Fiche de mathématiques

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Bac Scientifique
Polynésie Française - Session 2008

Enseignement Obligatoire :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Enseignement de Spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le candidat doit traiter les quatre exercices. Il est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

4 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

1. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation $z^2 - 6 z + 13 = 0.$
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $(O ; \overrightarrow{u} , \overrightarrow{v})$ d'unité graphique 1 cm.
On considère les points A, B, C d'affixes respectives a = 3 - 2i, b = 3 + 2i, c = 4i.

2. Faire une figure et placer les points A, B, C.

3. Montrer que OABC est un parallélogramme.

4. Déterminer l'affixe du point $\Omega$ , centre du parallélogramme OABC.

5. Déterminer et tracer l'ensemble des points M du plan tels que $||\overrightarrow{\text{MO}} + \overrightarrow{\text{MA}} + \overrightarrow{\text{MB}} + \overrightarrow{\text{MC}}||=12$

6. Soit M un point de la droite (AB). On désigne par $\beta$ la partie imaginaire de l'affixe du point M.
On note N l'image du point M par la rotation de centre $\Omega$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ .
a) Montrer que N a pour affixe $\dfrac{5}{2}-\beta+\dfrac{5}{2}i$ .
b) Comment choisir $\beta$ pour que N appartienne à la droite (BC) ?

4 points

exercice 2 - Commun à tous les candidats

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal $(O ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} , \overrightarrow{k})$ , on considère les points A(1,2,3), B(0,1,4), C(-1,-3,2), D(4,-2,5) et le vecteur $\overrightarrow{n}$ (2,-1,1).

1. a) Démontrer que les points A, B, C ne sont pas alignés.
b) Démontrer que $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal au plan (ABC).
c) Déterminer une équation du plan (ABC).

2. Soit ( $\Delta$ ) la droite dont une représentation paramétrique est : $\left \lbrace \begin{array}{l} x = 2-2t \\ y=-1+t \\ z=4-t \end{array} \right.$ avec $t \in \mathbb{R}$ .
Montrer que le point D appartient à la droite ( $\Delta$ ) et que cette droite est perpendiculaire au plan (ABC).

3. Soit E le projeté orthogonal du point D sur le plan (ABC).
Montrer que le point E est le centre de gravité du triangle ABC.

5 points

exercice 3 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une justification de la réponse choisie.
Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

1. Soit $f$ la fonction solution sur $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle y' = -y + 2 telle que $f(\ln 2) = 1.$
Proposition 1 : "La courbe représentative de $f$ admet au point d'abscisse 0, une tangente d'équation $y = 2x$ ".

2. Soient $f$ et g deux fonctions définies sur un intervalle [A, $+\infty$ [ où A est un réél strictement positif.
Proposition 2 : "Si $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=0$ alors $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)g(x)=0$ ".

3. On admet qu'un bloc de glace fond en perdant 10% de sa masse par minute.
Sa masse initiale est de 10 kg.
Proposition 3 : "A partir de la soixante-dixième minute, sa masse devient inférieure à 1 g".

4. Soient A et B deux évènements d'un même univers $\Omega$ muni d'une probabilité p.
Proposition 4 : "Si A et B sont indépendants et si p(A) = p(B) = 0,4 alors p(A $\cup$ B)=0,8".

5. Une usine fabrique des pièces. Une étude statistique a montré que 2% de la production est défectueuse. Chaque pièce est soumise à un contrôle de fabrication. Ce contrôle refuse 99% des pièces défectueuses et accepte 97% des pièces non défectueuses.
On choisit au hasard une pièce avant son passage au contrôle.
Proposition 5 : "La probabilité que la pièce soit acceptée est égale à 0,9508".

