Fiche de mathématiques
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Baccalauréat Technologique
Série Hôtellerie
Polynésie Française - Session Juin 2006

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Durée de l'épreuve : 1 heure 30       Coefficient : 2

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel de mathématiques est autorisé.
8 points

exercice 1

Le tableau ci-dessous donne l'évolution du chiffre d'affaires, en milliers d'euros, réalisé par une chaîne de restaurants où
    x désigne le rang de l'année,
    y désigne le chiffre d'affaires en milliers d'euros.
année199319941995199619971998199920002001
x012345678
y1 3201 3801 4601 5901 6801 8001 9202 0202 130

1. Représenter le nuage de points M(x ;  y) dans un repère orthonormal. Pour unités graphiques, on prendra :
    1 cm pour 1 an sur l'axe des abscisses,
    1 cm pour 50 milliers d'euros sur l'axe des ordonnées. Sur cet axe, la graduation commencera à 1 300.

2. Calculer les coordonnées du point moyen G associé à cette série statistique, puis le placer sur le graphique.

3. On considère la droite (D) d'équation : y = 102 x + 1 292.
    a) Vérifier, par le calcul, que le point G appartient effectivement à la droite (D).
    b) Représenter la droite (D) dans le repère précédent.

Dans la suite de l'exercice, on admettra que la droite (D) réalise un bon ajustement affine du nuage.

4. a) Déterminer graphiquement le chiffre d'affaires en 2003.
    b) Retrouver ce résultat à l'aide d'un calcul.

5. Déterminer, par le calcul, l'année pour laquelle on peut prévoir un chiffre d'affaires de 2 618 000 euros.


12 points

exercice 2

Les parties A, B et C sont indépendantes.

Pour financer une sortie scolaire, les élèves d'une classe Terminale d'un lycée lorrain veulent vendre des bergamotes et des craquelines. Par souci d'économie, Ils décident de commander les bergamotes et les craquelines en vrac, puis de faire eux-mêmes les emballages.

Partie A

Les prix sont donnés par les deux courbes représentées sur l'annexe.
La courbe (B) représente la fonction f définie pour tout réel x de l'intervalle [10 ; 100], qui donne le prix d'achat, en euros, de x kilogrammes de bergamotes.
La courbe (C) représente la fonction g, définie pour tout réel x de l'intervalle [10 ; 100], qui donne le prix d'achat, en euros, de x kilogrammes de craquelines.
sujet du bac hôtellerie Polynésie Française Juin 2006 - terminale : image 1

On admettra que le prix des bergamotes est proportionnel à la quantité achetée

1. a) Déterminer graphiquement le prix, en euros, de 40 kilogrammes de bergamotes en faisant apparaître tous les tracés utiles sur le graphique joint.
En déduire par le calcul, le prix de 1 kilogramme de bergamotes.
    b) En déduire l'expression de f(x).

2. Soit g la fonction définie sur [10 ;100] par g(x) = - 0,2x^2 + 50x +  80.
    a) Déterminer graphiquement le prix en euros, de 40 kilogrammes de craquelines (en faisant apparaître tous les tracés utiles sur le graphique).
    b) Préciser cette valeur par un calcul.

Partie B

On admet que le prix moyen, en euros, d'un kilogramme de craquelines pour une commande de x kilogrammes de craquelines est donné par la fonction h, définie sur l'intervalle [10 ; 100] par :
h(x) = - 0,2x + 50 + \dfrac{80}{x}.

1. Pour tout x de l'intervalle [10 ;100], déterminer h'(x) ou h' est la fonction dérivée de la fonction h.
En déduire que h'(x) est strictement négatif.

2. Établir le tableau de variations de h sur [10 ;100].
Que peut-on en déduire quant au prix moyen du kilogramme de craquelines, en fonction de la quantité achetée?

Partie C

Ces élèves remplissent avec les bergamotes et les craquelines achetées, 295 boîtes de bergamotes, 157 boîtes de craquelines et 221 boîtes de mélanges bergamotes-craquelines.

