Fiche de mathématiques
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Bac Economique et Social
Liban - Session Juin 2008

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Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 5
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 7


Les calculatrices électroniques de poches sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur.

Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices.
Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l'indiquer clairement sur la copie.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
4 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Soit f une fonction définie et dérivable sur l'intervalle [-4 ; 6]. On note f' sa fonction dérivée.
La courbe \Gamma représentative de la fonction f dans un repère orthonormal est tracée ci-dessous ainsi que la droite \Delta d'équation y = x. La courbe \Gamma et la droite \Delta se coupent au point E d'abscisse 2. On sait par ailleurs que :
la courbe \Gamma admet des tangentes parallèles à l'axe des abscisses aux points B (-2 ; 6,5) et C(1 ; 1,75),
la droite (EF) est la tangente à la courbe \Gamma au point E ; F est le point de coordonnées (4 ; 3).

 bac ES obligatoire et spécialité Liban 2008 - terminale : image 1

1. Dans cette question déterminer par lecture graphique et sans justification :
    a) les valeurs de f'(-2) et f'(2) ;
    b) les valeurs de x dans intervalle [-4 ; 6] vérifiant f'(x) \ge 0 ;
    c) les valeurs de x dans l'intervalle [-4 ; 6] vérifiant f(x) \le x.

2. Soit g la fonction définie sur ]-4 ; 6] par g(x) = \ln[f(x)] . Déterminer par lecture graphique et avec justification :
    a) les variations de g ;
    b) la limite de la fonction g quand x tend vers -4.

3. Encadrement d'une intégrale
Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative non fructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.
    a) Soit l'intégrale I=\displaystyle \int_2^4 f(x) dx. Interpréter graphiquement I.
    b) Proposer un encadrement de l'intégrale I par deux nombres entiers consécutifs. Justifier.


5 points

exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Un club de remise en forme propose, outre l'accès aux salles de musculation, des cours collectifs pour lesquels un supplément est demandé lors de l'inscription. Une fiche identifie chaque membre et son type d'abonnement : avec ou sans cours collectif.
Une étude sur les profils des membres de ce club a montré que :
40 % des membres sont des hommes.
65 % des membres sont inscrits aux cours collectifs.
Parmi les femmes, membres de ce club, seulement 5 % ne sont pas inscrites aux cours collectifs.
On choisit une fiche au hasard et on considère les événements suivants :
- H : "la fiche est celle d'un homme",
- F : "la fiche est celle d'une femme",
- C : "la fiche est celle d'un membre inscrit à des cours collectifs".

Rappel de notation : Si A et B sont deux événements donnés, p(A) désigne la probabilité de A et pB(A) désigne la probabilité conditionnelle de A sachant B.

1. Donner les probabilités suivantes : p(H), pF(\bar{C}), pF(C) et les reporter sur un arbre pondéré modélisant la situation qui sera complété au cours de la résolution de l'exercice.

2. a) Déterminer P(F \cap C).
    b) Montrer quc P(H \cap C) = 0,08.
    c) On tire la fiche d'un homme, quelle est la probabilité que celui-ci soit inscrit aux cours collectifs ?
    d) Compléter l'arbre pondéré de la question 1.

3. On choisit au hasard une fiche d'un membre non inscrit aux cours collectifs. Quelle est la probabilité que ce soit celle d'un homme ? (donner la valeur décimale arrondie au centième).

4. Pour vérifier la bonne tenue de son fichier, la personne chargée de la gestion de ce club prélève une fiche au hasard et la remet après consultation. Elle procède ainsi trois fois de suite. Quelle est la probabilité qu'au moins une des fiches soit celle d'un membre non inscrit aux cours collectifs ?


