Baccalauréat Technologique
Série Sciences et Technologies de la Gestion
Spécialité : Mercatique - Comptabilité et finance d'entreprise - Gestion des systèmes d'information
Polynésie Française - Session Juin 2007
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Mercatique, comptabilité et finance d'entreprise
Durée de l'épreuve : 3 heures Coefficient : 3
Gestion des systèmes d'information
Durée de l'épreuve : 3 heures Coefficient : 4
L'usage des calculatrices et des instruments de calcul est autorisé.
4 points
exercice 1
Sur un site Internet, on peut consulter le tableau suivant.
Indicateur des taux fixes pour un prêt immobilier.
15 ans
20 ans
25 ans
Taux A
3.65%
3.70%
3.85%
Taux B
3.85%
3.90%
4.05%
Taux C
4%
4.05%
4.20%
On rappelle que le montant a, en euros, de chacune des n annuités dans le cas d'un emprunt à annuités constantes de E euros, avec un intérêt annuel de i est : Monsieur DURAND et Monsieur FELIX souhaitent emprunter 150 000 euros pour acheter un appartement.
1. a) Monsieur DURAND choisit le taux A sur 15 ans, calculer le montant de l'annuité, le montant de la mensualité, le coût total du crédit.
b) Monsieur FELIX choisit le taux B sur 20 ans, calculer le montant de l'annuité, le montant de la mensualité, le coût total du crédit.
2. Monsieur DURAND gagne 3400 euros par mois et Monsieur FELIX gagne 3100 euros par mois.
La banque refuse le dossier si la mensualité dépasse 30% du salaire mensuel.
a) Déterminer la ou les personnes pour qui le dossier sera refusé.
b) Pour la ou les personnes refusée(s), proposer une solution qui soit acceptée par la banque.
5 points
exercice 2
Le tableau suivant donne la répartition des internautes par continent pour les années 2001, 2002, 2003 et 2004 en millions d'individus.
Il est incomplet. Pour le remplir il faut utiliser les réponses aux différentes questions.
zone
2001
2002
2003
2004
Taux moyen annuel
Estimation 2005
Amérique du nord
166.7
182.6
196
243
Amérique latine
24.8
33.3
40.6
47.3
24%
Afrique Moyen orient
8.4
11.4
21.3
31.2
Asie pacifique
125.9
187.2
298
44%
Europe
143.3
221.1
252.5
21%
1. Le taux d'évolution en Asie pacifique entre 2003 et 2004 vaut 26 %. Calculer le nombre d'internautes en millions, à 10-1 près, en Asie pacifique en 2004.
2. En prenant pour base 100, le nombre d'internautes en Europe en 2001, on obtient un indice 133.2 pour l'année 2002. Calculer le nombre d'internautes, à 10-1 près, en Europe en 2002.
3. Calculer les taux annuels moyens, à 10-2 près, entre 2001 et 2004 pour L'Amérique du Nord et l'Afrique/Moyen-orient. Classer les 5 zones par ordre croissant de taux moyens annuels d'évolution.
4. Un organisme utilise le taux moyen annuel pour estimer le nombre d'internautes dans les cinq zones en 2005. Calculer ces cinq prévisions. Que pensez-vous de la méthode choisie ?
4 points
exercice 3
Un nouveau logiciel permet de filtrer les messages sur une messagerie électronique.
Les concepteurs l'ont testé pour 1000 messages et voici leurs conclusions.
70% des messages entrants sont indésirables
95% des messages indésirables sont éliminés
2% des messages bienvenus sont éliminés.
On note B, l'événement : "le message est bienvenu".
On note I, l'événement : "le message est indésirable"
On note E, l'événement : "le message est éliminé"
On note C, l'événement : "le message est conservé"
1. Compléter le tableau suivant :
Nombre de messages indésirables
Nombre de messages bienvenu
Total
Nombre de messages éliminés
Nombre de messages conservés
Total
1000
2. Un message est envoyé ; utiliser le tableau précédent pour calculer les probabilités demandées ci-dessous.
Les résultats seront donnés à 10-3 près.
a) Calculer PC(B) et PI(E).
b) Calculer .
c) Calculer la probabilité pour que le message soit indésirable sachant qu'il est éliminé.
d) Calculer la probabilité pour que le message soit conservé et indésirable.
