Fiche de mathématiques
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Bac Technologique - Sciences et Technologies de la Gestion
Mercatique - Comptabilité et finance d'entreprise - Gestion des systèmes d'information
Centres Étrangers - Session Juin 2007

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Mercatique, comptabilité et finance d'entreprise
Durée de l'épreuve : 3 heures         Coefficient : 3

Gestion des systèmes d'information
Durée de l'épreuve : 3 heures         Coefficient : 4

L'usage de la calculatrice est autorisé.
6 points

exercice 1

En 2003, une étude est réalisée sur un échantillon représentatif de la population française composé de 1 500 individus.
La première question posée est : «Connaissez-vous le commerce équitable ?».
Le tableau ci-dessous donne la répartition des réponses par âge.
 Moins de 25 ans25-39 ans40-59 ans60 ans et plusTOTAL
OUI15617115048525
NON258297273147975
TOTAL4144684231951 500

1. a) Parmi la population totale, quelle est la proportion de personnes connaissant le commerce équitable?
    b) Parmi la population totale, quelle est la proportion de personnes âgées de moins de 25 ans connaissant le commerce équitable ?
    c) Parmi les plus de 60 ans, quel est le pourcentage arrondi à 0,1 % des personnes connaissant le commerce équitable ?
    d) Parmi les personnes connaissant le commerce équitable, quel est le pourcentage arrondi à 0,1 % des personnes âgées de moins de 40 ans?

2. On pose aux 1 500 personnes précédentes une seconde question : «Connaissez-vous le label AB pour agriculture biologique ?»
    Parmi les personnes connaissant le commerce équitable, 504 d'entre-elles connaissent le label AB.
    Parmi les personnes ne connaissant pas le commerce équitable, 546 d'entre-elles connaissent le label AB.
On interroge au hasard une des 1 500 personnes et on considère les évènements A et C suivants :
    A : «la personne interrogée connaît le label AB.»
    C : «la personne interrogée connaît le commerce équitable.»
    a) Montrer que P_{\text{C}}(\text{A}) = 0,96 et que P_{\overline{\text{C}}}(\text{A}) = 0,56.
    b) Recopier et compléter l'arbre de probabilité ci-dessous :
bac STG Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des systèmes d'information Centres Étrangers Juin 2007 - terminale : image 1

    c) Calculer les probabilités P(\text{A}  \cap \text{C}) et P\left(\text{A} \cap \overline{\text{C}}\right).
    d) Un journaliste déclare : «70 % de la population française connaît le label AB.».
L'affirmation est-elle vraie ? Justifiez votre réponse.
    e) Les évènements A et C sont-ils indépendants ? Justifiez votre réponse.


6 points

exercice 2

Le tableau suivant montre l'évolution du nombre d'écoles (maternelles et élémentaires) de 1980 à 2004 en France :
Année19801990199720012004
Rang x_{i} de l'année010172124
Nombre d'écoles68 83964 22360 19658 36756 628
(Données INSEE)


Dans l'exercice, les résultats seront donnés sous forme décimale arrondis avec deux chiffres après la virgule.

Partie A :

1. Calculer le taux dévolution global du nombre d'écoles en France entre les années 1980 et 2004.

2. a) A l'aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée du réel a tel que : a^7 = \dfrac{56 628}{60 196}.
    b) En déduire le taux dévolution annuel moyen du nombre d'écoles en France entre les années 1997 et 2004.

3. En admettant qu'à partir de l'année 2004 le taux d'évolution annuel est de - 1 %, quelle estimation, à l'unité près, peut-on faire du nombre d'écoles en France en 2008 ?

Partie B :

On envisage un autre modèle pour prévoir l'évolution du nombre d'écoles en France. Pour cela, on a réalisé ci-dessous le nuage de points M\left(x_{i} ;  y_{i}\right) de la série.
Nuage de points
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1. Pourquoi un ajustement affine de ce nuage est-il envisageable ?

2. On choisit comme ajustement affine de ce nuage, la droite \Delta d'équation y = - 510,6x + 69 003 obtenue par la méthode des moindres carrés.
Par cet ajustement affine, calculer la nouvelle estimation, à l'unité près, du nombre d'écoles en France en 2008.


8 points

exercice 3

Soient f et g les fonctions définies et dérivables sur [-1 ; 4] telles que
f(x) = \dfrac{8(x+1)}{\text{e}^x}     et     g(x) = 0,5(x+1)\text{e}^x

Dans le repère orthogonal ci-dessous, on a tracé les courbes \mathcal{C}_{f} et \mathcal{C}_{g} représentant les fonctions f et g sur l'intervalle [-1 ; 4].
On désigne par T et T' les tangentes respectives à \mathcal{C}_{f} et \mathcal{C}_{g} au point d'abscisse 0.
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Partie A : Q. C. M.

