Fiche de mathématiques

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Bac Economique et Social
La Réunion - Session 2008

Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 5
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 7

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

Le sujet nécessite du papier millimétré.
L'usage d'un dictionnaire est interdit.

4 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Pour chacune des quatre propositions de ce QCM, une et une seule des affirmations est exacte.
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse inexacte enlève 0,25 point. L'absence de réponse n'enlève et ne rapporte aucun point. Si le total est négatif la note de l'exercice est ramenée à 0.

Chacune des quatre propositions concerne une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle [-5 ; 6]; qui admet des primitives sur cet intervalle et dont on donne ci-dessous le tableau de variations :

$\begin{array}{|c|lcccccccr|} \hline x&-5&&-3&&2&&4&&6\\ \hline \hspace{1pt}&3&&&&4&&&&0\\ f(x)&&\searrow&&\nearrow&&\searrow&&\nearrow& \\ \hspace{1pt}&&&1&&&&-2&& \\ \hline \end{array}$

1. Si $a$ et $b$ sont deux réels tels que $2 < a < b < 4,$ alors :
    a) $f(a) > f(b)$
    b) $f(a) < f(b)$
    c) on ne peut pas comparer $f(a)$ et $f(b)$ .

2. Le nombre de solutions de l'équation $f(x)=1$ est :
    a) 1
    b) 2
    c) 3

3. a) $\displaystyle \int_4^5 f(x) \text{d}x < 0$
    b) $\displaystyle \int_4^5 f(x) \text{d}x > 0$
    c) avec les données, on ne peut pas connaître le signe de $\displaystyle \int_4^5 f(x) \text{d}x$

4. Si $g$ est la fonction définie sur [-5 ; 6] par $g(x) = \dfrac{1}{2}x-1$ , alors :
    a) l'équation $f(x)=g(x)$ n'a pas de solution
    b) l'équation $f(x)=g(x)$ a une unique solution
    c) on ne peut pas se prononcer sur le nombre de solutions de l'équation $f(x)=g(x)$

5 points

exercice 2 - Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité

On a relevé lors de six années consécutives le chiffre d'affaire d'une entreprise de prêt-à-porter de luxe créée en 2000. Les résultats sont regroupés dans le tableau suivant :

Année	2001	2002	2003	2004	2005	2006
Rang de l'année $x_i$	1	2	3	4	5	6
Chiffre d'affaires $y_i$ (en euros)	160 000	220 000	290 000	390 000	540 000	730 000

1. Pour $i = 1, 2, ..., 5$ on pose $z_i=\ln y_i$
a) Compléter le tableau suivant (donner une valeur approchée arrondie à 10^-2 près de chacun des résultats) :

$x_i$	1	2	3	4	5	6
$z_i=\ln y_i$

    b) Représenter sur du papier millimétré le nuage de points associé à la série statistique $(x_i \, ; \, z_i)$ dans un repère orthonormal du plan (unité : 2 cm en commençant à la graduation 10 sur l'axe des ordonnées).
    c) Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite d'ajustement affine de $z$ en $x$ par la méthode des moindres carrés (on obtiendra une équation de la forme $z=ax+b$ où les coefficients $a$ et $b$ seront arrondis à 10^-2 près).
    d) Déduire de ce qui précède une expression de $y$ en fonction de $x$ sous la forme $y=ke^{ax},$ où $k$ est un réel à déterminer et $a$ le coefficient trouvé à la question précédente (le coefficient $k$ sera arrondi à l'unité).

2. On note C la fonction définie sur l'intervalle [0; $+\infty$ [ par : $C(x)=120\,000e^{0,3x}$ .
    a) Résoudre par le calcul l'inéquation $C(x) \ge 2\,000\,000$ .
    b) On admet que $C(x_i)$ représente le chiffre d'affaire de l'entreprise pour l'année de rang $x_i$ .
Quel chiffre d'affaire peut-on prévoir pour l'année 2008 (on arrondira le résultat au millier d'euros près) ?
À partir de quelle année le chiffre d'affaire dépassera-t-il 2 millions d'euros ?

5 points

exercice 2 - Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité

Les joueurs d'un club de football sont partagés en deux équipes : une équipe A et une équipe B.
L'entraîneur change la composition de ces équipes après chacun des matchs, suivant les performances des joueurs.

