Fiche de mathématiques

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Bac Economique et Social
Asie - Session 2008

Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 5
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 7

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le sujet est composé de 4 exercices indépendants.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

5 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Pour chaque question, une seule des trois propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
Une réponse exacte rapporte 1 point; une réponse inexacte enlève 0,5 point; l'absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro.

1. Une baisse de 25 % est compensée par une hausse, arrondie à l'unité, de :

a) 20 %

b) 25 %

c) 33 %

2. La population d'une ville a augmenté de 7 % en 2004, de 5 % en 2005 et de 6 % en 2006. L'augmentation de la population de cette ville sur la période 2004-2006 est, arrondie à l'unité près, égale à :

a) 17 %

b) 18 %

c) 19 %

Les élèves de deux classes de terminale ES (désignées par TE1 et TE2) sont répartis selon leur spécialité (qui sont abrégées en SES, LV, Math) de la façon suivante :

		TE1	TE2	Total
Spécialité	SES	16	8	24
	LV	12	14	26
	Math	6	10	16
Total		34	32	66

On interroge un élève au hasard. Les données précédentes sont à utiliser pour les trois questions suivantes.

3. La probabilité que l'élève interrogé appartienne à la TE1 est égale à :

a) $\displaystyle \frac{1}{66}$

b) $\displaystyle \frac{1}{34}$

c) $\displaystyle \frac{17}{33}$

4. La probabilité que l'élève interrogé suive l'enseignement de spécialité Math ou appartienne à la TE1 est égale à :

a) $\displaystyle \frac{2}{3}$

b) $\displaystyle \frac{25}{33}$

c) $\displaystyle \frac{1}{11}$

5. La probabilité que l'élève interrogé suive l'enseignement de spécialité Math sachant qu'il appartient à la TE1 est égale à :

a) $\displaystyle \frac{1}{34}$

b) $\displaystyle \frac{1}{11}$

c) $\displaystyle \frac{3}{17}$

5 points

exercice 2 - Commun à tous les candidats

On considère la fonction u définie sur l'intervalle $]0 \, ; \, +\infty[$ par $u(x) = \displaystyle \frac{10- x}{x}$

1. Calculer les limites de u en 0 et en $+\infty$ .

2. Etudier les variations de u.

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0 \, ; \, + \infty[$ par $f(x) = \text{e}^{u(x)}.$

3. Calculer les limites de $f$ en 0 et en $+\infty$ . Quelles conséquences graphiques peut-on en déduire ?

4. Etablir, en justifiant, le tableau de variations de $f$ .

5. Résoudre algébriquement l'équation $f(x) = 1$ .

6. L'équation $f(x) = -x$ admet-elle une solution ? Pourquoi ?
Toute tentative d'explication de la démarche ou de la méthode utilisée sera valorisée.

5 points

exercice 3 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Le tableau suivant donne l'évolution du SMIC horaire brut en euros depuis 2001.

Date	1/07/2001	1/07/2002	1/07/2003	1/07/2004	1/07/2005	1/07/2006	1/07/2007
Rang : $x_{i}$	1	2	3	4	5	6	7
Valeur en euros $y_{i}$	6,67	6,83	7,19	7,61	8,03	8,27	8,44

1. Représenter sur votre copie le nuage de points associé à la série $\left(x_{i} \, ; \, y_{i}\right)$ dans un repère orthogonal (1 cm représente 1 rang en abscisse et 5 cm représentent 1 € en ordonnée, faire débuter la graduation à 6 sur l'axe des ordonnées).

2. A l'aide de la calculatrice, donner une équation de la droite de régression de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés (arrondir les coefficients à 10^-2 près).
Tracer cette droite dans le repère précédent.

3. La forme du nuage suggère une modification de l'évolution du SMIC horaire brut à partir de juillet 2004. Pour $x \geq 4$ , on choisit d'ajuster le nuage de points par une courbe $\mathcal{C}$ d'équation $y = a \ln (x - 3) + b$ où a, et b sont deux réels. Déterminer les réels a et b tels que la courbe $\mathcal{C}$ passe par les points de coordonnées (4 ; 7,61) et (7 ; 8,44) (arrondir les réels a et b à 10^-2).
Tracer la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère précédent.

4. Arthur est un jeune salarié, rémunéré au SMIC. Il souhaite estimer la valeur du SMIC au 1^er juillet 2009. Quel est, parmi les modèles utilisés aux questions 2 et 3, celui qui lui sera le plus favorable ?

5 points

exercice 3 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

On considère la surface $S$ d'équation $z = y \times \ln (x),$ où $x$ appartient à l'intervalle [0,5 ; 5] et $y$ appartient l'intervalle [-3 ; 5]. Cette surface $S$ est représentée sur la figure ci-dessous.

sujet du bac ES obligatoire et spécialité Asie 2008 - terminale : image 1

Les cinq questions sont indépendantes l'une de l'autre.

