Fiche de mathématiques
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Baccalauréat Technologique
Série Sciences et Technologies de la Gestion
Spécialité : Mercatique - Comptabilité et finance d'entreprise - Gestion des systèmes d'information
Polynésie Française - Session Juin 2007

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Mercatique, comptabilité et finance d'entreprise
Durée de l'épreuve : 3 heures         Coefficient : 3

Gestion des systèmes d'information
Durée de l'épreuve : 3 heures         Coefficient : 4

L'usage des calculatrices et des instruments de calcul est autorisé.
4 points

exercice 1

Sur un site Internet, on peut consulter le tableau suivant.

Indicateur des taux fixes pour un prêt immobilier.
  15 ans 20 ans 25 ans
Taux A 3.65% 3.70% 3.85%
Taux B 3.85% 3.90% 4.05%
Taux C 4% 4.05% 4.20%


On rappelle que le montant a, en euros, de chacune des n annuités dans le cas d'un emprunt à annuités constantes de E euros, avec un intérêt annuel de i est : \text{a} = \text{E} \times \dfrac{i}{1 - (1+i)^{-\text{n}}}
Monsieur DURAND et Monsieur FELIX souhaitent emprunter 150 000 euros pour acheter un appartement.

1. a) Monsieur DURAND choisit le taux A sur 15 ans, calculer le montant de l'annuité, le montant de la mensualité, le coût total du crédit.
    b) Monsieur FELIX choisit le taux B sur 20 ans, calculer le montant de l'annuité, le montant de la mensualité, le coût total du crédit.

2. Monsieur DURAND gagne 3400 euros par mois et Monsieur FELIX gagne 3100 euros par mois.
La banque refuse le dossier si la mensualité dépasse 30% du salaire mensuel.
   a) Déterminer la ou les personnes pour qui le dossier sera refusé.
   b) Pour la ou les personnes refusée(s), proposer une solution qui soit acceptée par la banque.


5 points

exercice 2

Le tableau suivant donne la répartition des internautes par continent pour les années 2001, 2002, 2003 et 2004 en millions d'individus.

Il est incomplet. Pour le remplir il faut utiliser les réponses aux différentes questions.
zone 2001 2002 2003 2004 Taux moyen annuel Estimation 2005
Amérique du nord 166.7 182.6 196 243    
Amérique latine 24.8 33.3 40.6 47.3 24%  
Afrique Moyen orient 8.4 11.4 21.3 31.2    
Asie pacifique 125.9 187.2 298   44%  
Europe 143.3   221.1 252.5 21%  


1. Le taux d'évolution en Asie pacifique entre 2003 et 2004 vaut 26 %. Calculer le nombre d'internautes en millions, à 10-1 près, en Asie pacifique en 2004.
2. En prenant pour base 100, le nombre d'internautes en Europe en 2001, on obtient un indice 133.2 pour l'année 2002. Calculer le nombre d'internautes, à 10-1 près, en Europe en 2002.
3. Calculer les taux annuels moyens, à 10-2 près, entre 2001 et 2004 pour L'Amérique du Nord et l'Afrique/Moyen-orient. Classer les 5 zones par ordre croissant de taux moyens annuels d'évolution.
4. Un organisme utilise le taux moyen annuel pour estimer le nombre d'internautes dans les cinq zones en 2005. Calculer ces cinq prévisions. Que pensez-vous de la méthode choisie ?


4 points

exercice 3

Un nouveau logiciel permet de filtrer les messages sur une messagerie électronique.

Les concepteurs l'ont testé pour 1000 messages et voici leurs conclusions.
70% des messages entrants sont indésirables
95% des messages indésirables sont éliminés
2% des messages bienvenus sont éliminés.

On note B, l'événement : "le message est bienvenu".
On note I, l'événement : "le message est indésirable"
On note E, l'événement : "le message est éliminé"
On note C, l'événement : "le message est conservé"

1. Compléter le tableau suivant :
  Nombre de messages indésirables Nombre de messages bienvenu Total
Nombre de messages éliminés      
Nombre de messages conservés      
Total     1000


2. Un message est envoyé ; utiliser le tableau précédent pour calculer les probabilités demandées ci-dessous.
Les résultats seront donnés à 10-3 près.
   a) Calculer PC(B) et PI(E).
   b) Calculer P(\text{B} \cap \text{E}) \: et \: P(\text{E} \cap \text{I}).
   c) Calculer la probabilité pour que le message soit indésirable sachant qu'il est éliminé.
   d) Calculer la probabilité pour que le message soit conservé et indésirable.


