Fiche de mathématiques
> >

Bac Technologique 2006 - Sciences et Technologies Industrielles
Arts appliqués

Partager :
Coefficient : 2     Durée : 2 heures

L'usage d'une calculatrice réglementaire est autorisé durant l'ensemble de l'épreuve.
Le formulaire officiel de mathématiques est joint au sujet.
8 points

exercice 1

Dans un repère orthonormal (O ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j}) on a dessiné une ellipse \mathscr{E} de sommets :
A(4 ; 0)       A'(-4 ; 0)       B(0 ; 3)       et       B'(0 ; -3)


bac STI arts appliqués Métropole 2006 - terminale : image 1


1. Montrer qu'une équation de cette ellipse dans (O ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j}) est \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1

2. Construire géométriquement les deux foyers F et F ' puis calculer leurs coordonnées exactes.

3. Pour tout point M de l'ellipse \mathscr{E}, par quelle relation MF et MF ' sont-ils liés ?

4. Déterminer les valeurs exactes des abscisses des points de \mathscr{E} d'ordonnée 2.

5. Les sommets d'un rectangle de centre O sont des points de l'ellipse \mathscr{E} et ses côtés sont parallèles aux axes. Quelle doit être la longueur du côté horizontal de ce rectangle pour que sa hauteur soit égale à 2\sqrt{7} ? 12 points

exercice 2

Pour la construction d'un stand d'exposition, des étudiants en BTS EVEC ont besoin de créer une rampe d'accès reliant le plancher du stand au sol du hall d'exposition. Une rampe plane ne pouvant permettre l'accès aux fauteuils roulants, les élèves de BTS proposent comme solution de remplacer sur la coupe ci-dessous, le segment [OA] par la courbe \mathscr{C} qui fait l'objet du problème suivant.

bac STI arts appliqués Métropole 2006 - terminale : image 2


On choisit le repère orthonormé (O ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j}) dans lequel le point A a pour coordonnées (4 ; 1) et \mathscr{C} la courbe représentative de la fonction f définie que l'intervalle [0 ; 4] par : f(x) = \frac{1}{32}(-x^3 + 6x^2)

1. Vérifier que O et A sont bien sur la courbe \mathscr{C}.

2. a) Calculer la fonction dérivée f' de f. Montrer que f'(x) = \frac{-3}{32}x(x - 4).
    b) Etudier le signe de f'(x) sur [0 ; 4]. Donner ensuite le tableau de variations de f sur [0 ; 4].

3. a) Calculer f'(0) et f'(4). Donner une interprétation graphique de ces résultats.
    b) Quel est le coefficient directeur de la tangente à \mathscr{C} au point I d'abscisse 2 ?

4. a) Recopier et compléter le tableau suivant : (on arrondira les valeurs au centième).

x 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
f(x)               0,96  

    b) On prendra comme unité graphique 5 cm. Représenter sur une feuille de papier millimétré la courbe \mathscr{C} ainsi que les tangentes aux trois points d'abscisses 0, 2 et 4.

5. a) Déterminer une primitive F de la fonction f sur l'intervalle [0 ; 4].
    b) On note S la partie située entre la courbe \mathscr{C}, l'axe des abscisses et la droite d'équation x = 4.
Calculer l'aire de S (en unités d'aires).
    c) On précise qu'une unité d'aire sur le graphique correspond à 1m² en réalité. Sachant que le stand a une largeur de 4 m, quel volume de béton devra-t-on utiliser pour construire la rampe d'accès ? La formule donnant ce volume est V = B × h où V est le volume, B l'aire de la partie correspondant à la partie S du graphique et h la largeur du stand.



exercice 1

Voici une figure pour illustrer les réponses aux questions 1 et 2.
bac STI arts appliqués Métropole 2006 - terminale : image 3


1. L'équation cartésienne d'une ellipse centrée en O(0 ; 0) et de demi-axes a selon x et b selon y est donnée par :
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1
Ici, on a : a = 4 et b = 3, donc l'équation de l'ellipse est : \boxed{\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1}

2. Le point F est le sommet du triangle OBF rectangle en O tel que OB = b et BF = a.
Donc, pour obtenir la position de F et F', on trace un cercle de centre B et de rayon 4. Les intersections de ce cercle avec l'axe des abscisses sont les foyers F et F'.
Dans le triangle OBF rectangle en O, d'aprés Pythagore :
\text{OF} = c = \sqrt{a^2-b^2} = \sqrt{16-9} = \sqrt{7}
Donc les points F et F' ont pour coordonnées : \boxed{\text{F}(\sqrt{7} \, ; \, 0) \hspace{30pt} F'(-\sqrt{7} \, ; \, 0)}

