Fiche de mathématiques
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Bac Littéraire
Enseignement de spécialité
Session 2008

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Durée de l'épreuve : 3 heures     Coefficient : 3
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Le sujet ne nécéssite pas de papier millimétré.
L'usage d'un dictionnaire est interdit.
5 points

exercice 1

On dispose d'un dé tétraédrique, bien équilibré, dont les quatre faces sont numérotées 1, 2, 3 et 4.
sujet de l'épreuve de spécialité du bac L Métropole 2008 - terminale : image 1

On dispose aussi de trois urnes :
      l'urne A contient une boule noire et trois boules rouges,
      l'urne B contient deux boules noires et deux boules rouges,
      l'urne C contient une boule noire et deux boules rouges.

On lance le dé et on note le numéro inscrit sur la face posée sur laquelle il s'immobilise.
Si le numéro est pair, on tire au hasard une boule dans A.
Si le numéro est 1, on tire au hasard une boule dans B.
Si le numéro est 3, on tire au hasard une boule dans C.

On appelle :
      A l'événement " la boule tirée provient de A ",
      B l'événement " la boule tirée provient de B ",
      C l'événement " la boule tirée provient de C ",
      N l'événement " la boule tirée est noire ",
      et R l'événement " la boule tirée est rouge ".

1. Reproduire sur la copie et compléter, en indiquant les probabilités relatives à chaque branche, l'arbre de probabilité ci-dessous :
sujet de l'épreuve de spécialité du bac L Métropole 2008 - terminale : image 2


2. Calculer la probabilité p(C \cap N).

3. Montrer que p(\text{N}) = \dfrac{1}{3}.

4. Déterminer la probabilité d'avoir obtenu le numéro 3 avec le dé sachant que la boule tirée est noire.

5. Les événements N et C sont-ils indépendants ?


5 points

exercice 2

Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x) = (3 - 2x)e^{\frac{x}{2}.
On appelle \scr{C} la courbe représentative de f dans un repère orthogonal.
On note f' la fonction dérivée de f.

1. Calculer la valeur exacte de f(0), de f(-2) et de f(2). Donner, de plus, une valeur arrondie à 10-2 près si nécessaire.

2. Montrer que, pour tout x appartenant à \mathbb{R}, f'(x) = \left(-\dfrac{1}{2} - x\right) e^{\frac{x}{2}}

3. En déduire les variations de f sur \mathbb{R}.

4. Un dessin de la courbe \scr{C} est donné ci-dessous. Les unités ont été effacées. Le point D est l'intersection de \scr{S} avec l'axe des ordornnées et le point E est l'intersection de \scr{C} avec l'axe des abscisses. Le point F est le point de \scr{C} d'ordonnée maximale.

sujet de l'épreuve de spécialité du bac L Métropole 2008 - terminale : image 3

    a) Donner la valeur exacte des coordonnées des points D, E et F.
    b) Soit G le point de coordonnées (3 ; 2). La droite (DG) est-elle tangente à \scr{D} en D ? Justifier la réponse.


4 points

exercice 3

Dans un lycée, un code d'accès à la photocopieuse est attribué à chaque professeur. Ce code est un nombre à quatre chiffres choisis dans la liste (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), chaque chiffre pouvant être répété à l'intérieur d'un même code.
Par exemple 0027 et 5855 sont des codes possibles.

1. Combien de codes peut-on ainsi former ?

2. Ce code permet aussi de définir un identifiant pour l'accès au réseau informatique. L'identifiant est constitué du code à quatre chiffres suivi d'une clé calculée à l'aide de l'algorithme suivant :
Entrée : N est le code à quatre chiffres.
Initialisation : Affecter à P la valeur de N ;
Affecter à S la valeur 0 ;
Affecter à K la valeur 1.
Traitement : Tant que K \leq 4 :
    Affecter à U le chiffre des unités de P ;
    Affecter à K la valeur K + 1 ;
    Affecter à S la valeur S + K × U ;
    Affecter à P la valeur \frac{\text{P - U}}{10} ;
Affecter à R le reste dans la division euclidienne de S par 7 ;
Affecter à C la valeur 7 - R.
Sortie " la clé " : Afficher C.

    a) Faire fonctionner l'algorithme avec N = 2282 et vérifier que la clé qui lui correspond est 3. On prendra soin de faire apparaître les différentes étapes du déroulement de l'algorithme (on pourra par exemple faire un tableau).
    b) Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Un professeur s'identifie sur le réseau informatique en entrant le code 4732 suivi de la clé 7.
L'accès au réseau lui est refusé. Le professeur est sûr des trois derniers chiffres du code et de la clé, l'erreur porte sur le premier chiffre du code (qui n'est donc pas égal à 4).
Quel est ce premier chiffre ?