Une étude statistique menée au cours des saisons précédentes permet d'estimer que :
- si un joueur fait partie de l'équipe A, la probabilité qu'il reste dans cette équipe pour le match suivant est 0,6
- si un joueur fait partie de l'équipe B, la probabilité qu'il change d'équipe le match suivant est 0,2.

1. Représenter les données précédentes par un graphe probabiliste G de sommets A et B et donner sa matrice de transition.

2. Pour un entier naturel n donné, on note P_n = (a_n b_n) la matrice ligne décrivant l'état probabiliste lors du match n.
Paul vient d'arriver dans le club et la probabilité a₀ qu'il joue dans l'équipe A pour le match de préparation (match 0) est 0,1.
L'état probabiliste initial est donc P₀ = (0,1 0,9).
    a) Vérifier que P₁ = (0,24 0,76) et calculer P₂.
    b) Quelle est la probabilité que Paul joue dans l'équipe A lors du deuxième match de championnat (match 2) ? (on donnera la valeur approchée du résultat arrondie à 10^-2 près).

3. On admet que, pour tout entier naturel n : $a_{n+1} = 0,4a_n + 0,2.$
On pose, pour tout entier naturel n : $v_n = a_n - \displaystyle \frac{1}{3}$
    a) Démontrer que la suite (v_n) est géométrique de raison 0,4 et de premier terme $v_0 = \displaystyle \frac{-7}{30}.$
    b) Exprimer v_n en fonction de n et en déduire que, pour tout entier naturel n : $a_n = \displaystyle \frac{1}{3} \left(1 - 0,7 \times 0,4^n \right)$
    c) Déduire de ce qui précède la limite de la suite (a_n).
Quel est l'état stable du graphe G ?

5 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

Les membres d'un jeune groupe de musique présentent une chanson lors d'une audition. Dans le morceau qu'ils jouent, il y a un passage délicat sur lequel ils ne sont pas tout à fait au point.

En effet :
- le guitariste joue parfaitement ce morceau trois fois sur quatre,
- la chanteuse échoue dans 50% des cas si le guitariste se trompe et, sinon, elle commet des erreurs une fois sur cinq.

Les autres musiciens maîtrisent parfaitement leur partition.

On appelle G l'événement : " le guitariste joue parfaitement le morceau ".
On appelle C l'événement : " la chanteuse interprète le morceau sans faire d'erreur ".

1. Dessiner un arbre de probabilités qui modélise la situation décrite précédemment.

2. a) Déterminer la probabilité $P(\text{G} \cap \text{C})$ que le groupe interprète la chanson sans erreur.
b) Calculer la probabilité qu'un, et un seul, des membres du groupe se trompe.
c) Déterminer la probabilité que la chanteuse interprète sans erreur le morceau.

3. Calculer $P_{\text{C}}(\text{G})$ (on arrondira le résultat à 10^-3 près) et interpréter concrètement ce résultat.

4. On admet que la probabilité qu'aucun des membres du groupe ne commette d'erreur est 0,6.
Le groupe participe avec sa chanson à trois concours, les trois prestations étant indépendantes les unes des autres. Quelle est la probabilité qu'ils jouent parfaitement à au moins l'un des trois concours ?

6 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

Partie A

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 1000] par $f(x) = 89,5 - 8,9 \ln\left(x + 0,3\right)$ et dont on donne la courbe représentative dans un repère orthogonal du plan (voir ci-dessous).

Courbe représentative de $f$

bac ES obligatoire et spécialité La Réunion 2008 - terminale : image 1

1. Démontrer que la fonction $f$ est décroissante sur l'intervalle [0 ; 1000].

2. Montrer que résoudre l'inéquation $f(x) \leq 45$ revient à résoudre l'inéquation $\ln(x + 0,3) \geq 5.$
Résoudre cette inéquation.

3. a) Démontrer que la fonction $g$ définie sur intervalle [0 ; 1000] par : $g(x) = 98,4x - 8,9(x + 0,3)\ln(x + 0,3)$ est une primitive de $f$ sur l'intervalle [0 ; 1000].
b) On rappelle que la valeur moyenne m de $f$ sur un intervalle [a ; b] (a et b étant deux éléments distincts de l'ensemble de définition de $f$ ), est donnée par : $m = \displaystyle \frac{1}{b-a} \displaystyle \int_a^b f(x) \text{d}x.$
Déterminer la valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle [200 ; 800] (on donnera une valeur approchée de ce résultat arrondi à l'unité).