1. On note $P$ le plan d'équation $x = 3,5$ . Quelle est la nature de l'intersection de la surface $S$ et du plan $P$ ?

2. On désigne par $\mathscr{C}_{2}$ l'intersection de la surface $S$ avec le plan d'équation $y = 2$ . Représenter la courbe $\mathscr{C}_{2}$ dans un repère orthonormal d'unité 2 cm.

3. Placer sur la surface $S$ le point A d'abscisse 2 et d'ordonnée 4. Calculer sa côte.

4. Lire les coordonnées du point B situé sur la surface $S$ .

5. On considère la section $C$ de la surface $S$ par le plan d'équation $z = 1$ .
a) Calculer l'ordonnée du point D d'abscisse 4 situé sur la section $C$ . On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à 10^-1 près. Placer le point D sur la surface $S$ .
b) Arthur pense que la nature de la section $C$ est un morceau de parabole. A-t-il raison ? Pourquoi ?

5 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

Une entreprise fabrique une quantité $x$ , comprise entre 0 et 20, d'un certain objet.
Le coût total de production $f$ , exprimé en euros, est représenté par la courbe $\mathscr{C}$ dans un repère d'origine O du graphique 1 fourni ci-dessous. La tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point B d'abscisse 14 est tracée sur le même graphique.

1. a) Quel est le coût total de production de 10 objets ?
   b) Quelle quantité maximale d'objets est-il possible de produire pour un coût total inférieur à 150 € ?

2. Le coût marginal g est donné sur l'intervalle ]0 ; 20] par la dérivée du coût total de production $g(x) = f'(x)$ pour tout $x$ appartenant à l'intervalle ]0 ; 20].
   a) En utilisant le graphique 1, déterminer la valeur du coût marginal pour $x = 14$ . Comparer g(14) et g(19).
   b) Quelle est, parmi les trois courbes proposées sur le graphique 2, celle qui représente le coût marginal ? Justifier la réponse.

3. Le coût moyen h est donné sur l'intervalle ]0 ; 20] par $h(x) = \displaystyle \frac{f(x)}{x}$ .
   a) Estimer h(5).
   b) Sur le graphique 1, placer le point Q d'abscisse 5 situé sur la courbe $\mathscr{C}$ , puis tracer la droite (OQ).
Une expression du coefficient directeur de la droite (OQ) est $\displaystyle \frac{f(5)}{5}$ . Justifier cette expression.
   c) Placer le point A sur la courbe $\mathscr{C}$ tel que la droite (OA) soit tangente à $\mathscr{C}$ . On appelle a l'abscisse du point A.
   d) Conjecturer les variations de h sur l'intervalle ]0 ; 20].
Toute tentative d'explication de la démarche ou de la méthode utilisée sera valorisée.

sujet du bac ES obligatoire et spécialité Asie 2008 - terminale : image 2

sujet du bac ES obligatoire et spécialité Asie 2008 - terminale : image 3

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5 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

1. Réponse c : 33 %
Une baisse de 25 % correspond à un coefficient multiplicateur de $1 - 0,25 = 0,75$ . Pour compenser cette baisse, il faut donc appliquer un coefficient multiplicateur de $\displaystyle \frac{1}{0,75} = 1,33$ , ce qui correspond à une hausse de $1,33 - 1 = 0,33 = \boxed{33 \%}$ .

2. Réponse c : 19 %
Les augmentations de 7 % puis 5 % puis 6 % correspondent à des coefficients multiplicateurs respectifs de 1,07 , 1,05 et 1,06, ce qui représente au global $1,07 \times 1,05 \times 1,06 = 1,19$ , soit une hausse de $1,19 - 1 = 0,19 = \boxed{19 \%}$

3. Réponse c : $\displaystyle \frac{17}{33}$
Parmi les 66 élèves, 34 sont en TE1, soit une probabilité de $\displaystyle \frac{34}{66} = \boxed{\displaystyle \frac{17}{33}}$

4. Réponse a : $\displaystyle \frac{2}{3}$
Parmi les 66 élèves, 34 sont en TE1 et 10 élèves de TE2 suivent l'enseignement de spécialité Math, donc 44 élèves sont en TE1 ou suivent l'enseignement de spécialité Math, soit une proabilité de $\displaystyle \frac{44}{66} = \boxed{\displaystyle \frac{2}{3}}$

5. Réponse c : $\displaystyle \frac{3}{17}$
Parmi les 34 élèves de TE1, 6 suivent l'enseignement de spécialité Math, soit une probabilité de $\displaystyle \frac{6}{34} = \boxed{\displaystyle \frac{3}{17}}$

5 points

exercice 2 - Commun à tous les candidats

1. $\displaystyle \lim_{x \to 0} u(x) = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{10-x}{x} = \boxed{+\infty}$
car $\displaystyle \lim_{x \to 0} 10 - x = 10$ et $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} = +\infty$
$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \, u(x) = \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \, \frac{10-x}{x} = \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{-x}{x} = \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \, -1 = \boxed{-1}$
car la limite en l'infini d'une fonction polynôme est égale à la limite de son monôme de plus haut degré.

