Bac Technologique - Sciences et Technologies de la Gestion
Mercatique - Comptabilité et finance d'entreprise - Gestion des systèmes d'information
Centres Étrangers - Session Juin 2007
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Mercatique, comptabilité et finance d'entreprise
Durée de l'épreuve : 3 heures Coefficient : 3
Gestion des systèmes d'information
Durée de l'épreuve : 3 heures Coefficient : 4
L'usage de la calculatrice est autorisé.
6 points
exercice 1
En 2003, une étude est réalisée sur un échantillon représentatif de la population française composé de 1 500 individus.
La première question posée est : «Connaissez-vous le commerce équitable ?».
Le tableau ci-dessous donne la répartition des réponses par âge.
Moins de 25 ans
25-39 ans
40-59 ans
60 ans et plus
TOTAL
OUI
156
171
150
48
525
NON
258
297
273
147
975
TOTAL
414
468
423
195
1 500
1. a) Parmi la population totale, quelle est la proportion de personnes connaissant le commerce équitable?
b) Parmi la population totale, quelle est la proportion de personnes âgées de moins de 25 ans connaissant le commerce équitable ?
c) Parmi les plus de 60 ans, quel est le pourcentage arrondi à 0,1 % des personnes connaissant le commerce équitable ?
d) Parmi les personnes connaissant le commerce équitable, quel est le pourcentage arrondi à 0,1 % des personnes âgées de moins de 40 ans?
2. On pose aux 1 500 personnes précédentes une seconde question : «Connaissez-vous le label AB pour agriculture biologique ?»
Parmi les personnes connaissant le commerce équitable, 504 d'entre-elles connaissent le label AB.
Parmi les personnes ne connaissant pas le commerce équitable, 546 d'entre-elles connaissent le label AB.
On interroge au hasard une des 1 500 personnes et on considère les évènements A et C suivants :
A : «la personne interrogée connaît le label AB.»
C : «la personne interrogée connaît le commerce équitable.»
a) Montrer que et que .
b) Recopier et compléter l'arbre de probabilité ci-dessous :
c) Calculer les probabilités et ).
d) Un journaliste déclare : «70 % de la population française connaît le label AB.».
L'affirmation est-elle vraie ? Justifiez votre réponse.
e) Les évènements A et C sont-ils indépendants ? Justifiez votre réponse.
6 points
exercice 2
Le tableau suivant montre l'évolution du nombre d'écoles (maternelles et élémentaires) de 1980 à 2004 en France :
Année
1980
1990
1997
2001
2004
Rang de l'année
0
10
17
21
24
Nombre d'écoles
68 839
64 223
60 196
58 367
56 628
(Données INSEE)
Dans l'exercice, les résultats seront donnés sous forme décimale arrondis avec deux chiffres après la virgule.
Partie A :
1. Calculer le taux dévolution global du nombre d'écoles en France entre les années 1980 et 2004.
2. a) A l'aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée du réel tel que : .
b) En déduire le taux dévolution annuel moyen du nombre d'écoles en France entre les années 1997 et 2004.
3. En admettant qu'à partir de l'année 2004 le taux d'évolution annuel est de - 1 %, quelle estimation, à l'unité près, peut-on faire du nombre d'écoles en France en 2008 ?
Partie B :
On envisage un autre modèle pour prévoir l'évolution du nombre d'écoles en France. Pour cela, on a réalisé ci-dessous le nuage de points de la série.
Nuage de points
1. Pourquoi un ajustement affine de ce nuage est-il envisageable ?
2. On choisit comme ajustement affine de ce nuage, la droite d'équation obtenue par la méthode des moindres carrés.
Par cet ajustement affine, calculer la nouvelle estimation, à l'unité près, du nombre d'écoles en France en 2008.
8 points
exercice 3
Soient et les fonctions définies et dérivables sur [-1 ; 4] telles que
et
Dans le repère orthogonal ci-dessous, on a tracé les courbes et représentant les fonctions et sur l'intervalle [-1 ; 4].
On désigne par T et T' les tangentes respectives à et au point d'abscisse 0.
Partie A : Q. C. M.
Pour chaque question, une seule proposition est exacte. Indiquez laquelle sur votre copie. Une réponse exacte rapporte 0,5 point, une réponse inexacte enlève 0,25 point L'absence de réponse n'enlève ni n'ajoute aucun point Si le total des points est négatif, la note attribuée à la partie A sera égale à 0:
1. est égale à :
a) -1
b) 0,5
c) 0
d) 8
2. est égale à :
a) -1
b) 0
c) 1
d) 8
3. Sur l'intervalle [-1 ; 4] l'équation a :
a) trois solutions
b) deux solutions
c) une solution
d) aucune solution
4. a pour dérivée :
a)
b)
c)
d)
Partie B : application économique
La société DISTRI-PUB, spécialisée dans la vente d'objets publicitaires pour les entreprises, propose des porte-clés personnalisés.
est le prix unitaire en euro d'un porte-clés et [0,5 ; 4].
est la quantité en milliers de porte-clés que les entreprises sont prêtes à acheter au prix .
est la quantité en milliers de porte-clés que DISTRI-PUB propose au prix .
