Fiche de mathématiques
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Bac Économique et Social
Polynésie Française - Session Juin 2008

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Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 5
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 7


L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le candidat doit traiter les quatre exercices.
Il est invité à faire figurer sur la copie tout trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
4 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Le plan est muni d'un repère orthonormal.
Soient f une fonction définie et dérivable sur l'ensemble \mathbb{R} des nombres rééls et \mathcal{C} sa courbe tracée ci-dessous.

bac ES obligatoire et spécialité Polynésie Française 2008 - terminale : image 1

La droite \mathcal{D} est la tangente à la courbe \mathcal{C} au point d'abscisse 0.
On appelle B, A et E les points de coordonnées respectives \left(4;0\right), \left(4 ; \displaystyle \frac{179}{75}\right) et \left(0 ; \displaystyle \frac{179}{75}\right).
Ces trois points n'appartiennent pas à la courbe \mathcal{C}.

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des quatre questions, trois réponses sont proposées ; une seule de ces réponses convient.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte sans justifier le choix effectué.

Barême : Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse inexacte ou une absence de réponse n'apporte et n'enlève aucun point.

1. L'ordonnée à l'origne de la droite \mathcal{D} est égale à :
0. 1. 3.


2. Le nombre dérivé f'(0) est égal à :
\displaystyle \frac{-1}{3} 5. -3.


3. Sachant que l'aire grisée sur la figure est égale à l'aire du rectangle OBAE, la valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle [0 ; 4] est :
\displaystyle \frac{179}{75}. \displaystyle \frac{716}{75}. - \displaystyle \frac{179}{75}.


4. Sur l'intervalle [0 ; 4], l'équation f' (x) =0 :
    possède deux solutions distinctes.
    ne possède pas de solution.
    possède une unique solution.


5 points

exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Un site internet offre la possibilité à des particuliers de vendre des objets aux enchères. Pour chaque objet, la durée des enchères dure une semaine. Si une annonce reçoit une enchère, alors la vente de l'objet est obligatoire à la fin des enchères et ce, même si le vendeur juge le prix de vente trop peu élevé.
Sur ce site, une étude statistique a montré que :
  • \displaystyle \frac{3}{5} des annonces reçoivent une première enchère le lendemain de leur parution ; dans ce cas, 75% des vendeurs sont satisfaits du prix de vente final ;
  • \displaystyle \frac{1}{3} des annonces reçoit une première enchère au bout de trois jours et, dans ce cas, 57% des vendeurs sont satisfaits du prix de vente final de leur objet ;
  • Les autres annonces ne reçoivent aucune enchère et le vendeur retire alors son objet de la vente.
On choisit au hasard une annonce mise en ligne sur le site. On note :
  • L : l'événement "l'annonce reçoit une première enchère le lendemain de sa parution" ;
  • T : l'événement "l'annonce reçoit une première enchère au bout de trois jours" ;
  • A : l'événement "l'annonce ne reçoit aucune enchère" ;
  • S : l'événement "le vendeur est satisfait du prix de vente final de sont objet" et \bar{\text{S}} son événement contraire.


1. Traduire la situation par un arbre de probabilité.

2. Calculer la probabilité que l'annonce ait reçu une première enchère le lendemain de sa parution et que le vendeur soit satisfait de prix de vente final.

3. Démontrer que la probabilité que le vendeur soit satisfait du prix de vente de son objet est 0,64.

4. Un objet est vendu à un prix qui satisfait son vendeur. Quelle est la probabilité que cet objet ait reçu une première enchère dès le lendemain de la parution de l'annonce (le résultat sera donné sous forme décimale, arrondi au centième) ?

5. Marc a mis en vente le même jour trois jeux vidéo identiques sur ce site. On suppose que les déroulements de ces enchères sont indépendants les uns des autres. Calculer la probabilité qu'à la fin des enchères, Marc soit satisfait du prix de vente d'au moins deux de ces jeux vidéo (le résultat sera donné sous forme décimale, arrondi au centième).


