Fiche de mathématiques
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Bac Economique et Social
Amérique du Nord - Session Mai 2008

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Enseignement Obligatoire :
Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 5
Enseignement de Spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9

Les calculatrices de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur.
Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices.
Dans chaque exerice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l'indiquer clairement sur la copie.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
4 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

f est une fonction définie sur ]-2 ; +\infty[ par : f(x) = 3 + \displaystyle \frac{1}{x+2}
On note f' sa fonction dérivée et (C) la représentation graphique de f dans le plan rapporté à un repère.
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en cochant la bonne réponse.
Aucune justification n'est demandée.
Barème : Une bonne réponse rapporte 0,5 point. Une mauvaise réponse enlève 0,25 point. L'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point. Si le total des points est négatif, la note globale attribuée à l'exercice est ramenée à 0.


1. f(x) = \displaystyle \frac{3x+6}{x+2} VRAI FAUX
2. La courbe (C) coupe l'axe des ordonnées au point d'ordonnée 3,5. VRAI FAUX
3. \displaystyle \lim_{\begin{array}{l} x \to -2 \\ x> -2 \\ \end{array}} \: f(x) = 3 VRAI FAUX
4. \displaystyle \int_0^2 f(x) \text{d}x = 6 + \ln 2 VRAI FAUX
5. La droite d'équation y = 3 est asymptote à (C). VRAI FAUX
6. f(x) > 3 pour tout x de ]-2 ; +\infty[. VRAI FAUX
7. f' (-1) = -1 VRAI FAUX
8. La fonction g définie sur ]-2 ; +\infty[ par g(x) = \ln\left[f(x)\right] est décroissante. VRAI FAUX



5 points

exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Pour faire connaître l'ouverture d'un nouveau magasin vendant des salons, le directeur fait distribuer des bons publicitaires permettant de recevoir un cadeau gratuit sans obligation d'achat.
Une enquête statistique préalable a montré que, parmi les personnes qui entrent dans le magasin :
90% entrent dans le magasin avec ce bon publicitaire. Parmi elles, 10% achètent un salon.
Parmi les personnes qui entrent sans bon publicitaire, 80% achètent un salon.
Une personne entre dans le magasin.
On note :
    B l'événement " la personne a un bon publicitaire ".
    \overline{\text{B}} l'événement " la personne n'a pas de bon publicitaire ".
    S l'événement " la personne achète un salon ".
    \overline{\text{S}} l'événement contraire de S.

Partie I

1. Dessiner un arbre pondéré représentant la situation.

2. A l'aide de B, \overline{\text{B}}, S, \overline{\text{S}} traduire les événements suivants et calculer leur probabilité à 10-2 près :
    a) la personne n'achète pas de salon sachant qu'elle est venue avec un bon publicitaire ;
    b) la personne achète un salon ;
    c) la personne est venue avec un bon publicitaire sachant qu'elle a acheté un salon.

Partie II

Le bon publicitaire et le cadeau associé coûtent 15 € au magasin.
Un salon vendu rapporte 500 € au magasin s'il est vendu sans bon publicitaire.

1. Compléter le tableau qui donne la loi de probabilité du bénéfice réalisé par le magasin selon la situation de la personne entrant.

Situation de la
personne entrant
La personne a un
bon publicitaire et
achète un salon
La personne a un bon
publicitaire et
n'achète pas un salon
La personne n'a pas
de bon publicitaire
et achète un salon
La personne n'a pas
de bon publicitaire et
n'achète pas un salon
Bénéfice rélalisé
par le magasin
en euros
485 -15 500 0
Probabilité        


2. Calculer le bénéfice moyen du magasin réalisé par personne entrant.

3. Le directeur pense changer la valeur du cadeau offert. Soit x le prix de revient, en euros, du nouveau bon publicitaire. Calculer, dans ce cas, l'espérance E de la loi de probabilité du bénéfice du magasin en fonction de x.

4. Le directeur souhaite réaliser 76 € de bénéfice moyen par personne entrant.
Quel doit être le prix de revient x du nouveau bon publicitaire ?


5 points

exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Les parties I et II sont indépendantes.

Partie I (calculs exacts demandés)

Sur une route, deux intersections successives "a" et "b" sont munies de feux tricolores. On suppose que ces feux ne sont pas synchronisés et fonctionnenent de manière indépendante. On admet que :
    La probabilité que le feu de "a" soit vert est égale à \displaystyle \frac34,
    La probabilité que le feu de "b" soit vert est égale à \displaystyle \frac12.
On note A l'événement : " le feu de "a" est vert ", B l'événement " le feu de "b" est vert ".
Un automobiliste passe successivement aux deux intersections "a" et "b".

