \\ \hline f'(x) & & +& 0 & - & \\ \hline \niveau{2}{2} f & -\infty & \croit & e^{k-1} & \decroit & 0 \\ \hline \end{tabvar}$

Partie C

1. a) $I_0=\displaystyle\int_{-2}^{0}e^{-x} dx=\displaystyle[-e^{-x}]_{-2}^{0}=-e^{0}-(-e^2)=\boxed{e^2-1}$
1. b) On a $I_{n+1}=\displaystyle \int_{-2}^{0} x^{n+1}e^{-x}dx$
Integration par parties, on pose:
$\begin{matrx} \begin{cases} u(x)=x^{n+1} \\u^{'}(x)=(n+1)x^{n} \end{cases} & & \begin{cases} v^{'}(x)=e^{-x} \\v(x)=-e^{-x}\end{cases}\end{matrix}$
Les fonctions u et v sont dérivables, à dérivées continues sur [-2 ; 0]
$\begin{matrix}I_{n+1}&=&\displaystyle[x^{n+1}(-e^{-x})]_{-2}^{0}-\int_{-2}^{0} -(n+1)e^{-x}x^n dx \\&=&\displaystyle 0+(-2)^{n+1}e^2+(n+1) \int_{-2}^{0} x^n e^{-x}dx \\&=& \boxed{\displaystyle(-2)^{n+1}e^2 +(n+1) I_n} \end{matrix}$
1. c) En utilisant la formule démontrée en 1.b), successivement pour n=0 puis pour n=1, on obtient :
$\begin{cases} \text{ Pour }n=0 \text{ : } I_1=(-2)^{1}e^2+I_0=-2e^2+e^2-1 = \boxed{-e^2-1} \\ \text{ Pour }n=1 \text{ : } I_2=(-2)^2e^2+2I_1=4e^2+2(-e^2-1)=4e^2-2e^2-2=\boxed{2e^2-2}\end{cases}$
2. a) D'après le graphique et la question 5) de la partie A, la fonction représentée est celle obtenue pour $k=2 \text{ soit }\boxed{f_{2} }$
2. b)
$\begin{matrix} S &=& \displaystyle\int_{-2}^{0} f_2(x) dx&&\\ &=& \displaystyle\int_{-2}^{0} ( 2e^{-x}+xe^{-x})dx&&\\ &=&\displaystyle 2\int_{-2}^{0} e^{-x}dx+\int_{-2}^{0} xe^{-x}dx &\text{ (par linéarité de l'intégrale) }&\\&=&\displaystyle 2I_0+I_1 &&\end{matrix}$
On en déduit que: $S= 2(-1+e^2)-1-e^2\Longleftrightarrow \boxed{S=e^2-3}$

Publié par Cel/ le 15-10-2015

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