Fiche de mathématiques

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Bac Scientifique
Pondichéry - Session Avril 2008

Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le candidat doit traiter les quatre exercices.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

4 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

1. Soit f la fonction définie sur [1 , + $\infty$ [ par $f(x) = \dfrac{x}{e^x -1}$ et soit H la fonction définie sur [1 , + $\infty$ [ par $H(x) = \displaystyle \int_1^x f(t) \text{d}t$ .
    a) Justifier que f et H sont bien définies sur [1 , + $\infty$ [.
    b) Quelle relation existe-t-il entre H et f ?
    c) Soit $\scr{C}$ la courbe représentative de f dans un repère orthonormal $\left(O \, ; \, \overrightarrow{i} \, , \ \overrightarrow{j}\right)$ du plan. Interpréter en termes d'aire le nombre H(3).

2. On se propose, dans cette question, de donner un encadrement du nombre H(3).
    a) Montrer que pour tout réel $x > 0$ , $\dfrac{x}{e^x - 1} = x \times \dfrac{e^{-x}}{1 - e^{-x}}$ .
    b) En déduire que $\displaystyle \int_1^3 f(x) \text{d}x = 3 \ln\left(1 - \frac{1}{e^3}\right) - \ln\left(1 - \frac{1}{e}\right) - \displaystyle \int_1^3 \ln\left(1 - e^{-x}\right) \text{d}x$
    c) Montrer que si $1 \leq x \leq 3$ , alors $\ln\left(1 - \frac{1}{e}\right) \leq \ln(1 - e^{-x}) \leq \ln\left(1 - \frac{1}{e^3}\right)$ .
    d) En déduire un encadrement de $\displaystyle \int_1^3 \ln(1 - e^{-x}) \text{d}x$ puis de $\displaystyle \int_1^3 f(x) \text{d}x$ .

5 points

exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Cet exercice contient une restitution organisée de connaissances.

Partie A

On suppose connus les résultats suivants :
a) Dans le plan complexe, on donne par leurs affixes $z_A, \, z_B \text{ et } z_C$ trois points A, B et C.
Alors $\left | \dfrac{z_B - z_C}{z_A - z_C} \right | = \dfrac{\text{CB}}{\text{CA}} \hspace{15pt} \text{ et } \hspace{15pt} \arg\left(\dfrac{z_B - z_C}{z_A - z_C}\right) = \left(\overrightarrow{CA} \, , \, \overrightarrow{CB}\right) \: (2 \pi)$
b) Soit z un nombre complexe et soit $\theta$ un réel :
$z = e^{i\theta}$ si et seulement si $\mid z \mid = 1 \text{ et } \arg(z) = \theta + 2k\pi$ où k est un entier relatif.

Démonstration de cours : Démontrer que la rotation r d'angle $\alpha$ et de centre $\Omega$ d'affixe $\omega$ est la transformation du plan qui à tout point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z' tel que $z' - \omega = e^{i \alpha} (z - \omega)$ .

Partie B

Dans un repère orthonormal direct du plan complexe $\left(O \, ; \; \overrightarrow{u} \, , \, \overrightarrow{v}\right)$ d'unité graphique 2 cm, on considère les points A, B, C et D d'affixes respectives $z_A = -\sqrt{3} - \text{i}$ , $z_B = 1 - \text{i}\sqrt{3}$ , $z_C = \sqrt{3} + \text{i}$ et $z_D = -1 + \text{i}\sqrt{3}$ .

1. a) Donner le module et un argument pour chacun des quatre nombre complexes z_A, z_B, z_C et z_D.
    b) Comment construire à la règle et au compas les points A, B, C et D dans le repère $\left(O \, ; \; \overrightarrow{u} \, , \, \overrightarrow{v}\right)$ ?
    c) Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?

2. On considère la rotation r de centre B et d'angle $-\dfrac{\pi}{3}$ . Soient E et F les points du plan définis par : E = r(A) et F = r(C).
    a) Comment construire à la règle et au compas les points F et E dans le repère précédent ?
    b) Donner l'écriture complexe de r.
    c) Déterminer l'affixe du point E.

5 points

exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Partie A

On suppose connu le résultat suivant :
Une application f du plan muni d'un repère orthonormal direct dans lui-même est une similitude directe si et seulement si f admet une écriture complexe de la forme z' = az + b, où $a \in \mathbb{C}^* \text{ et } b \in \mathbb{C}$ .
Démonstration de cours : On se place dans le plan complexe. Démontrer que si A, B, A' et B' sont quatre points tels que A est distinct de B et A' est distinct de B', alors il existe une unique similitude directe transformant A en A' et B en B'.

Partie B

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct $\left(O \, ; \; \overrightarrow{u} \, , \, \overrightarrow{v}\right)$ , on considère les points A, B, C, D d'affixes respectives $z_A = -\sqrt{3} - \text{i}, \, z_B = 1 - \text{i}\sqrt{3}, \, z_C = \sqrt{3} + \text{i}, \, z_D = -1 + \text{i} \sqrt{3}$ .

1. a) Donner le module et un argument de chacun des quatre nombres complexes z_A, z_B, z_C et z_D.
    b) Construire à la règle et au compas les points A, B, C et D (on prendra pour unité graphique 2 cm).
    c) Déterminer le milieu du segment [AC], celui du segment [BD]. Calculer le quotient $\frac{z_B}{z_A}$ . En déduire la nature du quadrilatère ABCD.

2. On considère la similitude directe g dont l'écriture complexe est $z' = e^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}z + 2$ .
    a) Déterminer les éléments caractéristiques de g.
    b) Construire à la règle et au compas les images respectives E, F et J par g des points A, C et O.
    c) Que constate-t-on concernant ces points E, F et J ? Le démontrer.