7 points
exercice 4
Monsieur DURAND dirige une entreprise familiale qui fabrique des montres de luxe depuis cinquante ans. Il part à la retraite et confie l'entreprise à son fils Vincent.
Dès la première semaine, Vincent demande à un collaborateur un compte-rendu de l'activité journalière de l'usine ; celui-ci lui remet le document 1 ci-dessous.
Document 1
PARTIE 1
En lisant graphiquement les deux courbes du document n°1, répondre aux questions suivantes :
1. Quel est le nombre maximum de montres produites en une journée ?
2. Quel est le coût de production de 6 montres ? de 8 montres ?
3. Combien faut-il vendre de montres pour obtenir une recette de 6000 euros ?
4. Combien de montres faut-il vendre par jour pour que l'usine fasse un bénéfice ? (ce bénéfice doit être strictement positif.)
La semaine suivante, Vincent se demande s'il peut produire plus de montres à condition que l'usine reste bénéficiaire. Il convoque son collaborateur qui lui remet le document ci-dessous, dressé â l'aide d'un tableur :
A
B
C
1
Nombre de montres
Coût de production (en milliers d'euros)
Recette (en milliers d'euros)
2
0
4,5
0
3
1
5,075
1
4
2
5,44
2
5
3
5,655
3
6
4
5,78
4
7
5
5,875
5
8
6
6
6
9
7
6,215
7
10
8
6,58
8
11
9
7,155
9
12
10
8
10
13
11
9,175
11
14
12
10,74
12
15
13
12,755
13
16
14
15,28
14
17
15
18,375
15
18
16
16
19
17
17
PARTIE 2
En utilisant le tableau ci-dessus, répondre aux questions suivantes :
1. Quel est le coût de production pour 5 montres ? pour 14 montres ?
2. Quelle est la recette pour 12 montres ?
3. Combien fabrique-t-on de montres avec 6215 euros ?
4. Combien peut-on fabriquer de montres en sachant que l'entreprise doit être bénéficiaire ? (donner la réponse sous forme d'un intervalle)
5. On a entré dans la cellule B2 la formule : que l'on a recopiée jusqu'à la cellule B19.
Quelle valeur sera dans la cellule B18 ? A quoi correspond-t-elle ?
Quelle valeur sera dans la cellule B19 ? A quoi correspond-t-elle ?
La troisième semaine, Vincent se préoccupe de savoir combien il faut vendre de montres par jour pour que le bénéfice soit maximum. Cette fois-ci, le collaborateur décide de traiter le problème de façon algébrique.
Il propose de désigner par , le nombre de montres vendues dans la journée par le coût de production de montres et par la recette pour montres vendues.
De plus, on a : et
PARTIE 3
Dans cette partie, il s'agit de répondre aux questions suivantes de façon algébrique :
1. On désigne par , le bénéfice réalisé par l'entreprise dans une journée.
Montrer que
2. Calculer et montrer que
3. Etudier le signe de sur l'intervalle [0 ; 17].
4. Dresser le tableau de variation de la fonction B sur l'intervalle [0 ; 17].
5. Déduire de ce qui précède, le nombre de montres qu'il faut vendre pour que l'entreprise réalise un bénéfice maximum.
1. a) Monsieur DURAND souhaite emprunter et choisit le taux sur , donc .
L'annuité : La mensualité : Le coût total :
1. b) Monsieur FELIX souhaite emprunter et choisit le taux sur , donc L'annuité : La mensualité : Le coût total :
2. a) Il s'agit de comparer le montant de mensualité avec 30 % du salaire dans les deux cas:
Pour monsieur DURAND qui gagne 3 400 euros par mois : 3 400 × 0,3 = 1 020 < 1 096,92
Pour monsieur FELIX qui gagne 3 100 euros par mois : 3 100 × 0,3 = 930 > 911,65
Seul Monsieur DURAND verra son dossier refusé.