Partie B

Une éolienne doit être installée à proximité d'un village dont les habitants s'inquiètent de ia nuisance sonore occasionnée. L'entreprise chargée de la fabrication de l'éolienne transmet donc les renseignements suivants :
- au centre de l'éolienne (centre du rotor), le niveau sonore est d'environ 100 décibels (dB).
- lorsqu'on s'éloigne de $x$ mètres du centre de l'éolienne, le niveau sonore est donné, en dB, par $f(x)$ (défini à la partie A).

1. En utilisant le graphique donné ci-dessus, déterminer à quelle distance du centre de l'éolienne on doit être situé pour percevoir un niveau sonore inférieur à 40 dB.

2. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Le centre du rotor de l'éolienne est situé à 70 m de hauteur (voir le schéma donnée en annexe).
Un sonomètre (qui mesure le volume sonore) est posé sur le sol à une certaine distance du pied de l'éolienne.
A quelle distance du pied de l'éolienne doit-t-on le placer pour que le niveau sonore enregistré soit égal à 45 dB (le résultat sera arrondi à l'unité) ?
Expliquer la démarche suivie.

Voir la correction

exercice 1 - Commun à tous les candidats

1. Réponse a : $\boxed{f(a) > f(b)}$
car sur [2 ; 4] la fonction est strictement décroissante.

2. Réponse b : $\boxed{2}$
Sur [-5 ; -3], $f$ est strictement décroissante de 3 à 1 et $1 \in [1 ; 3]$ donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires (TVI) $f(x) = 1$ admet 1 solution sur [-5 ; -3]. En l'occurence, c'est -3.
Sur ]-3 ; 2], $f$ est strictement croissante de 1 à 4 et $1\notin ]1;4]$ donc d'après le TVI, pas de solution sur ]-3 ; 2].
Sur ]2 ; 4], $f$ est strictement décroissante de 4 à -2 et $1 \in [-2;4[$ donc d'après le TVI, une solution sur ]2 ; 4].
Sur ]4 ; 6], $f$ est strictement croissante de -2 à 0 et $1\notin ]-2 ; 0]$ donc d'après le TVI, pas de solution sur ]4 ; 6].

3. Réponse a : $\boxed{\displaystyle \int_4^5 f(x) \text{d}x < 0}$
car $f$ est strictement négative sur [4 ; 5].

4. Réponse b : l'équation $f(x)=g(x)$ admet une unique solution.
Sur [-5 ; -3], $-5\le x\le-3$ donc $-2,5x\le 0,5x \le -1,5$ donc $-3,5\le 0,5x-1 \le -2,5$ donc $g(x)\le -2,5 < 1 \le f(x)$ . L'équation $f(x) = g(x)$ n'admet pas de solution sur [-5 ; -3].
Sur ]-3 ; 2], $-3\le x\le 2$ donc $-2,5 \le 0,5x-1 \le 0$ donc $g(x)\le 0 < 1 \le f(x)$ donc pas de solution sur ]-3 ; 2].
Sur ]2 ; 4], $0\le 0,5x-1\le 1$ donc $0\le g(x) \le 1$ et $-2\le f(x) \le 4$ donc une solution sur ]2 ; 4].
Sur ]4 ; 6], $1\le g(x)\le 2$ et $-2\le f(x) \le 0$ donc $f(x)\le 0<1\le g(x)$ donc pas de solution sur ]4 ; 6].

exercice 2 - Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité

1. a) Tableau complété :

$x_i$	1	2	3	4	5	6
$z_i=\ln y_i$	11,98	12,30	12,58	12,87	13,20	13,50

1. b) Nuage de points :

bac ES obligatoire et spécialité La Réunion 2008 - terminale : image 2

1. c) Ajustement affine de la forme $z = ax + b$ avec $a = \displaystyle \frac{\sum(x-x_i)(z-z_i)}{\sum(x-x_i)^2}$ et $b=\bar z-a\bar x$ .
On trouve : $\bar x=3,5$ , $\bar z=12,74$ , $a=0,30$ et $b=11,68$ .
Donc la droite d'ajustement affine a pour équation $\boxed{z=0,30x+11,68}$ .

