Fiche de mathématiques
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Bac Littéraire
Enseignement de spécialité
Polynésie Française - Session Juin 2008

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Durée de l'épreuve : 3 heures     Coefficient : 3
L'usage d'une calculatrice est autorisé.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
4 points

exercice 1

Pour un jeu, on dispose de deux urnes.
La première urne contient 6 boules indiscernables au toucher. Sur chacune de ces boules est écrite une lettre, les 6 lettres permettant de reconstituer le prénom MARGOT.
La seconde urne contient 7 boules indiscernables au toucher. Sur chacune de ces boules est écrite une lettre, les 7 lettres permettant de reconstituer le prénom JUSTINE.

Le jeu se déroule en deux étapes :
Etape 1 :On prend au hasard une boule de la première urne et on regarde la lettre tirée.
Etape 2 :
- Si la lettre tirée est une voyelle, on tire au hasard la deuxième boule dans la première urne, la première boule tirée n'étant pas remise en jeu. On regarde la seconde lettre tirée.
- Si la première lettre tirée est une consonne, on tire au hasard la deuxième boule dans la deuxième urne. On regarde la seconde lettre tirée.
On considère les deux événements :
    V1 "la première lettre tirée est une voyelle" ;
    V2 "la deuxième lettre tirée est une voyelle".

1. Calculer la probabilité que la première lettre tirée soit une voyelle.

2. Calculer la probabilité que la deuxième lettre tirée soit une voyelle sachant que la première est une consonne.

3. Reproduire et compléter l'arbre suivant :
sujet de l'épreuve de spécialité du bac L Polynésie Française 2008 - terminale : image 1


4. Montrer que la probabilité que la deuxième lettre tirée soit une voyelle est \dfrac{37}{105}.

5. On suppose que la deuxième lettre tirée est une voyelle.
Quelle est la probabilité que la première lettre soit une voyelle ?


6 points

exercice 2

On considère la fonction f définie par f(x) = \dfrac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1} pour tout réél x de [0 ; +\infty[.
On note (C) sa courbe représentative dans le repère (Ox , Oy).

1. Calculer f(0) et justifier que f(\ln 3)=0,8.

2. a) On note f' la fonction dérivée de f. Démontrer que, pour tout nombre réél x positif, f'(x)=\dfrac{4e^{2x}}{\left(e^{2x}+1\right)^2}
    b) Déterminer le sens de variation de la fonction f sur [0 ; +\infty[.
    c) Calculer f'(0), puis donner une équation de la tangente (\Delta) à la courbe (C) au point d'abscisse 0.

3. a) Etablir que, pour tout nombre réel x positif, f(x) - 1 = \dfrac{-2}{e^{2x}+1}.
    b) En déduire que, pour tout nombre réel x positif, f(x) < 1.

4. Les quatre graphiques ci-dessous ont été obtenus à l'aide d'un logiciel informatique.
Parmi ces quatre graphiques, un seul peut représenter la courbe (C) et la tangente (\Delta).
Préciser quel est ce graphique et justifier soigneusement l'élimination de chacun des trois autres graphiques.
sujet de l'épreuve de spécialité du bac L Polynésie Française 2008 - terminale : image 2



6 points

exercice 3

La figure ci-dessous représente, en perspective cavalière, le sol (A1A4D4D1) et le mur de droite (A1B1B4A4) d'une salle. Le sol et le mur sont pavés avec des carrelages identiques de forme carrée.
sujet de l'épreuve de spécialité du bac L Polynésie Française 2008 - terminale : image 3


Le but de l'exercice est de représenter sur l'annexe ce carrelage en perspective centrale sachant que le sol est horizontal, le mur est vertical et le plan (D1A1B1) est frontal.

Dans cette perspective centrale, on convient de noter avec une lettre minuscule les images des points. Ainsi a1 est l'image de A1, a2 est l'image de A2 ...

On a représenté sur la feuille annexe la ligne d'horizon, le segment [a1b1] et le point a3.

Aucune justification des constructions n'est attendue, mais on laissera apparents tous les traits de construction.

1. a) Construire le point de fuite de la droite (A1A3), noté f, et le point b3.
    b) Construire le segment [a2b2].
    c) Construire le point c1.
    d) Construire le segment [a4b4].

2. a) Préciser, en justifiant la réponse, le réel k tel que a1d1 = k a1c1.
    b) Construire le point d1.
    c) Terminer la figure.

3. Pour chacune des trois affirmations ci-dessous dire, en justifiant la réponse donnée, si elle est vraie ou fausse.
En cas de réponse négative, on pourra fournir un contre-exemple issu de la figure complétée en annexe.
      (1) Le plan (A4B4D4) est frontal.
      (2) En perspective centrale, les milieux sont toujours conservés.
      (3) En perspective centrale, les milieux ne sont jamais conservés.

sujet de l'épreuve de spécialité du bac L Polynésie Française 2008 - terminale : image 4



4 points

exercice 4

Dans cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Le but de l'exercice est d'étudier quelques propriétés du nombre entier 3^{2008} dont certaines ne peuvent être obtenues à l'aide d'une calculatrice.