2. b) Une solution acceptable par la banque serait que Monsieur DURAND choisisse le taux avec un remboursement sur , car :
Dans ce cas, la mensualité serait : et puisque , alors et il serait possible à monsieur DURAND de rembourser mensuellement la banque.
exercice 2
1. Le taux d'évolution en Asie est de 26 %, donc le coefficient multiplicateur de 2003 à 2004 est 1,26.
On en déduit le nombre d'internautes en Asie en 2004 :
2. En Europe, en 2001, il y a 143,3 millions d'internautes. Cela constitue la base 100.
En 2002 avec un indice de 133,2, on obtient :
3. Amérique du nord : Notons le taux moyen pour l'Amérique du Nord entre 2001 et 2004.
Le coefficient multiplicateur est égal à sur une année et à sur 3 ans.
Entre 2001 et 2004 le coefficient multiplicateur est égal à : Donc Conclusion :
Le taux annuel moyen entre 2001 et 2004 pour L'Amérique du Nord est donc de 13,39 %.
De même pour le Moyen-Orient, en notant le taux moyen entre 2001 et 2004.
Le coefficient multiplicateur entre 2001 et 2004 est : Donc Conclusion :
Le taux annuel moyen entre 2001 et 2004 pour Le Moyen-Orient est donc de 54,87 %.
Le classement par ordre croissant :
Amérique du Nord, Europe, Amérique Latine, Asie Pacifique, Moyen-Orient
4. En Amérique du Nord, la prévision donnera : 243 × 1,1339 = 324,1 millions.
En Amérique latine, la prévision donnera : 47,3 × 1,24 = 58,7 millions.
En Afrique Moyen Orient, la prévision donnera : 31,2 × 1,5487 = 48,3 millions.
En Asie pacifique, la prévision donnera : 375,5 × 1,44 = 540,7 millions.
En Europe, la prévision donnera : 252,5 × 1,21 = 305,5 millions.
La méthode choisie est recevable.
exercice 3
1.
Nombre de messages indésirables
Nombre de messages bienvenu
Total
Nombre de messages éliminés
665
6
671
Nombre de messages conservés
35
294
329
Total
700
300
1000
2. a) ;
2. b)
2. c) La probabilité pour que le message soit indésirable sachant qu'il est éliminé est :
2. d) La probabilité pour que le message soit conservé et indésirable est :
exercice 4
PARTIE 1
1. Les deux courbes sont définies sur [0 ; 10].
Le nombre maximum de montres produites en une journée est de 10.
2. Il s'agit de trouver les images de et pour la fonction "coût de production" (courbe noire), on trouve :
Le coût de production de 6 montres est 6000 euros. Le coût de production de 8 montres est environ 6500 euros.
3. Le nombre de montres vendues pour obtenir une recette de 6000 euros correspond à l'antécédent de par la fonction "recette" (courbe pointillée), il s'ensuit :
Pour obtenir une recette de 6000 euros par jour, il faut vendre quotidiennement 6 montres.
4. A partir de , la courbe des recettes (en pointillé) est au-dessus de la courbe du coût (en noir), donc :
Il faut vendre 7 montres ou plus, par jour, pour que l'usine fasse un bénéfice.
PARTIE 2
Lecture directe du tableau.
1. Le coût de production de 5 montres est : 5 875 euros Le coût de production de 14 montres est : 15 280 euros
2. La recette pour 12 montres est : 12 000 euros
3. Le nombre de montres fabriquées avec 6 215 euros est : 7 montres
4. L'intervalle dans laquelle la recette dépasse le coût de production est : 7,13
5. Dans B18, on trouvera la valeur 22,1. Cela signifie que le coût de production de 16 montres est de 22 100 euros.
Dans B19, on trouvera la valeur 26,515. Cela signifie que le coût de production de 17 montres est de 26 515 euros.
PARTIE 3
1. On a :
2. Or, on a : On peut donc bien écrire :
3. Sur l'intervalle [0 ; 17], et donc le signe de est celui de De plus, on a , il s'ensuit :
4. Le tableau de variations de :
5. Directement d'après 4.
Le nombre de montres qu'il faut vendre pour que l'entreprise réalise un bénéfice maximum est 10 montres.