5 points

exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Une grande ville a mis en place un système de location de bicyclettes en libre service. Un abonné peut ainsi louer une bicyclette dans une station puis la déposer dans n'importe quelle station de son choix. La ville compte sept stations de location nommées A, B, C, D, E, F et G.
Les stations sont reliées entre elles par une piste cyclable et les temps de parcours en minutes sont indiqués sur le graphe ci-dessous.

bac ES obligatoire et spécialité Polynésie Française 2008 - terminale : image 2


1. Philippe, cycliste très prudent, décide de visiter cette ville en n'empruntant que des pistes cyclables.
     a) A-t-il la possibilité d'effectuer un parcours empruntant une fois et une seule toutes les pistes cyclables ? Justifier la réponse.
     b) A la fin de ce parcours, pourra-t-il rendre sa bicyclette dans la station de départ ? Justifier la réponse.

2. On appelle M la matrice associée à ce graphe. On donne deux matrices N et T :
N = \begin{pmatrix} 4&9&8&5&5&9&2 \\ 9&6&10&7&10&6&4\\ 8&10&5&8&10&9&4\\ 5&7&5&2&8&4&5\\ 5&10&10&8&6&11&2\\ 9&6&9&4&11&4&6\\ 2&4&4&5&2&6&0\\ \end{pmatrix} \text{ et }  T = \begin{pmatrix} 4&9&8&4&5&9&1\\ 9&6&10&6&10&6&4\\ 8&10&8&4&10&9&4\\ 5&7&5&2&8&4&5\\ 5&8&10&8&6&11&0\\ 9&6&9&4&11&4&6\\ 1&4&4&5&0&6&0\\ \end{pmatrix}
     a) Une des deux matrices M ou T est la matrice M³. Sans calculs, indiquer quelle est la matrice M³ en justifiant la réponse.
     b) Philippe a loué une bicyclette à la station F et l'a rendue à la station E. Au cours de son déplacement, il est passé exactement deux fois devant une station. Combien de trajets différents a-t-il pu suivre ? Expliquer.

3. Le lendemain, il envisage de rejoindre le plus rapidement possible la station G en partant de la station A. A l'aide d'un algorithme, déterminier un tel parcours et donner alors le temps nécessaire pour l'effectuer.


4 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

Le tableau ci-dessous représente l'évolution de l'indice des prix des logements anciens en Ile de France entre 2000 et 2006 (base 100 en 2000).

Année2000200120022003200420052006
Rang xi de l'année0123456
Indice yi des prix100106,3114,3126,1143,6166,3181,5
(Source : INSEE)

On cherche à étudier l'évolution de l'indice des prix y en fonction du rang x de l'année.

1. Calculer le taux d'évolution de cet indice entre 2000 et 2006.

2. Représenter le nuage de points Mi(xi ; yi) associé à cette série statistique dans le plan muni d'un repère orthogonal, d'unités graphiques :
    sur l'axe des abscisses, 2 cm pour un an ;
    sur l'axe des ordonnées, 1 cm pour 10 (en plaçant 100 à l'origine).
L'allure de ce nuage suggère un ajustement exponentiel.
On pose z = ln y.

3. Recopier et compléter le tableau suivant (Les valeurs de zi seront arrondies au millième) :
Rang xi0123456
zi = ln yi4,605      


4. Dans cette question, les calculs effectués à la calculatrice ne seront pas justifiés.
     a) Déterminer une équation de la droite d'ajustement de z en x obtenue par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis au millième).
     b) En déduire une approximation de l'indice des prix y en fonction du rang x de l'année.

5. On prend l'approximation y \approx 96 e^{0,104x} et on suppose qu'elle reste valable pour les années suivantes.
     a) Déterminer le plus petit entier n tel que 96 e^{0,104n} \ge 250.
     b) Donner une interprétation du résultat obtenu.


7 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

Le plan est muni d'un repère orthogonal (O \, ; \, \overrightarrow{i} \, , \, \overrightarrow{j}).

1. On considère la fonction g définie sur l'intervalle ]0 ; +\infty[ par : g(x) = \ln{x} + 2x^2 - 3.
Le tableau de variation de la fonction g est donné ci-dessous :
bac ES obligatoire et spécialité Polynésie Française 2008 - terminale : image 3

En utilisant une calculatrice, on a obtenu \alpha \approx 1,19.
Dresser le tableau donnant le signe de la fonction g sur l'intervalle ]0 ; +\infty[.

