Baccalauréat Technologique
Série Sciences et Technologies de la Gestion
Spécialités : Communication et Gestion des Ressources Humaines
Session Juin 2007 - Centres Étrangers
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Durée de l'épreuve : 2 heures Coefficient : 2
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Une feuille de papier millimétré est distribué avec le sujet.
Le sujet est composé de trois exercices indépendants.
Le candidat doit traiter tous les exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
7 points
exercice 1
Le jour anniversaire de ses 16 ans, Nicolas décide d'arrêter de fumer.
Il calcule qu'il économisera ainsi 520 euros par an.
Partie A
1. Sachant qu'une année compte 52 semaines et que le prix d'un paquet était de 5 euros, combien de paquets Nicolas fumait-il par semaine ?
2. Il décide alors de placer la somme ainsi économisée, un an plus tard soit le jour de ses 17 ans, sur un livret Jeune.
Le livret Jeune, accessible aux 12-25 ans, est rémunéré au taux annuel de 4,5 % à intérêts composés et est plafonné à 1 600 euros.
a) Calculer les intérêts obtenus, et le capital obtenu (somme placée + intérêt) le jour de ses 18 ans.
b) Le jour de ses 18 ans, il place de même sur le livret Jeune ses économies : 520 euros.
Déterminer le capital total, obtenu sur le livret Jeune, le jour de ses 19 ans.
Partie B
A
B
C
D
E
F
1
Âge
Somme placée
Taux d'intérêt
Intérêt obtenu
Capital obtenu
Économie annuelle
2
19
1 631,25
2,75 %
520
3
20
2 196,11
2,75 %
520
4
21
2,75 %
520
5
22
2,75 %
520
6
23
2,75 %
520
7
24
2,75 %
520
8
25
2,75 %
520
1. Le jour de ses 19 ans, il se rend à la banque pour placer ses 520 € économisés. Le responsable commercial de la banque lui signale qu'il ne peut pas verser ses économies sur son livret Jeune. Expliquer pourquoi.
2. Le responsable commercial lui propose alors de transférer ses économies placées sur le livret Jeune ainsi que la somme qu'il vient apporter aujourd'hui, soir en tout 1 631,25 euros, sur un livret A.
Le Livret A, rémunéré au taux annuel de 2,75 % à intérêts composés, est plafonné à 15 300 euros.
a) Quelle formule devra-t-il placer dans la cellule D2, à recopier vers le bas dans D3:D8 ?
b) Quelle formule devra-t-il placer dans la cellule E2, à recopier vers le bas dans E3:E8 ?
c) Quelle formule devra-t-il placer dans la cellule B3, à recopier vers le bas dans B4:B8 ?
d) À quel âge ses économies dépasseront-elles 5 000 euros ?
5 points
exercice 2
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Dans cet exercice, pour chacune des questions, trois réponses sont proposées, une seule est correcte. Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
Chaque bonne réponse rapporte un point, chaque réponse incorrecte retire 0,25 point, une question sans réponse n'apporte ni ne retire aucun point.
Si le total des points est négatif la note attribuée à l'exercice est 0.
Les 1 200 élèves du lycée de Nicolas se répartissent de la façon suivante :
Fumeurs
Non fumeurs
Total
Secondes
231
189
420
Premières
237
158
395
Terminales
192
193
385
Total
660
540
1 200
De plus, 60 % des élèves de Seconde sont des filles et parmi elles 50 % fument.
On choisit un élève au hasard parmi les 1 200 élèves du lycée. Chaque élève a la même probabilité d'être choisi. On note :
S l'évènement : «l'élève est en Seconde» ;
F l'évènement : «l'élève est fumeur» ;
T l'évènement : «l'élève est en Terminale».
1. La probabilité p(S) que l'élève du lycée choisi soit en Seconde est égale à :
a) 0,66
b) 0,55
c) 0,35
2. La probabilité que l'élève choisi soit fumeur, sachant qu'il est en Seconde, est égale à :
a) 0,35
b) 0,55
c) 0,1925
3. Les évènements S et F sont-ils indépendants ?
a) non
b) oui
c) On ne peut pas répondre.
4. Les évènements S et T sont
a) incompatibles
b) contraires
c) indépendants
5. Quel est le pourcentage d'élèves de seconde qui sont des filles et qui fument ?
a) 10 %
b) 45 %
c) 30 %
8 points
exercice 3
Une commune, proche d'une grande agglomération, a vu sa population augmenter fortement en quelques années.
Le tableau suivant donne l'évolution du nombre d'habitants sur la période considérée.
Année
1995
1996
1997
1998
1999
2000
Rang de l'année :
1
2
3
4
5
6
Nombre d'habitants :
450
495
545
600
660
725
Année
2001
2002
2003
2004
2005
Rang de l'année :
7
8
9
10
11
Nombre d'habitants :
800
880
960
1 060
1 170
Les parties A et B sont indépendantes.