1. d) On a $z=\ln y$ donc $y=e^z=e^{0,30x+11,68}=e^{11,68}e^{0,30x}=\boxed{118184e^{0,30x}}$

2. a) $C(x)\ge 2 000 000 \: \Longleftrightarrow \: 120 000 e^{0,30x} \ge 2 000 000$
$\hspace{125pt} \Longleftrightarrow \: e^{0,30x}\ge \displaystyle \frac{50}{3} \\ \hspace{125pt} \Longleftrightarrow \: 0,30x\ge \ln\left(\displaystyle \frac{50}{3}\right) \\ \hspace{125pt} \Longleftrightarrow \: \boxed{x\ge \frac{1}{0,30}\ln\left(\frac{50}{3}\right)} \\ \hspace{125pt} \Longleftrightarrow \: \boxed{x\ge 9,38}$

2. b) Le rang correspondant à 2008 est le rang 8, on peut donc prévoir pour cette année un chiffre d'affaire de :
$C(8) = 120 000 e^{0,30\times8} = 120 000e^{2,4} \approx \boxed{1 323 000 \text{ euros}}$
D'après la question précédente, le chiffre d'affaires dépassera 2 millions d'euros à partir du rang 10, c'est-à-dire à partir de 2010.

exercice 2- Candidats ayant choisi l'option de spécialité

1. Graphe probabiliste :

bac ES obligatoire et spécialité La Réunion 2008 - terminale : image 3

Matrice de transition : $M = \left(\begin{array}{ll} 0,6 & 0,4\\0,2 & 0,8 \end{array} \right)$

2. a) $P_1 = P_0 \times M = \left(\begin{array}{ll} 0,1 & 0,9 \end{array} \right) \cdot \left(\begin{array}{ll} 0,6 & 0,4\\0,2 & 0,8 \end{array} \right) = \boxed{\left( \begin{array}{ll} 0,24 & 0,76 \end{array} \right)}$
$P_2 = P_1 \times M = \left( \begin{array}{ll} 0,24 & 0,76 \end{array} \right) \cdot \left(\begin{array}{ll} 0,6 & 0,4\\0,2 & 0,8 \end{array} \right) = \boxed{\left(\begin{array}{ll} 0,296 & 0,704 \end{array} \right)}$

2. b) La probabilité que Paul joue dans l'équipe A pour le deuxième match est donc : $\boxed{a_2\approx 0,30}$

3. a) $v_0=a_0 - \dfrac{1}{3}=0,1 - \dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{10}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{3-10}{30}=-\dfrac{7}{30}$
et $v_{n+1} = a_{n+1} - \dfrac{1}{3} = 0,4a_n + 0,2 - \dfrac{1}{3}$
$v_{n+1} = 0,4 \left(a_n - \dfrac{1}{3}\right) + 0,4\dfrac{1}{3} + 0,2 - \dfrac{1}{3} \\ v_{n+1} = 0,4v_n + \dfrac{4}{30} + \dfrac{6}{30} - \dfrac{10}{30} \\ v_{n+1} = 0,4v_n$
Donc $(v_n)$ est une suite géométrique de premier terme $v_0=-\dfrac{7}{30}$ et de raison 0,4.

3. b) donc pour tout entier naturel n, on a : $\boxed{v_n=-\frac{7}{30}\times0,4^n}$ et par suite :
$a_n=v_n+\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{3}-\dfrac{7}{30}\times 0,4^n=\boxed{\frac{1}{3}(1-0,7\times0,4^n)}$

3. c) $\displaystyle \lim_{n\to+\infty}(a_n)=\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{3}(1-0,7\times0,4^n)=\boxed{\frac{1}{3}}$
L'état stable du graphe est $a=\dfrac{1}{3}$ et $b=\dfrac{2}{3}$ .

exercice 3 - Commun à tous les candidats

1. Arbre décrivant la situation :

bac ES obligatoire et spécialité La Réunion 2008 - terminale : image 4

2. a) $p(\text{G} \cap \text{C}) = p(\text{G})p_{\text{G}}(\text{C}) = 0,75 \times 0,8 = \boxed{0,60}$

2. b) $p(1) = p(\text{G} \cap \bar{\text{C}}) + p(\bar{\text{G}} \cap \text{C}) = p(\text{G})p_{\text{G}}(\bar{\text{C}}) + p(\bar{\text{G}})p_{\bar{\text{G}}}(\text{C}) = 0,75\times0,2+0,25\times0,5=0,15+0,125=\boxed{0,275}$

2. c) $p(\text{C}) = p(\text{G} \cap \text{C}) + p(\bar{\text{G}} \cap \text{C})=0,60+0,125=\boxed{0,725}$

3. $p_{\text{C}}(\text{G}) = \dfrac{p(\text{G} \cap \text{C})}{p(\text{C})}=\dfrac{0,60}{0,725} \approx \boxed{0,83}$
La probabilité que le guitariste joue parfaitement sachant que la chanteuse ne fait pas d'erreur est de 0,83.

