Fiche de mathématiques

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Bac Technologique - Sciences et Technologies de Laboratoire
Spécialité : Biochimie Génie Biologique
Métropole - Session Septembre 2007

Durée de l'épreuve : 2 heures - Coefficient 2

La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel, distribué par le centre d'examen, est autorisé.

8 points

exercice 1

Un laboratoire universitaire compte 120 chercheurs, dont 25% de physiciens, 30% de chimistes, les autres étant des biologistes.
On dénombre parmi les physiciens 12 femmes, et parmi les chimistes 21 hommes. On sait, de plus, qu'il y a en tout 50 femmes.

1. Recopier et compléter le tableau suivant :

	Physiciens	Chimistes	Biologistes	Total
Femmes
Hommes
Total				120

2. Dans quelle spécialité y-a-t-il proportionnellement le plus de femmes ? (On justifiera en calculant dans chaque catégorie le pourcentage de femmes)

3. On questionne, au hasard, une des personnes du laboratoire. Soit les évènements suivants :
A : «La personne interrogée est une femme» ;
B : «La personne interrogée est biologiste».
Calculer la probabilité des évènements A et B.

4. Définir par une phrase chacun des évènements suivants : A $\cap$ B, A $\cup$ B, $\overline{\text{A}} \cap \overline{\text{B}}$ , puis calculer sa probabilité.

5. On prend, au hasard, une personne parmi les hommes ; calculer la probabilité de l'évènement C : «La personne choisie est biologiste».
(Les résultats aux questions 3., 4. et 5. seront donnés sous forme de fractions irréductibles.)

12 points

exercice 2

À la suite d'un accident nucléaire, on relève, à chaque heure, avec un appareil de mesure de radioactivité, le nombre $x_{i}$ ( $x_{i}$ , entier naturel) de particules recueillies en 1 seconde.

$t_{i}$	0	1	2	3	4	5	6	7
$x_{i}$	175	105	60	42	25	15	10	6
$z_{i}$

Partie A

1. On pose $z_{i} = \ln \left(x_{i}- 2\right)$ . Donner les valeurs de $z_{i}$ arrondies au dixième le plus proche dans le tableau précédent que l'on recopiera.

2. Représenter le nuage de points $M_{i}\left(t_{i} ; z_{i}\right)$ dans un repère orthogonal (2 cm pour 1 heure en abscisse, 4 cm pour 1 unité en ordonnée).

3. Un ajustement linéaire du nuage de points semble-t-il justifié ?

4. On désigne par $G_{1}$ le point moyen des quatre premiers points du nuage et par $G_{2}$ celui des quatre derniers.
a) Calculer les coordonnées de $G_{1}$ et $G_{2}$ et tracer la droite $\left(G_{1}G_{2}\right)$ sur le graphique.
b) Montrer que la droite $\left(G_{1}G_{2}\right)$ admet pour équation réduite
$z = - 0,53 t + 5,20$ .
(On arrondira au centième le plus proche.)

5. Donner l'expression de $x$ en fonction de $t$ , associée à l'expression réduite ci-dessus. En supposant que cette expression constitue une bonne modélisation, déterminer à partir de quel relevé on obtient une valeur de $x \le 3$ .

Partie B

Une étude mathématique plus poussée conduit à supposer que la fonction qui à $t$ (exprimé en heures) associe le nombre $x(t)$ est solution de l'équation différentielle : $(\text{E})\quad :\quad y' = - 0,53(y- 2).$ Vérifier que la fonction $x$ définie par $x(t) = 173\text{e}^{- 0,53t} + 2$ est la solution de (E) telle que $x(0) = 175$ .

Partie C

Soit $f$ la fonction définie sur $[0 ; +\infty[$ par $f(t) = 173\text{e}^{- 0,53t} + 2$ . Soit $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal (unités : 2 cm en abscisse, 1 mm en ordonnée).

1. Déterminer $\displaystyle \lim_{t \to + \infty} f(t)$ . Que peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$ ?

2. Étudier les variations de $f$ sur $[0 ; +\infty[$ . Donner le tableau de variations de $f$ .