4 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

On considère un tétraèdre ABCD.
On note I, J, K, L, M, N les milieux respectifs des arêtes [AB], [CD], [BC], [AD], [AC] et [BD].
On désigne par G l'isobarycentre des points A, B, C et D.

sujet du bac scientifique Pondichéry 2008 - terminale : image 1

1. Montrer que les droites (IJ), (KL) et (MN) sont concourantes en G.

Dans la suite de l'exercice, on suppose que AB = CD, BC = AD et AC = BD.
(On dit que le tétraèdre ABCD est équifacial, car ses faces sont isométriques).

2. a) Quelle est la nature du quadrilatère IKJL ? Préciser également la nature des quadrilatères IMJN et KNLM.
    b) En déduire que (IJ) et (KL) sont orthogonales. On admettra que, de même, les droites (IJ) et (MN) sont orthogonales et les droites (KL) et (MN) sont orthogonales.

3. a) Montrer que la droite (IJ) est orthogonale au plan (MKN).
    b) Quelle est la valeur du produit scalaire $\overrightarrow{IJ} \cdot \overrightarrow{MK}$ ? En déduire que (IJ) est orthognale à la droite (AB). Montrer de même que (IJ) est orthogonale à la droite (CD).
    c) Montrer que G appartient aux plans médiateurs de [AB] et [CD].
    d) Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Comment démontrerait-on que G est le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre ABCD ?

7 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

On cherche à modéliser de deux façons différentes l'évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat, en fonction de l'année.
les parties A et B sont indépendantes.

Partie A : un modèle discret

Soit u_n le nombre, exprimé en millions, de foyers possédant un téléviseur à écran plat l'année n.
On pose n = 0 en 2005, u₀ = 1 et, pour tout $n \geq 0, \, u_{n+1} = \dfrac{1}{10}u_n (20 - u_n)$ .

1. Soit f la fonction définie sur [0 ; 20] par $f(x) = \dfrac{1}{10}x(20 - x)$ .
    a) Etudier les variations de f sur [0 ; 20].
    b) En déduire que pour tout $x \in [0 ; 10], \, f(x) \in [0 ; 10]$ .
    c) On donne ci-dessous la courbe représentative $\scr{C}$ de la fonction f dans un repère orthonormal $\left(O \, , \, \overrightarrow{i} \, , \, \overrightarrow{j}\right)$ du plan. Représenter, sur l'axe des abscisses, à l'aide de ce graphique, les cinq premiers termes de la suite $(u_n)_{n \geq 0}$ .

sujet du bac scientifique Pondichéry 2008 - terminale : image 2

2. Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}, \, 0 \leq u_n \leq u_{n+1} \leq 10$ .

3. Montrer que la suite $(u_n)_{n \geq 0}$ est convergente et déterminer sa limite.

Partie B : un modèle continu

Soit $g(x)$ le nombre, exprimé en millions, de tels foyers l'année $x$ . On pose $x = 0$ en 2005, g(0) = 1 et g est une solution, qui ne s'annule pas sur [0 , + $\infty$ [, de l'équation différentielle (E) : $y' = \dfrac{1}{20} y (10 - y)$

1. On considère une fonction y qui ne s'annule pas sur [0 , + $\infty$ [ et on pose $z = \dfrac{1}{y}$ .
a) Montrer que y est solution de (E) si et seulement si z est solution de l'équation différentielle : (E₁) : $z' = -\dfrac12 z + \dfrac{1}{20}$ .
b) Résoudre l'équation (E₁) et en déduire les solutions de l'équation (E).

2. Montrer que g est définie sur [0 , + $\infty$ [ par $g(x) = \dfrac{10}{9e^{-\frac12x}+1}$ .

3. Etudier les variations de g sur [0 , + $\infty$ [.

4. Calculer la limite de g en + $\infty$ et interpréter le résultat.

5. En quelle année le nombre de foyers possédant un tel équipement dépassera-t-il 5 millions ?

Correction

exercice 1 - Commun a tous les candidats

1. a) La fonction $f$ est définie si et seulement si son dénominateur ne s'annule pas.
Or $e^x-1=0 \: \Longleftrightarrow \: e^x = 1 \: \Longleftrightarrow \: x = \ln1 = 0$ , or $0\notin [1,+\infty[$
Donc $f$ est définie sur $[1;+\infty[$ .
De plus, $f$ est continue sur $[1 ; +\infty[$ comme quotient de fonctions continues, donc $f$ admet des primitives sur $[1 ; +\infty[$ . En particulier, $f$ admet une primitive qui vaut 0 pour $x = 1$ , c'est H. Donc H est définie sur $[1 ; +\infty[$ .

1. b) H est une primitive de $f$ , donc $f$ est la dérivée de H : $\boxed{H' = f}$

1. c)

sujet du bac scientifique Pondichéry 2008 - terminale : image 3

Pour tout $x$ appartenant à $[1;+\infty[$ , $x\ge1>0$ et $x\ge1 \: \Rightarrow \: e^x \ge e > 1 \: \Rightarrow \: e^x-1>0$ , donc $f$ est positive sur $[1;+\infty[$ .
Alors, pour tout $x_0\ge 1 ; H(x_0)$ est la mesure en unités d'aires de la surface limitée par $\cal C$ , l'axe des abscisses, et les droites verticales d'équation $x=1$ et $x=x_0$ .
En particulier pour $x_0=3$ ; H(3) est la mesure en unités d'aires de la surface limitée par $\cal C$ , l'axe des abscisses, et les droites verticales d'équation $x=1$ et $x = 3$ .