7 points

exercice 4

Monsieur DURAND dirige une entreprise familiale qui fabrique des montres de luxe depuis cinquante ans. Il part à la retraite et confie l'entreprise à son fils Vincent.
Dès la première semaine, Vincent demande à un collaborateur un compte-rendu de l'activité journalière de l'usine ; celui-ci lui remet le document 1 ci-dessous.

Document 1
Bac STG Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des systèmes d'information Polynésie Française 2007 - terminale : image 1


PARTIE 1

En lisant graphiquement les deux courbes du document n°1, répondre aux questions suivantes :
1. Quel est le nombre maximum de montres produites en une journée ?

2. Quel est le coût de production de 6 montres ? de 8 montres ?

3. Combien faut-il vendre de montres pour obtenir une recette de 6000 euros ?

4. Combien de montres faut-il vendre par jour pour que l'usine fasse un bénéfice ? (ce bénéfice doit être strictement positif.)

La semaine suivante, Vincent se demande s'il peut produire plus de montres à condition que l'usine reste bénéficiaire. Il convoque son collaborateur qui lui remet le document ci-dessous, dressé â l'aide d'un tableur :

  A B C
1 Nombre de montres Coût de production (en milliers d'euros) Recette (en milliers d'euros)
2 0 4,5 0
3 1 5,075 1
4 2 5,44 2
5 3 5,655 3
6 4 5,78 4
7 5 5,875 5
8 6 6 6
9 7 6,215 7
10 8 6,58 8
11 9 7,155 9
12 10 8 10
13 11 9,175 11
14 12 10,74 12
15 13 12,755 13
16 14 15,28 14
17 15 18,375 15
18 16   16
19 17   17


PARTIE 2

En utilisant le tableau ci-dessus, répondre aux questions suivantes :

1. Quel est le coût de production pour 5 montres ? pour 14 montres ?

2. Quelle est la recette pour 12 montres ?

3. Combien fabrique-t-on de montres avec 6215 euros ?

4. Combien peut-on fabriquer de montres en sachant que l'entreprise doit être bénéficiaire ? (donner la réponse sous forme d'un intervalle)

5. On a entré dans la cellule B2 la formule : \boxed{= 0.01*A2\widehat{\hspace{5pt}}3 - 0.135*A2\widehat{\hspace{5pt}}2 + 0.7*A2 + 4.5} que l'on a recopiée jusqu'à la cellule B19.
Quelle valeur sera dans la cellule B18 ? A quoi correspond-t-elle ?
Quelle valeur sera dans la cellule B19 ? A quoi correspond-t-elle ?

La troisième semaine, Vincent se préoccupe de savoir combien il faut vendre de montres par jour pour que le bénéfice soit maximum. Cette fois-ci, le collaborateur décide de traiter le problème de façon algébrique.
Il propose de désigner par x, le nombre de montres vendues dans la journée par \text{C}(x) le coût de production de x montres et par \text{R}(x) la recette pour x montres vendues.
De plus, on a : \text{C}(x) = 0,01x^3 - 0,135x^2 + 0,7x + 4,5   et   \text{R}(x) = x

PARTIE 3

Dans cette partie, il s'agit de répondre aux questions suivantes de façon algébrique :

1. On désigne par \text{B}(x), le bénéfice réalisé par l'entreprise dans une journée.
Montrer que \text{B}(x) = -0,01x^3 + 0,135x^2 + 0,3x - 4,5

2. Calculer \text{B}'(x) et montrer que \text{B}'(x) = -0,03(x - 10)(x + 1)

3. Etudier le signe de \text{B}'(x) sur l'intervalle [0 ; 17].

4. Dresser le tableau de variation de la fonction B sur l'intervalle [0 ; 17].

5. Déduire de ce qui précède, le nombre de montres qu'il faut vendre pour que l'entreprise réalise un bénéfice maximum.



exercice 1

1. a) Monsieur DURAND souhaite emprunter E = 150 000 \text{ euros} et choisit le taux A = 3,65\% sur n = 15\text{ ans}, donc i=0,0365.
L'annuité : \text{a} = \text{E} \times \dfrac{i}{1 - (1+i)^{-\text{n}}}=150000 \times \dfrac{0,0365}{1 - (1,0365)^{-15}}\approx\boxed{13163,08\text{ euros}}
La mensualité : m=\dfrac{a}{12}=\dfrac{13163,08}{12}\approx\boxed{1096,92\text{ euros}}
Le coût total : c_t=na=15\times 13163,08\approx\boxed{197446\text{ euros}}

