Fiche de mathématiques
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Bac Economique et Social
Métropole - Session Juin 2008

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Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 5
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 7


Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats (1 feuille).

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

Le sujet est composé de TROIS exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
6 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées. Une seule de ces réponses est exacte.
On considère une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle \left[-5 \, ; \, \displaystyle \frac{5}{2}\right].
Le plan est muni d'un repère orthonormal.

    La courbe (\mathcal{C}_f) représentée ci-dessous est celle de la fonction f.
    Les points A(0 ; 2), B(1 ; e) et C(2 ; 0) appartiennent à la courbe (\mathcal{C}_f).
    Le point de la courbe (\mathcal{C}_f) d'abscisse (-5) a une oordonnée strictement positive.
    La tangente (T) en A à la courbe (\mathcal{C}_f) passe par le point D(-2 ; 0).
    La tangente en B à la courbe (\mathcal{C}_f) est parallèle à l'axe des abscisses.

bac ES obligatoire et spécialité Métropole 2008 - terminale : image 1

Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.

Partie A : aucune justification n'est demandée.

Une réponse exacte rapporte 0,5 point.
Une réponse fausse enlève 0,25 point.
L'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.
Si le total des points de la partie A est négatif, la note attribuée à cette partie est ramenée à zéro.


1. On note f'(0) le nombre dérivé de la fonction f en 0. Quelle est sa valeur ?
a) f'(0)=1 b) f'(0)=2 c) f'(0)=0


On note \ln la fonction logarithme népérien et g la fonction composée \ln (f).
2. Quel est l'ensemble de définition de la fonction g, noté D_g ?
a) ]0; \displaystyle \frac{5}{2}[ b) [-5 ; 2] c) [-5 ; 2[


3. Quelle est la valeur de g(0) ?
a) g(0)=2 b) g(0)=0 c) g(0)=\ln 2


4. On note g' la fonction dérivée de la fonction g. Quelle est la valeur de g'(1) ?
a) g'(1)=e b) g'(1)=0 c) g'(1)=- \displaystyle \frac{1}{e^2}


5. Quelle est la limite de g(x) quand x tend vers 2 ?
a) \displaystyle \lim_{x\to 2}g(x)=-\infty b) \displaystyle \lim_{x\to 2}g(x)=0 c) \displaystyle \lim_{x\to 2}g(x)=+\infty


Partie B : chaque réponse doit être justifiée.

Dans cette partie, toute trace de recherche même incomplète ou d'initiative même non fructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.

1. A quel intervalle appartient le réel I = \displaystyle \int_0^2 f(x) \text{d}x ?
a) [0 ; 3] b) [3 ; 6] c) [6 ; 9]


2. Parmi les trois courbes jointes ci-dessous, l'une est la représentation graphique de la fonction dérivée f' de la fonction f. Laquelle ?
a) La courbe (\mathcal{C}_1) b) La courbe (\mathcal{C}_2) c) La courbe (\mathcal{C}_3)


3. Parmi les trois courbes jointes ci-dessous, l'une est la représentation graphique d'une primitive F de la fonction f, F étant définie sur l'intervalle \left[-5 ; \frac{5}{2}\right].
a) La courbe (\mathcal{C}_1) b) La courbe (\mathcal{C}_2) c) La courbe (\mathcal{C}_3)


bac ES obligatoire et spécialité Métropole 2008 - terminale : image 2



5 points

exercice 2 - Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Le parc informatique d'un lycée est composé de 200 ordinateurs dont :
    30 sont considérés comme neufs ;
    90 sont considérés comme récents ;
    les autres sont considérés comme anciens.

Une étude statistique indique que :
    5 % des ordinateurs neufs sont défaillants ;
    10 % des ordinateurs récents sont défaillants ;
    20 % des ordinateurs anciens sont défaillants.

On choisit au hasard un ordinateur de ce parc.

On note les évènements suivants :
    N : " L'ordinateur est neuf " ;
    R : " L'ordinateur est récent " ;
    A : " L'ordinateur est ancien " ;
    D : " L'ordinateur est défaillant " ;
   \overline{\text{D}} l'évènement contraire de D.

1. Constuire un arbre pondéré décrivant la situation.

2. Calculer la probabilité que l'ordinateur choisi soit neuf et défaillant.

3. Démontrer que la probabilité que l'ordinateur soit défaillant est égale à 0,1325.

4. Déterminer la probabilité que l'ordinateur soit ancien sachant qu'il est défaillant. Donner le résultat sous forme décimale arrondie au centième.