2. a) Si dans la fraction donnant $f(x)$ on multiplie numérateur et dénominateur par $e^{-x}$ , on obtient :
$f(x)={\dfrac{x}{e^x-1} = \dfrac{xe^{-x}}{e^{-x}e^x-e^{-x}} = x \times \dfrac{e^{-x}}{1-e^{-x}}$

2. b) On intègre par parties $f$ en utilisant l'expression démontrée en 2. a).
On pose $u'(x) = \dfrac{e^{-x}}{1-e^{-x}}$ et $v(x) = x$ :
$u'(x) = \dfrac{u'_1(x)}{u_1(x)}$ en posant $u_1(x)=1-e^{-x}$ . Alors $u(x)=\ln(|1-e^{-x}|)=\ln(1-e^{-x})$ car $x\ge 1 \: \Rightarrow \: -x \le -1 \: \Rightarrow \: e^{-x}\le e^{-1} <1 \: \Rightarrow \: 1 - e^{-x}>0$
$v'(x)=1$
Donc :
$\displaystyle \int_1^3 f(x)dx = \displaystyle \int_1^3u'(x) v(x) dx = [u(x)v(x)]_1^3 - \displaystyle \int_1^3u(x)v'(x)dx \\ \displaystyle \int_1^3f(x) dx = [x \times \ln(1-e^{-x})]_1^3 - \displaystyle \int_1^3\ln(1-e^{-x})dx \\ \displaystyle \int_1^3 f(x) dx = 3\ln(1-e^{-3}) - \ln(1-e^{-1}) - \displaystyle \int_1^3\ln(1-e^{-x})dx \\ \boxed{\displaystyle \int_1^3f(x) dx = 3\ln(1-\frac{1}{e^3}) - \ln(1-\frac{1}{e}) - \displaystyle \int_1^3\ln(1-e^{-x})dx}$

2. c) $u'(x) = \dfrac{e^{-x}}{1-e^{-x}} > 0$ sur $[1 ; +\infty[$ car :
une exponentielle est toujours positive, donc $e^{-x} > 0$
on a montré en 2. b) que $1-e^{-x} > 0$
Donc la fonction $u : x \mapsto \ln(1-e^{-x})$ est strictement croissante sur $[1 ; +\infty[$ , en particulier :
$1 \le x \le 3 \: \Rightarrow \: u(1) \le u(x) \le u(3)$ , ce qui s'écrit $1\le x \le 3 \: \Rightarrow \: \ln\left(1-\frac{1}{e}\right) \le \ln\left(1-e^{-x}\right) \le \ln\left(1-\frac{1}{e^3}\right)$

2. d) On utilise la formule des inégalités de la moyenne :
$(3-1)\ln\left(1-\frac{1}{e}\right) \le \displaystyle \int_1^3 \ln\left(1-e^{-x}\right) \le (3-1) \ln\left(1-\frac{1}{e^3}\right) \\ \boxed{2\ln(1-\frac{1}{e}) \le \displaystyle \int_1^3 \ln(1-e^{-x}) \le 2\ln(1-\frac{1}{e^3})}$
et donc $-2\ln(1-{1\over e^3}) \le -\displaystyle \int _1^3 \ln(1-e^{-x})dx \le -2\ln(1-{1\over e})$
Or d'après les résultats de la question 2. b) :
$\displaystyle \int_1^3 f(x) dx = 3\ln\left(1-\frac{1}{e^3}\right) - \ln\left(1-\frac{1}{e}\right) - \displaystyle \int_1^3 \ln(1-e^{-x})dx \\ 3\ln\left(1-\frac{1}{e^3}\right) - \ln(1-\frac{1}{e}) - 2\ln\left(1-\frac{1}{e^3}\right) \le \displaystyle \int_1^3 f(x) dx \le 3\ln\left(1-\frac{1}{e^3}\right) - \ln\left(1-\frac{1}{e}\right)-2\ln\left(1-\frac{1}{e}\right) \\ \ln\left(1-\frac{1}{e^3}\right) - \ln\left(1-\frac{1}{e}\right) \le \displaystyle \int_1^3 f(x) dx \le 3\left(\ln(1-\frac{1}{e^3})-\ln(1-\frac{1}{e})\right)$
Or $\ln(1-\frac{1}{e^3})- \ln(1-\frac{1}{e})=\ln(\frac{e^3-1}{e^3})-\ln(\frac{e-1}{e})=\ln(\frac{e^3-1}{e^3}\times\frac{e}{e-1})=\ln(\frac{e^3-1}{e^3-e^2})$
Donc $\boxed{\ln\left(\frac{e^3-1}{e^3-e^2}\right) \le \displaystyle \int_1^3 f(x)dx\le 3\ln\left(\frac{e^3-1}{e^3-e^2}\right)}$

exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Partie A

Soit r la rotation de centre $\Omega$ d'affixe $\omega$ d'angle $\alpha$ . Soit M un point du plan d'affixe z. L'image de M par r est le point M' d'affixe z'.
1^er cas : M = $\Omega$ . Alors l'image de M par r est $\Omega$ . On a donc $z = \omega$ et $z' = \omega$ . Alors $z' - \omega = 0$ et $e^{\text{i} \alpha} (z - \omega) = 0$ , on a donc bien $z' - \omega = e^{\text{i} \alpha}(z - \omega)$
2ème cas : M $\neq \Omega$ . Alors M' est tel que $\Omega \text{M'} = \Omega \text{M}$ et $(\overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega M'})=\alpha [2\pi]$
Alors la fraction $\dfrac{z' - \omega}{z - \omega}$ a pour module $|\dfrac{z' - \omega}{z-\omega}| = \dfrac{\Omega M'}{\Omega M}=1$ et pour argument $\arg\left(\dfrac{z'-\omega}{z-\omega}\right) = \left(\overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega M'}\right) = \alpha + 2k\pi \, , \, k\in\mathbb{Z}$
Or un complexe de module 1 et d'argument $\alpha$ s'écrit $e^{i\alpha}$ .
donc $\dfrac{z' - \omega}{z-\omega} = e^{i\alpha}$ , donc $z'-\omega=e^{i\alpha}(z-\omega)$ pour tout $z \neq \omega$
Conclusion : Soit r la rotation de centre $\Omega$ d'affixe $\omega$ d'angle $\alpha$ . r est la transformation du plan qui à tout point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z' tel que $z' - \omega = e^{i \alpha} (z - \omega)$

