Fiche de mathématiques
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Bac Littéraire
Épreuve anticipée de Mathématiques - Informatique
Nouvelle Calédonie - Session Novembre 2008

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Durée de l'épreuve : 1 h 30 - Coefficient 2

La calculatrice est autorisée.
Le candidat doit traiter les deux exercices.
12 points

exercice 1

Une grande entreprise étudie l'évolution de la proportion de femmes parmi ses salariés.

Les trois parties sont indépendantes.

Partie A : Étude de la situation sur les deux dernières années

Le tableau suivant donne le nombre d'hommes et de femmes salariés dans l'entreprise au 1er janvier 2007 et au 1er janvier 2008.

 ABC 
11/1/20071/1/2008 
2Nombre d'hommes21 00019 700 
3Nombre de femmes11 00010 700 
4Nombre total de salariés32 00030 400 
5Pourcentage des femmes parmi les salariés34,4 %35,2 % 

1. Les cellules B5 et C5 sont au format «pourcentage». Pour calculer leurs valeurs, on a inscrit une formule en B5, que l'on a recopiée en C5.
Quelle formule a-t-on inscrite en B5 ?

2. La colonne D est au format «pourcentage».
    a) Dans la cellule D2, on inscrit la formule : \fbox{=(\text{C}2-\text{B}2)/\text{B}2}.
Que calcule cette formule ?
    b) On recopie la formule de la cellule D2 vers le bas jusqu'à la cellule D4.
Quelle formule contient maintenant la cellule D4 ?
    c) Quel résultat obtient-on dans la cellule D4 ?

3. Expliquer pourquoi le pourcentage de femmes salariées dans l'entreprise a augmenté, bien que le nombre de femmes dans l'entreprise ait diminué.

Partie B : Évolution du nombre de femmes et du nombre de salariés dans l'entreprise

On note u_{0} le nombre de femmes dans l'entreprise au 1er janvier 2007, et u_{n} le nombre de femmes dans l'entreprise au 1er janvier de l'année 2007 + n.
On note v_{0} le nombre total de salariés dans l'entreprise au 1er janvier 2007, et v_{n} le nombre total de salariés dans l'entreprise au 1er janvier de l'année 2007 + n.

Le tableau suivant donne l'évolution du nombre de femmes et du nombre total de salariés dans l'entreprise. Les lignes 8 à 25 n'apparaissent pas.

ABCD
1Nombre de femmesNombre total de salariés
2nu_{n}v_{n}
31/1/2007011 00032 000
41/1/2008110 70030 400
51/1/20092
61/1/20103
71/1/20114
...
261/1/203023

1. On suppose que le nombre de femmes dans l'entreprise diminue chaque année de 300.
    a) Exprimer u_{n+1} en fonction de u_{n}.
    b) Quelle est la nature de la suite \left(u_{n}\right) ?
    c) Exprimer u_{n} en fonction de n.
    d) Calculer u_{23}.

2. On suppose que le nombre de salariés dans l'entreprise diminue chaque année de 5 %.
    a) Exprimer v_{n+1} en fonction de v_{n}.
    b) Quelle formule peut-on placer dans la cellule D4 puis recopier vers le bas jusqu'en D26 pour calculer les termes de la suite \left(v_{n}\right) ?
    c) Justifier que v_{n} = 32 000 \times (0,95)^n.
    d) Calculer v_{23} (arrondir à une unité près).

3. Si les hypothèses des questions précédentes sont vérifiées, quel sera le pourcentage de femmes parmi les salariés de l'entreprise le 1er janvier 2030 ? (arrondir à 0,1 % près.)

Partie C : Évolution de la proportion de femmes parmi les salariés de l'entreprise

Le modèle étudié dans la partie B permet d'obtenir le graphique suivant qui montre l'évolution de la proportion de femmes parmi les salariés de l'entreprise au cours des années à venir. Chaque point correspond à la proportion estimée au premier janvier d'une année.
épreuve anticipée du bac littéraire Nouvelle Calédonie Novembre 2008 - première : image 1

Répondre aux questions suivantes par lecture du graphique, et en supposant que le modèle est valide jusqu'en 2030.

1. Quelle sera la proportion de femmes parmi les salariés de l'entreprise le 1er janvier 2023 ?
2. Au cours de quelle année la proportion de femmes dépassera-t-elle 40 % ?
3. Au premier janvier de quelle année la proportion de femmes sera-t-elle la plus grande ?


8 points

exercice 2

On mesure la quantité d'une certaine molécule M dans le sang de plusieurs groupes de personnes,
    un groupe A de 5 000 individus en bonne santé,
    un groupe de 100 individus souffrant d'une même maladie P répartis au hasard en deux groupes :
        un groupe B de 50 individus qui ne reçoivent pas de traitement,
        un groupe C de 50 individus qui reçoivent un traitement. La quantité est mesurée en \mug/L (microgramme par litre).

Partie A : Étude du groupe A

La série de données recueillies dans le groupe A (appelée série de référence) correspond à des données gaussiennes. La plage de normalité à 95 % obtenue pour cette série de référence est l'intervalle [120 ; 160].

1. Pour approximativement quel nombre d'individus du groupe A le dosage a-t-il été dans la plage de normalité ?
2. Quelle est la moyenne de la série de référence ?
3. Quel est l'écart-type de la série de référence ?

Partie B : Étude du groupe B

Le tableau ci-dessous donne les résultats obtenus pour le groupe B

Quantité (\mug/L)130135140145150155160165170175180185190
Effectifs2335343756324

1. Pour quel pourcentage des individus du groupe B la quantité mesurée est-elle dans la plage de normalité [120 ; 160] ?

2. Calculer les effectifs cumulés croissants de cette série. Compléter le tableau donné ci-dessous.

Quantité (\mug/L)130135140145150155160165170175180185190
Effectifs2335343756324
Effectifs cumulés croissants

3. Déterminer la médiane et les quartiles de cette série statistique.

4. Tracer le diagramme en boîtes de cette série sur la feuille annexe. Prendre pour extrémités le minimum et le maximum de la série.

Partie C : Étude du groupe C

Les données recueillies pour le groupe C ont été résumées dans le diagramme en boîtes tracé sur l'annexe.
épreuve anticipée du bac littéraire Nouvelle Calédonie Novembre 2008 - première : image 2

1. Pour approximativement quel pourcentage des individus du groupe C la quantité mesurée est-elle dans la plage de normalité [120 ; 160] ?
2. Quel semble être l'effet du traitement sur les individus du groupe C par comparaison avec ceux du groupe B ?
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