1. Calculer la probabilité qu'à son passage, les deux feux soient verts.

2. Calculer la probabilité qu'à son passage, il rencontre au moins un feu vert.

Partie II (résultats demandés à 10-2 près)

Pour se rendre à son travail, Mathurin rencontre une succession d'intersections de feux tricolores dont le fonctionnement est décrit si-dessous :
A chaque intersection :
Si le feu est vert, il le sera à l'intersection suivante avec la probabilité 0,9 ou sera rouge avec la probabilité 0,05.
Si le feu est orange, il le sera à l'intersection suivante avec la probabilité 0,1 ou sera vert avec la probabilité 0,8.
Si le feu est rouge, il le sera à l'intersection suivante avec la probabilité 0,5 ou sera orange avec la probabilité 0,05.

n étant un entier naturel non nul, on note :
Vn la probabilité que Mathurin rencontre un feu vert à la n-ième intersection,
On la probabilité que Mathurin rencontre un feu orange à la n-ième intersection,
Rn la probabilité que Mathurin rencontre un feu rouge à la n-ième intersection,
Pn = [Vn On Rn] la matrice traduisant l'état probabiliste du n-ième feu tricolore.

1. a) Construire un graphe probabiliste pour décrire cette situation.
    b) Donner la matrice de transition M complétée de ce graphe : M = \begin{bmatrix} ... & 0,05 & 0,05 \\ 0,8 & ... & 0,1 \\ 0,45 & ... & 0,5  \end{bmatrix}

2. a) Si le premier feu rencontré est vert, donner la matrice P1 de l'état inital puis calculer P2.
    b) On donne P3 = [0,87   0,05   0,08]. Quelle est la probabilité que le quatrième feu soit vert ?

3. Si le premier feu rencontré est rouge, donner la matrice P1 de l'état initial puis calculer P2.

4. On remarque que, quelle que soit la couleur du premier feu rencontré, on obtient à partir s'un certain rang n : Pn = [0,85   0,05   0,10].
Donner une interprétation concrète de ce résultat.


5 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

Historiquement, on avait décidé de numéroter les planètes du système solaire suivant leur distance moyenne au Soleil. Ainsi, on notait :
    Mercure = 1
    Vénus = 2
    Terre = 3
    Mars = 4
    Céres = 5
    Jupiter = 6
    Saturne = 7
    Uranus = 8

On considère la série statistique double (i ; d_i)_{1 \leq i \leq 8}, où i représente le numéro d'ordre de la planète et di sa distance au soleil (en millions de km) :
(1 ; 57,94) , (2 ; 108,27) , (3 ; 149,60) , (4 ; 228,06) , (5 ; 396,44) , (6 ; 778,73) , (7 ; 1 427,7) , (8 ; 2 872,4).

1. Indiquer, à l'aide d'une phrase, la signification du couple (3 ; 149,60).

Dans la suite de l'exercice, les résultats seront arrondis à 10-3 près.

2. Compléter le tableau suivant :

i 1 2 3 4 5 6 7 8
di 57,94 108,27 149,60 228,06 396,44 778,73 1 427,7 2 872,4
di - d1 0     170,12        
yi = ln(di - d1) //////     5,137        


3. a) Déterminer, par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite d'ajustement (D), de la série (i ; yi), avec i compris entre 2 et 8.
    b) Construire le nuage de points (i ; yi), avec i compris entre 2 et 8, et la droite (D) dans un repère orthonormal, unités : 2 cm.

4. a) Déduire de ce qui précède que l'on peut modéliser l'expression de di, en fonction de i, avec i compris entre 2 et 8, sous la forme di = 57,94 + 12,16 × 1,966i.
    b) Calculer la distance moyenne probable au soleil d'une planète numérotée 9.

(Ce résultat est connu sous le nom de loi de Titius-Bode du nom de deux astronomes allemands qui permirent la découverte de Neptune n°9 en 1848... La loi tomba ensuite en désuétude mais l'ajustement étudié demeure excellent si l'on inclut " Pluton "... La planète naine en n°10).


6 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

Rappel : Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors la fonction eu est dérivable sur I et (eu)' = u' eu.

Un transporteur, s'occupant de voyages organisés, achète en l'an 2000 (instant initial t = 0), un autocar nécessitant un investissement initial de 200 milliers d'euros.