5. Pour équiper le centre de ressources de l'établissement, on choisit au hasard 3 ordinateurs dans le parc. On admet que le parc est suffisamment important pour qu'on puisse assimiler ces choix à des tirages successifs indépendants avec remise.
Déterminer la probabilté qu'exactement un des ordinateurs choisis soit défaillant. Donner le résultat sous forme décimale arrondie au centième.


5 points

exercice 2 - Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Deux fabriquants de parfum lancent simultanément leur nouveau produit qu'ils nomment respectivement Aurore et Boréale.
Afin de promouvoir celui-ci, chacun organise une campagne de publicité.
L'un d'eux contrôle l'efficacité de sa campagne par des sondages hebdomadaires.
Chaque semaine, il interroge les mêmes personnes qui toutes se pronconcent en faveur de l'un de ces deux produits.

Au début de la campagne, 20 % des personnes interrogées préfèrent Aurore et les autres préfèrent Boréale.
Les arguments publicitaires font évoluer cette répartition : 10 % des personnes préférant Aurore et 15 % des personnes préférant Boréale change d'avis d'une semaine sur l'autre.

La semaine du début de campagne est notée semaine 0.
Pour tout entier naturel n, l'état probabiliste de la semaine n est défini par la matrice ligne Pn = (an     bn), où an désigne la probabilité qu'une personne interrogée au hasard préfère Aurore la semaine n et bn la probabilité que cette personne préfère Boréale la semaine n.

1. Déterminer la matrice ligne P0 de l'état probabiliste initial.

2. Représenter la situation par un graphe probabiliste des sommets A et B, A pour Aurore et B pour Boréale.

3. a) Ecrire la matrice de transition M de ce graphe en respectant l'ordre alphabétique des sommets.
    b) Montrer que la matrice ligne P1 est égale à (0,3     0,7).

4. a) Exprimer, pour tout entier naturel n, Pn en fonction de P0 et n.
    b) En déduire la matrice ligne P3. Interpréter ce résultat.

Dans la question suivante, toute trace de recherche même incomplète ou d'initiative même non fructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.

5. Soit P = (a     b) la matrice ligne de l'état probabiliste stable.
    a) Déterminer a et b.
    b) Le parfum Aurore finira-t-il par être préféré au parfum Boréale ? Justifier.


9 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

On se propose d'étudier l'évolution des ventes d'un modèle de voiture de gamme moyenne depuis sa création en 1999.
Les parties I et II peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.

Partie I

Le tableau suivant donne le nombre annuel, exprimé en milliers, de véhicules vendus les cinq premières années de commercialisation :

Année 1999 2000 2001 2002 2003
Rang de l'année : x_i 0 1 2 3 4
Nombre annuel de véhicules vendus en milliers : y_i 81,3 92,3 109,7 128,5 131,2


1. Dans le plan (P) muni d'un repère orthogonal d'unités grapiques 1 cm pour une année sur l'axe des abscisses et 1 cm pour 10 milliers de véhicules vendus sur l'axe des ordonnées, représenter le nuage de points associé à la série statistique (x_i \, ; \, y_i) pour i entier variant de 0 à 4.

2. L'allure du nuage de points permet d'envisager un ajustement affine.
    a) Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage.
    b) Déterminer l'équation y=ax+b de la droite (\mathcal{D}) d'ajustement affine de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés.
    c) Placer le point G et tracer la droite (\mathcal{D}) sur le graphique précédent.
    d) En utilisant l'ajustement affine du b), donner une estimation du nombre de véhicules vendus en 2007.

3. Le tableau suivant donne le nombre annuel de véhicules vendus, exprimé en milliers, de 2003 à 2007 :

Année 2003 2004 2005 2006 2007
Rang de l'année : x_i 4 5 6 7 8
Nombre annuel de véhicules vendus en milliers : y_i 131,2 110,8 101,4 86,3 76,1

    a) Compléter le nuage de points précédent à l'aide de ces valeurs.
    b) L'ajustement précédent est-il encore adapté ? Justifier la réponse.
    c) On décide d'ajuster le nuage de points associé à la série statistique (x_i \, ; \, y_i), pour i entier variant de 4 à 8, par une courbe qui admet une équation de la forme y=e^{cx+d}.
Déterminer les c et d pour que cette courbe passe par les points A(4 ; 131,2) et B(8 ; 76,1). On donnera la valeur exacte, puis l'arrondi au millième de chacun de ces nombres réels.

Partie II

Soit fla fonction définie sur l'intervalle [4 ; 10] par : f(x) = e^{-0,136x+5,421}.
On suppose que f modélise en milliers l'évolution du nombre annuel de véhicule vendus à partir de l'année 2003.

