Fiche de mathématiques
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Bac Littéraire
Epreuve anticipée de Mathématiques - Informatique
Polynésie Française - Session 2008

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Durée de l'épreuve : 1 h 30 - Coefficient 2

L'usage de la calculatrice est autorisé.
Le candidat doit traiter les deux exercices.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
9 points

exercice 1

On étudie l'évolution de l'effectif d'une population de bactéries (estimé en milliers d'individus) en fonction du temps (exprimé en heures). On commence les relevés à 15h et on fait un relevé toutes les heures.
On appelle n la durée, exprimée en heure, écoulée depuis 15h.
On note u_n l'effectif de la population de bactéries, exprimé en milliers d'individus, relevé après n heures. Ainsi u1 est l'effectif de la population de bactéries, exprimé en milliers d'individus, relevé à 16h.
L'objectif de cet exercice est de réfléchir sur deux modèles qui essaient de décrire l'évolution de la population observée.

Partie A

Les premiers relevés permettent de dresser le tableau suivant :
Heure15h16h17h18h19h
n (durée en h écoulée depuis 15h)01234
u_n (nombre de bactéries en milliers)6,98,19,611,112,7


1. Placer, dans le repère ci-dessous, les points Mn de coordonnées (n,u_n).

sujet de l'épreuve anticipée du bac littéraire Polynésie Française 2008 - terminale : image 1


2. A quel type de croissance peut faire penser ce graphique ?

Partie B

On saisit les données précédentes dans les colonnes A, B et C d'une feuille de calcul de tableur. Voir sa reproduction :

Les observations de la partie A suggèrent de modéliser l'évolution du nombre de bactéries, exprimé en milliers d'individus, après une durée de n heures, à l'aide de la suite (v_n) définie par : v_0=6,9 et v_{n+1}=v_n+1,4.

1. a) Calculer v_1 et v_2.
    b) Quelle est la nature de la suite (v_n) ?

2. Dans le tableau fourni à la fin de l'exercice, on a saisi dans la cellule D3 la valeur de v_0 : 6,9. Donner une formule à inscrire dans la cellule D4 qui permet d'obtenir, en recopiant vers le bas, les valeurs de la suite (v_n) dans la colonne D.

3. Quel est le nombre de bactéries que l'on peut prévoir à 7h, le lendemain du jour où a commencé l'étude, si on utilise ce modèle ? Justifier.

Partie C

En fait, les relevés effectués à partir de 7h, le lendemain du jour où a commencé l'étude, donnent des valeurs sensiblement différentes des prévisions fournies par le modèle étudié à la partie B, comme le montre le tableau ci-dessous :
Heure7h8h9h10h
n (durée en h écoulée depuis 15h)16171819
u_n (nombre de bactéries en milliers)51626879
On décide donc de modéliser différemment l'évolution du nombre de bactéries, exprimé en milliers d'individus, après une durée de n heures, et de se servir pour cela de la suite w_n définie par : w_0=6,9 et w_n=6,9\times1,136^n.

Dans cette partie, les valeurs des termes de la suite (w_n) seront arrondies au dixième.

1. a) Calculer w_1 et w_2.
    b) Quelle est la nature de la suite (w_n) ?

2. Dans la feuille de calcul reproduite ci-dessous, on a saisi 1,136 dans la cellule E1 et 6,9 dans la cellule E3.
Parmi les formules suivantes, quelles sont celles qui permettent, en les inscrivant dans la cellule E4 et en recopiant vers le bas, d'obtenir les valeurs de la suite (w_n) dans la colonne E ?
a)=E3*E1b)=E3*E$1c)=E$3*(E$1^A4)d)=E$3*(E$1^B4)


