Bac Economique et Social
Centres étrangers - Session Juin 2008
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Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 5
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 7
Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur.
Du papier millimétré sera mis à la disposition des candidats.
Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. le candidat doit traiter tous les exercices.
Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l'indiquer clairement sur la copie.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
5 points
exercice 1 - Commun à tous les candidats
Une association organise chaque année un séjour qui s'adresse à des adultes handicapés. À sa création en 1997, dix adultes handicapés sont partis durant cinq jours. Ainsi, on dira qu'en 1997 le nombre de " journées participant " est de 5 × 10 soit 50.
Le tableau suivant donne le nombre de " journées participant " de 1997 à 2004. L'année 1997 a le rang 0.
Années
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
Rang de l'année :
0
1
2
3
4
5
6
7
Nombre de " journées participant " : yi
50
130
200
240
250
280
300
320
1. Calculer le pourcentage d'augmentation du nombre de " journées participant " de 1997 à 2000, puis celui de 2000 à 2003.
2. Ces données sont représentées par le nuage de points ci-joint.
On considère qu'un ajustement affine n'est pas pertinent.
L'allure du nuage suggère de chercher un ajustement de y en de la forme où k, a et b sont trois nombres réels. Pour cela on pose : .
Dans cette question, les calculs seront effectués à la calculatrice. Aucune justification n'est demandée. Les résultats seront arrondis au centième. a) Compléter le tableau suivant :
Rang de l'année :
0
1
2
3
4
5
6
7
Nombre de " journées participant " : yi
50
130
200
240
250
280
300
320
1,65
b) Représenter le nuage de points associé à la série dans un repère orthonormal (unités : 1 cm)
c) Donner les coordonnées du point moyen et placer ce point sur le graphique précédent.
d) Déterminer une équation de la droite d'ajustement affine de en par la méthode des moindres carrés. Représenter la droite sur le graphique précédent.
e) Sachant que , déterminer l'expression de en fonction de .
3. On suppose que l'évolution du nombre de " journées participant " se poursuit dans un futur proche selon le modèle précédent.
a) Estimer, à l'unité près, quel serait le nombre de " journées participant " prévu pour l'année 2007.
b) En réalité, le nombre de " journées participant " en 2007 a été de 390. Si l'écart en valeur absolue entre la valeur estimée et la valeur réelle est inférieure à 10 % de la valeur réelle, on considère que le modèle est pertinent. Est-ce le cas ?
5 points
exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
Un magasin de sport propose à la location des skis de piste, des snowboards et des skis de randonnée.
Son matériel est constitué de 50 % de skis de piste, le reste étant également réparti entre les snowboards et les skis de randonnée.
Après la journée de location, le matériel est contrôlé et éventuellement réparé.
Il a été constaté que la moitié des skis de piste, deux tiers des snowboards et le quart des skis de randonnée nécessitent une réparation.
Chaque paire de ski et chaque snowboard est répertorié sur une fiche qui précise son suivi. On tire au hasard une fiche. On considère les évènements suivants :
Sp : « La fiche est celle d'une paire de skis de piste » ;
Sn : « La fiche est celle d'un snowboard » ;
Sr : « La fiche est celle d'une paire de skis de randonnée » ;
R : « Le matériel nécessite une réparation » ; est son évènement contraire.
Tous les résultats des quatre premières questions seront donnés sous forme de fractions irréductibles.
1. Traduire toutes les données de l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré (on ne demande aucune explication).
2. Calculer la probabilité que la fiche tirée concerne une paire de skis de piste ne nécessitant pas une réparation.
3. Calculer la probabilité que la fiche tirée concerne du matériel ne nécessitant pas une réparation.
4. La fiche tirée concerne du matériel ayant nécessité une réparation. Quelle est la probabilité que cette fiche concerne un snowboard ?
5. Les paires de skis de piste, de randonnée, ainsi que les snowboards sont loués 30 € pour la journée. Quelle est l'espérance de gain sur le matériel loué sachant que chaque réparation coûte 20 € au loueur ?
5 points
exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
Dans un village, l'association de gymnastique volontaire possédait 50 adhérents en 2000.