Partie B

1. a) A, B, C, D sont des points dont les affixes $z_A = -\sqrt3 - i \, ; \, z_B = 1 - i\sqrt3 \, ; \, z_C = \sqrt3 + i \, ; \, z_D=-1+i\sqrt3$ ont toutes pour module 2 car
$\mid z_A \mid = \sqrt {(-\sqrt 3)^2+(-1)^2}=2\\ \mid z_B\mid = \sqrt {1^2+(-\sqrt 3)^2}=2\\ \mid z_C\mid = \sqrt {(\sqrt 3)^2+(1)^2}=2\\ \mid z_D\mid = \sqrt {(-1)^2+(-\sqrt 3)^2}=2$
$z_A = 2\left({-\dfrac{\sqrt{3}}{2}} + i{-\dfrac{1}{2}}\right) = 2\times \left(\cos\left(\dfrac{-5\pi}{6}\right)+i\sin\left(\dfrac{-5\pi}{6}\right)\right)$ , un argument de $z_A$ est $\dfrac{-5\pi}{6}$
$z_B = 2 \left(\dfrac{1}{2} + i \dfrac{-\sqrt{3}}{2} \right) = 2\times \left(\cos \left(\dfrac{-\pi}{3} \right)+i\sin \left(\dfrac{-\pi}{3} \right) \right)$ un argument de $z_B$ est $\dfrac{-\pi}{3}$
$z_C=-z_A$ , donc un argument de $z_C$ est $\dfrac{-5\pi}{6} + \pi = \dfrac{\pi}{6}$ ;
$z_D=-z_B$ , donc un argument de $z_D$ est $\dfrac{-\pi}{3} + \pi = \dfrac{2\pi}{3}$

1. b) On trace le cercle $(C)$ de centre O et de rayon 2. Les affixes des points A, B, C et D ont toutes pour module 2, donc les 4 points appartiennent au cercle $(C)$ .
On note I, J, K et L les points d'intersection du cercle avec les axes des abscisses et des ordonnées.
En partant de I, on reporte au compas le rayon OI du cercle dans les sens antitrigonométrique. On obtient le point B.
z_D = -z_B, donc D est le symétrique de B par rapport à O. On peut donc placer le point D.
$\arg(z_A) - \arg(z_B) = \dfrac{-5\pi}{6} - \left(\dfrac{-\pi}{3}\right) = \dfrac{-5\pi+2\pi}{6} = \dfrac{-\pi}{2}$ donc A est l'image de B par la rotation de centre O et d'angle $\frac{-\pi}{2}$ . On trace donc la perpendiculaire à (OB) passant pas O. Elle coupe (C) en deux points. En choisissant le point tel que l'angle formé entre ce point, O et B fasse $\frac{-\pi}{2}$ , on place le point A.
z_C = -z_A, donc C est le symétrique de A par rapport à O. On peut donc placer le point C.
Cf. construction ci-dessous.

sujet du bac scientifique Pondichéry 2008 - terminale : image 4

1. c) Le quadrilatère ABCD a ses diagonales [AC] et [BD] qui se coupent en O leur milieu , c'est donc un parallélogramme.
De plus, les diagonales sont de même longueur (ce sont des diamètres de $(C)$ donc de longueur 4) donc le quadrialtère ABCD est un rectangle.
Enfin, on a montré dans la question précédente que les diagonales étaient perpendiculaires, donc le quadrilatère ABCD est un carré.

2. a) E = r(A), donc BAE est un triangle équilatéral tel que $(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BE})= \dfrac{-\pi}{3}$ .
Pour construire E, on construit les cercles $(C_1)$ et $(C_2)$ de centres respectifs A et B et de rayon AB. Ils se coupent en 2 points tels que le triangle formé avec les points A et B est équilatéral. On choisit le point E tel que l'angle orienté $(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BE})$ soit égal à $\frac{-\pi}{3}$ .
On procède de la même manière pour contruire le point F, image de C par r.

2. b) D'après les formules du cours, l'écriture complexe d'une rotation r de centre $\Omega$ d'affixe $\omega$ et d'angle $\alpha$ est $z' - \omega = e^{i\alpha}(z - \omega)$ .
Ici, il s'agit de la rotation de centre B d'affixe $z_B = 1 - i\sqrt3 = 2e^{-i\frac{\pi}{3}}$ et d'angle $\frac{-\pi}{3}$ , donc l'écriture complexe correspondante est :
$z' - 2e^{{-i\pi\over 3}} = e^{{-i\pi\over 3}}\left(z-2e^{{-i\pi\over 3}}\right)\\ z'=2e^{-i\frac{\pi}{3}}+e^{-i\frac{\pi}{3}}z-2e^{-i\frac{2\pi}{3}}\\ z'=e^{-i\frac{\pi}{3}}z+2(e^{-i\frac{\pi}{3}}-e^{-i\frac{2\pi}{3}})$
Or $e^{-i\frac{\pi}{3}}-e^{-i\frac{2\pi}{3}}=\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt3}{2}-\left(-\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt3}{2}\right)=1$
Donc $\boxed{z'=e^{-i\frac{\pi}{3}}z+2}$

2. c) E = r(A). On applique donc cette formule à $z = z_A=-\sqrt3-i=2e^{-i\frac{5\pi}{6}}$ :
$z_{\text{E}} = e^{-i\frac{\pi}{3}}z_A + 2 = e^{-i\frac{\pi}{3}}2e^{-i\frac{5\pi}{6}}+2 \\ =2e^{-i\frac{\pi}{3} - i\frac{5\pi}{6}} + 2 = 2e^{-i\frac{7\pi}{6}}+2 \\ =2e^{i\frac{5\pi}{6}}+2=2\left(-\dfrac{\sqrt3}{2}+i\dfrac{1}{2}\right)+2 \\ =-\sqrt3+i+2$
$\boxed{z_E=2-\sqrt3+i}$

exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Partie A

Chercher une similitude directe transformant A en A' et B en B' revient à chercher deux complexes a, b avec $a \not= 0$ tels que $\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} z_{A'} & az_A + b \\ z_{B'} & az_B+b \\ \end{array} \right.$
Ceci est un système de 2 équations à 2 inconnues (a et b). Afin de savoir s'il admet bien une solution on regarde si les coefficients de a et b dans les deux lignes sont proportionnels :
$(z_A \times 1-z_B \times 1) \not= 0$ car A et B sont distincts donc $z_A\neq z_B$ ; donc les coefficients de a et b ne sont pas proportionnels, donc le système admet une et une seule solution (a , b).
Pour trouver alors a , on soustrait les 2 lignes : $z_A' - z_B' = a(z_A - z_B)$
Comme $z_A-z_B\neq 0$ , $a=\dfrac{z_A'-z_B'}{z_A-z_B}\neq 0$ car A' et B' sont distincts.
On peut alors déterminer b : $b = \dfrac{z_A\times z_{B'}-z_{A'} \times z_{B}}{z_A-z_B}$
Conclusion : Soit 4 points A, B, A' et B' tels que A $\neq$ B et A' $\neq$ B'. Alors il existe une unique similitude directe transformant A en A' et B en B'.

Partie B

1. a) A, B, C, D sont des points dont les affixes $z_A = -\sqrt3-i \, ; \, z_B=1-i\sqrt3 \, ; \, z_C=\sqrt3+i \, ; \, z_D=-1+i\sqrt3$ ont toutes pour module 2 car
$\mid z_A\mid=\sqrt {(-\sqrt 3)^2+(-1)^2}=2\\ \mid z_B\mid=\sqrt {1^2+(-\sqrt 3)^2}=2\\ \mid z_C\mid=\sqrt {(\sqrt 3)^2+(1)^2}=2\\ \mid z_D\mid=\sqrt {(-1)^2+(-\sqrt 3)^2}=2$
$z_A=2 \left(\dfrac{-\sqrt{3}}{2} + i \dfrac{-1}{2} \right)=2\times \left(\cos \left(\dfrac{-5\pi}{6}\right) + i\sin\left(\dfrac{-5\pi}{6} \right)\right)$ , un argument de $z_A$ est $\dfrac{-5\pi}{6}$
$z_B = 2 \left( \dfrac{1}{2} + i \dfrac{-\sqrt{3}}{2} \right) = 2\times \left( \cos \left( \dfrac{-\pi}{3} \right) + i \sin \left( \dfrac{-\pi}{3} \right)\right)$ un argument de $z_B$ est $\dfrac{-\pi}{3}$
$z_C = -z_A$ , donc un argument de $z_C$ est $\dfrac{-5\pi}{6} + \pi = \dfrac{\pi}{6}$ ;
$z_D = -z_B$ , donc un argument de $z_D$ est $\dfrac{-\pi}{3} + \pi = \dfrac{2\pi}{3}$

1. b) On trace le cercle $(C)$ de centre O et de rayon 2. Les affixes des points A, B, C et D ont toutes pour module 2, donc les 4 points appartiennent au cercle $(C)$ .
On note I, J, K et L les points d'intersection du cercle avec les axes des abscisses et des ordonnées.
En partant de I, on reporte au compas le rayon OI du cercle dans les sens antitrigonométrique. On obtient le point B.
z_D = -z_B, donc D est le symétrique de B par rapport à O. On peut donc placer le point D.
$\arg(z_A)-\arg(z_B) = \dfrac{-5\pi}{6} - \left(\dfrac{-\pi}{3}\right) = \dfrac{-5\pi+2\pi}{6} = \dfrac{-\pi}{2}$ donc A est l'image de B par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{-\pi}{2}$ . On trace donc la perpendiculaire à (OB) passant pas O. Elle coupe $(C)$ en deux points. En choisissant le point tel que l'angle formé entre ce point, O et B fasse $\dfrac{-\pi}{2}$ , on place le point A.
z_C = -z_A, donc C est le symétrique de A par rapport à O. On peut donc placer le point C.
Cf. construction ci-dessous.

sujet du bac scientifique Pondichéry 2008 - terminale : image 5

1. c) L'affixe du milieu I du segment [AC] est : $z_{\text{I}} = \dfrac{z_{\text{A}} + z_{\text{C}}}{2} = \dfrac{-\sqrt3-i+\sqrt3+i}{2}=0$ . Donc I = O. Le milieu de [AC] est O.
De même, l'affixe du milieu J du segment [BD] est : $z_{\text{J}} = \dfrac{z_{\text{B}} + z_{\text{D}}}{2} = \dfrac{1-i\sqrt3-1+i\sqrt3}{2}=0$ . Donc J = O. Le milieu de [BD] est O.
$\dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}} = \dfrac{1-i\sqrt3}{-\sqrt3-i} = \dfrac{(1-i\sqrt3)(-\sqrt3+i)}{\sqrt3^2+1^2} = \dfrac{-\sqrt3+i+3i+\sqrt3}{4} = \dfrac{4i}{4}$ donc $\boxed{\frac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}} = i}$
Le quadrialtère ABCD a ses diagonales qui se coupent en leur milieu O, c'est donc un parallélogramme.
De plus, $\dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}} = \text{i} = e^{\text{i}\frac{\pi}{2}}$ donc :
$\dfrac{\text{OB}}{\text{OA}} = |i| = 1$ donc $\text{OB} = \text{OA}$ or O milieu de [AC] et [BD] donc AC = 2OA = 2OB = BD
$(\overrightarrow{\text{OA}} , \overrightarrow{\text{OB}}) = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi \, , \, k\in\mathbb{Z}$ donc (AC) et (BD) sont perpendiculaires.
ABCD est donc un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires et de même longueur : ABCD est un carré.