5 points

exercice 3 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une justification de la réponse choisie.
Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

1. Proposition 1 : "Pour tout entier naturel n non nul, n et 2n+1 sont premiers entre eux."

2. Soit $x$ un entier relatif.
Proposition 2 : " $x^2 + x + 3 \equiv 0$ (modulo 5) si et seulement si $x \equiv 1$ (modulo5)"

3. Soit N un entier naturel dont l'écriture en base 10 est $\overline{aba7}$ .
Proposition 3 : "Si N est divisible par 7 alors a + b est divisible par 7."

4. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $(O ; \overrightarrow{u} , \overrightarrow{v})$
Proposition 4 : "La similitude directe de rapport 2, d'angle $\frac{\pi}{6}$ et de centre le point d'affixe 1 - i a pour écriture complexe $z' = \left(\sqrt{3} + \text{i}\right)z + \sqrt{3} - \sqrt{3}\text{i}$ ."

5. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $(O ; \overrightarrow{u} , \overrightarrow{v})$
On considère un point A. On désigne par a son affixe.
On note $s$ la réflexion d'axe $(O ; \overrightarrow{u})$ et $s_{\text{A}}$ la symétrie centrale de centre A.
Proposition 5 : "L'ensemble des nombres complexes a tels que $s \circ s_{\text{A}} = s_{\text{A}} \circ s$ est l'ensemble des nombres rééls."

7 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

Partie A

Restitution organisée de connaissances

On supposera connus les résultats suivants :
Soient u et v deux fonctions continues sur un intervalle [a , b] avec a < b.
Si u $\geq$ 0 sur [a , b] alors $\displaystyle \int_a^b u(x) \text{d}x \ge 0.$
Pour tous réels $\alpha$ et $\beta$ , $\displaystyle \int_a^b \left[\alpha u(x) + \beta v(x)\right] \text{d}x = \alpha \displaystyle \int_a^b u(x) \text{d}x + \beta \displaystyle \int_a^b v(x) \text{d}x.$

Démontrer que si $f$ et g sont deux fonctions continues sur un intervalle [a , b] avec a < b et si, pour tout $x$ de [a , b], $f(x) \le g(x)$ alors $\displaystyle \int_a^b f(x) \text{d}x \le \displaystyle \int_a^b g(x) \text{d}x$ .

Partie B

On considère la fonction $f$ définie sur [0 , $+\infty$ [ par : $f(x) = x + \ln\left(1+e^{-x}\right).$
Sa courbe représentative $C$ ainsi que la droite D d'équation $y=x$ sont données ci-dessous dans un repère orthonormal d'unité graphique 2 cm.

sujet du bac scientifique Polynésie Française 2008 - terminale : image 1

1. Montrer que $f$ est croissante et positive sur [0 , $+\infty$ [.

2. a) Montrer que la courbe $C$ admet pour asymptote la droite D.
    b) Etudier la position de $C$ par rapport à D.

3. Soit I l'intégrale définie par : $I = \displaystyle \int_0^1 \ln\left(1+e^{-x}\right) \text{d}x = \displaystyle \int_0^1 \left[f(x)-x\right] \text{d}x$ . On ne cherchera pas à calculer I.
    a) Donner une intérprétation géométrique de I.
    b) Montrer que pour tout réél $t \ge 0$ , on a $\ln\left(1+t\right) \le t$ .
(On pourra étudier les variations de la fonction g définie sur [0, $+\infty$ [ par $g(t)=\ln\left(1+t\right)-t$ )
On admettra que pour tout réel $t \ge 0$ , on a $\dfrac{t}{t+1} \le \ln\left(1+t\right)$ .
    c) En déduire que pour tout $x$ de [0 , $+\infty$ [, on a : $\dfrac{e^{-x}}{e^{-x}+1} \le \ln\left(1+e^{-x}\right) \le e^{-x}$ .
    d) Montrer que $\ln\left(\dfrac{2}{1+e^{-1}}\right) \le I \le 1-e^{-1}$ .
    e) En déduire un encadrement de I d'amplitude 0,4 par deux nombres décimaux.