Depuis cette date, la trésorière a remarqué que chaque année elle reçoit 18 nouvelles adhésions et que 85 % des anciens inscrits renouvellent leur adhésion.
On note an le nombre d'adhérents pour l'année 2000 + n ; on a donc a0 = 50 et an+1 = 0,85an + 18 pour tout entier naturel n.
1. Soit la suite (un) définie par un = an - 120 pour tout n 0.
a) Montrer que la suite (un) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
b) Démontrer que, pour tout entier naturel n, an = 120 - 70 × 0,85n.
c) Déterminer la limite de la suite (an) quand n tend vers l'infini. Interpréter ce résultat.
2. Chaque semaine, 60 % des adhérents s'inscrivent pour une heure de gymnastique et 40 % pour deux heures de gymnastique.
a) Exprimer en fonction de n le nombre d'heures de gymnastique à prevoir par semaine pour l'an 2000 + n.
b) Une séance de gymnastique dure une heure et est limitée à 20 personnes. On veut déterminer à partir de quelle année l'association devra prévoir plus de 8 séances par semaine. Démontrer qu'alors n doit vérifier l'inéquation 98 × 0,85n<8.
Résoudre cette inéquation et conclure.
Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.
4 points
exercice 3 - Commun à tous les candidats
Cet exercice est un Q. C. M. (Questionnaire à Choix Multiples). Chaque question admet une seule réponse exacte : a, b ou c. Pour chacune des questions indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
Barème : une bonne réponse rapporte 0,5 point. Une mauvaise réponse enlève 0,25 point. L'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point. Si le total des points est négatif, la note globale attribuée à l'exercice est ramenée à 0.
Questions
Réponses
Q1
D'une année sur l'autre, un produit perd 10 % de sa valeur. Le produit a perdu au moins 70 % de sa valeur initiale au bout de :
a) 7 années
b) 11 années
c) 12 années
Q2
Dans une expérience aléatoire, la probabilité d'un évènement A est égale à 0,4. On répète huit fois cette expérience de façon indépendante. La probabilité que l'évènement A se réalise au moins une fois est égale à :
a) (0,4)8 b) (0,6)8 c) 1 - (0,6)8
Q3
F est la primitive qui s'annule en 1 de la fonction définie sur par . On a :
a) F(0) = 1
b) F(0) = c) F(0) =
Q4
est la fonction définie sur par . On appelle la courbe représentative de dans un repère. La tangente à la courbe au point A d'abscisse 0 a pour coefficient directeur :
a) 0
b) 1
c) 3
Pour toutes les questions suivantes, on donne ci-dessous le tableau de variations d'une fonction définie et dérivable sur . On appelle sa courbe représentative dans un repère.
Questions
Réponses
Q5
On peut affirmer que :
a) b) c)
Q6
La courbe admet pour asymptote la droite d'équation :
a) b) c)
Q7
g est la fonction définie par sur l'intervalle . La limite de g en :
a) est b) est c) n'existe pas
Q8
F désigne une primitive de sur . F est :
a) strictement décroissante sur b) strictement décroissante sur ]-3 ; 2[
c) strictement croissante sur ]-2 ; 3[
6 points
exercice 4 - Commun à tous les candidats
On considère la fonction définie sur par .
On note sa courbe représentative dans un repère orthonormal.
1. a) Calculer la limite de en -1. Donner l'interprétation graphique du résultat obtenu.
b) Déterminer la limite de en (on pourra utiliser ).
2. a) On note la dérivée de sur . Démontrer que .
b) Etudier le signe de et dresser le tableau de variations de . On donnera une valeur arrondie audixième du maximum de sur .
3. On se place dans l'intervalle . Démontrer que dans cet intervalle, l'équation admet une solution unique notée . Donner une valeur approchée de à 10-2 près.
4. a) Vérifier que la fonction F définie par est une primitive de sur .
b) Calculer l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine plan limité par la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équations et (on donnera la valeur exacte de cette aire et une valeur approchée au dixième près).
1. Le nombre de journées participants est passé de 50 en 1997 à 240 en 2000, soit une augmentation de .
Le nombre de journées participants est passé de 240 en 2000 à 300 en 2003, soit une augmentation de .