2. a) Il s'agit d'une écriture de la forme $z' = az + b$ avec $a = e^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}$ donc $|a| = 1$ et $a \neq 1$ . On reconnait donc la rotation d'angle $\arg(a) = {-\frac{\pi}{3} + 2k\pi$ , et de centre le point invariant, son affixe est la solution de $z = e^{\frac{-\text{i}\pi}{3}}z + 2$ donc : $z\left(1-e^{{-i\pi\over 3}}\right) = 2$
$z\left(1-\frac{1}{2}+\text{i}\frac{\sqrt3}{2}\right)=2 \\ z\left(\frac{1}{2} + \text{i}\frac{\sqrt3}{2}\right) = 2 \\ ze^{\frac{\text{i}\pi}{3}}=2 \\ z=2e^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}=z_B$
Donc le centre de g est B.
g est donc la rotation de centre B et d'angle $-\frac{\pi}{3}$ .

2. b) E = g(A) donc BAE est un triangle équilatéral tel que $(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BE})=\dfrac{-\pi}{3}$ .
Pour construire E, on construit les cercles $(C_1)$ et $(C_2)$ de centres respectifs A et B et de rayon AB. Ils se coupent en 2 points tels que le triangle formé avec les points A et B est équilatéral. On choisit le point E tel que l'angle orienté $(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BE})$ soit égal à $\dfrac{-\pi}{3}$ .
On procède de la même manière pour contruire le point F, image de C par g : on construit les cercles $(C_3)$ et $(C_4)$ de centres respectifs C et B et de rayon CB. Ils se coupent en 2 points tels que le triangle formé avec les points C et B est équilatéral. On choisit le point F tel que l'angle orienté $(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BF})$ soit égal à $\dfrac{-\pi}{3}$ .
On procède de la même manière pour contruire le point J, image de O par g : on construit les cercles $(C_5)$ et $(C_6)$ de centres respectifs O et B et de rayon OB. Ils se coupent en 2 points tels que le triangle formé avec les points O et B est équilatéral. On choisit le point J tel que l'angle orienté $(\overrightarrow{BO},\overrightarrow{BJ})$ soit égal à $\dfrac{-\pi}{3}$ .

2. c) Il semble que J soit le milieu de [EF].
Or en effet, les similitudes conservent le milieu : O est le milieu de [AC] , E = g(A), F = g(C) et J = g(O) donc J est le milieu de [EF].

exercice 3 - Commun a tous les candidats

1. G est le barycentre de {(A ; 1) ; (B ; 1) ; (C ; 1) ; (D ; 1)}or I est le milieu de [AB] donc le barycentre de {(A , 1) (B , 1)} et J le milieu de [CD] donc le barycentre de {(C , 1) (D , 1)}
donc, en utilisant les propriétés des barycentres partiels, G est le barycentre de {(I , 2) (J , 2)}. Donc $G\in(IJ)$ .
De même G barycentre de {(A , 1) (B , 1) (C , 1) (D , 1)}, K barycentre de {(B , 1) (C , 1)} et L barycentre de {(A , 1) (D , 1)} donc G barycentre de {(K , 2) (L , 2)} donc $G\in(KL)$ .
De même G barycentre de {(A , 1) (B , 1) (C , 1) (D , 1)}, M barycentre de {(A , 1) (C , 1)} et N barycentre de {(B , 1) (D , 1)} donc G barycentre de {(M , 2) (N , 2)} donc $G\in(MN)$ .
On a : $G\in(IJ)$ et $G\in(KL)$ et $G\in(MN)$ donc les droites (IJ),(KL) et (MN) sont concourrantes en G.

2. a) Dans le triangle BAC, K est milieu de [BC] et I milieu de [AB] donc, d'après le théorème de la droite des milieux :
$\overrightarrow{\text{KI}} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{\text{CA}}$
De même, dans le triangle DAC, J est milieu de [CD] et L milieu de [AD] donc $\overrightarrow{\text{JL}} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{\text{CA}}$
donc $\overrightarrow{\text{KI}} = \overrightarrow{\text{JL}}$ . IJKL est un parallélogramme.
Dans le triangle ABD, I milieu de [AB] et L milieu de [AD] donc $\overrightarrow{\text{IL}} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{\text{BD}}$ et d'autre part AC = BD.
On a donc $\text{KI} = \dfrac{\text{AC}}{2} = \dfrac{\text{BD}}{2} = \text{IL}$
IJKL est un parallélogramme dont 2 côtés adjacents ont même longueur, donc IJKL est un losange.
On peut démontrer de façon analogue que IMJN et KNLM sont des losanges.

2. b) IKJL est un losange, donc ses diagonales sont perpendiculaires, donc (IJ) et (KL) sont perpendiculaires.
On admet de même que (IJ) et (MN) sont perpendiculaires et (KL) et (MN) sont perpendiculaires.