Remarque : on a : $u(x) = \displaystyle \frac{10-x}{x} = \frac{10}{x} - \frac{x}{x} = \frac{10}{x} - 1$ , ce qui permet aussi de trouver la limite en + $]0 ; +\infty[$ et sa dérivée s'obtient comme dérivée d'un quotient : $\left(\displaystyle \frac{u}{v} \right)' = \displaystyle \frac{u'v-uv'}{v^2}$
Donc $u'(x) = \displaystyle \frac{-1\times x-(10-x)\times 1}{x^2} = \frac{-x-10+x}{x^2} = \boxed{-\frac{10}{x^2}} < 0$
Donc u est strictement décroissante sur $]0 ; +\infty[$ .

3. $\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x) = \displaystyle \lim_{x \to 0} e^{u(x)} = \displaystyle \lim_{X \to +\infty} e^X = \boxed{+\infty}$ en posant $X = u(x)$ et car $\displaystyle \lim_{x\ to 0} X = \displaystyle \lim_{x\to0}u(x) = +\infty$
$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = \displaystyle \lim_{x \to +\infty} e^{u(x)} = \displaystyle \lim_{X \to -1} e^X = \boxed{\displaystyle \frac{1}{e}}$ en posant $X = u(x)$ et car $\displaystyle \lim_{x\to+\infty} X = \displaystyle \lim_{x\to+\infty} u(x) = -1$
On en déduit que les droites d'équation $x = 0$ et $y = \displaystyle \frac{1}{e}$ sont asymptotes (respectivement verticale et horizontale) à la courbe représentative de la fonction $f$ respectivement au voisinage de 0 et $+\infty$ .

4. $f$ est définie et dérivable sur $]0 ; +\infty[$ et sa dérivée se calcule en utilisant la formule de la dérivée d'une composée de la fonction exponentielle : $(e^u)' = u'e^u$
donc $f'(x) = u'(x)e^{u(x)} = - \displaystyle \frac{10}{x^2}e^{\frac{10-x}{x}} < 0$ donc $f$ est strictement décroissante sur $]0;+\infty[$ .
On dresse le tableau de variations :

$\begin{tabvar}{|C|CCC|} \hline x & 0 & & +\infty \\ \hline \niveau{2}{3} f(x) & \niveau{3}{3} +\infty & \niveau{2}{3} \decroit & \niveau{1}{3} \frac{1}{e} \\ \hline \end{tabvar}$

Remarque : on peut éviter de calculer la dérivée de la fonction $f$ pour étudier ses variations. En effet, on a montré que la fonction u est strictement décroissante sur $]0 ; +\infty[$ , et on sait que la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ . Or la composée d'une fonction croissante et d'une fonction décroissante est décroissante, d'où le résultat.

5. $f(x) = 1 \, \Longleftrightarrow \, e^{u(x)} = 1 \, \Longleftrightarrow \, u(x) = 0 \, \Longleftrightarrow \, \displaystyle \frac{10-x}{x} = 0 \, \Longleftrightarrow \, 10 - x = 0 \, \Longleftrightarrow \, x = 10$
$\boxed{S = \lbrace 10 \rbrace }$

6. $f(x) = e^{u(x)}$ est strictement positif, or $-x$ est strictement négatif sur $]0 ; +\infty[$ donc l'équation $f(x) = -x$ n'admet aucune solution.
$\boxed{S = \emptyset}$

5 points

exercice 3 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. Nuage de points :

sujet du bac ES obligatoire et spécialité Asie 2008 - terminale : image 4

2. La droite de regression obtenue par la méthode des moindres carrés à la calculatrice a pour équation : $\boxed{y = 0,32x + 6,29}$

3. La courbe $\mathcal{C}$ d'équation passe par les points (4 ; 7,61) et (7 ; 8,44) si et seulement si :
$\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } l} 7,61 & a\ln(4-3) + b \\ 8,44 & a\ln(7-3) + b \\ \end{array} \right. \, \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } l} b & 7,61 \\ a & \displaystyle \frac{8,44-7,61}{\ln4} \approx 0,60 \\ \end{array} \right.$

Donc $\mathcal{C}$ a pour équation $\boxed{y = 0,60\ln(x-3) + 7,61}$

Construction : cf. figure de la question 1.

4. 2009 correspond à l'indice 9, or pour $x = 9$ , l'ordonnée est la plus élevée sur la droite (cf. construction sur la figure de la question 1) : le modèle linéaire est donc le plus favorable.

