Fiche de mathématiques
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Baccalauréat Technologique
Série Sciences et Technologies de la Gestion
Spécialités : Communication et Gestion des Ressources Humaines
Session Juin 2007 - Centres Étrangers

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Durée de l'épreuve : 2 heures         Coefficient : 2

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Une feuille de papier millimétré est distribué avec le sujet.

Le sujet est composé de trois exercices indépendants.
Le candidat doit traiter tous les exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.


7 points

exercice 1

Le jour anniversaire de ses 16 ans, Nicolas décide d'arrêter de fumer.
Il calcule qu'il économisera ainsi 520 euros par an.

Partie A

1. Sachant qu'une année compte 52 semaines et que le prix d'un paquet était de 5 euros, combien de paquets Nicolas fumait-il par semaine ?

2. Il décide alors de placer la somme ainsi économisée, un an plus tard soit le jour de ses 17 ans, sur un livret Jeune.
Le livret Jeune, accessible aux 12-25 ans, est rémunéré au taux annuel de 4,5 % à intérêts composés et est plafonné à 1 600 euros.
    a) Calculer les intérêts obtenus, et le capital obtenu (somme placée + intérêt) le jour de ses 18 ans.
    b) Le jour de ses 18 ans, il place de même sur le livret Jeune ses économies : 520 euros.
Déterminer le capital total, obtenu sur le livret Jeune, le jour de ses 19 ans.

Partie B

 ABCDEF
1ÂgeSomme placéeTaux d'intérêtIntérêt obtenuCapital obtenuÉconomie annuelle
2191 631,252,75 %  520
3202 196,112,75 %  520
421 2,75 %  520
522 2,75 %  520
623 2,75 %  520
724 2,75 %  520
825 2,75 %  520


1. Le jour de ses 19 ans, il se rend à la banque pour placer ses 520 € économisés. Le responsable commercial de la banque lui signale qu'il ne peut pas verser ses économies sur son livret Jeune. Expliquer pourquoi.

2. Le responsable commercial lui propose alors de transférer ses économies placées sur le livret Jeune ainsi que la somme qu'il vient apporter aujourd'hui, soir en tout 1 631,25 euros, sur un livret A.
Le Livret A, rémunéré au taux annuel de 2,75 % à intérêts composés, est plafonné à 15 300 euros.
    a) Quelle formule devra-t-il placer dans la cellule D2, à recopier vers le bas dans D3:D8 ?
    b) Quelle formule devra-t-il placer dans la cellule E2, à recopier vers le bas dans E3:E8 ?
    c) Quelle formule devra-t-il placer dans la cellule B3, à recopier vers le bas dans B4:B8 ?
    d) À quel âge ses économies dépasseront-elles 5 000 euros ?


5 points

exercice 2

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).
Dans cet exercice, pour chacune des questions, trois réponses sont proposées, une seule est correcte.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et la réponse choisie.
Aucune justification n'est demandée.

Chaque bonne réponse rapporte un point, chaque réponse incorrecte retire 0,25 point, une question sans réponse n'apporte ni ne retire aucun point.
Si le total des points est négatif la note attribuée à l'exercice est 0.


Les 1 200 élèves du lycée de Nicolas se répartissent de la façon suivante :
 FumeursNon fumeursTotal
Secondes231189420
Premières237158395
Terminales192193385
Total6605401 200

De plus, 60 % des élèves de Seconde sont des filles et parmi elles 50 % fument.
On choisit un élève au hasard parmi les 1 200 élèves du lycée. Chaque élève a la même probabilité d'être choisi. On note :
    S l'évènement : «l'élève est en Seconde» ;
    F l'évènement : «l'élève est fumeur» ;
    T l'évènement : «l'élève est en Terminale».

1. La probabilité p(S) que l'élève du lycée choisi soit en Seconde est égale à :
a) 0,66b) 0,55c) 0,35


2. La probabilité p_{\text{S}}(\text{F}) que l'élève choisi soit fumeur, sachant qu'il est en Seconde, est égale à :
a) 0,35b) 0,55c) 0,1925


3. Les évènements S et F sont-ils indépendants ?
a) nonb) ouic) On ne peut pas répondre.


4. Les évènements S et T sont
a) incompatiblesb) contrairesc) indépendants


5. Quel est le pourcentage d'élèves de seconde qui sont des filles et qui fument ?
a) 10 %b) 45 %c) 30 %



8 points

exercice 3

Une commune, proche d'une grande agglomération, a vu sa population augmenter fortement en quelques années.
Le tableau suivant donne l'évolution du nombre d'habitants sur la période considérée.
Année199519961997199819992000
Rang de l'année : x_{i}123456
Nombre d'habitants : y_{i}450495545600660725

Année20012002200320042005
Rang de l'année : x_{i}7891011
Nombre d'habitants : y_{i}8008809601 0601 170

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

1. Quel est le taux d'évolution du nombre d'habitants de l'année 1995 à l'année 2005 ?

2. Montrer que le taux d'évolution annuel moyen du nombre d'habitants de l'année 1995 à l'année 2005, arrondi à 0,1 %, est de 10 %.

3. Représenter sur le graphique suivant le nuage de points M(x ; y) de la série statistique.
Bac STG Communication et Gestion des Ressources Humaines Centres Étrangers Juin 2007 - terminale : image 1


4. À l'aide de la calculatrice, donner une équation de la droite (D) d'ajustement affine de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés (donner les valeurs des coefficients arrondies à 0,1 près). Tracer (D) dans le repère précédent.

5. En utilisant l'ajustement précédent, déterminer une estimation du nombre d'habitants en 2011 ; on arrondira le résultat à la dizaine près.