3. Recopier et compléter le tableau suivant, en arrondissant les résultats au dixième le plus proche :

$t$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$f(t)$

4. Construire $\mathcal{C}$ et la droite $D$ d'équation $y = 2$ .

5. Résoudre graphiquement l'inéquation $f(t) \le 30$ .
(On laissera apparents les tracés utiles.)

Correction

exercice 1

	Physiciens	Chimistes	Biologistes	Total
Femmes	12	15	23	50
Hommes	18	21	31	70
Total	30	36	54	120

Explications :
Total physiciens : 25 % des chercheurs soit $\dfrac{120\times 25}{100}=30$
Total chimistes : 30 % des chercheurs soit $\dfrac{120\times 30}{100}=36$
Total biologistes : 120 - (30 + 36) = 54
Physiciens femmes : 12], donc physiciens hommes : 30 - 12 = 18
Chimistes hommes : 21, donc chimistes femmes : 36 - 21 = 15
Total femmes : 50, donc total hommes : 120 - 50 = 70
Biologistes femmes : 50 - (12 + 15) = 23
Biologistes hommes : 70 - (18 + 21) = 31

2.
Chez les physiciens, le pourcentage de femmes est de : $\dfrac{12}{30}=0,40 \text{ soit }\boxed{40\%}$
Chez les chimistes, le pourcentage de femmes est de : $\dfrac{15}{36}\approx 0,4167 \text{ soit }\boxed{41,67\%}$
Chez les biologistes, le pourcentage de femmes est de : $\dfrac{23}{54}\approx 0,4259 \text{ soit }\boxed{42,59\%}$
Conclusion : Il y a proportionnellement plus de femmes parmi les biologistes.

3.
$P(A)=\dfrac{50}{120}=\boxed{\dfrac{5}{12}}$
$P(B)=\dfrac{54}{120}=\boxed{\dfrac{9}{20}}$

4.
$A\cap B$ :" La personne interrogée est une femme biologiste." $P(A\cap B)=\boxed{\dfrac{23}{120}}$
$A\cup B$ : "La personne interrogée est une femme ou est biologiste." $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\dfrac{5}{12}+\dfrac{9}{20}-\dfrac{23}{120}=\boxed{\dfrac{27}{40}}$
$\overline{A} \cap \overline{B}$ : "La personne interrogée est un homme non biologiste." $P(\overline{A} \cap \overline{B})=\dfrac{70-31}{120}=\boxed{\dfrac{13}{40}}$

5. $P(C)=\boxed{\dfrac{31}{70}}$

exercice 2

Partie A

$t_{i}$	0	1	2	3	4	5	6	7
$x_{i}$	175	105	60	42	25	15	10	6
$z_{i}$	5,2	4,6	4,1	3,7	3,1	2,6	2,1	1,4

2. Voir figure 4. a)

3. Puisque le nuage présente un caractère linéaire, alors :
Un ajustement linéaire du nuage de points semble justifié.

4. a) Les coordonnées de $G_1$ et $G_2$ :
$\begin{cases} t_{G_1}=\dfrac{0+1+2+3}{4}=1,5 \\z_{G_1}=\dfrac{5,2+4,6+4,1+3,7}{4}=4,4\end{cases} \text{ et } \begin{cases} t_{G_2}=\dfrac{4+5+6+7}{4}=5,5 \\z_{G_2}=\dfrac{3,1+2,6+2,1+1,4}{4}=2,3\end{cases}$
Les points recherchés sont : $\boxed{G_1(1,5~;~4,4) \text{ et } G_2(5,5~;~2,3)}$
Le tracé :

Bac STL Biochimie Génie Biologique, Métropole Septembre 2007 - terminale : image 2

4. b) Une équation de la droite $(G_1G_2)$ s'écrit $z=at+b$
En écrivant que les coordonnées des points $G_1$ et $G_2$ vérifient cette équation, on obtient :
$\begin{cases} 4,4=1,5a+b\\ 2,3=5,5a+b\end{cases}\Longleftrightarrow\begin{cases} -2,1=4a\\ 2,3=5,5a+b\end{cases}\Longleftrightarrow\begin{cases} a=-\dfrac{21}{40}\\ b=2,3-5,5\times\left(-\dfrac{21}{40}\right)\end{cases}$
Et en arrondissant au centième le plus proche, on obtient: $\begin{cases} a\approx-0,53\\ b\approx5,20\end{cases}$
Et donc : $\boxed{z = - 0,53 t + 5,20 \text{ représente bien une équation de la droite } (G_1G_2)}$