4. L'évènement "ils jouent parfaitement à au moins un concours" est l'évènement contraire à l'évènement "ils ne jouent parfaitement à aucun concours", la probabilité qu'ils jouent parfaitement à un concours donné étant de 0,6.
Donc $p=1-p(\bar{\text{G}} \cap \text{C})^3=1-(1-p(\text{G} \cap \text{C}))^3 = 1-0,4^3 = \approx \boxed{0,94}$

exercice 4 - Commun à tous les candidats

Partie A

1. $f$ est définie et dérivable sur [0 ; 1000] et sa dérivée vaut : $f'(x) = -\dfrac{8,9}{x+0,3}<0$ (on se sert de $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$ ) donc $f$ est strictement décroissante sur [0 ; 1000].

2. $f(x)\le 45 \: \Longleftrightarrow \: 89,5-8,9\ln(x+0,3)\le 45$
$\: \Longleftrightarrow \: -8,9\ln(x+0,3)\le -44,5 \\ \Longleftrightarrow \: \boxed{\ln(x+0,3)\ge 5}$
Résolution de l'inéquation :
$\ln(x+0,3) \ge 5 \\ \Longleftrightarrow \, x+0,3 \ge e^5 \\ \Longleftrightarrow \, \boxed{x \ge e^5 -0,3 \approx 148}$

3. a) g est définie et dérivable sur [0 ; 1000] et sa dérivée vaut :
$g'(x) = 98,4 - 8,9\ln(x+0,3)-8,9\dfrac{x+0,3}{x+0,3} \\ \hspace{15pt} = 98,4-8,9\ln(x+0,3)-8,9 \\ \hspace{15pt} = 89,5-8,9\ln(x+0,3) \\ \hspace{15pt} =f(x)$
(on se sert de $(uv)'=u'v+uv'$ )
Donc g est une primitive de $f$ sur [0 ; 1000].

3. b) $m = \displaystyle \frac{1}{800-200} \displaystyle \int_{200}^{800} f(x) \text{d}x = \frac{1}{600}[g(x)]_{200}^{800} = \frac{g(800)-g(200)}{600}$
Or $g(200) = 98,4\times200-8,9\times200,3\times\ln(200,3)\approx 10232$ et $g(800) = 98,4 \times 800 - 8,9 \times 800,3\times\ln(800,3)\approx 31105$
D'où : $m = \displaystyle \frac{31105-10232}{600} \approx \boxed{35}$

Partie B

1. Graphiquement (tracé rouge), on trouve qu'il faut être éloigné de plus de 260 mètres de l'éolienne pour percevoir un niveau sonore inférieur à 40 dB :

bac ES obligatoire et spécialité La Réunion 2008 - terminale : image 5

2. Déterminons, en fonction de la distance $x$ du sonomètre au pied de l'éolienne, la distance y du sonomètre au centre du rotor :
l'ensemble centre du rotor (R) - pied de l'éolienne (P) - sonomètre (S) forme un triangle rectangle en P, avec RP = 70, PS = $x$ et RS = y
On applique le théorème de Pythagore dans le triange RPS rectangle en P : RS² = RP² + PS² soit $y^2=70^2+x^2$ et donc $x=\sqrt{y^2-4900}$ .
On veut, situé à une distance y du rotor, percevoir un niveau sonore inférieur à 45 dB, donc :
$f(y)\le 45 \: \Longleftrightarrow \: \ln(y+0,3)\ge 5$ (cf. question A.2.)
$\Longleftrightarrow \: y + 0,3 \ge e^5 \: \Longleftrightarrow \: y\ge e^5-0,3$
Ce qui correspond à une distance au sol :
$x = \sqrt{y^2-4900}\ge \sqrt{(e^5-0,3)^2-4900} \approx \boxed{131 \text{mètres}}$

Publié par tom_pascal/Aurélien le 19-02-2009

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