2. On considère la fonction f définie sur l'intervalle ] 0 ; +\infty [ par : f(x) = \displaystyle \frac{2}{x} - \displaystyle \frac{\ln{x}}{x} + 2x - 5.
On note \mathcal{C}_f la courbe représentative de la fonction f dans le repère (O \, ; \, \overrightarrow{i} \, , \, \overrightarrow{j}).
     a) Déterminer la limite de la fonction f en 0.
     b) Déterminer la limite de la fonction f en +\infty.

3. On note f' la fonction dérivée de la fonction f.
     a) Calculer f'(x) et montrer que pour tout réel x de l'intervalle ]0 ; +\infty[, on a : f'(x) = \displaystyle \frac{g(x)}{x^2}
     b) En déduire le sens de variation de f sur l'intervalle ]0 ; +\infty[ et dresser son tableau de variations.
     c) Déterminer le signe de f(x) pour tout réel x supérieur ou égal à e.
Toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.

4. Soit h la fonction définie sur ]0 ; +\infty[ par : h(x) = \left(\ln{x}\right)^2.
     a) Calculer la dérivée h' de h.
     b) En remarquant que pour tout x de l'intervalle ]0 ; +\infty[, on a : f(x) = \displaystyle \frac{2}{x} - \displaystyle \frac{1}{2} h' (x) + 2x -5 , trouver une primitive F de la fonction f sur l'intervalle ]0 ; +\infty[.
     c) Déterminer l'aire en unités d'aire de la partie du plan délimitée par la courbe \mathcal{C}_f, l'axe des abscisses et les droites d'équation x = e et x = e^2 (on donnera la valeur exacte, puis une valeur décimale arrondie au dixième).








exercice 1 - Commun à tous les candidats

1. Troisième réponse : 3. L'ordonnée à l'origine de la droite D est 3.

2. Troisième réponse : -3. Le nombre dérivé f'(0) correspond au coefficient de la tangente à la courbe au point d'abscisse 0. Il est donc égal à -3.

3. Première réponse : \frac{179}{75}. L'aire de la partie grisée est égale à \displaystyle \int_0^4 f(x)dx. Par définition, la valeur moyenne de f sur [0 ; 4] est donnée par \mu = \frac{1}{4} \displaystyle \int_0^4 f(x) dx
Or on nous dit que cette aire est égale à l'aire du rectangle OBAE, donc \displaystyle \int_0^4 f(x) dx = 4 \times \frac{179}{75}, d'où \boxed{\mu=\frac{179}{75}}.

4. Première réponse : l'équation f'(x)=0 admet deux solutions distinctes sur [0 ; 4]. On sait que f'(x) = 0 \: \Longleftrightarrow la courbe admet une tangente horizontale en x. Or sur [0 ; 4] f présente 2 extrema (un en x = 1 et l'autre en x = 3). Donc l'équation f'(x)=0 admet deux solutions distinctes sur [0 ; 4].




exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignment de spécialité

1.
bac ES obligatoire et spécialité Polynésie Française 2008 - terminale : image 4


2. p(\text{L} \cap \text{S}) = p(\text{L})p_{\text{L}}(\text{S}) = \displaystyle \frac{3}{5} \times 0,75 = 0,45

3. p(\text{S}) = p(\text{L} \cap \text{S}) + p(\text{T} \cap \text{S}) = 0,45 + p(\text{T})p_{\text{T}}(\text{S}) = 0,45 + \displaystyle \frac{1}{3} \times 0,57 = 0,45 + 0,19 = 0,64

4. On cherche p_{\text{S}}(\text{L}) \: : \: p_{\text{S}}(\text{L}) = \displaystyle \frac{p(\text{S} \cap \text{L})}{p(\text{S})} = \displaystyle \frac{0,45}{0,64} = 0,70