5 points

exercice 3 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

1. Pour $x = 3,5$ , on a : $z = y \times \ln(3,5)$ . Ceci est l'équation d'une droite d'un plan parallèle au plan $(yOz)$ . L'intersection de P et S est donc une droite.

2. Pour $y = 2$ , on a $z = 2\ln x$ . Dans un repère du plan $(xOz)$ , la courbe est :

sujet du bac ES obligatoire et spécialité Asie 2008 - terminale : image 5

3. Pour $x = 2$ et $y = 4$ , on a : $\boxed{z = 4\ln2}$

sujet du bac ES obligatoire et spécialité Asie 2008 - terminale : image 6

4. Par lecture graphique, on détermine : $\boxed{x_{\text{B}} = 4,5 \\ y_{\text{B}} = 2 \\ z_{\text{B}} = 3 }$
NB: On vérifie que $y_{\text{B}} \times \ln x_{\text{B}} = 2\ln(4,5) = 3,008 = z_{\text{B}}$

5. a) $x_{\text{D}} = 4$ et $\text{D} \in \mathcal{C}$ donc $z_{\text{D}} = 1$ , or $z_{\text{D}} = y_{\text{D}} \ln(x_{\text{D}})$ donc $1 = y_{\text{D}} \times \ln 4$ donc $\boxed{y_{\text{D}} = \displaystyle \frac{1}{\ln 4} \approx 0,7}$ .
Graphique : cf. question 3.

5. b) Pour $z = 1$ , on a $1 = y \times \ln x$ donc $y = \displaystyle \frac{1}{\ln x}$ , ce qui ne correspond pas à l'équation d'une parabole. Arthur a tort.

5 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

1. a) Graphiquement (tracé rouge), on détermine que le coût de fabrication de 10 objets est de 60 euros.

1. b) Graphiquement (tracé vert), on détermine que le nombre maximal d'objets fabriqués pour 150 euros est de 18 objets.

2. a) Le nombre dérivé correspond au coefficient de la tangente à la courbe. Ainsi, le coût marginal pour $x = 14$ correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe en B :
$g(14) = \displaystyle \frac{60}{6} = \boxed{10 \text{ euros}}$

De même, pour $x = 19$ , le coût marginal correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse 19 (droite bleue). Or cette tangente est "plus pentue" que la tangente à la courbe en B, donc :
$\boxed{g(19) > g(14)}$

2. b) $g(14) = 10$ donc la courbe passe par le point de coordonnées $(14 ; 10)$ donc on élimine $\mathcal{C}_2$ .
$g(19) > g(14)$ donc on élimine $\mathcal{C}_3$ .
La courbe $\mathcal{C}_1$ correspond à la courbe représentative du coût marginal g.

3. a) Par lecture graphique (tracé jaune), $f(5) = 40$ , donc $\boxed{h(5) = \displaystyle \frac{f(5)}{5} = \displaystyle \frac{40}{5} = 8}$

3. b) Cf. graphique en fin d'exercice.
Le coefficient directeur de (OQ) est donné par : $m = \displaystyle \frac{y_{\text{Q}} - y_{\text{O}}}{x_{\text{Q}} - x_{\text{O}}} = \displaystyle \frac{f(5) - 0}{5 - 0} = \boxed{\frac{f(5)}{5}}$

3. c) Cf. graphique en fin d'exercice (tracé rose). Graphiquement, on lit $\boxed{a = 10}$ .

3. d) Un raisonnement similaire à celui tenu pour la question 3b nous amène à dire que $h(x)$ correspond au coefficient directeur de la droite (OM) où M est le point de la courbe C d'abscisse $x$ .
Soient I le point de C d'abscisse 0 et J le point de C d'abscisse 20.
Quand M se déplace de I à A ( $x$ prend les valeurs de 0 à 10), le coefficient directeur de la droite (OM) diminue : la droite (OM) correspond à l'axe des ordonnées pour $x = 0$ (coefficient directeur infini) et "se penche" jusqu'à correspondre à la droite (OA) lorsque $x = 10$ .
Quand M se déplace de A à J ( $x$ prend les valeurs de 10 à 20), le coefficient directeur de la droite (OM) augmente, le droite prenant toutes les positions intermédiaires entre (OA) et (OJ).
Conclusion : $h$ est décroissante sur ]0 ; 10] de $+\infty$ à $h(10) = \displaystyle \frac{f(10)}{10} = \frac{60}{10} = 6$ et croissante sur [10 ; 20] de 6 à $h(20) = \displaystyle \frac{f(20)}{20} = \frac{150}{20} = 7,5$ .

sujet du bac ES obligatoire et spécialité Asie 2008 - terminale : image 7

Publié par Cel/Aurelien_ le 12-12-2008

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