4. On désigne par M et N les points de même abscisse $x$ appartenant respectivement à $C$ et D.
On juge que M et N sont indiscernables sur le graphique lorsque la distance MN est inférieure à 0,5 mm.
Déterminer l'ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles M et N sont indiscernables.
Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

Voir la correction

exercice 1 - Commun à tous les candidats

1. C'est une équation du second degré. On détermine le discriminant $\Delta$ :
$\Delta=b^2-4ac=(-6)^2-4\times1\times13=36-52=-16$
Les solutions de l'équation sont donc :
$z_1=\dfrac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a}=\dfrac{6-4i}{2}=3-2i$ et $z_2=\dfrac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}=\dfrac{6+4i}{2}=3+2i$
$\boxed{S=\lbrace 3-2i;3+2i\rbrace }$

2.

sujet du bac scientifique Polynésie Française 2008 - terminale : image 2

3. $z_{\overrightarrow{OA}}=z_A-z_O=3-2i$ et $z_{\overrightarrow{CB}}=z_B-z_C=3+2i-4i=3-2i$
On a donc $z_{\overrightarrow{OA}}=z_{\overrightarrow{CB}}$ donc $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{CB}$ . Donc OABC est un parallélogramme.

4. Le centre d'un parallélogramme est le milieu de ses diagonales. O est donc le milieu du segment [OB], donc :
$z_{\Omega}=\dfrac{z_{\overrightarrow{OB}}}{2}=\dfrac{3+2i}{2} \\ \boxed{z_{\Omega}=\frac{3}{2}+i}$

5. O est le centre du parallélogramme OABC, c'est donc l'isobarycentre des points A, B, C et D. On a donc, pour tout point M du plan :
$\overrightarrow{MO} + \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 4\overrightarrow{M\Omega}$
D'où : $||\overrightarrow{MO} + \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}|| = 12 \: \Longleftrightarrow \: ||4\overrightarrow{M\Omega}|| = 12 \: \Longleftrightarrow \: 4M\Omega=12 \: \Longleftrightarrow \: M\Omega = 3$
L'ensemble cherché est donc le cercle $\scrC$ de centre $\Omega$ et de rayon 3.

6. a) La droite (AB) a pour équation $x=3$ et M appartient à (AB) donc $x_M=3$ or $y_M=\beta$ donc $z_M=3+i\beta$ .
N est l'image de M par la rotation de centre O et d'angle $\frac{\pi}{2}$ , on a donc :
$z_N-z_{\Omega}=e^{i\frac{\pi}{2}}(z_M-z_{\Omega})$
donc $z_N=z_{\Omega}+e^{i\frac{\pi}{2}}(z_M-z_{\Omega})=\dfrac{3}{2}+i+i(3+i\beta-\frac{3}{2}-i)=\dfrac{3}{2}+i+\dfrac{3}{2}i-\beta+1$
$\boxed{z_N=\frac{5}{2}-\beta+\frac{5}{2}i}$

6. b) L'équation de la droite (BC) est de la forme $y=ax+b$ avec :
$a=\dfrac{y_B-y_C}{x_B-x_C}=\dfrac{2-4}{3-0}=-\dfrac{2}{3}$ et $b=y_B-ax_B=2+\frac{2}{3}\times3=2+2=4$ , donc $y=-\dfrac{2}{3}x+4$
N appartient à la droite (BC) si et seulement si $y_N=-\dfrac{2}{3}x_N+4$ :
$\dfrac{5}{2}=-\dfrac{2}{3} \left(\dfrac{5}{2}-\beta \right)+4 \: \Longleftrightarrow \: \dfrac{5}{2}=-\dfrac{5}{3}+\dfrac{2}{3}\beta+4 \\ \Longleftrightarrow \: \dfrac{2}{3}\beta=\dfrac{5}{2}+\dfrac{5}{3}-4=\dfrac{15+10-24}{6}=\dfrac{1}{6} \\ \Longleftrightarrow \: \boxed{\beta=\frac{1}{4}}$

exercice 2 - Commun à tous les candidats

1. a) A(1 ; 2 ; 3) et B(0 ; 1 ; 4) donc $\overrightarrow{AB}(-1;-1;1)$
et C(-1 ; -3 ; 2) donc $\overrightarrow{AC}(-2;-5;-1)$
Les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas proportionnelles donc les vecteurs ne sont pas colinéaires : les points A, B et C ne sont pas alignés.