5 points

exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Une consommatrice apprécie deux types de fruits \mathcal{A} et \mathcal{B}. En un mois, elle achète x kilos de fruits \mathcal{A} et y kilos de fruits \mathcal{B} ; x et y appartiennent à l'intervalle [1 ; 10].
Son niveau de satisfaction est modélisé par la relation f(x;y) =\ln y + 2 \ln x.
La figure ci-dessous représente dans un repère orthogonal la surface d'équation z=f(x;y) pour 1 \le x \le 10 et 1 \le y \le 10.

 bac ES obligatoire et spécialité Liban 2008 - terminale : image 2


1. Le point N, d'ordonnée 5 et de cote ln 30, appartient à la surface. Calculer la valeur exacte de son abscisse.

2. On peut estimer que le kilo de fruits \mathcal{A} coûte 3 euros et que celui de fruits \mathcal{B} coûte 2 euros. La consommatrice décide de ne pas dépenser plus de 36 euros par mois pour ces fruits.
    a) Donner la relation entre les quantités x et y de fruits \mathcal{A} et \mathcal{B} achetées pour un montant de 36 euros.
    b) Montrer qu'alors le niveau de satisfaction de la consommatrice est égal à \ln(18 - 1,5x) + 2\ln x.
    c) Démontrer que, sur intervalle [1 ; 10], la fonction g définie par g(x)=\ln(18 - 1,5x) + 2\ln x admet un maximum pour une valeur x_0 que l'on précisera.
    d) Quelles quantités de fruits \mathcal{A} et de fruits \mathcal{B} la consommatrice doit-elle acheter dans le mois si elle veut optimiser son niveau de satisfaction tout en respectant sa contrainte de budget ?


7 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

Partie A : Etude d'une fonction

On considère la fonction f définie sur [0 ; +\infty[ : f(x)=(x+8)e^{-0,5x}.
On note f' sa fonction dérivée et on admet que, pour tout x de [0 ; +\infty[ on a :
f'(x)=(-0,5x - 3)e^{-0,5x}.
1. Étudier le sens de variation de la fonction f sur [0 ; +\infty[.
2. Démontrer que la fonction F définie sur [0 ; +\infty[ par F(x)=(-2x - 20)e^{-0,5x} est une primitive de f sur ce même intervalle.
3. Calculer l'intégrale I=\displaystyle \int_2^4 f(x) dx ; on donnera la valeur arrondie à 0,01 près.

Partie B : Applications économiques

La fonction de demande d'un produit informatique est modélisée par la fonction f étudiée dans la partie A. Le nombre f(x) représente la quantité demandée, exprimée en milliers d'objets, lorsque le prix unitaire est égal à x centaines d'euros.

1. Calculer le nombre d'objets demandés, à l'unité près, lorsque le prix unitaire est fixé à 200 euros.
2. En utilisant les résultats de la partie A, déterminer la demande moyenne à 10 objets près, lorsque le prix unitaire est compris entre 200 et 400 euros.
3. L'élasticité E(x) de la demande par rapport au prix x est le pourcentage de variation de la demande pour une augmentation de 1% de x. On admet qu'une bonne approximation de E(x) est donnée par :
E(x) = \displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)}\times x.
    a) Démontrer que E(x)= \displaystyle \frac{-0,5x^2-3x}{x+8}.
    b) Déterminer le signe de E(x) sur [0 ; +\infty[ et interpréter ce résultat.
    c) Calculer le prix pour lequel l'élasticité est égale à -3,5. Comment évolue la demande lorsque le prix passe de 800 à 808 euros ?


4 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

Le tableau ci-dessous donne la production d'électricité d'origine nucléaire en France, exprimée en milliards de kWh, entre 1979 et 2004. Les rangs des années sont calculés par rapport à l'année 1975.
Année197919851990199520002001200220032004
Rang de l'année x_i41015202526272829
Production y_i37,9213,1297,9358,8395,2401,3416,5420,7427,7
Source : site Internet ministère de l 'industrie

Ces données sont représentées par le nuage de points ci-dessous :

 bac ES obligatoire et spécialité Liban 2008 - terminale : image 3


A - Recherche d'un ajustement affine

1. Donner à l'aide de la calculatrice une équation de la droite d'ajustement affine de y en x par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis au dixième).