Partie A : Chiffre des unités de 3^{2008}

1. Justifier que 3^8 \equiv 1 (modulo 10). En déduire que 3^{2008} \equiv 1 (modulo 10).

2. Quel est le chiffre des unités de 3^{2008} ?

Partie B : Nombre de chiffres de 3^{2008}

Dans cette partie, log désigne la fonction logarithme décimal.
On pourra utiliser les propriétés suivantes :
    \log\left(a^n\right) = n \times \log(a), pour tout nombre réél a strictement positif et tout nombre entier n.
    \log(10)=1.
    La fonction log est strictement croissante sur ]0 ; +\infty[.

1. Sachant que 0,4771 \le \log(3) \le 0,4772, justifier l'encadrement 958 < \log\left(3^{2008}\right) < 959.

2. Calculer \log\left(10^{958}\right) et \log\left(10^{959}\right).

3. Déduire des questions précédentes l'encadrement 10^{958} < 3^{2008} < 10^{959}.

4. Expliquer comment on peut déduire de l'inégalité précédente le nombre de chiffres de l'écriture décimale du nombre entier 3^{2008}.






exercice 1

1. Dans la première urne, il y a les 6 lettres M.A.R.G.O.T. Il y a donc 2 voyelles (A.O.). On tire la première lettre dans la première urne, donc :
\boxed{p(\text{V}_1) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}}

2. Si la première lettre est une consonne, on tire la deuxième lettre dans la deuxième urne. Cette urne contient les 7 lettres J.U.S.T.I.N.E., dont 3 voyelles (U.I.E.), donc :
\boxed{p_{\bar{\text{V}_1}}(\text{V}_2)=\frac{3}{7}}

3. Si la première lettre est une voyelle, on tire la 2e lettre dans la 1ère urne, dans laquelle il reste 1 voyelle et 4 consonnes.
sujet de l'épreuve de spécialité du bac L Polynésie Française 2008 - terminale : image 5


4. On utilise la formule des probabilités totales :
p(\text{V}_2) = p(\text{V}_1 \cap \text{V}_2) + p(\bar{\text{V}_1} \cap \text{V}_2) = p(\text{V}_1)p_{\text{V}_1}(\text{V}_2) + p(\bar{\text{V}_1})p_{\bar \text{V}_1}(\text{V}_2)
p(\text{V}_2) = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{5} + \dfrac{2}{3} \times \dfrac{3}{7} = \dfrac{1}{15} + \dfrac{2}{7} = \dfrac{7+30}{105} = \dfrac{37}{105}

5. On cherche p_{\text{V}_2}(\text{V}_1) :
p_{\text{V}_2}(\text{V}_1) = \dfrac{p(\text{V}_2 \cap  \text{V}_1)}{p(\text{V}_2)} = \dfrac{p(\text{V}_1) p_{\text{V}_1}(\text{V}_2)}{p(\text{V}_2)} = \dfrac{\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{5}}{\dfrac{37}{105}} = \dfrac{1}{15}\times\dfrac{105}{37} = \dfrac{7}{37}
\boxed{p_{\text{V}_2}(\text{V}_1)=\frac{7}{37}}




exercice 2

1. f(0) = \dfrac{e^0-1}{e^0+1} = \dfrac{1-1}{1+1} = 0
f(\ln3) = \dfrac{e^{2\ln3}-1}{e^{2\ln3}+1} = \dfrac{3^2-1}{3^2+1} = \dfrac{8}{10} = 0,8

2. a) On pose u(x)=e^{2x}-1 et v(x)=e^{2x}+1, définies et dérivables sur [0,+\infty[.
Alors u'(x)=v'(x)=2e^{2x} en utilisant les formules de dérivation (f+g)'=f'+g' et (e^u)'=u'e^u
Et on a f=\dfrac{u}{v} donc f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}, d'où :
f'(x) = \dfrac{2e^{2x}(e^{2x}+1)-(e^{2x}-1)2e^{2x}}{(e^{2x}+1)^2} \\ f'(x) = \dfrac{2e^{2x}e^{2x}+2e^{2x}-2e^{2x}e^{2x} +2e^{2x}}{(e^{2x}+1)^2} \\ f'(x) = \dfrac{2e^{2x}+2e^{2x}}{(e^{2x}+1)^2} \\ \boxed{f'(x) = \frac{4e^{2x}}{(e^{2x}+1)^2}}

2. b) Pour tout x de [0,+\infty[ , 4e^{2x} > 0 et (e^{2x}+1)^2>0 donc f'(x)>0.
La fonction f est donc strictement croissante sur [0,+\infty[.