Ils décident de prendre une boîte au hasard pour la déguster avant de commencer la vente.
Ces boîtes sont indiscernables.

(Les résultats seront arrondis au centième)

1. Quelle est la probabilité pour qu'une boite prise au hasard contienne le mélange bergamotes-craquelines?

2. Quelle est la probabilité pour qu'une boîte prise au hasard contienne :
des craquelines uniquement ou des bergamotes uniquement ?



exercice 1


1.
sujet du bac hôtellerie Polynésie Française Juin 2006 - terminale : image 2

2. Coordonnées du point moyen G\text{ : }\begin{cases} x_G=\dfrac{0+1+2+3+4+5+6+7+8}{9}=4 \\y_G=\dfrac{1320+1380+1460+1590+1680+1800+1920+2020+2130}{9}=1700\end{cases}
On en déduit que :
\boxed{G(4;1700)}


3. a) On a : 102x_G+1292=102\times 4+1292=1700=y_G
Donc :
\boxed{G \text{ appartient à la droite }(D)}


3. b) Voir la figure dans 1.

4. a) Le rang de l'année 2003 étant 10, on lit graphiquement le chiffre d'affaires correspondant :

Le chiffre d'affaires en 2003 s'élève approximativement à 2310 milliers d'euros


4. b) On remplace x par 10 dans l'équation de la droite (D), on trouve : y=102\times 10+1292=\boxed{2312 \text{ (milliers d'euros)}}

5. Le rang x de l'année pour laquelle on peut prévoir un chiffre d'affaires de 2 618 000 euros est la solution de l'équation :
2618 = 102 x + 1 292 \text{ soit } x=\dfrac{2618-1292}{102}=13

On en déduit que :
L'année pour laquelle on peut prévoir un chiffre d'affaires de 2 618 000 euros est 2006





exercice 2

Partie A

1. a)
sujet du bac hôtellerie Polynésie Française Juin 2006 - terminale : image 3

Sur la représentation graphique, on lit : f(40)=1600
Le prix de 40 kilogrammes de bergamotes s'élève à 1600 euros

Déduction : Puisque le prix des bergamotes est proportionnel à la quantité achetée, le prix de 1 kilogramme est donc : \dfrac{1600}{40}=\boxed{\text{ 40 euros}}

1. b) Le prix de bergamotes étant proportionnel à la quantité achetée, la fonction f est linéaire.
On en déduit que :
\boxed{ f(x)=40 x}


2. a) Voir graphique 1. a)
le prix de 40 kilogrammes de craquelines est donné graphiquement par la lecture de g(40) soit :
Le prix de 40 kilogrammes de craquelines s'élève à environ 1750 euros


2. b) Par le calcul : g(40)=-0,2\times (40)^2+50\times 40+80=\boxed{1760\text{ euros}}


Partie B

1. Pour tout réel x de [10 ; 100], on a : h'(x) =-0.2-\dfrac{80}{x^2}
Signe : Au vu de l'écriture de h'(x) , on peut affirmer que :
\boxed{ h'(x) \text{est strictement négative sur }[10;100]}


2. Tableau de variations :
\begin{tabvar}{|C|CCC|} \hline x                     & 10       &                             & 100   \\ \hline h'(x)                 &  &           -                &                \\ \hline \niveau{2}{3} h      &  56     & \decroit &  30,8   \\ \hline \end{tabvar}

On en déduit que:
Lorsque la quantité achetée augmente, le prix moyen diminue.



Partie C

On note :
A l'événement "La boîte prise au hasard contient le mélange bergamotes-craquelines"
B l'événement "La boîte prise au hasard contient des craquelines uniquement ou des bergamotes uniquement"

1. P(A)=\dfrac{221}{295+157+221}\approx \boxed{0,33}

2. P(B)=1-P(A)\approx 1 - 0,33\text { soit }\boxed{P(B)\approx 0,67}
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