1. Déterminer le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle [4 ; 10].

2. Tracer la courbe (\mathcal{C}) représentative de la fonction f dans le même repère que le nuage de points.

3. L'entreprise décide d'arrêter la fabrication du modèle l'année où le nombre annuel de véhicules vendus devient inférieur à 65 000.
    a) Résoudre algébriquement dans l'intervalle [4 ; 10] l'inéquation f(x) \le 65.
En quelle année l'enterprise doit-elle prévoir cet arrêt ?
    b) Retrouver graphiquement le résultat précédent en laissant apparents les traits de construction nécessaires.








exercice 1 - Commun à tous les candidats

Partie A : aucune justification n'est demandée.

1. Réponse a : \boxed{f'(0)=1}
Le nombre dérivé en 0 correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse 0, c'est-à-dire A. Or cette tangente passe par A et D, donc son coefficient directeur est donné par \displaystyle \frac{y_{\text{D}} - y_{\text{A}}}{x_{\text{D}} - x_{\text{A}}} = \frac{-2-0}{0-2}=1.

2. Réponse c : \boxed{D_g=[-5;2[}
g=\ln f. Or la fonction ln est définie sur ]0,+\infty[. Il faut donc que f(x)>0 pour pouvoir calculer g(x)=\ln(f(x)). Or d'après la représentation graphique de f, c'est le cas pour tout réel x appartenant à [-5;2[.

3. Réponse c : \boxed{g(0)=\ln2}
g(0)=\ln(f(0))=\ln2

4. Réponse b : \boxed{g'(1)=0}
g(x)=\ln(f(x)) donc g'(x) = \displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)} et en particulier g'(1)= \displaystyle \frac{f'(1)}{f(1)}. Or la courbe représentative de f admet une tangente horizontale au point B d'abscisse 1, donc f'(1)=0 et par suite g'(1)=0.

5. Réponse a : \boxed{\displaystyle \lim_{x\to2}g(x)=-\infty}
f(2)=0 donc \displaystyle \lim_{x\to2}g(x)=\displaystyle \lim_{x\to2}\ln(f(x))=\displaystyle \lim_{X\to0}\ln X=-\infty.

Partie B : chaque réponse doit être justifiée.

1. Réponse b : \boxed{\displaystyle \int_0^2f(x) \text{d}x\in[3;6]}
f est positive sur [0 ; 2], donc \displaystyle \int_0^2 f(x) \text{d}x représente l'aire (en unités d'aire) du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe C_f et les droites d'équation x=0 et x=2. Ce domaine est hachuré sur le graphique.
bac ES obligatoire et spécialité Métropole 2008 - terminale : image 3

Or on remarque que cette aire est supérieure à l'aire du rectangle vert et inférieure à l'aire du rectangle rouge, les aires respectives de ces rectangles étant 1,5 × 2 = 3 unités d'aire et 2 × 3 = 6 unités d'aires.
Donc \displaystyle \int_0^2 f(x) \text{d}x est compris entre 3 et 6 unités d'aires.

2. Réponse c : \boxed{\text{la courbe } (C_3)}
D'après la courbe C_f, f est croissante sur [-5 ; 1] et décroissante sur \left[1 ; \displaystyle \frac{5}{2}\right], ce qui signifie que f' est positive sur [-5 ; 1] et négative sur \left[1 ; \displaystyle \frac{5}{2}\right]. La seule courbe respectant ce critère est la courbe (C_3).

3. Réponse a : \boxed{\text{ la courbe } (C_1)}
D'arpès la courbe C_f, f est positive sur [-5 ; 2] et négative sur \left[2 ; \displaystyle \frac{5}{2}\right], ce qui signifie que sa primitive f est croissante sur [-5 ; 2] et décroissante sur \left[2 ; \displaystyle \frac{5}{2}\right]. La seule courbe respectant ce critère est la courbe (C_1).




exercice 2 - Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. Arbre pondéré représentant la situation :
bac ES obligatoire et spécialité Métropole 2008 - terminale : image 4


2. p(\text{N} \cap \text{D}) = p(\text{N})p_{\text{N}}(\text{D}) = \displaystyle \frac{30}{200}\times0,05=0,15\times0,05=\boxed{0,0075}

3. p(\text{D}) = p(\text{N} \cap \text{D}) + p(\text{R} \cap \text{D}) + p(\text{A} \cap \text{D}), avec :
    p(\text{N} \cap \text{D}) = 0,0075
    p(\text{R} \cap \text{D}) = p(\text{R})p_{\text{R}}(\text{D}) = \displaystyle \frac{90}{200}\times 0,10 = 0,45 \times 0,10 = 0,045
    p(\text{A} \cap \text{D}) = p(\text{A})p_{\text{A}}(\text{D}) = \displaystyle \frac{200-30-90}{200} \times 0,20 = 0,40 \times 0,20 = 0,08
Donc p(\text{D}) = 0,0075+0,045+0,08 = \boxed{0,1325}