Partie A

Cet investissement se déprécie. Sa dépréciation cumulée, en milliers d'euros, à l'instant t, mesurée en années, est notée D(t).
On pose D(t) = 200(1 - e-0,086 t) pour tout réel t de l'intervalle I = [0 ; 13].
Le graphique ci-dessous donne la courbe représentative de D dans le plan rapporté à un repère (O \, ; \, \overrightarrow{i} \, , \, \overrightarrow{j}).
bac économique et social Amérique du Nord 2008 - terminale : image 1

Déterminer graphiquement au cours de quelle année l'investissement aura perdu 60% de sa valeur (faire apparaître sur le graphique les tracés qui permettent d'obtenir la réponse).

Partie B

Le transporteur veut vendre l'autocar. On note V(t) la valeur de l'autocar l'année t, 0 \leq t \leq 13.

1. Vérifier que V(t) = 200 × e-0,086 t.

2. Etudier le sens de variation de V sur [0 ; 13].

3. Combien peut-on espérer revendre l'autocar au bout de 13 ans de service ? (au millier d'euros près).

4. Au cours de quelle année l'autocar a-t-il perdu la moitié de sa valeur ?

Partie C

On estime que les recettes nettes (en milliers d'euros) procurées par l'exploitation de cet autocar, hors dépréciation du véhicule, sont données à l'instant t réel de l'intervalle [0 ; 13] par : R(t) = 110(5 + t - 5e0,1t).

1. a) Calculer la dérivée R' de la fonction R ; étudier son signe sur [0 ; 13] et construire le tableau de variation de R.
    b) En déduire que les recettes nettes sont maximales pour une valeur t0 de t dont on donnera la valeur exacte puis une valeur approchée arrondie à l'unité près.
    c) Construire la courbe représentative de la fonction R, dans le même repère que celle de D après avoir complété le tableau de valeurs ci-dessous où l'on arrondira R(t) à l'entier le plus proche.

t 0 1 2 4 6 8 10 11 13
D(t) 0 16 32 58 81 99 115 122 135
R(t) 0 52 98   208       -38
E(t) 0       127        


2. A tout instant, la différence R(t) - D(t) représente l'exploitation E(t) de l'autocar.
Compléter le tableau ci dessus, utiliser le graphique ou les tableaux de valeurs de D, R et E pour répondre aux questions suivantes :
    a) Au cours de quelle année l'exploitation de cet autocar est-elle la plus profitable ?
    b) A partir de quelle année l'exploitation de cet autocar conduit-elle à un déficit ?








exercice 1 - Commun à tous les candidats

1. FAUX car f(x) = 3 + \displaystyle \frac{1}{x+2} = \displaystyle \frac{3(x+2)+1}{x+2} = \displaystyle \frac{3x+7}{x+2}

2. VRAI car f(0) = 3 + \displaystyle \frac{1}{2} = 3,5

3. FAUX car \displaystyle \lim_{x\to -2^+} x + 2 = 0^+ donc \displaystyle \lim_{x\to -2^+} 2 + \frac{1}{x+2} = +\infty

4. VRAI car \displaystyle \int_0^2 f(x) \text{d}x = [3x + \ln(x+2)]_0^2 = 6 + \ln4 - \ln2 = 6 + 2\ln2 - \ln2 = 6 + \ln 2

5. VRAI car \displaystyle \lim_{x\to\infty} 3 + \frac{1}{x+2} = 3

6. VRAI car f(x) - 3 = \frac{1}{x+2} du signe de x + 2 donc strictement positif sur ]-2 , +\infty[ : f(x) - 3 > 0 donc f(x) > 3

7. VRAI car f'(x) = - \displaystyle \frac{1}{(x+2)^2} donc f'(-1) = -\displaystyle \frac{1}{(-1+2)^2} = -1

8. VRAI car f'(x) = -\displaystyle \frac{1}{(x+2)^2} < 0 donc f est décroissante, or la fonction \ln est croissante, donc g = \ln \circ f est décroissante.




exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Partie I

1.
bac économique et social Amérique du Nord 2008 - terminale : image 2


2. a) On cherche la probabilité que le client n'achète pas de salon (\bar{\text{S}}) sachant qu'il a un bon publicitaire (B) : p_{\text{B}}(\bar{\text{S}}) = 1 - p_{\text{B}}(\text{S}) = 1 - 10 \% = 90 \%

2. b) p(\text{S}) = p(\text{B})p_{\text{B}}(\text{S}) + p(\bar{\text{B}})p_{\bar{\text{B}}}(\text{S}) = p(\text{B})p_{\text{B}}(\text{S}) + (1 - p(\text{B}))p_{\bar{\text{B}}}(\text{S}) = 90\% \times 10\% + (1 - 90\%) \times 80\% = 0,09 + 0,08 = 0,17 = 17\%