1. b) Monsieur FELIX souhaite emprunter E=150 000 \text{ euros} et choisit le taux B=3,90\% sur n=20\text{ ans} , donc i=0,039
L'annuité : \text{a} = \text{E} \times \dfrac{i}{1 - (1+i)^{-\text{n}}}=150000 \times \dfrac{0,039}{1 - (1,039)^{-20}}\approx\boxed{10939,75\text{ euros}}
La mensualité : m=\dfrac{a}{12}=\dfrac{10939,75}{12}\approx\boxed{911,65\text{ euros}}
Le coût total : c_t=na=20\times 10939,75=\boxed{218795\text{ euros}}

2. a) Il s'agit de comparer le montant de mensualité avec 30 % du salaire dans les deux cas:
Pour monsieur DURAND qui gagne 3 400 euros par mois : 3 400 × 0,3 = 1 020 < 1 096,92
Pour monsieur FELIX qui gagne 3 100 euros par mois : 3 100 × 0,3 = 930 > 911,65
Seul Monsieur DURAND verra son dossier refusé.


2. b) Une solution acceptable par la banque serait que Monsieur DURAND choisisse le taux A=3,70\% avec un remboursement sur n=20\text{ ans}, car :
\text{a} = \text{E} \times \dfrac{i}{1 - (1+i)^{-\text{n}}}=150000 \times \dfrac{0,037}{1 - (1,037)^{-20}}\approx\boxed{10746,06\text{ euros}}
Dans ce cas, la mensualité serait : m=\dfrac{a}{12}=\dfrac{10746,06}{12}\approx\boxed{895,5\text{ euros}} et puisque 895,5<1020, alors m<1020 et il serait possible à monsieur DURAND de rembourser mensuellement la banque.




exercice 2

1. Le taux d'évolution en Asie est de 26 %, donc le coefficient multiplicateur de 2003 à 2004 est 1,26.
On en déduit le nombre d'internautes en Asie en 2004 : 298 \times 1,26 \approx \boxed{375,5\text{ millions.}}

2. En Europe, en 2001, il y a 143,3 millions d'internautes. Cela constitue la base 100.
En 2002 avec un indice de 133,2, on obtient : 143,3\times 1,332\approx\boxed{190,9\text{ millions.}}

3.
Amérique du nord : Notons t le taux moyen pour l'Amérique du Nord entre 2001 et 2004.
Le coefficient multiplicateur est égal à 1+t sur une année et à (1+t)^3 sur 3 ans.
Entre 2001 et 2004 le coefficient multiplicateur est égal à : \dfrac{243}{166,7}\approx 1,4577
Donc (1+t)^3=1,4577\Longrightarrow 1+t\approx1,1339\Longrightarrow \boxed{t\approx 13,39\%}
Conclusion :
Le taux annuel moyen entre 2001 et 2004 pour L'Amérique du Nord est donc de 13,39 %.

De même pour le Moyen-Orient, en notant t' le taux moyen entre 2001 et 2004.
Le coefficient multiplicateur entre 2001 et 2004 est : (1+t')^3=\dfrac{31,2}{8,4}\approx 3,7143
Donc (1+t')^3=3,7143\Longrightarrow 1+t'\approx1,5487\Longrightarrow \boxed{t'\approx 54,87\%}
Conclusion :
Le taux annuel moyen entre 2001 et 2004 pour Le Moyen-Orient est donc de 54,87 %.

Le classement par ordre croissant :
Amérique du Nord, Europe, Amérique Latine, Asie Pacifique, Moyen-Orient


4.
En Amérique du Nord, la prévision donnera : 243 × 1,1339 = 324,1 millions.
En Amérique latine, la prévision donnera : 47,3 × 1,24 = 58,7 millions.
En Afrique Moyen Orient, la prévision donnera : 31,2 × 1,5487 = 48,3 millions.
En Asie pacifique, la prévision donnera : 375,5 × 1,44 = 540,7 millions.
En Europe, la prévision donnera : 252,5 × 1,21 = 305,5 millions.
La méthode choisie est recevable.