4. p_{\text{D}}(\text{A}) = \displaystyle \frac{p(\text{A} \cap \text{D})}{p(\text{D})} = \frac{0,08}{0,1325}\boxed{\approx 0,604}

5. Il y a 3 façons d'obtenir exactement un ordinateur défaillant : soit le 1er est défaillant et les 2 autres ne le sont pas, soit c'est le deuxième qui est défaillant, soit c'est le troisième. Ces 3 possibilités ont la même probabilité, à savoir :
p(\text{D} \bar{\text{D}} \bar{\text{D}}) = p(\bar{\text{D}} \text{D} \bar{\text{D}}) = p(\bar{\text{D}} \bar{\text{D}} \text{D}) = p(\text{D}) p(\bar{\text{D}})p(\bar{\text{D}}) = p(\text{D})(1 - p(\text{D}))^2 = 0,1325 \times 0,8675^2=0,0997
D'où la probabilité cherchée : p = 3\times0,0997=0,2991\boxed{\approx0,30}




exercice 2 - Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

1. Au début de la campagne, 20 % des personnes préfèrent Aurore donc a0 = 0,2 et b0 = 0,8. D'où :
\boxed{\text{P}_0 = \left(0,2 \hspace{10pt} 0,8\right)}

2. Graphe probabiliste associé :
bac ES obligatoire et spécialité Métropole 2008 - terminale : image 6


3. a) La matrice de transition correspondant à ce graphe est : \text{M} = \left(\begin{array}{ccc} 0,90 & \hspace{10pt} & 0,10\\ 0,15 & & 0,85 \\ \end{array} \right)

3. b) \text{P}_1 = \text{P}_0 \times  \text{M} = \left(\begin{array}{ccc} 0,20 & \hspace{10pt} & 0,80 \\ \end{array} \right) \cdot \left(\begin{array}{ccc} 0,90 & \hspace{10pt} &  0,10\\ 0,15 & & 0,85 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 0,30 & \hspace{10pt} & 0,70 \\ \end{array} \right)

4. a) Pour tout entier naturel n , on a \text{P}_n = \text{P}_{n-1} \times \text{M}. On a donc : \boxed{\text{P}_n = \text{P}_0 \times \text{M}^n}

4. b) On a donc \text{P}_3 = \text{P}_0 \times \text{M}^3
Or \text{M} = \left( \begin{array}{ccc} 0,90 & \hspace{10pt} & 0,10\\ 0,15 & & 0,85 \\\end{array} \right) donc \text{M}^2 = \left(\begin{array}{ccc} 0,90 & \hspace{10pt}&0,10\\ 0,15 & \hspace{10pt} & 0,85 \\ \end{array} \right) \cdot \left(\begin{array}{ccc} 0,90 & \hspace{10pt} & 0,10\\ 0,15 & &0 ,85 \\ \end{array} \right) = \left(\begin{array}{ccc} 0,825 & \hspace{10pt} & 0,175\\ 0,2625 & & 0,7375 \end{array} \right)
Donc \text{M}^3 = \left(\begin{array}{ccc} 0,825& \hspace{10pt} & 0,175\\0,2625& &0,7375 \end{array} \right) \cdot \left(\begin{array}{ccc} 0,90& \hspace{10pt} & 0,10\\0,15&&0,85 \end{array} \right) = \left(\begin{array}{ccc} 0,77& \hspace{10pt} & 0,23\\0,35& &0,65 \end{array} \right) d'où
\text{P}_3 = \left(\begin{array}{ccc} 0,20& \hspace{10pt} & 0,80 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{ccc} 0,77& \hspace{10pt}&0,23\\0,35&&0,65 \end{array} \right) = \left(\begin{array}{ccc} 0,43&&0,57 \end{array} \right)
Après 3 semaines de campagne publicitaire, 43 % des personnes interrogées préfèrent Aurore et 57 % préfèrent Boréale.