2. a) D'après cet ajustement, quelle serait la production d'électricité nucléaire en France en 2005 ?
    b) En réalité, en 2005, la production d'électricité nucléaire a été de 430 milliards de kWh.
Calculer le pourcentage de l'erreur commise par rapport à la valeur réelle, arrondi à 0,1 % près, lorsqu'on utilise la valeur fournie par l'ajustement affine.

B - Un autre modèle

Compte tenu de l'allure du nuage de points, on choisit un ajustement logarithmique et on modélise la production d'électricité nucléaire par la fonction f définie pour tout x de de [4 ; +\infty[ par : f(x) = 197 \ln x - 237.

1. Calculer la production d'électricité nucléaire prévisible avec ce modèle pour l'année 2005.
Quelle conclusion peut-on en tirer ?

2. a) Résoudre dans [4 ; +\infty[ l'inéquation f(x) \ge 460.
    b) Avec ce modèle, en quelle année peut-on prévoir que la production d'énergie nucléaire dépassera 460 milliards de kWh ?








exercice 1 - Commun à tous les candidats

1. a) Le nombre dérivé en x_0 correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe. Or la courbe admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses au point d'abscisse -2, donc \boxed{f'(-2)=0}.
D'autre part, (EF) est tangente à la courbe au point E d'abscisse 2, or le coefficient directeur de (EF) est \displaystyle \frac{y_{\text{F}} - y_{\text{E}}}{x_{\text{F}} - x_{\text{E}}} = \displaystyle \frac{3-2}{4-2}=\frac{1}{2}, donc \boxed{f'(2) = \frac{1}{2}}.

1. b) On rappelle que f'(x) \ge 0 si et seulement si f est croissante. Or sur [-4 ; 6], f est croissante sur [-4 ; -2] et [1 ; 6]. L'ensemble cherché est donc l'intervalle \boxed{I = [-4;-2] \cup [1;6]}.

1. c) On cherche les valeurs de x tel que f(x) \le x. Graphiquement, on cherche donc sur quel intervalle la courbe \Delta est en-dessous de la droite \Delta : on trouve qu'il s'agit de l'intervalle \boxed{J = [2;6]}.

2. a) f est croissante sur [-4 ; -2] de 0 à 6,5 et la fonction ln est croissante sur ]0 ; 6,5] donc la fonction g = \ln \circ f est croissante sur ]-4 ; -2] comme composée de deux fonctions croissantes.
f est décroissante sur [-2 ; 1] de 6,5 à 1,75 et la fonction ln est croissante sur [1,75 ; 6,5] donc la fonction g = \ln \circ f est décroissante sur [-2 ; 1].
f est croissante sur [1 ; 6] de 1,75 à 5,1 et la fonction ln est croissante sur [1,75 ; 5,1] donc la fonction g = \ln \circ f est croissante sur [1 ; 6].

2. b) Quand x tend vers -4, on lit que f(x) tend vers f(-4)=0, donc \boxed{\displaystyle \lim_{x\to-4}g(x) = \displaystyle \lim_{x\to-4} \ln(f(x)) = \displaystyle \lim_{X\to 0} \ln X = -\infty}

3. a) f est positive sur [2 ; 4] donc I représente l'aire (en unités d'aire) du domaine limité par l'axe des abscisses, la courbe \Gamma et les droites d'équation x=2 et x=4.

