Bac Technologique 2006 - Sciences et Technologies Industrielles
Arts appliqués
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Coefficient : 2 Durée : 2 heures
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Le formulaire officiel de mathématiques est joint au sujet.
8 points
exercice 1
Dans un repère orthonormal on a dessiné une ellipse de sommets :
A(4 ; 0) A'(-4 ; 0) B(0 ; 3) et B'(0 ; -3)
1. Montrer qu'une équation de cette ellipse dans est
2. Construire géométriquement les deux foyers F et F ' puis calculer leurs coordonnées exactes.
3. Pour tout point M de l'ellipse , par quelle relation MF et MF ' sont-ils liés ?
4. Déterminer les valeurs exactes des abscisses des points de d'ordonnée 2.
5. Les sommets d'un rectangle de centre O sont des points de l'ellipse et ses côtés sont parallèles aux axes. Quelle doit être la longueur du côté horizontal de ce rectangle pour que sa hauteur soit égale à ?
12 points
exercice 2
Pour la construction d'un stand d'exposition, des étudiants en BTS EVEC ont besoin de créer une rampe d'accès reliant le plancher du stand au sol du hall d'exposition. Une rampe plane ne pouvant permettre l'accès aux fauteuils roulants, les élèves de BTS proposent comme solution de remplacer sur la coupe ci-dessous, le segment [OA] par la courbe qui fait l'objet du problème suivant.
On choisit le repère orthonormé dans lequel le point A a pour coordonnées (4 ; 1) et la courbe représentative de la fonction définie que l'intervalle [0 ; 4] par :
1. Vérifier que O et A sont bien sur la courbe .
2. a) Calculer la fonction dérivée de . Montrer que .
b) Etudier le signe de sur [0 ; 4]. Donner ensuite le tableau de variations de sur [0 ; 4].
3. a) Calculer et . Donner une interprétation graphique de ces résultats.
b) Quel est le coefficient directeur de la tangente à au point I d'abscisse 2 ?
4. a) Recopier et compléter le tableau suivant : (on arrondira les valeurs au centième).
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0,96
b) On prendra comme unité graphique 5 cm. Représenter sur une feuille de papier millimétré la courbe ainsi que les tangentes aux trois points d'abscisses 0, 2 et 4.
5. a) Déterminer une primitive F de la fonction sur l'intervalle [0 ; 4].
b) On note S la partie située entre la courbe , l'axe des abscisses et la droite d'équation = 4.
Calculer l'aire de S (en unités d'aires).
c) On précise qu'une unité d'aire sur le graphique correspond à 1m² en réalité. Sachant que le stand a une largeur de 4 m, quel volume de béton devra-t-on utiliser pour construire la rampe d'accès ? La formule donnant ce volume est V = B × h où V est le volume, B l'aire de la partie correspondant à la partie S du graphique et h la largeur du stand.
Voici une figure pour illustrer les réponses aux questions 1 et 2.
1. L'équation cartésienne d'une ellipse centrée en O(0 ; 0) et de demi-axes a selon et b selon y est donnée par :
Ici, on a : a = 4 et b = 3, donc l'équation de l'ellipse est :
2. Le point F est le sommet du triangle OBF rectangle en O tel que OB = b et BF = a.
Donc, pour obtenir la position de F et F', on trace un cercle de centre B et de rayon 4. Les intersections de ce cercle avec l'axe des abscisses sont les foyers F et F'.
Dans le triangle OBF rectangle en O, d'aprés Pythagore :
Donc les points F et F' ont pour coordonnées :
3. Par définition, tout point M situé sur l'ellipse de foyers F et F' est tel que :
4. Calcul des abscisses des points D et E de d'ordonnée 2 (voir figure ci-dessous) :
On remplace y par la valeur 2 dans l'équation de l'ellipse et on cherche les valeurs de :
5. La hauteur du rectangle est égale à , donc en remplacant y par dans l'équation de l'ellipse, la demi-longueur du côté horizontal est la solution positive de l'équation :
La longueur du côté horizontal du rectangle RSTU est donc égale à
exercice 2
1.Vérifions que les points O(0 ; 0) et A(4 ; 1) appartiennent à la courbe : donc le point O(0 ; 0) appartient à la courbe.
donc le point A(4 ; 1) appartient à la courbe.