2. c) p_{\text{S}}(\text{B}) = \frac{p(\text{S} \cap \text{B})}{p(\text{S})} = \frac{p(\text{B})p_{\text{B}}(\text{S})}{p(\text{S})} = \displaystyle \frac{90\% \times 10\%}{17\%} = 52,9\%

Partie II

1. p(\text{B} \cap \text{S}) = p(\text{B})p_{\text{B}}(\text{S}) = 90\% \times 10\% = 9\% etc.
D'où :

Situation de la
personne entrant
La personne a un
bon publicitaire et
achète un salon
La personne a un bon
publicitaire et
n'achète pas un salon
La personne n'a pas
de bon publicitaire
et achète un salon
La personne n'a pas
de bon publicitaire et
n'achète pas un salon
Bénéfice rélalisé
par le magasin
en euros
485 -15 500 0
Probabilité 9% 81% 8% 2%


2. Le bénéfice moyen réalisé par personne est donc :
b = 9\% \times 485 + 81\% \times (-15) + 8\% \times 500 + 2\% \times 0 = 43,65 - 12,15 + 40 = 71,50 euros

3. \text{E} = 9\% \times (500 - x) + 81\% \times (-x) + 8\% \times 500 + 2\% \times 0 = 85 - 90\% \times x = 85 - 0,9x

4. \text{E} = 76 \: \Longleftrightarrow \: 85 - 0,9x = 76 \: \Longleftrightarrow \: 0,9x = 9 \: \Longleftrightarrow \: x = 10 euros




exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Partie I

1. Les évènements A et B sont indépendants, donc : p(\text{A} \cap \text{B}) = p(\text{A})p(\text{B}) = \displaystyle \frac{3}{4} \times \frac{1}{2} = \displaystyle \frac{3}{8} ( = 37,5\%)

2. p(\text{A} \cup \text{B}) = p(\text{A}) + p(\text{B}) - p(\text{A} \cap \text{B}) = \displaystyle \frac{3}{4} + \frac{1}{2} - \frac{3}{8} = \frac{7}{8}(= 87,5\%)

Partie II

1. a)
bac économique et social Amérique du Nord 2008 - terminale : image 3


1. b) M = \left[\begin{array}{lcl} 0,9 & 0,05 & 0,05\\0,8 & 0,1 & 0,1\\0,45 & 0,05 & 0,5 \end{array} \right]

2. a) P_1 = \left[1 \; 0 \; 0 \right]
P_2 = P_1M = \left[1 \; 0 \; 0 \right] \left[\begin{array}{lcl} 0,9 & 0,05 & 0,05\\0,8 & 0,1 & 0,1\\0,45 & 0,05 & 0,5 \end{array} \right] = \left[0,9 \, 0,05 \, 0,05 \right]

2. b) p(V_4) = 0,87 \times 0,9 + 0,05 \times 0,8 + 0,08 \times 0,45 = 0,783 + 0,04 + 0,036 = 0,859

3. P_1 = [0 \, 0 \, 1]
P_2 = P_1M = \left[0 \, 0 \, 1\right] \left[\begin{array}{lcl} 0,9 & 0,05 & 0,05\\0,8 & 0,1 & 0,1\\0,45 & 0,05 & 0,5\end{array} \right] = \left[0,45 \, 0,05 \, 0,5 \right]

4. Peu importe la couleur précédente, la probabilité que le feu soit vert est de 0,85, qu'il soit orange 0,05 et qu'il soit rouge 0,10 : tous les feux sont réglés de la même manière, c'est-à-dire que le vert représente 85% du cycle, le vert 5% et le rouge 10%.




exercice 3 - Commun à tous les candidats

1. La distance moyenne de la Terre au Soleil est de 149,60 millions de kilomètres.

2.
i 1 2 3 4 5 6 7 8
di 57,94 108,27 149,60 228,06 396,44 778,73 1 427,7 2 872,4
di - d1 0 50,33 91,66 170,12 338,50 720,79 1369,76 2814,46
yi = ln(di - d1) ////// 3,919 4,518 5,137 5,825 6,580 7,222 7,943


3. a) La méthode des moindres carrés approxime le nuage de points par une droite d'équation y = ax + b où a et b sont donnés par :
a = \displaystyle \frac{\sum{(\bar x-x_i)(\bar y-y_i)}}{\sum{(\bar x-x_i)^2}} \text{ et } b = \bar y-a\bar x
On trouve :
\bar x = 4,5 \, ; \, \bar y = 5,878 \, ; \, a = 0,676 \, ; \, b = 2,498
Donc la droite d'ajustement a pour équation : y = 0,676x + 2,498