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forum de terminale
^{-\text{n}}})
 \: et \: P(\text{E} \cap \text{I}))
.
que l'on a recopiée jusqu'à la cellule B19.
, le nombre de montres vendues dans la journée par )
le coût de production de )
la recette pour  = 0,01x^3 - 0,135x^2 + 0,7x + 4,5)
et  = x)
)
, le bénéfice réalisé par l'entreprise dans une journée.
 = -0,01x^3 + 0,135x^2 + 0,3x - 4,5)
)
et montrer que  = -0,03(x - 10)(x + 1))
et choisit le taux 
sur 
, donc 
.
^{-\text{n}}}=150000 \times \dfrac{0,0365}{1 - (1,0365)^{-15}}\approx\boxed{13163,08\text{ euros}})
et choisit le taux 
sur 
, donc 
^{-\text{n}}}=150000 \times \dfrac{0,039}{1 - (1,039)^{-20}}\approx\boxed{10939,75\text{ euros}})
avec un remboursement sur ^{-\text{n}}}=150000 \times \dfrac{0,037}{1 - (1,037)^{-20}}\approx\boxed{10746,06\text{ euros}})
et puisque 
, alors 
et il serait possible à monsieur DURAND de rembourser mensuellement la banque.
le taux moyen pour l'Amérique du Nord entre 2001 et 2004.
sur une année et à ^3)
sur 3 ans.
^3=1,4577\Longrightarrow 1+t\approx1,1339\Longrightarrow \boxed{t\approx 13,39\%})
le taux moyen entre 2001 et 2004.
^3=\dfrac{31,2}{8,4}\approx 3,7143)
^3=3,7143\Longrightarrow 1+t'\approx1,5487\Longrightarrow \boxed{t'\approx 54,87\%})
=\dfrac{294}{329}\approx\boxed{0,894})
=\dfrac{665}{700}=\boxed{0,950})
=\dfrac{6}{1000}=\boxed{0,006})
=\dfrac{665}{1000}=\boxed{0,665})
=\dfrac{665}{671}\approx\boxed{0,991})
=\dfrac{35}{1000}=\boxed{0,035})
et 
pour la fonction "coût de production" (courbe noire), on trouve :
par la fonction "recette" (courbe pointillée), il s'ensuit :
&=&R(x)-C(x)\\&=&x-\left(0,01x^3 - 0,135x^2 + 0,7x + 4,5\right)\\&=&x-0,01x^3+0,135x^2-0,7x-4,5\\&=&\boxed{-0,01x^3 + 0,135x^2 + 0,3x - 4,5}\end{matrix})
=-0,03x^2+2\times 0,135x+0,3=\boxed{-0,03x^2+0,27x+0,3})
(x + 1)=-0,03(x^2+x-10x-10)=-0,03(x^2-9x-10)=-0,03x^2+0,27x+0,3=B'(x))
=-0,03(x - 10)(x + 1)})
et donc le signe de )
est celui de =-x+10)
=0 \text{ pour } x=10)
![-x+10\le 0 \text{ sur }[10 ; 17] \text{ et } -x+10\ge 0 \text{ sur }[0 ; 10]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?-x+10\le 0 \text{ sur }[10 ; 17] \text{ et } -x+10\ge 0 \text{ sur }[0 ; 10])
, il s'ensuit :
![\boxed{B'(x)\ge 0 \text{ sur } [0 ; 10] \text{ et } B'(x)\le 0 \text{ sur } [10 ; 17]}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\boxed{B'(x)\ge 0 \text{ sur } [0 ; 10] \text{ et } B'(x)\le 0 \text{ sur } [10 ; 17]})
:
 & & + & \barre{0} & - & \\ \hline \niveau{2}{3} B &-4,5 & \croit& 2 & \decroit & -9,515 \\ \hline \end{tabvar})
=-4,5 )
=-0,01\times 10^3 + 0,135\times 10^2 + 0,3\times 10 - 4,5=2 )
=-0,01\times 17^3 + 0,135\times 17^2 + 0,3\times 17 - 4,5=-9,515)