2. a)Calcul de la dérivée :
2. b)Etude du signe de et variations de :
3. a) Lors de l'étude du signe de , on a vu que Graphiquement, cela signifie que la courbe admet des droites tangentes horizontales aux points O et A.
3. b) Le coefficient directeur au point d'abscisse 2 est égal à :
4. a)Tableau de valeurs :
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0
0,04
0,16
0,32
0,5
0,68
0,84
0,96
1
4. b) Courbe représentative de la fonction , en prenant 2,5 cm pour unité.
5. a)Primitive de :
5. b) L'aire de S, en unités d'aires, est donnée par :
5. c)Calcul du volume de béton : Il faut donc 8 m3 de béton.
Publié par Océane/jamo
le
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)
on a dessiné une ellipse 
de sommets :
?
12 points 
qui fait l'objet du problème suivant.
définie que l'intervalle [0 ; 4] par :  = \frac{1}{32}(-x^3 + 6x^2))
de  = \frac{-3}{32}x(x - 4))
.
)
sur [0 ; 4]. Donner ensuite le tableau de variations de )
et )
. Donner une interprétation graphique de ces résultats.
= 4.
 \hspace{30pt} F'(-\sqrt{7} \, ; \, 0)})
d'ordonnée 2 (voir figure ci-dessous) :
dans l'équation de l'ellipse, la demi-longueur du côté horizontal est la solution positive de l'équation :
^2}{9} = 1 \\ \frac{x^2}{16} = 1 - \frac{7}{9} \\ x^2 = 16 \times \frac{2}{9} \\ x = \frac{4\sqrt{2}}{3})
:
 = \frac{1}{32}(-0^3+6 \times 0^2))
 = 0})
donc le point O(0 ; 0) appartient à la courbe.
 = \frac{1}{32}(-4^3+6 \times 4^2)\\ f(4) = \frac{1}{32}(-64+96)\\ f(4) = \frac{1}{32} \times 32)
 = 1})
donc le point A(4 ; 1) appartient à la courbe.
![f'(x) = \frac{1}{32}(-3x^2+12x) \\ f'(x) = \frac{1}{32}[-3x(x-4)] \\ \boxed{f'(x) = \frac{-3}{32}x(x-4)}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f'(x) = \frac{1}{32}(-3x^2+12x) \\ f'(x) = \frac{1}{32}[-3x(x-4)] \\ \boxed{f'(x) = \frac{-3}{32}x(x-4)})
 = 0 \\ \Longleftrightarrow \, x = 0 \textrm{ ou } x-4=0 \\ \Longleftrightarrow \, \boxed{x = 0} \text{ ou } \boxed{x = 4})
 = 0} \text{ et } \boxed{f'(4)=0})
)
:
 = \frac{-3}{32} \times 2 \times(2-4) \\ f'(2) = \frac{-3}{32} \times (-4) \\ \boxed{f'(2) = \frac{3}{8} })
 = \frac{1}{32}\left(-\frac{x^4}{4} + 2x^3\right) \\ \boxed{F(x) = \frac{1}{128}(-x^4 + 8x^3)})
![\text{I} = \displaystyle \int_0^4 f(x) \text{d}x \\ \text{I} = [F(x)]_0^4 \\ \text{I} = F(4) - F(0) \\ \text{I} = \frac{1}{128}\left[(-4^4 + 8 \times 4^3) - (-0^4 + 8 \times 0^3)\right] \\ \text{I} = \frac{1}{128}(-256 + 512) \\ \boxed{\text{I} = 2 \, \text{U.A.}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\text{I} = \displaystyle \int_0^4 f(x) \text{d}x \\ \text{I} = [F(x)]_0^4 \\ \text{I} = F(4) - F(0) \\ \text{I} = \frac{1}{128}\left[(-4^4 + 8 \times 4^3) - (-0^4 + 8 \times 0^3)\right] \\ \text{I} = \frac{1}{128}(-256 + 512) \\ \boxed{\text{I} = 2 \, \text{U.A.}})
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