3. Par définition, tout point M situé sur l'ellipse de foyers F et F' est tel que : \boxed{\text{MF} + \text{MF}'=2a=8}

4. Calcul des abscisses des points D et E de \scrE d'ordonnée 2 (voir figure ci-dessous) :
On remplace y par la valeur 2 dans l'équation de l'ellipse et on cherche les valeurs de x :
\frac{x^2}{16} + \frac{2^2}{9} = 1 \\ \Longleftrightarrow \, \frac{x^2}{16} = 1 - \frac{4}{9} \\ \Longleftrightarrow \, \frac{x^2}{16} = \frac{5}{9} \\ \Longleftrightarrow \, x^2 = \frac{16}{9} \times 5 \\ \Longleftrightarrow \, \boxed{x = \frac{4\sqrt{5}}{3} \text{ ou } x = -\frac{4\sqrt{5}}{3}}

5. La hauteur du rectangle est égale à 2\sqrt{7}, donc en remplacant y par \sqrt{7} dans l'équation de l'ellipse, la demi-longueur du côté horizontal est la solution positive de l'équation :
\frac{x^2}{16} + \frac{(\sqrt{7})^2}{9} = 1 \\ \frac{x^2}{16} = 1 - \frac{7}{9} \\ x^2 = 16 \times \frac{2}{9} \\ x = \frac{4\sqrt{2}}{3}
La longueur du côté horizontal du rectangle RSTU est donc égale à \boxed{\frac{8\sqrt{2}}{3}}
bac STI arts appliqués Métropole 2006 - terminale : image 4


exercice 2

1. Vérifions que les points O(0 ; 0) et A(4 ; 1) appartiennent à la courbe \scrC :
f(0) = \frac{1}{32}(-0^3+6 \times 0^2)
\boxed{f(0) = 0} donc le point O(0 ; 0) appartient à la courbe.

f(4) = \frac{1}{32}(-4^3+6 \times 4^2)\\ f(4) = \frac{1}{32}(-64+96)\\ f(4) = \frac{1}{32} \times 32
\boxed{f(4) = 1} donc le point A(4 ; 1) appartient à la courbe.

2. a) Calcul de la dérivée :
f'(x) = \frac{1}{32}(-3x^2+12x) \\ f'(x) = \frac{1}{32}[-3x(x-4)] \\ \boxed{f'(x) = \frac{-3}{32}x(x-4)}

2. b) Etude du signe de f' et variations de f :
f'(x) = 0 \\ \Longleftrightarrow \, x = 0 \textrm{  ou  } x-4=0 \\ \Longleftrightarrow \, \boxed{x = 0} \text{ ou } \boxed{x = 4}
bac STI arts appliqués Métropole 2006 - terminale : image 5


3. a) Lors de l'étude du signe de f', on a vu que \boxed{f'(0) = 0} \text{ et } \boxed{f'(4)=0}
Graphiquement, cela signifie que la courbe admet des droites tangentes horizontales aux points O et A.

3. b) Le coefficient directeur au point d'abscisse 2 est égal à f'(2) :
f'(2) = \frac{-3}{32} \times 2 \times(2-4) \\ f'(2) = \frac{-3}{32} \times (-4) \\ \boxed{f'(2) = \frac{3}{8} }

4. a) Tableau de valeurs :

x 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
f(x) 0 0,04 0,16 0,32 0,5 0,68 0,84 0,96 1


4. b) Courbe représentative de la fonction f, en prenant 2,5 cm pour unité.
bac STI arts appliqués Métropole 2006 - terminale : image 6


5. a) Primitive de f :
F(x) = \frac{1}{32}\left(-\frac{x^4}{4} + 2x^3\right) \\ \boxed{F(x) = \frac{1}{128}(-x^4 + 8x^3)}

5. b) L'aire de S, en unités d'aires, est donnée par :
\text{I} = \displaystyle \int_0^4 f(x) \text{d}x \\ \text{I} = [F(x)]_0^4 \\ \text{I} = F(4) - F(0) \\ \text{I} = \frac{1}{128}\left[(-4^4 + 8 \times 4^3) - (-0^4 + 8 \times 0^3)\right] \\ \text{I} = \frac{1}{128}(-256 + 512) \\ \boxed{\text{I} = 2 \, \text{U.A.}}

5. c) Calcul du volume de béton :
V = B \times h \\ V = 2 \times 1 \times 4 \\ \boxed{V = 8 \, \text{m}^3}
Il faut donc 8 m3 de béton.
Publié le
ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT)
Inscription Gratuite se connecter
Merci à
jamo Moderateur
pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche


Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1348 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !