Fiche de mathématiques
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Bac Littéraire
Epreuve anticipée de Mathématiques - Informatique
Centres Étrangers - Session 2008

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Durée de l'épreuve : 1 h 30 - Coefficient 2

La calculatrice est autorisée.
Le candidat doit traiter les deux exercices.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
12 points

exercice 1

Partie A

1. On donne ci-dessous la courbe d'évolution du prix du baril de pétrole (on dit baril de " Brent " dans le vocabulaire spécialisé) en dollars entre le 1er janvier 1997 et la fin de l'année 2007.
épreuve anticipée du bac littéraire 2008 Centres Etrangers - terminale : image 1

Déterminer graphiquement au cours de quelle année le prix du baril a dépassé 35 dollars.
On fera apparaître les traits de construction.

On étudie l'évolution du prix du baril de pétrole à l'aide de la feuille de calcul ci-dessous. Les cellules de la colonne C sont au format " pourcentage à deux décimales ". Le contenu de certaines cellules a été effacé.

  A B C
1 Année Prix du baril en dollars au 1er janvier Pourcentage d'évolution par rapport à l'année précédente
2 1997 18  
3 1998 18 0,00 %
4 1999 13 -27,78 %
5 2000 15 15,38 %
6 2001 28 86,67 %
7 2002 24 -14,29 %
8 2003   4,17 %
9 2004 28 12,00 %
10 2005 40 42,86 %
11 2006 60 50,00 %
12 2007 65  
13      
14      


   a) Déterminer le pourcentage d'évolution du prix du baril entre le 1er janvier 2006 et le 1er janvier 2007. On arrondira au centième.
   b) Donner une formule qui, écrite dans la cellule C3 et recopiée vers le bas jusqu'en cellule C12, permet de remplir automatiquement la colonne C.
   c) Quelle formule et quelle valeur numérique contient la cellule C12 après recopie ?
   d) Retrouver le prix du baril au 1er janvier 2003. On arrondira à l'unité.
   e) Déterminer le pourcentage d'évolution du prix du baril entre le 1er janvier 1997 et le 1er janvier 2007. On arrondira au centième.

Partie B

Étant donne le contexte actuel (flambée des prix du pétrole et raréfaction des réserves), un cabinet d'experts propose un modèle d'évolution dans lequel le prix du baril de pétrole est de 150 dollars au 1er janvier 2010 et augmente de 15 % au 1er janvier de chaque année.
On note un le prix en dollars du baril de pétrole au 1er janvier de l'année (2010 + n) correspondant à cette proposition. Ainsi u0 = 150.

1. a) Expliquer pourquoi la valeur de u1, arrondie à l'unité, est : 173.
    b) Calculer u2. On arrondira à l'unité.

2. On utilise la feuille de calcul ci-dessous pour déterminer les premières valeurs de un arrondies à l'unité. Les cellules de la colonne C sont au format numérique arrondi à l'unité. La cellule D2 contient la valeur 0,15. Elle est au format pourcentage.

  A B C D
1 Année Rang de l'année un Pourcentage d'évolution
2 2010 0 150 15 %
3 2011 1 173  
4 2012 2    
5 2013 3    
6 2014 4    
7 2015 5    
8 2016 6    
9 2017 7    
10 2018 8    


   a) Quelle formule peut-on écrire dans la cellule C3 et recopier vers le bas pour obtenir les premières valeurs de un, de sorte que le contenu de la colonne C s'actualise automatiquement si on change le contenu de la cellule D2 ?
   b) n étant un entier naturel donné, exprimer un+1 en fonction de un.
   c) Quelle est la nature de la suite (un) ?
   d) Exprimer un en fonction de n.
   e) Calculer u7. On arrondira à l'unité.
   f) Si l'on adopte le modèle du cabinet d'experts, à partir du 1er janvier de quelle année le prix du baril de pétrole dépassera-t-il 500 dollars ?


8 points

exercice 2

Partie A

On donne ci-dessous le diagramme en boîte des montants en euros des achats effectués par les clients d'un magasin lors d'une journée de promotion. Les extrémités du diagramme correspondent au montant minimal et au montant maximal des achats effectués par les clients.
épreuve anticipée du bac littéraire 2008 Centres Etrangers - terminale : image 2

Quels sont les cinq renseignements sur les achats effectués dans le magasin lors de la journée de promotion que l'on peut lire, sur ce diagramme ?

Partie B

Le tableau ci-dessous donne les montants en euros, arrondis à l'unité, des achats effectués par les 80 clients du magasin pendant une journée ordinaire.

2 10 14 25 33 39 40 45
3 10 20 26 35 39 40 45
5 10 20 30 36 39 42 45
5 10 20 30 38 40 42 45
5 10 20 30 38 40 42 45
8 10 20 30 38 40 43 46
8 11 20 30 38 40 43 46
8 13 21 30 38 40 43 47
8 14 24 31 39 40 44 55
10 14 24 33 39 40 44 60


1. a) Déterminer le pourcentage de clients ayant effectué des achats pour un montant compris, au sens large, entre 30 et 40 euros.
    b) Déterminer le pourcentage de clients ayant effectué des achats pour un montant ne dépassant pas 25 euros.

2. a) Déterminer la médiane de la série des montants d'achats donnée par le tableau ci-dessus.
    b) Déterminer le premier quartile Q1 et le troisième quartile Q3 de cette série.
    c) Construire le diagramme en boîte de cette série, au dessus du diagramme en boîte donné. On prendra pour extrémités le minimum et le maximum de la série.

3. Le magasin a annoncé sa journée de promotion par une distribution de tracts sur lesquels était indiqué :
" Grande journée de promotion ! Des prix, des affaires, l'occasion de dépenser moins ! "
Au vu des deux diagrammes en boîtes quelle analyse peut-on faire de ce message publicitaire ?







12 points

exercice 1

Partie A

1. Graphiquement, on trouve que le baril de pétrole a dépassé les 35 dollars au cours de l'année 2004 :
épreuve anticipée du bac littéraire 2008 Centres Etrangers - terminale : image 3


2. a) Le prix du baril est passé de 60 $ en 2006 à 65 $ en 2007, soit une augmentation de \displaystyle \frac{65-60}{60} = \frac{5}{60}=\frac{1}{12} \boxed{\approx8,33\%}

2. b) La cellule C3 correspond au calcul du pourcentage d'évolution entre le prix du baril en 1997 (cellule B2) et le prix en 1998 (cellule B3). La cellule C3 étant formatée en pourcentage, pas besoin de multiplier par 100.
Lorsque l'on recopie vers le bas, on veut que tous les indices soient incémentés, on ne fixe donc aucune cellule à l'aide du symbole "$".
La formule à inscrire est donc : \boxed{=(\text{B}3-\text{B}2)/\text{B}2}

2. c) Ainsi, la cellule C12 contient la formule : \boxed{=(\text{B}12-\text{B}11)/\text{B}11}.
La valeur numérique a été calculée lors de la question 1, il s'agit de \boxed{8,33\%}.

2. d) Entre 2002 et 2003, le prix du baril a augmenté de 4,17%, d'où le prix du baril en 2003 :
24 + 24 \times 4,17 \% = 1,0417 \times 24 = \boxed{25 \$}

2. e) Entre 1997 et 2007, le prix du baril est passé de 18 $ à 65 $, soit une augmentation de \displaystyle \frac{65-18}{18} = \frac{47}{18} \boxed{\approx261,11\%}

Partie B

1. a) D'après ce modèle, le prix du baril en 2011 correspond à une augmentation de 15% par rapport à celui de 2010, soit un prix fixé à : u_1 = 150 + 150 \times 15 \% = 1,15 \times 150 = \boxed{173\$} arrondi à l'unité.

1. b) De même, le prix augmente de 15% au 1er janvier 2012, d'où : u_2 = 1,15 \times 173 = \boxed{190\$} arrondi à l'unité.

2. a) La cellule C3 correspond au prix du baril en 2012 après une augmentation de 15% (cellule D2) par rapport au prix de 2011 (cellule C2). D'autre part, il faut figer la cellule D2 pour que l'indice ne s'incrémente pas avec la recopie vers le bas. On écrira donc dans C3 la formule : \boxed{=(1+\text{D}\$2)*\text{C}2}

2. b) Chaque année, le prix du baril (u_{n+1}) augmente de 15% par rapport au prix de l'année précédente (u_n). Cela revient à multiplier par 1,15, d'où : \boxed{u_{n+1}=1,15u_n}

2. c) (u_n) est donc une suite géométrique, de premier terme u_0=150 et de raison q=1,15.

2. d) Le terme général de la suite est alors : \boxed{u_n = u_0\times q^n=150\times1,15^n}

2. e) On a alors : u_7=150\times1,15^7\boxed{\approx399\$} arrondi à l'unité.

2. f) On cherche n tel qu u_n\ge 500 :
u_n\ge 500 \\ \Longleftrightarrow 150 \times 1,15^n \ge 500 \\ \Longleftrightarrow 1,15^n \ge \displaystyle \frac{500}{150} \\ \Longleftrightarrow 1,15^n\ge \displaystyle \frac{10}{3} \\ \Longleftrightarrow n \ln 1,15 \ge \ln \left( \displaystyle \frac{10}{3}\right) \\ \Longleftrightarrow n\ge\frac{\ln \left( \displaystyle \frac{10}{3} \right)}{\ln1,15} \\ \Longleftrightarrow n\ge 8,61
Le prix du baril de pétrole sera donc supérieur à 500$ le 1er janvier 2019.


8 points

exercice 2

Partie A

On peut lire que :
le montant minimum des achats effectués lors de la journée de promotion est de 5 €.
le montant maximum des achats effectués lors de la journée de promotion est de 75 €.
25% des clients ont effectué des achats pour un montant inférieur ou égal à 45 € (premier quartile).
le montant médian des achats est de de 55 € : la moitié des clients ont dépensé moins de 55 € et l'autre moitié a dépensé plus.
25% des clients ont effectué des achats pour un montant supérieur ou égal à 61 € (troisième quartile).

Partie B

1. a) Sur les 80 clients, 30 clients ont dépensé entre 30 et 40€, soit \displaystyle \frac{30}{80} = \boxed{37,5\%}

1. b) Sur les 80 clients, 31 clients n'ont pas dépensé plus de 25 €, soit \displaystyle \frac{31}{80} = \boxed{38,75\%}

2. a) La médiane est le montant tel que la moitié des clients a dépensé moins et l'autre moitié a dépensé plus : la médiane est donc de 33 € (les 40 "premiers" clients ont dépensé 33 € ou moins, les 40 "derniers" clients ont dépensé 33 € ou plus).

2. b) Le premier quartile est de 14 € : 25 % des clients ont dépensé 14 € ou moins et 75 % des clients ont dépensé 14 € ou plus. Le troisième quartile est de 40 € : 75 % des clients ont dépensé 40 € ou moins, 25 % 40 € ou plus.

2. c) Graphique
épreuve anticipée du bac littéraire 2008 Centres Etrangers - terminale : image 4


3. Ces diagrammes montrent que, alors que 75 % des clients dépensent moins de 40 € lors d'une journée ordinaire, 75 % des clients dépensent plus de 45 € lors d'une journée de promotion ! Le message publicitaire "l'occasion de dépenser moins" n'est donc pas vérifié !!
Les clients dépensent davantage lors d'une journée de promotion, sans doute parce qu'ils profitent des prix bas pour acheter davantage de produits.
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