3. Calculer w_{16}

4. Calculer l'écart relatif, en pourcentage arrondi au dixième, entre w_{16} et la valeur u_{16} relevée à 7h.
Reproduction de la feuille de calcul sur tableur (parties B et C de l'exercice 1)
  A B C D E
1         1,136
2 heure durée n u_n v_n w_n
3 15h 0 6,9 6,9 6,9
4 16h 1 8,1    
5 17h 2 9,6    
6 18h 3 11,1    
7 19h 4 12,7    
8 20h 5      
9 21h 6      
10 22h 7      
11 23h 8      



11 points

exercice 2

Le tableau (incomplet), fourni ci-dessous, donne la répartition d'une population de 800 utilisateurs d'Internet pour le téléchargement selon leur âge et leur volume de téléchargement mensuel.
Le volume de téléchargement est exprimé en Giga-octets (notés Go) et l'âge en années.

Partie A

1. Compléter le tableau donné. Aucune justification n'est demandée.
Volume en Go
Tranche d'âge
[0 ; 2[[2 ; 4[[4 ; 6[[6 ; 8[Total
[10;20[215180125277
[20;30[17  107223
[30;40[22445047163
[40;50[30202012 
[50;60[42 28 
Total132158 299800


2. Les pourcentages demandés dans cette question seront arrondis à l'unité.
    a) Parmi ces utilisateurs d'Internet, quel pourcentage est dans la tranche d'âge [30 ; 40[ ?
    b) Parmi les utilisateurs d'Internet qui téléchargent entre 0 et 2 Go par mois, combien représentent, en pourcentage, ceux âgés de 40 ans et plus ?

Partie B

1. Dans la population observée, combien d'utilisateurs d'Internet ont moins de 30 ans ?
Expliquer alors pourquoi l'âge médian (la médiane) de cette population est nécessairement compris entre 20 et 30 ans.

2. Pour déterminer cet âge médian, on donne la répartition des âges dans la classe [20 ; 30[. Elle est fournie dans le tableau suivant :
Age20212223242526272829
Effectif25263022342119201412
Justifier que l'âge médian vaut 24 ans.

3. Les diagrammes en boîte des âges des utilisateurs d'Internet qui téléchargent entre 0 et 2 Go et entre 6 et 8 Go sont représentés ci-dessous :

sujet de l'épreuve anticipée du bac littéraire Polynésie Française 2008 - terminale : image 2

Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier les réponses.
    Proposition a : l'écart interquartille de la série des âges des utilisateurs qui téléchargent entre 0 et 2 Go est plus du double de celui de la série des âges des utilisateurs qui téléchargent entre 6 et 8 Go.
    Proposition b : plus de 75% des utilisateurs qui téléchargent entre 0 et 2 Go ont plus de 26 ans.
    Proposition c : plus de la moitié des utilisateurs qui téléchargent entre 6 et 8 Go sont mineurs.






exercice 1

Partie A

1.
sujet de l'épreuve anticipée du bac littéraire Polynésie Française 2008 - terminale : image 3


2. Les points semblent alignés. Cela fait donc penser à une croissance linéaire.

Partie B

1. a) v_0 = 6,9 et v_{n+1} = v_n + 1,4, donc \boxed{v_1 = 6,9 + 1,4 = 8,3}
\boxed{v_2 = v_1 + 1,4 = 8,3 + 1,4 = 9,7}

1. b) On a : v_0 = 6,9 et pour tout n \ge 0, on a v_{n+1} = v_n + 1,4, donc (vn) est une suite arithmétique de premier terme 6,9 et de raison 1,4.

2. Dans D4, il y aura la valeur de v_1, or v_1 = v_0 + 1,4, on saisit donc la formule \boxed{=D3+1,4}. En recopiant cette formule vers le bas, on obtiendra les différentes valeurs de v_n.

3. A 7 h, le lendemain du jour où a commencé l'étude, il se sera écoulé (24-15)+7=9+7=16 heures. Le nombre de bactéries à prévoir est donc v_{16}.
Or (v_n) est une suite arithmétique de premier terme 6,9 et de raison 1,4 , donc pour tout n\ge 0 : v_n=6,9+1,4n.
En particulier, pour n = 16 : v_{16}=6,9+16 \times 1,4=6,9+22,4=29,3.
A 7 h le lendemain, le nombre prévisible de bactéries est donc de 29,3 milliers.