Pour chaque question, une seule proposition est exacte. Indiquez laquelle sur votre copie. Une réponse exacte rapporte 0,5 point, une réponse inexacte enlève 0,25 point L'absence de réponse n'enlève ni n'ajoute aucun point Si le total des points est négatif, la note attribuée à la partie A sera égale à 0:

1. f(0) est égale à :
a) -1b) 0,5c) 0d) 8


2. f'(0) est égale à :
a) -1b) 0c) 1d) 8


3. Sur l'intervalle [-1 ; 4] l'équation f(x) = g(x) a :
a) trois solutionsb) deux solutionsc) une solutiond) aucune solution


4. g a pour dérivée :
a) (0,5x+1)\text{e}^xb) 0,5\text{e}^xc) 0, 5x\text{e}^xd) 0,5(x+1)\text{e}^x


Partie B : application économique

La société DISTRI-PUB, spécialisée dans la vente d'objets publicitaires pour les entreprises, propose des porte-clés personnalisés.
    x est le prix unitaire en euro d'un porte-clés et x \in [0,5 ; 4].
    f(x) est la quantité en milliers de porte-clés que les entreprises sont prêtes à acheter au prix x.
    g(x) est la quantité en milliers de porte-clés que DISTRI-PUB propose au prix x.
1. a) Calculer f(1). (On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie à 0,001 près)
    b) En déduire le nombre de porte-clés (à l'unité près) que les entreprises sont prêtes à acheter au prix unitaire de un euro.
    c) Au prix unitaire de 1 euro, quel est le nombre de porte-clés (à l'unité près) que DISTRI-PUB propose ?
    d) Au prix unitaire de 1 euro, la société DISTRI-PUB peut-elle satisfaire à la demande des entreprises ?

2. On cherche la valeur de x \in [0,5 ; 4] pour laquelle f(x) = g(x). Cette valeur x est appelée prix d'équilibre.

A - En utilisant un tableur
On donne les deux feuilles de calcul suivantes :
 ABCDEF
1xf(x)g(x)f(x) - g(x)x_{\text{min}}Pas
215,8862,7183,16810,1
31,15,5923,1542,438  
41,25,3013,6521,649  
51,35,0154,2200,795  
61,44,7354,866-0,132  
71,54,4635,602-1,140  
81,64,1996,439-2,239  
91,73,9467,390-3,444  
101,83,7038,470-4,767  
111,93,4709,695-6,225  
1223,24811,084-7,836  


 ABCDEF
1xf(x)g(x)f(x) - g(x)x_{\text{min}}Pas
21,35,0154,2200,7951,30,01
31,314,9864,2810,706  
41,324,9584,3420,616  
51,334,9304,4050,525  
61,344,9024,4680,433  
71,354,8744,5320,341  
81,364,8744,5320,341  
91,374,8184,6630,154  
101,384,7904,7300,060  
111,394,7624,795-0,035  
121,44,7354,868-0,132  
On rappelle que dans un tableur \text{e}^x se note EXP(x)

1. Quelles formules a-t-on saisies dans les cellules C2 et D2 pour obtenir, par recopie automatique vers le bas, les résultats des colonnes C et D.

2. Dans la cellule A3 on a saisi la formule «= A2+$F$2» puis on l'a recopiée vers le bas.
Quelle formule est affichée dans la cellule A8 ?

3. A partir de ces deux feuilles de calcul, donner une valeur approchée à 0,01 près du prix d'équilibre.


B - Par calcul algébrique
1. Montrer que l'équation f(x)=g(x) peut s'écrire (x+1)\left(8 - 0,5\text{e}^{2x}\right)= 0.

2. Résoudre sur [0,5 ; 4] l'équation f(x) = g(x) et en déduire la valeur exacte du prix d'équilibre.



exercice 1

1. a) La proportion de personnes connaissant le commerce équitable est : \dfrac{525}{1500}=0,35 \text{ soit }\boxed{ 35\%}

1. b) La proportion de personnes âgées de moins de 25 ans connaissant le commerce équitable est : \dfrac{156}{1500}=0,104 \text{ soit }\boxed{10,4\%}

1. c) Le pourcentage arrondi à 0,1 % des personnes connaissant le commerce équitable parmi les plus de 60 ans est : \dfrac{48}{195}=0,246 \text{ soit }\boxed{24,6\%}

1. d) Le pourcentage arrondi à 0,1 % des personnes âgées de moins de 40 ans parmi les personnes connaissant le commerce équitable est :
\dfrac{156+171}{525}=0,623 \text{ soit }\boxed{62,3\%}


2. a) \begin{matrix} P_C(A)=\dfrac{504}{525}=\boxed{0,96}&,& P_{\bar{C}}(A)=\dfrac{546}{975}=\boxed{0,56}\end{matrix}

2. b) Il est alors aisé de compléter l'arbre.
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2. c)
P(A\cap C)=0,35\times 0,96=\boxed{0,336}
P(A\cap \overline{C})=0,56\times 0,56=\boxed{0,364}

2. d) Comme P(A) = P (A\cap C) + P (A\cap\overline{C} ), on a : P(A) =0,336 + 0,364 = 0,7 .
0,7=\dfrac{70}{100} donc l'affirmation du journaliste est vraie.