3. b) Sur [2 ; 4], la courbe est au-dessus de la droite (EF) et en-dessous de la droite d'équation y = x.
Or le coefficient directeur de (EF) est \frac{1}{2} et l'ordonnée à l'origine 1, donc (EF) a pour équation y=\frac{1}{2}x+1.
On a donc, sur [2 ; 4] : \frac{1}{2}x + 1 \le f(x) \le x, d'où \displaystyle \int_2^4 \frac{1}{2}x + 1 \text{d}x \leq \displaystyle \int_2^4 f(x) \text{d}x \leq \displaystyle \int_2^4 x \text{d}x
\left[\frac{1}{4}x^2+x\right]_2^4 \le I \le \left[\frac{1}{2}x^2\right]_2^4 \\ 4+4-1-2\le I\le 8-2\\ \boxed{5\le I\le 6}




exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. 40 % des membres sont des hommes, donc p(\text{H}) = \displaystyle \frac{40}{100} = \boxed{0,40}
Parmi les femmes, seulement 5 % ne sont pas inscrites aux cours collectifs, donc la probabilité qu'un membre ne soit pas inscrit aux cours collectifs en sachant que c'est une femme est : p_{\text{F}}(\bar{\text{C}}) = \displaystyle \frac{5}{100} = \boxed{0,05}
On en déduit la probabilité de l'évènement contraire (= le membre est inscrit aux cours collectifs sachant que c'est une femme) : p_{\text{F}}(\text{C}) = 1 - p_{\text{F}}\left(\bar{\text{C}}\right) = 1 - 0,05 = \boxed{0,95}
 bac ES obligatoire et spécialité Liban 2008 - terminale : image 4


2. a) p(\text{F} \cap \text{C}) = p(\text{F}) p_{\text{F}}(\text{C}) = 0,60 \times 0,95 = \boxed{0,57}

2. b) On sait que 65 % des membres sont inscrits aux cours collectifs, donc p(\text{C}) = \displaystyle \frac{65}{100} = 0,65.
D'après la formule de probabilités totales : p(\text{C}) = p(\text{F} \cap \text{C}) + p(\text{H} \cap \text{C}), d'où
p(\text{H} \cap \text{C}) = p(\text{C}) - p(\text{F} \cap \text{C}) = 0,65 - 0,57 = \boxed{0,08}

2. c) On cherche p_{\text{H}}(\text{C}) :
p_{\text{H}}(\text{C}) = \displaystyle \frac{p(\text{H} \cap \text{C})}{p(\text{H})} = \frac{0,08}{0,40} = \boxed{0,20}

2. d) Cf. arbre pondéré de la question 1.

3. On cherche p_{\bar{\text{C}}}(\text{H}) :
p_{\bar{\text{C}}}(\text{H}) = \displaystyle \frac{p(\bar{\text{C}} \cap \text{H})}{p(\bar{\text{C}})} = \frac{p(\text{H})p_{\text{H}}(\bar{\text{C}})}{1 - p(\text{C})} = \frac{0,4\times0,80}{0,35}=\boxed{\frac{32}{35}\approx0,91}

4. L'évènement A = "au moins une de ces fiches est celle d'un membre non inscrit aux cours collectifs" est le contraire de \bar{\text{A}} = "aucune fiche n'est celle d'un membre non inscrit aux cours collectifs" = "les 3 fiches sont celles de membres inscrits aux cours collectifs".
Entre chaque tirage, la personne remet la fiche précédente, donc p(\bar{\text{A}}) = p(\text{CCC}) = p(\text{C})^3
d'où p(\text{A}) = 1 - p(\bar{\text{A}}) = 1 - p(\text{C})^3 = 1-0,65^3\boxed{\approx0,73}




exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

1. N est le point d'ordonnée y_{\text{N}} = 5 et de côte z_{\text{N}} = \ln 30. On cherche son abscisse x_{\text{N}}. Elle vérifie :
z_{\text{N}} = f(x_{\text{N}} ; y_{\text{N}}) = \ln y_{\text{N}} + 2\ln x_{\text{N}}
\ln30 = \ln 5 + 2\ln x_{\text{N}} \: \Longleftrightarrow \: \ln 30 - \ln 5 = 2\ln x_{\text{N}} \\ \: \Longleftrightarrow \ln\frac{30}{5} = \ln(x_{\text{N}}^2)\\ \: \Longleftrightarrow \ln6=\ln(x_{\text{N}}^2)\\ \: \Longleftrightarrow x_{\text{N}}^2=6\\ \: \Longleftrightarrow \boxed{x_{\text{N}}=\sqrt{6}}