5. On a $z = \ln \left(x- 2\right) \text{ et } z = - 0,53 t + 5,20$
$z = - 0,53 t + 5,20\text{ soit } \ln \left(x- 2\right)= - 0,53 t + 5,20\text{ soit } x-2=e^{- 0,53 t + 5,20}\text{ soit }\boxed{ x=e^{5,20}e^{-0,53t}+2}$
Résolution de l'inéquation $x \le 3$
$x \le 3 \Longleftrightarrow e^{5,20}e^{-0,53t}+2\le 3 \Longleftrightarrow e^{-0,53t}\le \dfrac{1}{e^{5,20}}\Longleftrightarrow e^{-0,53t}\le e^{-5,20}\Longleftrightarrow -0,53t\le -5,20\Longleftrightarrow t\ge\dfrac{5,20}{0,53}$
On obtient $t \ge 9,81$
$\boxed{\text{ on obtient une valeur de } x \le 3 \text{ à partir du relevé de l'heure 10} }$

Partie B

La fonction $x$ est définie par $x(t) = 173\text{e}^{- 0,53t} + 2$ sur $\mathbb{R}$ , donc $x$ est dérivable et on a pour tout réel $t$ :
$x'(t)=173\times(-0,53) \text{e}^{- 0,53t}=\boxed{-91,69\text{e}^{- 0,53t}}$
D'autre part, on a :
$- 0,53(x- 2)=-0,53x+0,53\times 2=-0,53\left(173\text{e}^{- 0,53t} + 2\right)+0,53\times 2=-0,53\times 173\text{e}^{- 0,53t}-0,53\times 2+1,06=\boxed{-91,69\text{e}^{- 0,53t}}$
On en déduit que : $-0,53(x-2)=x'(t)$
Et donc la fonction $x$ définie par $x(t) = 173\text{e}^{- 0,53t} + 2$ est bien solution de l'équation différentielle (E).
De plus : $x(0)=173\text{e}^{0} + 2=175$
Conclusion : $\boxed{\text{La fonction }x \text{ définie par }x(t) = 173\text{e}^{- 0,53t} + 2 \text{ est la solution de (E) telle que }x(0) = 175.}$

Partie C

1. On sait que $\displaystyle\lim_{t\to+\infty} e^{-t}=0$ , donc :
$\displaystyle \lim_{t \to + \infty} f(t)= \lim_{t \to + \infty} 173\text{e}^{- 0,53t} + 2=\lim_{t \to + \infty} 173\left(\text{e}^{-t}\right)^{0,53} + 2=173\times 0+2=\boxed{2}$
Interprétation graphique : $\boxed{\text{ La droite d'équation }y=2 \text{ est asymptote à } \mathcal{C}\text{ en }+\infty}$

2. La fonction $f$ est définie sur $[0;+\infty[$ par $f(t) = 173\text{e}^{-0,53t} + 2$ , $f$ est donc dérivable sur $[0,+\infty[$ et :
Pour tout $t$ appartenant à $[0,+\infty[$ , $f'(t)=\boxed{-91,69\text{e}^{- 0,53t}}$ (voir partie B)
Or on sait d'après le cours que pour tout $t$ de $[0,+\infty[\text{ , } \text{e}^{- 0,53t}> 0$ , donc pour tout $t$ de $[0,+\infty[ \text{ , } f'(t)< 0$
Et il s'ensuit que : $\boxed{ f\text{ est strictement décroissante sur } [0,+\infty[}$
Tableau de variations : $\begin{tabvar}{|C|CCC|} \hline t & 0 & & +\infty \\ \hline f'(t) & & - & \\ \hline \niveau{2}{3} f & 175 & \decroit & 2 \\ \hline \end{tabvar}$
$f(0)=175$ (voir partie B )

3.

$t$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$f(t)$	175	103,8	61,9	37,3	22,8	14,2	9,2	6,2	4,5	3,5	2,9

Bac STL Biochimie Génie Biologique, Métropole Septembre 2007 - terminale : image 1

5. Graphiquement, $f(t) \le 30$ est équivalent à dire que $\mathcal{C}$ est en-dessous de la droite d'équation $y=30$
D'après le graphique, $\mathcal{C}$ est en-dessous de cette droite à partir du point d'abscisse 3,4 environ (voir traits pointillés)
Donc : $\boxed{ \text{ Graphiquement, la solution de l'inéquation } f(t)\le 30 \text{ est l'intervalle } [3,4~;~+\infty[}$
Ceci représente les temps supérieurs à 3 h 24 mn.

Publié par TP/dandave le 17-05-2014

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