2. e) On a P(A)=0,7 et P(C)=0,35 , donc P(A)P(C)=0,245
Or, P(A\cap C)= 0,336 , donc P(A\cap C) \neq P(A)P(C)
A et C ne sont pas indépendants.





exercice 2

Partie A

1. Le taux d'évolution t entre 1980 et 2004 est : t =\dfrac{56628-68839}{68839}\approx \boxed{ -0,1774}
Conclusion :
Le nombre d'écoles a diminué de 17,74 %.


2. a) A l'aide de la calculatrice : a^7= \dfrac{56 628}{60 196}\Longleftrightarrow a=\left(\dfrac{56 628}{60 196}\right)^{\frac{1}{7}}\Longleftrightarrow \boxed{a\approx 0,9913}

2. b) Le coefficient multiplicateur correspondant au taux d'évolution annuel moyen est de 0,9913 ce qui correspond à une baisse de 0,87 %.
On en déduit :
Le nombre d'écoles a diminué de 0,87 % par an en moyenne entre 1997 et 2004.


3. Le nombre d'écoles en France en 2008 serait :  56628\left(1-\dfrac{1}{100}\right)^4\text{ soit environ } \boxed{54397}

Partie B

1. Un ajustement affine de ce nuage est envisageable car les points sont "presque" alignés.

2. Le rang de l'année 2008 étant 28, il suffit de remplacer x par 28 dans l'équation de la droite \Delta, on trouve :
y = - 510,6\times 28 + 69 003=54706,2

Le nombre d'écoles en France en 2008 s'élèverait à 54 706.





exercice 3

Partie A

1. Réponse exacte d)
f(0)=8 car la courbe \mathcal{C}_f passe par le point de coordonnées (0 ; 8).

2. Réponse exacte b)
La tangente à \mathcal{C}_f au point de la courbe d'abscisse 0 est parallèle à l'axe des abscisses.

3. Réponse exacte b)
D'après la figure, les deux courbes ont deux points communs.

4. Réponse exacte a)
g est dérivable comme produit de fonctions dérivables, et g'(x)=0,5\left(e^x+(x+1)e^x\right)=0,5(x+2)e^x=\boxed{(0,5x+1)e^x}

Partie B

1. a)  f(1) = \dfrac{8(1+1)}{\text{e}^1}=\boxed{\dfrac{16}{e}}
Valeur approchée : f(1)\approx \boxed{5,886}

1. b) Les entreprises sont donc prêtes à acheter 5 886 porte-clés à 1 euro.

1. c) On a : g(1)=0,5(1+1)e^{1}=e, soit g(1)\approx 2,718.
Conclusion :
DISTRI-PUB peut proposer 2 718 porte-clés à 1 euro.


1. d) Comme 2,718 < 5,886.
La société DISTRI-PUB ne peut pas satisfaire à la demande des entreprises.



A - En utilisant un tableur
1. Dans C2, peut être écrit : "=0,5*(A2+1)*EXP(A2)"
Dans D2, peut être écrit : "=B2-C2"

2. Si dans la cellule A3 on a saisi la formule «= A2+$F$2», alors dans la cellule A8, on trouvera "=A7+$F$2"
3. A l'aide de la seconde feuille de calcul, on peut dire que le prix d'équilibre à 0,01 près est soit 1,38 euros, soit 1,39 euros.

B - Par calcul algébrique
1. On a :
f(x)=g(x)\Longleftrightarrow \dfrac{8(x+1)}{\text{e}^x}= 0,5(x+1)\text{e}^x\Longleftrightarrow 8(x+1)=0,5(x+1)\text{e}^{2x}\Longleftrightarrow 8(x+1)-0,5(x+1)\text{e}^{2x}=0\Longleftrightarrow \boxed{(x+1)(8-0,5\text{e}^{2x})=0}

2. Résolution de l'équation sur [0,5 ; 4] :
\begin{matrix}\begin{cases} f(x)=g(x)\\\text{avec }x\in[0,5~;~4]\end{cases}&\Longleftrightarrow &\begin{cases} (x+1)(8-0,5\text{e}^{2x})=0\\ \text{avec } 0,5\le x\le 4\end{cases}\\&\Longleftrightarrow &\begin{cases} x+1=0\text{ ou } 8-0,5e^{2x}=0 \\\text{avec } 0,5\le x\le 4\end{cases}\\& \Longleftrightarrow &\begin{cases} x=-1\text{ ou } e^{2x}=16 \\ \text{avec }0,5\le x\le 4\end{cases}\\&\Longleftrightarrow& \begin{cases}x=0,5\ln(16) \\ \text{avec }0,5\le x\le 4\end{cases}\\&\Longleftrightarrow& \boxed{x=\ln(4)}\end{matrix}
en ayant remarqué que : \ln 4\approx 1,386 \in [0,5;4]
La valeur exacte du prix d'équilibre est ln(4) euros.
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