6 points

exercice 4

Le dessin ci-dessous est la représentation en perspective parallèle d'une sortie d'école séparée de la rue par une rambarde de protection et éclairée par un lampadaire.

sujet de l'épreuve de spécialité du bac L Métropole 2008 - terminale : image 4

Dessin n°1

Deux dessins sont donnés dans cet exercice. Ils sont à compléter au fur et à mesure de la résolution de l'exercice. On veillera à laisser apparents les traits de construction.

1. Compléter la représentation en perspective parallèle donnée dans le dessin N°1 par l'ombre de la rambarde sur le sol, la source lumineuse (S) étant supposée ponctuelle. On repassera en couleur le dessin fini de l'ombre de la rambarde pour améliorer la lisibilité de la représentation.

sujet de l'épreuve de spécialité du bac L Métropole 2008 - terminale : image 5

Dessin n°2


2. Dans le dessin N°2 les points a', b', c', d' représentent en perspective centrale les sommets A', B', C' et D' du carré situé au cœur du motif des neuf carrés recouvrant ABCD. On a tracé la ligne d'horizon, le point de fuite principal F et les points de distance D1 et D2. La diagonale [b'd'] est parallèle à la ligne d'horizon.
    a) On souhaite contrôler certains aspects de ce dessin. Expliquer comment vérifier que :
     1) a'b'c'd' représente un quadrilatère, d'un plan horizontal, ayant ses côtés à parallèles deux à deux.
     2) a'b'c'd' représente un quadrilatère, d'un plan horizontal, ayant ses diagonales perpendiculaires.
    b) Terminer le dessin en représentant les huit carrés entourant A'B'C'D'. On repassera en couleur le dessin fini des huit carrés pour améliorer la lisibilité de la représentation.






exercice 1

1. Arbre pondéré complété :
Par exemple, on tire une boule dans l'urne A si le numéro tiré au dé est 2 ou 4 donc 2 chances sur 4 : p = 1/2.
sujet de l'épreuve de spécialité du bac L Métropole 2008 - terminale : image 6


2. \boxed{p(\text{C} \cap \text{N})} = p(\text{C}) p_{\text{C}}(\text{N}) = \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{3} =\boxed{\frac{1}{12}}

3. p(\text{N}) = p(\text{A} \cap \text{N}) + p(\text{B} \cap \text{N}) + p(\text{C} \cap \text{N}), avec :
    p(\text{A} \cap \text{N}) = p(\text{A})p_{\text{A}}(\text{N}) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{8}
    p(\text{B} \cap \text{N}) = p(\text{B})p_{\text{B}}(\text{N}) = \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{8}
    p(\text{C} \cap \text{N})=\dfrac{1}{12}
Donc \boxed{p(\text{N})} = \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{12} = \dfrac{3+3+2}{24} = \dfrac{8}{24} = \boxed{\frac{1}{3}}

4. \boxed{p_{\text{N}}(3)} = p_{\text{N}}(\text{C}) = \dfrac{p(\text{C} \cap \text{N})}{p(\text{N})} = \dfrac{\dfrac{1}{12}}{\dfrac{1}{3}} = \dfrac{3}{12} = \boxed{\frac{1}{4}}

5. On a donc p_{\text{N}}(\text{C}) = p(\text{C}) = \dfrac{1}{4} et p_{\text{C}}(\text{N}) = p(\text{N}) = \dfrac{1}{3} donc les évènements N et C sont indépendants.




exercice 2

1. \boxed{f(0)}=(3-0)e^0 = \boxed{3}
\boxed{f(-2)} = (3-2(-2))e^{\frac{-2}{2}} = 7e^{-1} = \boxed{\frac{7}{e}\approx 2,58} \\ \boxed{f(2)} = (3 - 2\times 2)e^{\frac{2}{2}} = \boxed{-e\approx -2,72}

2. f est définie et dérivable sur \mathbb{R} et on pose u(x)=3-2x et v(x) = e^{\frac{x}{2}} sur \mathbb{R}. Alors f' = (uv)' = u'v + uv', avec :
      u'(x) = -2
      v'(x) = \dfrac{1}{2}e^{\frac{x}{2}}
Donc \boxed{f'(x)} = -2e^{\frac{x}{2}}+(3-2x)\frac{1}{2}e^{\frac{x}{2}} = \boxed{\left(-\frac{1}{2}-x\right)e^{\frac{x}{2}}}

3. Une exponentielle est toujours strictement positive, donc f'(x) est du signe de -\frac{1}{2}-x :
      f'(x) = 0 \: \Longleftrightarrow \: -\dfrac{1}{2}-x=0 \: \Longleftrightarrow \: x=-\dfrac{1}{2}
      f'(x)>0 \: \Longleftrightarrow \: -\dfrac{1}{2}-x>0 \: \Longleftrightarrow \: x<-\dfrac{1}{2}
Donc f est croissante sur ]-\infty ; -\dfrac{1}{2}] et décroissante sur [\dfrac{1}{2};+\infty[.