5. Soit X le nombre d'objets pour lesquels Marc est satisfait du prix. On cherche p(\text{X} \ge 2) :
p(\text{X} \ge 2) = p(\text{X} = 2) + p(\text{X} = 3)
Il y a 3 manières d'obtenir 2 prix satisfaisants, selon l'objet pour lequel le prix n'est pas satisfaisant. Et pour chaque cas, la probabilité est égale à : p(\text{S})^2 \times p(\bar{\text{S}}) = p(\text{S})^2 (1 - p(\text{S}))
On a donc p(\text{X} = 2) = 3p(\text{S})^2 (1 - p(\text{S})) = 3 \times 0,64^2 \times 0,36 = 0,44.
Il y a 1 seule manière d'obtenir 3 prix satisfaisants, et la probabilité correspondante est : p(\text{S})^3 = 0,64^3 = 0,26
d'où \boxed{p(\text{X} \ge 2) = 0,442 + 0,262 = 0,70}




exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

1. a) Philippe pourra emprunter une et une seule fois chaque piste cyclable si et seulement si le graphe admet une chaîne eulérienne.
Or le graphe est connexe. Il admet donc une chaîne eulérienne si et seulement si tous ses sommets sont de degré pair sauf éventuellement 2.
Les degrés des sommets sont : d(A) = 3 ; d(B) = 4 ; d(C) = 4 ; d(D) = 3 ; d(E) = 4 ; d(F) = 4 ; d(G) = 2.
Donc le graphe admet une chaîne eulérienne. Donc Philippe peut effectuer un parcours empruntant une et une seule fois toutes les pistes cyclables.

1. b) Dans ce cas, il pourra rendre sa bicyclette à la station de départ si et seulement si cette chaîne eulérienne est un cycle.
Or un graphe connexe admet un cycle eulérien si et seulement si tous ses sommets sont de degré pair, ce qui n'est pas le cas ici.
Donc Philippe ne pourra pas rendre sa bicyclette à la station de départ à l'issue de ce parcours.

2. a) Si N = M3, alors il y a 2 chaînes de longueur 3 reliant A à F. Au contraire, si T = M3, il y a 1 seule chaîne de longueur 3 reliant A à F :
bac ES obligatoire et spécialité Polynésie Française 2008 - terminale : image 5

Or on peut relier A à F par les chaînes A-C-E-F et A-B-E-F. Donc N = M3.

2. b) Au cours de son déplacement, Philippe est passé exactement 2 fois devant une station, il a donc effectué un parcours de longueur 3. Or la matrice M3(= N) indique qu'il y a 11 chaînes de longueur 3 reliant E à F :
bac ES obligatoire et spécialité Polynésie Française 2008 - terminale : image 6

Philippe a donc pu suivre 11 chemins différents.

3. On utilise l'algorithme de Dijkstra pour déterminer le plus court chemin :
bac ES obligatoire et spécialité Polynésie Française 2008 - terminale : image 7

On trouve ainsi que le plus court chemin pour aller de A à G a une longueur égale à 28 (Philippe mettra 28 minutes). Le chemin correspondant est A-B-D-G.




exercice 3 - Commun à tous les candidats

1. Le taux d'évolution de l'indice entre 2000 et 2006 est :
\tau = \displaystyle \frac{y_6-y_0}{y_0}=\frac{181,5-100}{100}=81,5\%

2.
bac ES obligatoire et spécialité Polynésie Française 2008 - terminale : image 8


3.
Rang xi0123456
zi = ln yi4,6054,6664,7394,8374,6975,1145,20


4. a) On calcule les moyennes : \bar x=3 et \bar z=4,876.
Les coefficients de la droite d'ajustement d'équation z=ax+b sont donnés par :
a = \displaystyle \frac{\sum(x_i-\bar x)(z_i-\bar z)}{\sum(x_i-\bar x)^2} et  b=\bar z - a\bar x
On trouve : a=0,104 et b=4,564.
La droite d'ajustement a donc pour équation : \boxed{z=0,104x+4,564}

4. b) Or z=\ln y donc y=e^z, d'où : \boxed{y = e^{0,104x+4,564} = 95,967 e^{0,104x}}

5. a) 96e^{0,104x}\ge 250 \: \Longleftrightarrow \: e^{0,104x}\ge 2,604
\Longleftrightarrow \: 0,104x\ge \ln(2,604) \\ \Longleftrightarrow \: 0,104x \ge 0,957 \\ \Longleftrightarrow x\ge 9,203
Le plus petit n tel que 96e^{0,104n}\ge 250 est donc \boxed{n=10}.