1. b) Les points A, B et C ne sont pas alignés, ils forment donc un plan.
$\overrightarrow{n}$ est normal à (ABC) $\: \Longleftrightarrow \: \overrightarrow{n}$ orthogonal à $\overrightarrow{AB}$ et à $\overrightarrow{AC}$ $\Longleftrightarrow \: \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AB}=0$ et $\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AC}=0$
Or $\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AB}=2\times(-1)-1\times(-1)+1\times1=-2+1+1=0$ et $\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AC}=2\times(-2)-1\times(-5)+1\times(-1)=-4+5-1=0$
donc $\overrightarrow{n}$ est normal à (ABC)

1. c) $\overrightarrow{n}$ (2 ; -1 ; 1) est normal à (ABC) donc l'équation du plan (ABC) est de la forme $2x-y+z+d=0$ .
Or A appartient au plan, donc $2\times1-1\times2+1\times3+d=0$ donc $d=-3$
L'équation du plan (ABC) est donc $2x-y+z-3=0$ .

2. D appartient à $(\Delta) \: \Longleftrightarrow$ il existe t tel que $\left \lbrace \begin{array}{l} x_D=2-2t \\ y_D=-1+t \\ z_D=4-t \end{array} \right.$
Or pour $t=-1$ , on a :
$2-2t=2+2=4=x_D$ et $-1+t=-1-1=-2=y_D$ et $4-t=4+1=5=z_D$
Donc D appartient à $(\Delta)$ .
D appartient à $(\Delta) \: \Longleftrightarrow$ il existe t tel que $\left \lbrace \begin{array}{l} x_D=2-2t \\ y_D=-1+t \\ z_D=4-t \end{array} \right.$ donc $\overrightarrow{u}(-2,1,-1)$ est un vecteur directeur de $(\Delta)$ .
Or $\overrightarrow{n}(2,-1,1)$ donc $\overrightarrow{n}=-\overrightarrow{u}$ est également directeur de $(\Delta)$ .
Or $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal au plan (ABC), donc $(\Delta)$ est perpendiculaire au plan (ABC).

3. E est le projeté orthogonal de D sur (ABC) donc $2x_E-y_E+z_E-3=0$ ,
Or D appartient à $(\Delta)$ et $(\Delta)$ perpendiculaire à (ABC), donc E appartient aussi à (ABC) : ses coordonnées vérifient le système de la question 2. Pour trouver t, on remplace les coordonnées de E en fonction de t dans l'équation du plan :
$2(2-2t)-(-1+t)+(4-t)-3=0 \\ 4-4t+1-t+4-t-3=0 \\ 6-6t=0 \\ t=1$
On a alors : $x_E=0 \, ; \, y_E=0 \, ; \, z_E=3$
Soit G le centre de gravité du triangle ABC. Alors :
$x_G = \dfrac{x_A+x_B+x_C}{3}=\dfrac{1+0-1}{3}=0$ ; $y_G=\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}=\dfrac{2+1-3}{3}=0$ ; $z_G=\dfrac{z_A+z_B+z_C}{3}=\dfrac{3+4+2}{3}=3$
On a donc G = E.
E est le centre de gravité du triangle ABC.

exercice 3 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. VRAI :
Les solutions de l'équation différentielle $y'=-y+2$ sont les fonctions de la forme $f(x)=Ce^{-x}+2$ .
Or $f(\ln2)=1$ donc $C e^{-\ln 2}+2 = 1$ ; $\dfrac{C}{2}=-1$ ; $C=-2$ donc $f(x)=-2e^{-x}+2$ et $f(0)=-2+2=0$ .
Alors $f'(x)=2e^{-x}$ et donc $f'(0)=2$ .
La tangente au point d'abscisse 0 est alors donnée par l'équation : $y=f'(0)(x-0)+f(0)=2x$