Partie A
1. Quel est le taux d'évolution du nombre d'habitants de l'année 1995 à l'année 2005 ?
2. Montrer que le taux d'évolution annuel moyen du nombre d'habitants de l'année 1995 à l'année 2005, arrondi à 0,1 %, est de 10 %.
3. Représenter sur le graphique suivant le nuage de points de la série statistique.
4. À l'aide de la calculatrice, donner une équation de la droite (D) d'ajustement affine de en obtenue par la méthode des moindres carrés (donner les valeurs des coefficients arrondies à 0,1 près). Tracer (D) dans le repère précédent.
5. En utilisant l'ajustement précédent, déterminer une estimation du nombre d'habitants en 2011 ; on arrondira le résultat à la dizaine près.
Partie B
On pense pouvoir estimer le nombre d'habitants de la commune l'année de rang à l'aide de la fonction définie par
,
où appartient à l'intervalle [1 ; 19].
1. Calculer pour tout de l'intervalle [1 ; 19], étant la fonction dérivée de sur [1 ; 19].
2. Vérifier que pour tout de [1 ; 19], .
En déduire que .
3. La courbe de est donnée sur le graphique précédent. Déterminer graphiquement, en faisant figurer tous les tracés utiles, une estimation du nombre d'habitants en 2011.
4. Retrouver par le calcul l'estimation du nombre d'habitants en 2011.
Partie C
On admet que le taux d'évolution moyen du nombre d'habitants de 2005 à 2011 sera le même que celui de 1995 à 2005. Quelle est, des deux estimations précédentes, (question 5. de la partie A et question 4. de la partie B), celle qui donne le résultat le plus proche ?
1. Par semaine, Nicolas dépensait donc 10 euros, ce qui correspond à fumer hebdomadairement 2 paquets.
2. a) Une augmentation de 4,5 % correspond à un coefficient multiplicateur de 1,045.
Le jour de ses 18 ans, le capital obtenu sera : 520 × 1,045 = 543,4 euros
2. b) Le jour de ses 19 ans, le capital obtenu sera : 543,40 × 1,045 + 543,40 = 1 111,25 euros
Partie B
1.Il ne peut plus placer son argent sur un livret jeune, car le plafond autorisé serait dépassé. En effet : 1 111,25 + 520 = 1 631,25 et 1 631,25 > 1 600.
2.a) Dans D2 peut être écrit "=B2*C2"
2.b) Dans E2 peut être écrit "=B2+D2"
2.c) Dans B3 peut être écrit "=E2+F2"
2.d) A 24 ans, son capital sera de 4742,13 euros, et à 25 ans, il sera de 5406,84 euros. Ses économies dépasseront donc 5000 euros à 25 ans pour la première fois.
exercice 2
1.Réponse correctec)
2.Réponse correcteb)
3.Réponse correcteb)
4.Réponse correctea) Un élève ne peut pas être simultanément en seconde et en terminale.
Voir 3.
5.Réponse correctec) 60 % de 50 % soit
exercice 3
Partie A
1. donc le taux d'évolution du nombre d'habitants de l'année 1995 à l'année 2005 est de 160 %.
2. Le coefficient multiplicateur correspondant à ce taux est donc 2,60.
Le coefficient multipicateur correspondant au taux d'évolution annuel moyen de l'année 1995 à l'année 2005 est donc : ce qui donne pour taux annuel moyen 10 %.
Le taux d'évolution annuel moyen du nombre d'habitants de l'année 1995 à l'année 2005 est de 10 %.
3. Voir la figure à la fin de la partie A.
4. En utilisant la calculatrice, on obtient une équation de la droite de régression (coefficients arrondis à 0,1 près)
Voir la figure à la fin de la partie A.
5. L'année 2011 correspond au rang , donc :
Le nombre d'habitants en 2011 (à la dizaine près) serait 1540
Figure :
Partie B
1. étant une fonction polynôme, est dérivable sur [1 ; 19] et on a pour tout de [ 1; 19] :
2. Pour tout de [1 ; 19],
Puisque pour tout de [1 ; 19], alors et donc
On en déduit que :
3. Voir pointillés noirs
Le nombre d'habitants en 2011 serait 2050
4. Par le calcul,
On retrouve le même résultat que graphiquement dans 3.
Le nombre d'habitants en 2011 serait 2050.
Partie C
Le taux d'évolution moyen du nombre d'habitants de 2005 à 2011 sera le même que celui de 1995 à 2005, c'est-à-dire 10 % (Voir Partie A.1.)
Donc le nombre d'habitants en 2011 sera :
L'estimation par la fonction (partie B, question 4) est plus performante que la précédente.
Publié par TP/dandave
le
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Merci à dandave pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche
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