2. a) Elle achète x fruits A à 3 € et y fruits B à 2 €. Elle dépense donc 3x+2y euros. Si elle dépense exactement 36 €, cela se traduit par : \boxed{3x+2y=36}

2. b) Dans ce cas, y = \displaystyle \frac{1}{2}(36-3x)=18-1,5x et le niveau de satisfaction devient : \ln y+2\ln x=\boxed{\ln(18-1,5x)+2\ln x}

2. c) La fonction g est définie et dérivable sur [1 ; 10] et sa dérivée vaut :
g'(x) = \displaystyle \frac{-1,5}{18-1,5x}+\frac{2}{x} = \displaystyle \frac{-1,5x+36-3x}{x(18-1,5x)} = \frac{36-4,5x}{x(18-1,5x)}
Sur [1 ; 10] :
x \le 10 \, \Longleftrightarrow \, -1,5x \ge -15  \, \Longleftrightarrow \, 18-1,5x \ge 3 donc 18 - 1,5 x > 0
x > 0
36 - 4,5x = 0 \: \Longleftrightarrow \: x = 8
Donc g'(x) est du signe de 36 - 4,5 x, d'où le tableau de signe de g' et de variations de g :
\begin{array}{|c|ccccc|} \hline  x & 1 & & 8 & & 10\\ \hline  g'(x) & & + & 0 & - & \\ \hline  g(x) & & \nearrow & & \searrow  & \\  \hline  \end{array}
Ce tableau montre que la fonction g admet un maximum en \boxed{x_0=8}.

2. d) Pour optimiser son niveau de satisfaction en repsectant son budget, la consommatrice doit donc acheter x_0 = 8 fruits A et le nombre de fruits B correspondants : y_0 = 18 - 1,5\ \times 8 = 6.
Elle doit donc acheter 8 kilos de fruits A et 6 kilos fruits B.




exercice 3 - Commun à tous les candidats

Partie A

1. Le sens de variation de f est lié au signe de f'. Or une exponentielle est toujours strictement positive, donc f'(x)=(-0,5x-3)e^{-0,5x} est du signe de -0,5x-3.
Or, pour tout x appartenant à [0 ; +\infty[ : x \ge 0 donc -0,5x \le 0 donc -0,5x-3\le -3 <0 donc f'(x)<0.
Donc f est strictement décroissante sur [0;+\infty[.

2. f est définie et dérivable sur [0;+\infty[, et sa dérivée vaut : (on utilise (uv)'=u'v+uv' et (e^u)'=u'e^u)
F'(x)=-2e^{-0,5x}+(-2x-20)(-0,5e^{-0,5x})\\ =(-2+x+10)e^{-0,5x}\\ =(x+8)e^{-0,5x}\\ =f(x)
On a F'=fsur [0;+\infty[ donc F est une primitive de f sur [0;+\infty[.

3. I = \displaystyle \int_2^4f(x)dx=[F(x)]_2^4=F(4)-F(2)
Or F(4)=(-2\times4-20)e^{-0,5x}=-28e^{-2} et F(2)=(-2\times2-20)e^{-0,5x}=-24e^{-1}
D'où I=-28e^{-2}+24e^{-1}\boxed{\approx 5,04}

Partie B

1. Lorsque le prix unitaire est de 200 euros (= 2 centaines d'euros), le nombre d'objets demandés est égal à f(2)milliers d'objets, soit :
f(2)=(2+8)e^{-0,5\times2}=10e^{-1}\approx3,679 milliers d'objets, soit 3 679 objets.