5. a) L'état probabiliste stable est l'état pour lequel \text{P} = \text{P} \times \text{M} :
\text{P} = \text{P} \times \text{M} \: \Longleftrightarrow \: \left(\begin{array}{ccc} a & \hspace{10pt} & b \end{array} \right) = \left(\begin{array}{ccc} a & \hspace{10pt} & b \end{array} \right) \cdot \left(\begin{array}{ccc} 0,90 & \hspace{10pt}  & 0,10\\0,15&&0,85 \end{array} \right) \\ \: \Longleftrightarrow \: \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} a  &  0,90a+0,15b  \\  b & 0,10a+0,85b \\ \end{array} \right. \: \Longleftrightarrow \:  0,10a-0,15b=0
Or on sait que a+b=1 donc
\text{P} = \text{P} \times \text{M} \: \Longleftrightarrow \: \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 0,10a-0,15b & 0  \\  a & 1-b  \\ \end{array} \right.  \: \Longleftrightarrow \: \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 0,10(1-b)-0,15b & 0  \\  a & 1-b  \\ \end{array} \right.  \: \Longleftrightarrow \: \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 0,10 & 0,25b  \\  a & 1-b  \\ \end{array} \right. \: \Longleftrightarrow \:  \boxed{\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c}  a & 0,60  \\  b & 0,40 \\ \end{array} \right.}

5. b) La matrice Pn converge nécessairement vers la matrice de l'état stable P. Donc le pourcentage de personnes préférant Aurore tend vers 60 % : le parfum Aurore finira par être préféré au parfum Boréale.




exercice 3 - Commun à tous les candidats

Partie I

1. Graphique
bac ES obligatoire et spécialité Métropole 2008 - terminale : image 5


2. a) Les coordonnées du point moyen sont :
x_{\text{G}} = \bar x = \displaystyle \frac{0+1+2+3+4}{5}=2 et y_{\text{G}} = \bar y = \displaystyle \frac{81,3+92,3+109,7+128,5+131,2}{5}=108,6
Le point moyen est le point \boxed{\text{G}(2;108,6)}

2. b) La méthode des moindres carrés adonne un ajustement linéaire du nuage des points, d'équation y=ax+b, avec : a = \displaystyle \frac{\sum (x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\sum (x_i-\bar x)^2} et b=\bar y - a\bar x
On trouve a=13,6 et b=81,4.
La droite d'ajustement linéaire a pour équation \boxed{y=13,6x+81,4}

2. c) Cf. graphique de la question 1.

2. d) En 2007, le rang correspondant est x=8 et alors, en suivant l'ajustement précédent y=13,6\times8+81,4=190,2.
Suivant cet ajustement, il sera vendu 190,2 milliers de véhicules en 2007.

3. a) Cf. graphique de la question 1.

3. b) L'ajustement affine n'est plus pertinent pour ces nouveaux points : ils ne se situent pas au voisinage de la droite (D).

3. c) La courbe passe par A(4 ; 131,2) et B(8 ; 76,1) si et seulement si :
\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c}  131,2 & e^{4c+d} \\ 76,1 & e^{8c+d} \\ \end{array} \right. \: \Longleftrightarrow \: \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c}  4c+d & \ln131,2  \\  8c+d & \ln76,1  \\ \end{array} \right. \: \Longleftrightarrow \: \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 4c + d & \ln131,2  \\  4c & \ln76,1-\ln131,2 = \ln\left(\frac{76,1}{131,2}\right)  \\ \end{array} \right.\: \Longleftrightarrow \: \boxed{\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} c & \frac{1}{4}\ln\left(\frac{76,1}{131,2}\right)  \\  d & \ln\left(\frac{131,2^2}{76,1}\right)  \\ \end{array} \right. } \: \Longleftrightarrow \:  \boxed{\left \lbrace \begin{array}{l} c \approx -0,136 \\ d \approx 5,421\end{array} \right. }

Partie II

NB: On remarque que l'énoncé nous donne pour f les valeurs de c et d trouvées précédemment. Cela nous permet de vérifier que les résultats trouvés sont bons.

1. f est définie et dérivable sur [4 ; 10] et sa dérivée vaut : f'(x)=-0,136e^{-0,136x+5,421} (on se sert de la formule (e^u)'=u'e^u)
Or une exponentielle est toujours positive, donc sur [4 ; 10] f'(x)<0.
La fonction f est donc strictement décroissante sur [4 ; 10].

2. Cf. graphique de la question I.1.

3. a) f(x)\le 65 \: \Longleftrightarrow \: e^{-0,136x+5,421}\le 65
\: \Longleftrightarrow \: -0,136x+5,421\le \ln65 \\ \Longleftrightarrow \: \boxed{x\ge \frac{5,421-\ln 65}{0,136}\approx 9,17}
L'entreprise devra donc arrêter sa production la 10ème année, soit en 2009.

3. b) Cf. graphique de la question I.1.
Graphiquement, on trouve que la vente deviendra inférieure à 65 milliers de véhicules peu après la 9ème année. L'entreprise arrêtera donc la production la 10ème année, c'est-à-dire en 2009.
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