2. FAUX :
Contre-exemple : Les fonctions $f(x)=\frac{1}{x}$ et $g(x)=x$ sont définies sur $[1;+\infty[$ et $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=0$ mais $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)g(x)=\displaystyle \lim_{x\to+\infty}1=1$

3. FAUX :
Le bloc de glace perd 10 % de sa masse par minute. Soit $m_n$ sa masse en grammes à la n-ième minute. On a alors $m_0=10000$ et $m_{n+1}=m_n- \dfrac{10}{100}m_n=0,9m_n$ .
Alors $(m_n)$ est une suite géométrique de premier terme 10000 et de raison 0,9. Alors, le terme général de la suite est donné par : $m_n=0,9^nm_0=10000\times0,9^n$
Au bout de 70 minutes, on a alors : $m_{70}=10000\times0,9^{70}=6,27$ grammes.

4. FAUX :
Les évènements A et B sont indépendants, donc $p(A\cap B)=0,4\times0,4=0,16$ et alors $p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)=0,4+0,4-0,16=0,64$

5. VRAI :
Soient les évènements D : "l'objet est défectueux" et R : "l'objet est refusé au contrôle".
L'énoncé donne : $p(D)=0,02$ ; $p_D(R)=0,99$ et $p_{\bar D}(R)=1-0,97=0,03$
La formule des probabilités totales donne :
$p(R)=p(D\cap R)+p(\bar D \cap R)=p(D)p_D(R)+p(\bar D)p_{\bar D}(R) \\ =0,02\times0,99+(1-0,02)\times0,03=0,0492$
La probabilité que l'objet soit accepté au contrôle est : $p(\bar R)=1-p(R)=1-0,0492=0,9508$

exercice 3 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

1. VRAI :
Soit n un entier naturel non nul. Soit a un diviseur commun de n et 2n+1.
a|n donc a|2n, or a|2n+1 donc a|(2n+1)-2n donc a|1. Donc a = 1. On vient de montrer que le seul diviseur commun à n et 2n+1 est 1, donc n et 2n+1 sont premiers entre eux.

2. FAUX :
Contre-exemple : si $x\equiv 3[5]$ alors $x^2+x+3\equiv 9+3+3 \equiv 15 \equiv 0[5]$

3. VRAI :
Si N est divisible par 7, alors $N \equiv 0[7]$ .
Or $1000 \equiv 6[7]$ et $100 \equiv 2[7]$ et $10 \equiv 3[7]$ donc
$N = 1000a + 100b + 10a + 7 \equiv 6a + 2b + 3a \equiv 9a + 2b \equiv 2a + 2b \equiv 2(a+b) [7]$
donc $2(a+b)\equiv 0[7]$
7 divise 2(a + b), or 2 et 7 sont premiers entre eux donc 7 ne divise pas 2, donc 7 divise a + b.

4. FAUX :
La similitude directe de centre d'affixe $1-i$ , de rapport 2 et d'angle $\frac{\pi}{6}$ a pour écriture complexe :
$z'-(1-i)=2e^{i\frac{\pi}{6}}(z-(1-i)) \\ z'-1+i=(\sqrt3+i)(z-1+i) \\ z'-1+i=\sqrt3z-\sqrt3+\sqrt3i+iz-i-1 \\ z'=(\sqrt3+i)z-\sqrt3+(\sqrt3-2)i$