Partie C

1. a) \boxed{w_1 = 6,9 \times 1,136^1=7,8}
\boxed{w_2=6,9\times1,136^2=8,9}

1. b) (w_n) est une suite géométrique de premier terme 6,9 et de raison 1,136.

2. Pour chaque calcul, on veut appeler la valeur 1,136 de la cellule E1. Il ne faut donc pas que cette valeur varie en recopiant la formule vers le bas. On écrira donc E$1.
D'autre part, il y a deux façons de calculer w_n :
  à partir de la formule donnée : w_n=6,9\times1,136^n. Cela correspond à la formule =E$3*(E$1^B4).
  à partir du rang n - 1 puisque la suite est géométrique : w_n=1,136\times w_{n-1}. Cela correspond à la formule =E3*E$1.
Conclusion : les formules b (=E3*E$1) et d (=E$3*(E$1^B4)) permettent, en les inscrivant dans E4 et en les recopiant vers le bas, d'obtenir les valeurs de la suite (w_n).

3. \boxed{w_{16}=6,9\times1,136^{16}=53,1}

4. \boxed{\Delta=\frac{w_{16}-u_{16}}{u_{16}}=\dfrac{53,1-51}{51}=4,1\%}




exercice 2

Partie A

1.
Volume en Go
Tranche d'âge
[0 ; 2[[2 ; 4[[4 ; 6[[6 ; 8[Total
[10;20[215180125277
[20;30[174059107223
[30;40[22445047163
[40;50[3020201282
[50;60[4232855
Total132158211299800


2. a) Parmi les 800 utilisateurs, 163 sont dans la tranche d'âge [30 ; 40[, soit \dfrac{163}{800}, c'est-à-dire environ 20 %.

2. b) Parmi les 132 utilisateurs qui téléchargent entre 0 et 2 Go par mois, 30 + 42 = 72 ont plus de 40 ans, soit \dfrac{72}{132}, soit environ 54 %.

Partie B

1. Dans cette population, 227 + 223 = 450 individus ont moins de 30 ans.
Or l'âge médian est l'âge tel que exactement 400 individus sont moins âgés et 400 individus sont plus âgés. Il est donc nécessairement inférieur à 30.
De plus, seulement 227 individus ont moins de 20 ans, donc l'âge médian est nécessairement supérieur à 20 ans.
Conclusion : l'âge médian est compris entre 20 et 30 ans.

2. D'après ces données : 277 + 25 + 26 + 30 + 22 = 380 individus sont âgés de moins de 24 ans, et 380 + 34 = 414 individus sont âgés de moins de 25 ans.
Les 400 premiers individus ont donc 24 ans ou moins, et les 400 derniers ont 24 ans ou plus. L'âge médian est donc de 24 ans.

3. a) La proposition a est vraie :
D'après ces diagrammes en boîte, l'écart interquartile de la tranche [0 ; 2[ Go est de 55 - 27 = 28 et celui de la tranche [6 ; 8[ Go est de 25 - 13 = 12.
Donc l'écart interquartile de la tranche [0 ; 2[ Go est bien plus du double de celui de la tranche [6 ; 8[ Go.

3. b) La proposition b est vraie :
Q1 = 27 donc 25 % des individus de la tranche [0 ; 2[ Go ont moins de 27 ans, donc 75 % des individus ont plus de 27 ans, donc plus de 75 % des individues ont plus de 26 ans.

3. c) La proposition c est fausse :
La médiane Q2 = 22 donc 50 % des individus de la tranche [6 ; 8[ Go ont moins de 22 ans et 50 % ont plus de 22 ans donc a fortiori plus de la moitié des individus sont majeurs.
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