4. a) Le point D est le point d'intersection de \scr C et l'axe des ordonnées, son abscisse est donc 0 et son ordonnéef(0) = 3.
Le point E est l'intersection de \scr C et l'axe des abscisses, son ordonnée est donc 0 et son abscisse vérifie f(x) = 0.
Or f(x)=0 \: \Longleftrightarrow \: (3-2x)e^{\frac{x}{2}}=0 \: \Longleftrightarrow \: 3-2x=0 \: \Longleftrightarrow \: x=\dfrac{3}{2}. L'abscisse de E est donc \dfrac{3}{2}.
Le point F est le point d'ordonnée maximale, or les variations montrent que ce point est atteint pour x=-\dfrac{1}{2}. On aura alors y = f(x) = \left(3 - 2 \times \left(-\dfrac{1}{2}\right)\right)e^{-\frac{1}{4}} = 4e^{-\frac{1}{4}}.
Pour résumer :
 \boxed{\text{D}(0 \, ; \, 3) \hspace{25pt} \text{E}\left(\dfrac{3}{2} \, ; \, 0\right)  \hspace{25pt} \text{F}\left(-\dfrac{1}{2} \, ; \, 4e^{-\frac{1}{4}}\right)}

4. b) La tangente à la courbe \scr{C} en D est la droite qui passe par D et dont le coefficient directeur est égal au nombre dérivé de la fonction en 0, soit f'(0) = \left(-\dfrac{1}{2}-0\right)e^0 = -\dfrac{1}{2}.
Il suffit donc de trouver le coefficient directeur de (DG) pour répondre à la question.
Or le coefficient directeur de (DG) est donné par : a = \displaystyle \frac{y_{\text{G}} - y_{\text{D}}}{x_{\text{G}} - x_{\text{D}}} = \dfrac{2-3}{3-0} = -\dfrac{1}{3} \neq -\dfrac{1}{2}
Donc (DG) n'est pas la tangente à la courbe \scr{C} au point d'abscisse 0.




exercice 3

1. On peut former toutes les nombres de 0000 à 9999 soit 10 000 possibilités.

2. a) On fait tourner l'algorithme avec N = 2282. Les résultats trouvés à chaque étape sont résumés dans ce tableau :

  P S K U R C
initialisation 2282 0 1      
étape 1 228 4 2 2 4 3
étape 2 22 28 3 8 0 7
étape 3 2 36 4 2 1 6
étape 4 0 46 5 2 4 3
sortie           3

La clé ainsi déterminée est bien 3.

2. b) Le professeur est sûr de ses trois derniers chiffres, donc l'algorithme tourne correctement jusqu'à l'étape 3 :

  P S K U R C
initialisation X732 0 1      
étape 1 X73 4 2 2 4 3
étape 2 X7 13 3 3 6 1
étape 3 X 41 4 7 6 1
étape 4            
sortie            

A l'issue de l'étape 3, on a : U = 7 ; K = 4 ; S = 41 ; P = X ; R = 6 ; C = 1 .
A l'étape 4, on affecte :
    U = X
    S = 41 + 5X
    P = 0
    R est le reste de la division euclidienne de 41 + 5X par 7
    C = 7 - R
Or on sait que C = 7 donc on veut R = 0. On fait un tableau avec les valeurs de S et R en fonction de X :

X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
S = 41 + 5X 41 46 51 56 61 66 71 76 81 86
R 6 4 2 0 5 3 1 6 4 2

Donc la seule possibilité est X = 3.
Le code du professeur est donc 3732.




exercice 4

1. Dessin N°1 complété :
sujet de l'épreuve de spécialité du bac L Métropole 2008 - terminale : image 7


2. a) 1) a'b'c'd' représente un quadrilatère d'un plan horizontal si et seulement si les droites parallèles (a'd') et (c'b') d'une part, et (a'b') et (c'd') d'autre part ont le même point de fuite. C'est le cas, il s'agit respectivement de D1 et D2.

2. a) 2) Le point de fuite de la droite (a'c') est le point F. On vérifie que la droite (b'd') lui est perpendiculaire car elle est parallèle à la ligne d'horizon.

2. b) Dessin N°2 complété :
sujet de l'épreuve de spécialité du bac L Métropole 2008 - terminale : image 8
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