1. a) Calculer . (On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie à 0,001 près)
b) En déduire le nombre de porte-clés (à l'unité près) que les entreprises sont prêtes à acheter au prix unitaire de un euro.
c) Au prix unitaire de 1 euro, quel est le nombre de porte-clés (à l'unité près) que DISTRI-PUB propose ?
d) Au prix unitaire de 1 euro, la société DISTRI-PUB peut-elle satisfaire à la demande des entreprises ?
2. On cherche la valeur de [0,5 ; 4] pour laquelle . Cette valeur est appelée prix d'équilibre.
A - En utilisant un tableur On donne les deux feuilles de calcul suivantes :
A
B
C
D
E
F
1
Pas
2
1
5,886
2,718
3,168
1
0,1
3
1,1
5,592
3,154
2,438
4
1,2
5,301
3,652
1,649
5
1,3
5,015
4,220
0,795
6
1,4
4,735
4,866
-0,132
7
1,5
4,463
5,602
-1,140
8
1,6
4,199
6,439
-2,239
9
1,7
3,946
7,390
-3,444
10
1,8
3,703
8,470
-4,767
11
1,9
3,470
9,695
-6,225
12
2
3,248
11,084
-7,836
A
B
C
D
E
F
1
Pas
2
1,3
5,015
4,220
0,795
1,3
0,01
3
1,31
4,986
4,281
0,706
4
1,32
4,958
4,342
0,616
5
1,33
4,930
4,405
0,525
6
1,34
4,902
4,468
0,433
7
1,35
4,874
4,532
0,341
8
1,36
4,874
4,532
0,341
9
1,37
4,818
4,663
0,154
10
1,38
4,790
4,730
0,060
11
1,39
4,762
4,795
-0,035
12
1,4
4,735
4,868
-0,132
On rappelle que dans un tableur se note EXP
1. Quelles formules a-t-on saisies dans les cellules C2 et D2 pour obtenir, par recopie automatique vers le bas, les résultats des colonnes C et D.
2. Dans la cellule A3 on a saisi la formule «= A2+$F$2» puis on l'a recopiée vers le bas.
Quelle formule est affichée dans la cellule A8 ?
3. A partir de ces deux feuilles de calcul, donner une valeur approchée à 0,01 près du prix d'équilibre.
B - Par calcul algébrique 1. Montrer que l'équation peut s'écrire .
2. Résoudre sur [0,5 ; 4] l'équation et en déduire la valeur exacte du prix d'équilibre.
1. a) La proportion de personnes connaissant le commerce équitable est :
1. b) La proportion de personnes âgées de moins de 25 ans connaissant le commerce équitable est :
1. c) Le pourcentage arrondi à 0,1 % des personnes connaissant le commerce équitable parmi les plus de 60 ans est :
1. d) Le pourcentage arrondi à 0,1 % des personnes âgées de moins de 40 ans parmi les personnes connaissant le commerce équitable est :
2. a)
2. b) Il est alors aisé de compléter l'arbre.
2. c)
2. d) Comme , on a : .
donc l'affirmation du journaliste est vraie.
2. e) On a et , donc
Or, , donc
A et C ne sont pas indépendants.
exercice 2
Partie A
1. Le taux d'évolution entre 1980 et 2004 est :
Conclusion :
Le nombre d'écoles a diminué de 17,74 %.
2. a) A l'aide de la calculatrice :
2. b) Le coefficient multiplicateur correspondant au taux d'évolution annuel moyen est de 0,9913 ce qui correspond à une baisse de 0,87 %.
On en déduit :
Le nombre d'écoles a diminué de 0,87 % par an en moyenne entre 1997 et 2004.
3. Le nombre d'écoles en France en 2008 serait :
Partie B
1. Un ajustement affine de ce nuage est envisageable car les points sont "presque" alignés.
2. Le rang de l'année 2008 étant 28, il suffit de remplacer par 28 dans l'équation de la droite , on trouve :
Le nombre d'écoles en France en 2008 s'élèverait à 54 706.
exercice 3
Partie A
1.Réponse exacte d) car la courbe passe par le point de coordonnées (0 ; 8).
2.Réponse exacte b) La tangente à au point de la courbe d'abscisse 0 est parallèle à l'axe des abscisses.
3.Réponse exacte b) D'après la figure, les deux courbes ont deux points communs.
4.Réponse exacte a) est dérivable comme produit de fonctions dérivables, et
Partie B
1. a) Valeur approchée :
1. b) Les entreprises sont donc prêtes à acheter 5 886 porte-clés à 1 euro.
1. c) On a : , soit .
Conclusion :
DISTRI-PUB peut proposer 2 718 porte-clés à 1 euro.
1. d) Comme 2,718 < 5,886.
La société DISTRI-PUB ne peut pas satisfaire à la demande des entreprises.
A - En utilisant un tableur 1. Dans C2, peut être écrit : "=0,5*(A2+1)*EXP(A2)"
Dans D2, peut être écrit : "=B2-C2"
2. Si dans la cellule A3 on a saisi la formule «= A2+$F$2», alors dans la cellule A8, on trouvera "=A7+$F$2"
3. A l'aide de la seconde feuille de calcul, on peut dire que le prix d'équilibre à 0,01 près est soit 1,38 euros, soit 1,39 euros.
B - Par calcul algébrique 1. On a :
2. Résolution de l'équation sur [0,5 ; 4] :
en ayant remarqué que :
La valeur exacte du prix d'équilibre est ln(4) euros.
Publié par TP/dandave
le
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