2. a) Tableau complété :
Rang de l'année :
0
1
2
3
4
5
6
7
Nombre de " journées participant " : yi
50
130
200
240
250
280
300
320
1,65
3,67
7,39
11,02
12,18
16,44
20,09
24,53
2. b) Nuage de points (unité en ordonnée modifiée par rapport à celle donnée dans l'énoncé) :
2. c) Les coordonnées du point moyen sont :
et
2. d) La droite d'ajustement a pour équation : où a et b sont tels que et .
A la calculatrice, on trouve : et .
L'équation de la droite d'ajustement est donc
2. e) donc donc
3. a) L'année 2007 correspond au rang 10. L'ajustement prévoit donc qu'il y aura en 2007 :
3. b) L'écart entre le modèle et la réalité est de : donc le modèle n'est pas pertinent.
exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
1. Arbre de probabilité :
2.
3.
4.
5. Lorsque le matériel ne nécessite pas de réparation, le gain est de 30 €, lorsqu'il nécessite une réparation, le gain est de 30 - 20 = 10 €, donc l'espérance vaut :
exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
1. a) Pour tout entier naturel n, on a :
Donc est une suite géométrique de raison 0,85.
1. b) Le terme général de est donc : pour tout entier naturel n, Or donc
1. c) |0,85| < 1 donc donc Cela signifie que le nombre adhérents va se stabiliser à 120.
2. a) Le nombre d'heures de gymnastique à prévoir est de :
2. b) Il faut prévoir séances de gymnastique pour satisfaire la demande.
Il faudra donc prévoir plus de 8 séances à partir de l'année 2000 + 16 = 2016.
exercice 3 - Commun à tous les candidats
Q1 : Réponse c - Le produit aura perdu 70 % de sa valeur au bout de 12 années. D'une année sur l'autre, le produit perd 10 % de sa valeur, sa valeur pour une année s'obtient donc en multipliant la valeur de l'année précédente par 1 - 10 % = 1 - 0,1 = 0,9. On peut donc modéliser la suite des valeurs du produit par une suite géométrique de premier terme v0 et de raison 0,9.
Alors, pour tout entier naturel n, on a : vn = 0,9nv0.
On cherche n tel que
Q2 : Réponse c - La probabilité que l'évènement A se réalise au moins une fois est de Soit X la variable aléatoire correspondant au nombre de fois où l'évènement A se réalise sur les 8. .
. Or , donc
Q3 : Réponse b - donc or donc donc donc
Q4 : Réponse c - Le coefficient directeur de la tangente à C au point d'abscisse 0 est 3. Le coefficient directeur de la courbe au point d'abscisse 0 est donné par , or donc et
Q5 : Réponse a - On peut affirmer que Sur [-2,2], est strictement croissante de -2 à 0, or donc
Q6 : Réponse b - La courbe admet pour asymptote verticale la droite d'équation donc la courbe admet pour asymptote verticale la droite d'équation
Q7 : Réponse b - La limite de g en est en posant et car
Q8 : Réponse b - F est strictement décroissante sur Sur , donc F est strictement croissante. La réponse a est fausse.
Sur , donc F est strictement décroissante. La réponse b est vraie.
Sur , f est négative sur ]-2,2[ et positive sur ]2,3[ donc F est strictement décroissante sur ]-2,2[ et strictement croissante sur ]2,3[. La réponse c est fausse.
exercice 4 - Commun à tous les candidats
1. a) car et en posant Donc la courbe représentative de admet une asymptote verticale d'équation .
1. b) car et donc
2. a) est définie et dérivable sur et sa dérivée vaut
2. b) Tableau de signe de et de variations de :
3. Sur , est strictement décroissante d'environ 6,8 à et donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique tel que .
On détermine cette valeur par encadrements successifs :
or donc et donc Or donc et donc Or donc et donc Conclusion : à 10-2 près par excès.
4. a)F est définie et dérivable sur et sa dérivée vaut :
Donc F est une primitive de sur .
4. b) et donc, d'après le tableau de variations complété :
est strictement positive sur [0 ; 5]. Donc l'aire du domaine défini est donnée par :
Figure (non demandée) :
Publié par Cel/Aurélien
le
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Merci à Aurelien_ pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche
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