5. b) A partir de 2010, l'indice des prix des logements anciens en Ile-de-France sera supérieur à 250.




exercice 4 - Commun à tous les candidats

1.
\begin{array}{|c|ccccc|} \hline  x & 0 & & \alpha & & +\infty \\  \hline  g(x) & | & - & 0 & + & \\  \hline  \end{array}

2. a) \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{2 - \ln x}{x} = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{-\ln x}{x}=+\infty et \displaystyle \lim_{x \to 0} 2x - 5 = 5 donc \boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0}f(x) = +\infty}

2. b) \displaystyle \lim_{x\to+\infty} \frac{2-\ln x}{x} = \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{-\ln x}{x} = 0 et \displaystyle \lim_{x\to+\infty} 2x - 5 = +\infty donc \boxed{\displaystyle \lim_{x\to+\infty} f(x) = +\infty}

3. a) f'(x) = -\frac{2}{x^2} - \frac{1 - \ln x}{x^2} + 2 = \frac{\ln x + 2x^2-3}{x^2}
Or g(x) = \ln x + 2x^2 - 3 donc \boxed{f'(x) = \frac{g(x)}{x^2}}

3. b) f'(x) = \displaystyle \frac{g(x)}{x^2} donc f' est du signe de g. On en déduit les variations de f :
\begin{array}{|c|ccccc|} \hline  x & 0 & & \alpha & & +\infty \\  \hline  g(x) & | & - & 0 & + & \\  \hline  f'(x) & | & - & 0 & + & \\  \hline  \hspace{1pt} & +\infty &  & &  & +\infty \\  f(x) & &\searrow&&\nearrow& \\  \hline  \end{array}

3. c) On a : e \approx 2,718
f(e) = \displaystyle \frac{2}{e} - \frac{\ln e}{e}+2e-5 = \frac{2}{e}-\frac{1}{e}+2e-5 = \frac{1}{e}+2e-5 \approx 0,804
On place ce point dans le tableau de variations :
\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline  x&0&&\alpha&&e&&+\infty \\ \hline  {g(x)}&|&-&0&+&&+& \\ \hline  {f'(x)}&|&-&0&+&&+&\\ \hline  \hspace{1pt} & +\infty & &&&  & & +\infty\\ {f(x)}& & \searrow&&&&\nearrow& \\ {f(x)}& &&&&_{\nearrow} 0,804&& \\ \hline  \end{array}
D'après le tableau de variations, pour tout x supérieur ou égal à e, f est strictement positive.

4. a) La dérivée de u^2 est 2u'u. On pose u(x) = \ln x, alors u'(x)= \displaystyle \frac{1}{x} et  \boxed{h'(x)=\frac{2\ln x}{x}}

4. b) Or f(x) = \displaystyle \frac{2}{x} - \frac{\ln x}{x}+2x-5 = \displaystyle \frac{2}{x}-\frac{1}{2}h'(x)+2x-5
D'où une primitive F de f sur ]0;+\infty[ : F(x) = 2 \ln x - \displaystyle \frac{1}{2} h(x) +x^2 -5x
\boxed{F(x) = 2 \ln x - \displaystyle \frac{1}{2} (\ln x)^2 +x^2 -5x}

4. c) L'aire du domaine délimité par la courbe \scr{C} , l'axe des abscisses et les droites d'équation x = e et x = e^2 est donnée par :
\displaystyle \int_e^{e^2} f(x) dx = [F(x)]_e^{e^2} = F(e^2)-F(e)
Or F(e) = 2 \ln e - \displaystyle \frac{1}{2}(\ln e)^2+e^2-5e = 2 -\frac{1}{2}+e^2-5e = \frac{3}{2}+e^2-5e
et F(e^2) = 2 \ln (e^2) - \displaystyle \frac{1}{2}(\ln (e^2))^2+(e^2)^2-5e^2 = 4 - 2+e^4-5e^2 = 2+e^4-5e^2
d'où \displaystyle \int_e^{e^2} f(x) dx = (2+e^4-5e^2) - (\frac{3}{2}+e^2-5e)
\boxed{\text{I} = \frac{1}{2}+e^4 - 6e^2 + 5 e \approx 24,36} unités d'aires.
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