2. La demande moyenne d'objets lorsque le prix unitaire est fixé entre 200 et 400 euros (= entre 2 et 4 centaines d'euros) est égale à :
\displaystyle \frac{1}{4-2} \displaystyle \int_2^4 f(x) \text{d}x = \frac{1}{2} I \approx \frac{5,04}{2} \approx 2,52 milliers d'objets, soit 2 520 objets.

3. a) E(x) = \displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)}\times x = \displaystyle \frac{(-0,5x-3)e^{-0,5x}}{(x+8)e^{-0,5x}}\times x= \displaystyle \frac{(-0,5x-3)x}{x+8}=\boxed{\frac{-0,5x^2-3x}{x+8}}

3. b) Sur [0;+\infty[ , x\ge 0 donc x+8\ge 8>0 donc E(x) est du signe de son numérateur -0,5x^2-3x=-0,5x(x+6)
Or x\ge0 donc x+6\ge6>0 et -0,5x\le 0
Donc \boxed{E(x)\le 0}
L'élasticité de la demande est donc toujours négatif : lorsque le prix x augmente de 1 %, la demande diminue.

3. c) On cherche x tel que E(x)=-3,5 :
E(x)=-3,5 \: \Longleftrightarrow \: \displaystyle \frac{-0,5x^2-3x}{x+8}=-3,5 \: \Longleftrightarrow \: -0,5x^2-3x=-3,5(x+8) \\ \: \Longleftrightarrow \: -0,5x^2-3x=-3,5x-28 \: \Longleftrightarrow \: -0,5x^2+0,5x+28=0 \\ \: \Longleftrightarrow \: x^2-x-56=0
On calcule \Delta : \Delta = b^2-4ac=1-4\times1\times(-56)=225=15^2, d'où :
x_1 = \displaystyle \frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}=\frac{1-15}{2}=-7 et x_2 = \displaystyle \frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}=\frac{1+15}{2}=8
On exclut la réponse négative, il reste x=8. L'élasticité vaut donc -3,5 lorsque le prix est fixé à 800 euros.
Alors, lorsque le prix varie de 800 à 808 euros, c'est-à-dire lorsqu'il augmente de 1%, la demande diminue de 3,5%.




exercice 4 - Commun à tous les candidats

A - Recherche d'un ajustement affine

1. On détermine les moyennes : \bar x=20,44 et \bar y=329,9. La droite d'ajustement est la droite d'équation y=ax+b avec les coefficients : a = \displaystyle \frac{\sum(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\sum(x_i-\bar x)^2} et b=\bar y - a\bar x.
On obtient a=14,1 et b=40,8, donc la droite d'ajustement a pour équation \boxed{y=14,1x+40,8}

2. a) 2005 correspond à l'indice 30. Donc d'après cet ajustement, en 2005, la production d'électricité nucléaire en France serait de :
y_{30}=14,1\times30+40,8=\boxed{465,01} milliards de kWh.

2. b) L'écart entre la valeur trouvée et la valeur réelle est : \Delta = \displaystyle \frac{465,01-430}{430}=\boxed{+8,1\%}

B - Un autre modèle

1. Avec cet ajustement, la production en 2005 serait : f(30)=197\ln30-237=\boxed{433,04} milliards de kWh.
Cette fois, l'écart avec la valeur réelle est de : \Delta = \displaystyle \frac{433,04-430}{430}=+0,7\%
Le second modèle est donc plus proche de la réalité.

2. a) f(x)\ge 460 \, \Longleftrightarrow \, 197\ln x-237\ge 460 \, \Longleftrightarrow \, 197\ln x\ge 697 \, \Longleftrightarrow \, \ln x\ge \displaystyle \frac{697}{197} \, \Longleftrightarrow \, x\ge e^{\frac{697}{197}} \, \Longleftrightarrow \, \boxed{x\ge 34,4}

2. b) On peut donc prévoir que la production dépassera 460 kWh à partir du rang 35, c'est-à-dire en 2010.
Ci-joint un graphique qui permet de comprendre pourquoi le 2nd modèle est meilleur que le modèle affine.
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