2. c) f'(0) = \dfrac{4e^0}{(e^0+1)^2}=\dfrac{4}{2^2}=1
L'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse x_0 est donnée par : y = f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0).
En particulier, pour x_0 = 0, l'équation de la tangente est : y = f'(0)x + f(0) avec f(0)=0 et f'(0) = 1donc \boxed{y=x}.

3. a) Pour tout x de [0,+\infty[, on a : f(x) - 1 = \dfrac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}-1 = \dfrac{e^{2x}-1-e^{2x}-1}{e^{2x}+1} = \dfrac{-2}{e^{2x}+1}

3. b) Or pour tout x de [0,+\infty[, \dfrac{-2}{e^{2x}+1}<0 donc f(x)-1<0 donc \boxed{f(x)<1}

4. f(0)=0 : les 4 graphiques correspondent.
La tangente à la courbe au point d'abscisse 0 est la droite d'équation y=x : on peut donc éliminer les graphiques 1 et 3.
Pour tout x de [0,+\infty[, f(x)<1 : on peut donc éliminer le graphique 4.
Conclusion : seul le graphique 2 peut représenter la courbe (C) et la droite (\Delta).




exercice 3

1. a) f est le point d'intersection de la droite (a1a3) et de la droite d'horizon.
(A1A3)//(B1B3) donc les droites (A1A3) et (B1B3) ont le même point de fuite f. D'autre part (A3B3)//(A1B1) et (A1B1) est dans le plan frontal, donc (a1b1)//(a3b3). Cela nous permet de construire b3.

1. b) On commence par construire c2, image de C2, centre du carré A1B1B3A3. (A2B2)//(A1B1) et (A1B1) est dans le plan frontal, donc (a1b1)//(a2b2).

1. c) C1 est le milieu de A1B1 et A1B1 est dans le plan frontal donc c1 est le milieu de a1b1.

1. d) (A2C3) coupe (B1B3) en B4 donc (a2c3) coupe (b1b3) en b4. D'autre part (A4B4)//(A1B1) et (A1B1) est dans le plan frontal, donc (a1b1)//(a4b4). Cela nous permet de construire a4.

2. a) A1,C1 et D1 sont dans le plan frontal, et A1D1=3A1C1 or la perspective cavalière respecte les proportions dans le plan frontal, donc a1d1=3a1c1, donc \boxed{k=3}.
2. b) De plus, la perspective centrale conserve l'alignement et les angles dans le plan frontal, or (A1D1)\perp(A1C1) donc (a1d1)\perp(a1c1), avec a1d1=3a1c1. Cela nous permet de placer d1.

2. c)
sujet de l'épreuve de spécialité du bac L Polynésie Française 2008 - terminale : image 6


3. L'affirmation (1) est vraie : tout plan parallèle à un plan frontal est frontal, or (A1B1D1) est frontal et (A4B4D4)//(A1B1D1).
L'affirmation (2) est fausse : elle n'est vraie que dans un plan frontal. Par exemple A2 est le milieu de [A1A3] mais a2 n'est pas le milieu de [a1a3].
L'affirmation (3) est fausse : les milieux sont conservés dans un plan frontal.




exercice 4

Partie A : Chiffre des unités de 32008

1. 3\equiv3[10] ; 3^2=9\equiv 9[10]; 3^3=27\equiv7[10]; 3^4=3^3\times3\equiv7\times3\equiv21\equiv1[10]
donc 3^8=3^4\times3^4\equiv1\times1\equiv1[10]. On a bien \boxed{3^8\equiv1[10]}
Or 2008=251\times8 donc 3^{2008}=3^{8\times251}=(3^8)^{251}\equiv1^{251}\equiv1[10]
\boxed{3^{2008}\equiv1[10]}

2. 3^{2008}\equiv1[10] donc il existe un entier k tel que 3^{2008}=10k+1.
Donc le chiffre des unités de 32008 est 1.

Partie B : Nombre de chiffres de 32008

1. 0,4771 \le \log(3) \le 0,4772 donc 958,02\le 2008\log(3) \le 958,22 d'où \boxed{958<\log(3^{2008})<959}

2. \log(10^{958})=958\log(10)=958 et \log(10^{959})=959\log(10)=959

3. On a donc 958<\log(3^{2008})<959 or 958=\log(10^{958}) et 959=\log(10^{959})
donc \log(10^{958})<\log(3^{2008})<\log(10^{959}) or la fonction \log est strictement croissante sur ]0;+\infty[, donc :
\boxed{10^{958}<3^{2008}<10^{959}}

4. 32008>10958 or 10958 est un nombre à 959 chiffres, donc 32008 a au moins 959 chiffres.
32008<10959 or 10959 est un nombre à 960 chiffres, donc 32008 a moins de 960 chiffres.
32008 a plus de 959 chiffres mais moins de 960 chiffres, il a donc exactement 959 chiffres.
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