exercice 3

1.
  Nombre de messages indésirables Nombre de messages bienvenu Total
Nombre de messages éliminés 665 6 671
Nombre de messages conservés 35 294 329
Total 700 300 1000

2. a) ;
P_C(B)=\dfrac{294}{329}\approx\boxed{0,894}
P_I(E)=\dfrac{665}{700}=\boxed{0,950}

2. b)
P(B\cap E)=\dfrac{6}{1000}=\boxed{0,006}
P(E\cap I)=\dfrac{665}{1000}=\boxed{0,665}

2. c) La probabilité pour que le message soit indésirable sachant qu'il est éliminé est : P_E(I)=\dfrac{665}{671}\approx\boxed{0,991}

2. d) La probabilité pour que le message soit conservé et indésirable est : P(C\cap I)=\dfrac{35}{1000}=\boxed{0,035}




exercice 4

PARTIE 1

1. Les deux courbes sont définies sur [0 ; 10].
Le nombre maximum de montres produites en une journée est de 10.


2. Il s'agit de trouver les images de x=6 et x=8 pour la fonction "coût de production" (courbe noire), on trouve :
Le coût de production de 6 montres est 6000 euros. Le coût de production de 8 montres est environ 6500 euros.


3. Le nombre de montres vendues pour obtenir une recette de 6000 euros correspond à l'antécédent de y=6 par la fonction "recette" (courbe pointillée), il s'ensuit :
Pour obtenir une recette de 6000 euros par jour, il faut vendre quotidiennement 6 montres.


4. A partir de x=6, la courbe des recettes (en pointillé) est au-dessus de la courbe du coût (en noir), donc :
Il faut vendre 7 montres ou plus, par jour, pour que l'usine fasse un bénéfice.


PARTIE 2

Lecture directe du tableau.
1. Le coût de production de 5 montres est : 5 875 euros
Le coût de production de 14 montres est : 15 280 euros

2. La recette pour 12 montres est : 12 000 euros

3. Le nombre de montres fabriquées avec 6 215 euros est : 7 montres

4. L'intervalle dans laquelle la recette dépasse le coût de production est : 7,13

5. Dans B18, on trouvera la valeur 22,1. Cela signifie que le coût de production de 16 montres est de 22 100 euros.
Dans B19, on trouvera la valeur 26,515. Cela signifie que le coût de production de 17 montres est de 26 515 euros.

PARTIE 3

1. On a :
\begin{matrix}B(x)&=&R(x)-C(x)\\&=&x-\left(0,01x^3 - 0,135x^2 + 0,7x + 4,5\right)\\&=&x-0,01x^3+0,135x^2-0,7x-4,5\\&=&\boxed{-0,01x^3 + 0,135x^2 + 0,3x - 4,5}\end{matrix}

2. B'(x)=-0,03x^2+2\times 0,135x+0,3=\boxed{-0,03x^2+0,27x+0,3}
Or, on a : -0,03(x - 10)(x + 1)=-0,03(x^2+x-10x-10)=-0,03(x^2-9x-10)=-0,03x^2+0,27x+0,3=B'(x)
On peut donc bien écrire : \boxed{B'(x)=-0,03(x - 10)(x + 1)}

3. Sur l'intervalle [0 ; 17], x+1>0 et donc le signe de B'(x) est celui de -(x-10)=-x+10
B'x)=0 \text{ pour } x=10
De plus, on a -x+10\le 0 \text{ sur }[10 ; 17] \text{ et } -x+10\ge 0 \text{ sur }[0 ; 10], il s'ensuit :
\boxed{B'(x)\ge 0 \text{ sur } [0 ; 10] \text{ et } B'(x)\le 0 \text{ sur } [10 ; 17]}


4. Le tableau de variations de B :
\begin{tabvar}{|C|CCCCC|}       \hline  {x}                      & 0   &    &10&                & 17     \\ \hline  B'(x)                &   & + &  \barre{0}    &  -  &            \\ \hline \niveau{2}{3} B       &-4,5  & \croit&  2  & \decroit     & -9,515    \\ \hline \end{tabvar}

B(0)=-4,5
B(10)=-0,01\times 10^3 + 0,135\times 10^2 + 0,3\times 10 - 4,5=2
 B(17)=-0,01\times 17^3 + 0,135\times 17^2 + 0,3\times 17 - 4,5=-9,515

5. Directement d'après 4.
Le nombre de montres qu'il faut vendre pour que l'entreprise réalise un bénéfice maximum est 10 montres.
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