3. a) D'après la question précédente, (IJ) est perpendiculaire à (MN) et (IJ) est perpendiculaire à (KL). Or KNML est un losange donc les points K, N, M et L sont coplanaires.
Donc (IJ) est perpendiculaire au plan (KNLM). Or (KNLM) = (MNK) donc (IJ) est perpendiculaire à (MNK).
NB : on sait que les droites (IJ), (KL) et (MN) sont concourrantes en G. Le point d'intersection de (IJ) et (MNK) est donc G : (IJ) est perpendiculaire au plan (MNK) en G.

3. b) $\boxed{\overrightarrow{IJ} \cdot \overrightarrow{MK} = 0}$ car (IJ) est orthogonale au plan (KNM) et (MK) appartient au plan (MNK) donc (IJ) perpendiculaire à (MK).
Or dans le triangle ABC, M milieu de [AC] et K milieu de [BC] donc, d'après le théorème de la droite des milieux, on a : $\overrightarrow{\text{MK}} = \dfrac12 \overrightarrow{\text{AB}}$
Donc $\overrightarrow{\text{IJ}} \cdot \overrightarrow{\text{AB}} = \overrightarrow{\text{IJ}} \cdot 2\overrightarrow{\text{MK}} = 2(\overrightarrow{\text{IJ}} \cdot \overrightarrow{\text{MK}}) = 0$
Donc (IJ) et (AB) sont orthogonales.
De même, $\overrightarrow{\text{IJ}} \cdot \overrightarrow{\text{NK}} = 0$ car (IJ) est orthogonale au plan (KNM) et (NK) appartient au plan (MNK) donc (IJ) perpendiculaire à (NK).
Or dans le triangle BCD, N milieu de [BD] et K milieu de [BC] donc, d'après le théorème de la droite des milieux, on a : $\overrightarrow{\text{NK}} = \dfrac12 \overrightarrow{\text{DC}}$
Donc $\overrightarrow{\text{IJ}} \cdot \overrightarrow{\text{DC}} = \overrightarrow{\text{IJ}} \cdot 2\overrightarrow{\text{NK}} = 2(\overrightarrow{\text{IJ}} \cdot \overrightarrow{\text{NK}}) = 0$
Donc (IJ) et (DC) sont orthogonales.

3. c) ( IJ) est perpendiculaire à [AB] en son milieu I donc (IJ) est dans le plan médiateur de [AB]. Or $G\in(IJ)$ donc G appartient au plan médiateur de [AB].
(IJ) est perpendiculaire à [CD] en son milieu J donc (IJ) est dans le plan médiateur de [CD]. Or $G\in(IJ)$ donc G appartient au plan médiateur de [CD].

3. d) G appartient au plan médiateur de [AB] donc GA = GB.
G appartient au plan médiateur de [CD] donc GC = GD.
On peut calculer GA en utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle AIG rectangle en I, puisque (GI) = (IJ) est perpendiculaire à (AB) en I :
GA² = GI² + IA² = GI² + $\left(\dfrac{\text{AB}}{2}\right)^2$
De même, on peut calculer GC en utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle CJG rectangle en J, puisque (GJ) = (IJ) est perpendiculaire à (CD) en J :
GC² = GJ² + JC² = GJ² + $\left(\dfrac{\text{CD}}{2}\right)^2$
Comme CD = AB (donnée de l'énoncé), et GI = GJ car G est l'isobarycentre de I et J (cf. réponse à la question 1.), on obtient :
GA² = GI² + $\left(\dfrac{\text{AB}}{2}\right)^2$ = GJ² + $\left(\dfrac{\text{CD}}{2}\right)^2$ = GC² ; donc GA = GC et par suite GA = GB = GC = GD.
G est donc le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre ABCD.

sujet du bac scientifique Pondichéry 2008 - terminale : image 6

exercice 4 - Commun à tous les candidats

Partie A : Un modèle discret

1. a) $f$ est une fonction du second degré, qui s'annule en $x = 0$ et $x = 20$ . Elle est définie et dérivable sur [0 ; 20] et pour tout $x$ appartenant à [0 ; 20] :
$f(x) = \dfrac{1}{10}x(20-x) = \dfrac{1}{10}(-x^2+20x)$ donc $f'(x) = \dfrac{1}{10}(-2x+20) = \dfrac{1}{5}(-x+10)$ du signe de $(-x+10)$ .
Donc :
$\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x & 0 & & 10 & & 20 \\ \hline f'(x) & & + & 0 & - & \\ \hline f(x) &_{0} &\nearrow &^{10} &\searrow&_0\\ \hline \end{array}$

1. b) Selon le tableau de variation de $f$ sur [0 ; 10], la fonction est strictement croissante sur [0 ; 10] de 0 à 10. Donc :
pour tout $x\in[0;10]$ , on a $f(x)\in\left[0;10]$

1. c)

sujet du bac scientifique Pondichéry 2008 - terminale : image 7

2. Soit P(n) la propriété : " pour n fixé, on a $0 \le u_n\le u_{n+1}\le 10$ "
pour n = 0, u₀ = 1. Calculons u₁ : $u_1 = \dfrac{1}{10}\times1(20-1)=1,9$ donc $0\le 1\le 1.9\le 10$ . On a bien P(0).
soit un entier $n , \, n\ge 0$ tel que la propriété P(n) est vérifiée. On a donc : $0 \le u_n\le u_{n+1}\le 10$ .
Appliquons $f$ à ces quatre nombres pris dans [0 ; 10] , on sait que sur [0 ; 10] $f$ est strictement croissante, donc :
$(0 \le u_n\le u_{n+1}\le 10 ) \Longrightarrow (f(0)\le f(u_n)\le f(u_{n+1})\le f(10) )$
Or $f(u_n) = u_{n+1};\quad f(u_{n+1})=u_{n+2};\quad f(0)=0;\quad f(10)=10$ , donc $(0\le u_n\le u_{n+1}\le 10 ) \Longrightarrow (0\le u_{n+1}\le u_{n+2})\le 10 )$
Donc la propriété P(n+1) est vérifiée. La propriété P est donc héréditaire.
P(0) est vérifiée et P(n) $\Rightarrow$ P(n+1) donc P(n) est vraie pour tout entier n :
pour tout $n\in\mathbb{N},0\le u_n\le u_{n+1}\le 10$