3. b) Nuage de points (en prenant 1 cm pour unités graphiques)
bac économique et social Amérique du Nord 2008 - terminale : image 4


4. a) On a donc :
y_i = 0,676 i + 2,498 \: \Longleftrightarrow \: \ln(d_i - d_1) = 0,676i + 2,498 \: \Longleftrightarrow \: d_i - d_1 = e^{0,676i + 2,498} \\ \: \Longleftrightarrow \: d_i = d_1+e^{2,498} \times \left(e^{0,676}\right)^i = 57,94+12,16\times 1,966^i

4. b) d_9 = 57,94+12,16 \times 1,966^9 \approx 5393,56 millions de kilomètres.




exercice 4 - Commun à tous les candidats

Partie A

L'investissement aura perdu 60% de sa valeur lorsque D(t) = 60\% \times 200 = 120 milliers d'euros.
Cela correspond à t = 10,8 ans, donc l'investissement aura perdu 60 % de sa valeur au cours de la 11ème année (cf. tracé bleu ci-dessous).
bac économique et social Amérique du Nord 2008 - terminale : image 5


Partie B

1. Le prix de vente correspond à la valeur à l'instant de la vente, c'est-à-dire à la différence entre la valeur initiale (200 milliers d'euros) et la dépréciation D(t) :
V(t) = 200 - D(t) = 200 - 200\left(1 - e^{-0,086t}\right) = 200e^{-0,086t}

2. V est définie et dérivable sur [0 ; 13] et V'(t)=200 \times \left(-0,086e^{-0,086t}\right) = -17,2e^{-0,086t} < 0
Donc la fonction V est strictement décroissante sur [0 ; 13].

3. Au bout de 13 ans de services, on peut espérer revendre l'autocar au prix de :
V(13) = 200e^{-0,086\times 13} = 200e^{-1,118} = 65 milliers d'euros (arrondi au millier d'euros).

4. L'autocar aura perdu la moitié de sa valeur lorsque :
V(t) = \displaystyle \frac{V(0)}{2} = 100 \: \Longleftrightarrow \: 200e^{-0,086t} = 100 \: \Longleftrightarrow \: e^{-0,086t}=0,5 \: \Longleftrightarrow \: -0,086t = \ln(0,5) \: \Longleftrightarrow \: t = \displaystyle \frac{\ln(0,5)}{-0,086}=8,06
L'autocar aura donc perdu la moitié de sa valeur au cours de la 9ème année.

Partie C

1. a) R est définie et dérivable sur [0 ; 13] et R'(t) = 110\left(1-5\times0,1e^{0,1t}\right) = 110\left(1-0,5e^{0,1t}\right)
R'(t) est du signe de 1-0,5e^{0,1t}, or :
1 - 0,5e^{0,1t} > 0 \: \Longleftrightarrow \: 1 > 0,5e^{0,1t} \: \Longleftrightarrow \: 2 > e^{0,1t} \\ \Longleftrightarrow \: \ln 2 > 0,1t \: \Longleftrightarrow \: t < \displaystyle \frac{\ln 2}{0,1} \: \Longleftrightarrow \: t < 10\ln 2 (=6,93)
D'où le tableau de signe de R' et de variations de R :
\begin{array}{|c|ccccc|} \hline  x & 0 & & 10\ln 2 & & 13 \\  \hline  R'(x)& & + & 0 & - &  \\  \hline  \hspace{1pt} & & & 550\left(2 \ln 2 - 1) = 212 & & \\ R(x) & & \nearrow & & \searrow & \\ \hspace{1pt} & 0 & & &  & 110\left(18-5e^{1,3}\right) = -38\\ \hline  \end{array}

1. b) Le tableau montre que les recettes nettes sont maximales pour t_0 = 10 \ln 2 \approx 7.

1. c)
t 0 1 2 4 6 8 10 11 13
D(t) 0 16 32 58 81 99 115 122 135
R(t) 0 52 98 169 208 206 155 108 -38


2.
t 0 1 2 4 6 8 10 11 13
D(t) 0 16 32 58 81 99 115 122 135
R(t) 0 52 98 169 208 206 155 108 -38
E(t) 0 36 66 111 127 107 40 -14 -173


2. a) L'exploitation de cet autocar est donc le plus profitable au cours de la 6ème année.

2. b) L'exploitation de l'autocar devient déficitaire à partir de la 11ème année.
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