Partie B

On pense pouvoir estimer le nombre d'habitants de la commune l'année de rang x à l'aide de la fonction f définie par
f(x) = 0,14x^3 + 0,84x^2 + 42x + 405,42,
x appartient à l'intervalle [1 ; 19].

1. Calculer f'(x) pour tout x de l'intervalle [1 ; 19], f' étant la fonction dérivée de f sur [1 ; 19].

2. Vérifier que pour tout x de [1 ; 19], f'(x)=0,42(x+2)^2 + 40,32.
En déduire que f'(x)> 0.

3. La courbe de f est donnée sur le graphique précédent. Déterminer graphiquement, en faisant figurer tous les tracés utiles, une estimation du nombre d'habitants en 2011.

4. Retrouver par le calcul l'estimation du nombre d'habitants en 2011.

Partie C

On admet que le taux d'évolution moyen du nombre d'habitants de 2005 à 2011 sera le même que celui de 1995 à 2005. Quelle est, des deux estimations précédentes, (question 5. de la partie A et question 4. de la partie B), celle qui donne le résultat le plus proche ?



exercice 1

Partie A

1. Par semaine, Nicolas dépensait donc 10 euros, ce qui correspond à fumer hebdomadairement 2 paquets.

2. a) Une augmentation de 4,5 % correspond à un coefficient multiplicateur de 1,045.
Le jour de ses 18 ans, le capital obtenu sera : 520 × 1,045 = 543,4 euros

2. b) Le jour de ses 19 ans, le capital obtenu sera : 543,40 × 1,045 + 543,40 = 1 111,25 euros

Partie B

1.Il ne peut plus placer son argent sur un livret jeune, car le plafond autorisé serait dépassé. En effet : 1 111,25 + 520 = 1 631,25 et 1 631,25 > 1 600.

2.a) Dans D2 peut être écrit "=B2*C2"

2.b) Dans E2 peut être écrit "=B2+D2"

2.c) Dans B3 peut être écrit "=E2+F2"

2.d) A 24 ans, son capital sera de 4742,13 euros, et à 25 ans, il sera de 5406,84 euros. Ses économies dépasseront donc 5000 euros à 25 ans pour la première fois.




exercice 2

1. Réponse correcte c)
P(S)=\dfrac{420}{1200}=0,35

2. Réponse correcte b)
P_S(F)=\dfrac{231}{420}=0,55

3. Réponse correcte b)
\begin{matrix} P(S)P(F)=0,35\times\dfrac{660}{1200}=0,1925\qquad P(S\cap F)=\dfrac{231}{1200}=0,1925&\text{  donc }& P(S\cap F)=P(S)P(F)\end{matrix}

4. Réponse correcte a) Un élève ne peut pas être simultanément en seconde et en terminale.
Voir 3.

5. Réponse correcte c)
60 % de 50 % soit \dfrac{60}{100}\times \dfrac{50}{100}=30\%




exercice 3

Partie A

1. \dfrac{1170-450}{450}=1,60 donc le taux d'évolution du nombre d'habitants de l'année 1995 à l'année 2005 est de 160 %.

2. Le coefficient multiplicateur correspondant à ce taux est donc 2,60.
Le coefficient multipicateur correspondant au taux d'évolution annuel moyen de l'année 1995 à l'année 2005 est donc : 2,60^{\frac{1}{10}} \approx 1,10 ce qui donne pour taux annuel moyen 10 %.
Le taux d'évolution annuel moyen du nombre d'habitants de l'année 1995 à l'année 2005 est de 10 %.


3. Voir la figure à la fin de la partie A.

4. En utilisant la calculatrice, on obtient une équation de la droite de régression (coefficients arrondis à 0,1 près)
\boxed{y = 71x + 332,9}

Voir la figure à la fin de la partie A.

5. L'année 2011 correspond au rang x=17, donc : y= 71x + 332,9=\boxed{1539,9}
Le nombre d'habitants en 2011 (à la dizaine près) serait 1540

Figure :
Bac STG Communication et Gestion des Ressources Humaines Centres Étrangers Juin 2007 - terminale : image 3


Partie B

1. f étant une fonction polynôme, est dérivable sur [1 ; 19] et on a pour tout x de [ 1; 19] :
f'(x) =3\times 0,14x^2+2\times 0,84 x+42=\boxed{0,42x^2+1,68x+42}

2. Pour tout x de [1 ; 19], 0,42(x+2)^2 + 40,32=0,42(x^2+4x+4)+40,32=0,42x^2+4\times 0,42x+4\times 0,42+40,32= 0,42x^2+1,68x+42=\boxed{f'(x)}
Puisque (x+2)^2 >0 pour tout x de [1 ; 19], alors 0,42(x+2)^2>0 et donc 0,42(x+2)^2+40,32>0
On en déduit que :
\boxed{\text{Pour tout }x\text{ de }[1;19]~,~f'(x)>0}


3. Voir pointillés noirs
Bac STG Communication et Gestion des Ressources Humaines Centres Étrangers Juin 2007 - terminale : image 2

Le nombre d'habitants en 2011 serait 2050


4. Par le calcul, f(17)=0,14\times 17^3 + 0,84\times 17^2 + 42\times 17 + 405,42=\boxed{2050}
On retrouve le même résultat que graphiquement dans 3.
Le nombre d'habitants en 2011 serait 2050.


Partie C

Le taux d'évolution moyen du nombre d'habitants de 2005 à 2011 sera le même que celui de 1995 à 2005, c'est-à-dire 10 % (Voir Partie A.1.)
Donc le nombre d'habitants en 2011 sera : 1170\times (1,10)^6\approx\boxed{2073}
L'estimation par la fonction f (partie B, question 4) est plus performante que la précédente.
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