3. Au 2., on a prouvé que la suite est croissante, majorée par 10, donc elle converge vers un réel L tel que $0\le L\le 10$
Or la limite éventuelle d'une suite récurrente (définie par $u_{n+1}=f(u_n)$ ) vérifie l'équation $L=f(L)$ . On résout donc :
$f(x)=x \: \Longleftrightarrow \: x = \dfrac{1}{10} x \times (20-x) \\ \Longleftrightarrow \: x=0 \text{ ou } 1 = \dfrac{1}{10} \times (20-x) \\ \Longleftrightarrow \: x = 0 \text{ ou } 20-x=10 \\ \Longleftrightarrow \: x=0 \text{ ou } x=10$
Donc L = 0 ou L = 10.
Or la suite est croissante , donc $L\ge 1$ donc L = 10.
La suite (u_n) converge vers 10.

Partie B : un modèle continu

1. a) Soit $y$ une fonction qui ne s'annule pas sur $[0;+\infty[$
$y$ solution de (E) $\Longleftrightarrow \: y'=\dfrac{1}{20}y(10-y)$
Or on suppose que cette foncton $y$ ne s'annule pas sur $[0;+\infty[$ , dans cette équation divisons les deux membres par $(-y^2)$ , on obtient :
$y$ solution de (E) $\Longleftrightarrow \: \dfrac{-y'}{y^2}=-\dfrac{1}{20}\left(\dfrac{10}{y}-1 \right)$ .
Or $z=\dfrac{1}{y}$ avec $y$ ne s'annulant pas sur $[0;+\infty[$ alors z est definie et dérivable sur $[0;+\infty[$ et $z'= \left(\dfrac{1}{y} \right)' = \dfrac{-y'}{y^2}$
Donc on a :
$y$ solution de (E) $\Longleftrightarrow \:$ z solution de (E₁) : $z'=-\dfrac{1}{20}(10z-1)$ $\Longleftrightarrow \:$ z solution de (E₁) : $z'=-\dfrac{1}{2}z+\dfrac{1}{20}$

1. b) (E₁) est une équation différentielle de la forme $z'=az+b$ avec a $\neq$ 0. Les solutions sont les fonctions de la forme : $x\to ke^{ax}-\frac{b}{a},k\in\mathbb{R}$
Pour (E₁), $a=-\dfrac{1}{2}$ et $b=\dfrac{1}{20}$ . Les solutions de (E₁) sont donc les fonctions de la forme : $\boxed{z(x)=ke^{-\frac{1}{2}x}+\frac{1}{10}}$ où k est une constante réelle.
Or z solution de (E₁) $\Longleftrightarrow \: y=\dfrac{1}{z}$ solution de (E).
Donc les solutions de (E) sont de la forme : $\boxed{y(x)=\frac{1}{ke^{-\frac{1}{2}x}+\frac{1}{10}}}$ où k est une constante réelle.

2. g est solution de (E) donc g s'écrit $g(x) = \dfrac{1}{ke^{-\frac{1}{2}x}+\dfrac{1}{10}}$ où k est une constante à déterminer.
Or g(0)=1 donc : $\dfrac{1}{k+\frac{1}{10}}=1$
$k+\dfrac{1}{10}=1 \\ k=1-\dfrac{1}{10}=\dfrac{9}{10}$
Donc pour tout $x$ appartenant à $[0;+\infty[$ , $g(x)=\dfrac{1}{\frac{9}{10}e^{-\frac{1}{2}x}+\frac{1}{10}}$ soit : $\boxed{g(x)=\frac{10}{9e^{-\frac{1}{2}x}+1}}$

3. On pose sur $[0;+\infty[$ : $h(x)=9e^{-\frac{1}{2}x+1$ , alors $g=d\frac{10}{h}$ et donc $g'=10\left(\dfrac{-h'}{h^2}\right)$
Or $h'(x) = 9\times \left(-\dfrac{1}{2} \right)e^{-\frac{1}{2}x}=-\dfrac{9}{2}e^{-\frac{1}{2}x}$
Donc $g'(x)=10\dfrac{\dfrac{9}{2}e^{-\frac{1}{2}x}}{(9e^{-\frac{1}{2}x}+1)^2} > 0$
Donc g est strictement croissante sur $[0;+\infty[$

4. On pose $X = \dfrac{-1}{2}x$ , si $x$ tend vers $+\infty$ , alors X tend vers $-\infty$ .
$\displaystyle {\displaystyle \lim_{X\rightarrow-\infty}(e^X)=0};$ donc $\displaystyle {\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}(e^{(-1/2)x})=0};$ , et donc $\displaystyle {\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}(g(x))={10\over 1+0}=10};$
ainsi le nombre de foyers équipés d'écran plat tend à être égal à 10 millions, au fur et à mesure du temps.

5. On résout $g(x)\ge 5$ , donc
$\dfrac{10}{9e^{-\frac{1}{2}x}+1}\ge 5 \\ 9e^{-\frac{1}{2}x}+1\le 2 \\ 9e^{-\frac{1}{2}x}\le 1 \\ e^{\frac{1}{2}x}\ge 9 \\ \dfrac{1}{2}x\ge \ln9=2\ln3\\ x\ge 4\ln3 \approx 4,39$
Donc le nombre de foyers équipés d'écran plat sera supérieur à 5 millions au bout de 5 ans, c'est-à-dire en 2010.

Publié par Cel/sloreviv le 12-06-2008

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