5. . VRAI
La réflexion par rapport $(O;\overrightarrow{u})$ est celle qui transforme le point d'affixe z en le point d'affixe $\bar{z}$ , donc $s(z) = \bar{z}$ .
La symétrie de centre A est celle qui transforme le point M d'affixe z en le point d'affixe $s_A(z)$ tel que A est le milieu du segment $[M s_A(M)]$ , donc : $a = \frac{z+s_A(z)}{2} \: \Longleftrightarrow \: s_A(z)=2a-z$
On a donc :
$s \circ s_A(z) = s(s_A(z)) = s(2a-z) = \bar{2a-z} = 2 \bar{a}-\bar{z}$
et :
$s_A \circ s(z)=s_A(s(z)) = s_A(\bar{z}) = 2a-\bar{z}$
Donc :
$s \circ s_A(z) = s_A \circ s(z) \, \Longleftrightarrow \, 2 \bar{a}-\bar{z} = 2a-\bar{z} \, \Longleftrightarrow \, \bar{a} = a \, \Longleftrightarrow \, a \in \mathbb{R}$

exercice 4 - Commun à tous les candidats

Partie A - Restitution organisée de connaissances

Si f et g sont deux fonctions continues sur un intervalle [a,b] avec pour tout $x$ de [a,b] , $f(x)\le g(x)$ ,
on a alors $g(x)-f(x)\ge 0$
donc d'après la première propriété rappelée, on a : $\displaystyle \int_a^b (g(x)-f(x)) dx \ge 0$
et d'après la deuxième : $\displaystyle \int_a^b g(x)dx - \displaystyle \int_a^bf(x) dx \ge 0$ d'où $\boxed{\displaystyle \int_a^bf(x)dx \le \displaystyle \int_a^b g(x)dx}$

Partie B

1. $f$ est définie et dérivable sur $[0,+\infty[$ et $f(x)=x+\ln(1+e^{-x})$
donc $f'(x) = 1+\dfrac{-e^{-x}}{1+e^{-x}} = \dfrac{1}{1+e^{-x}}$
Or une exponentielle est toujours positive, donc $e^{-x}>0$ donc $1+e^{-x} > 1 > 0$ donc $f'(x) > 0$
donc $f$ est croissante sur $[0 , +\infty[$
Or $f(0) = 0 + \ln(1+e^{0}) = \ln2 > 0$
Donc $f$ est positive sur $[0,+\infty[$ .

2. a) $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)-x = \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\ln(1+e^{-x})=\displaystyle \lim_{X\to0}\ln(1+X)=\ln1=0$ en posant $X=e^{-x}$ et parce que $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}e^{-x}=0$
Donc la droite $D$ d'équation $y=x$ est asymptote à la courbe $C$ au voisinage de $+\infty$ .

2. b) $f(x)-x=\ln(1+e^{-x})$
Or pour tout $x$ de $[0,+\infty[$ :
$x > 0 \\ -x < 0$
$0 < e^{-x} < 1$ car la fonction exponentielle est croissante.
$1 < 1 + e^{-x} < 2$
$\ln1 < \ln(1+e^{-x}) < \ln2$ car la fonction ln est croissante
donc $f(x) - x > 0$
Soit $f(x) > x$
La courbe $C$ est au-dessus de la droite $D$ .

3. a) I représente l'aire du domaine compris entre la droite $D$ , la courbe $C$ , l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x =1$ , grisée sur la figure.

sujet du bac scientifique Polynésie Française 2008 - terminale : image 4

3. b) Soit la fonction g définie sur $[0,+\infty[$ par $g(t) = \ln(1+t) - t$ .
g est dérivable sur $[0,+\infty[$ et $g'(t)=\dfrac{1}{1+t}-1=\dfrac{-t}{1+t}<0$ sur $[0,+\infty[$ .
Donc g est décroissante sur $[0,+\infty[.$ Or $g(0)=\ln(1+0)-0=0$ donc pour tout t de $[0,+\infty[$ on a $g(t)\le 0$
Pour tout $t\ge0$ , on a $\ln(1+t)\le t$

3. c) Pour tout $t\ge0$ , on a : $\dfrac{t}{t+1}\le \ln(1+t) \le t$
Or pour tout $x$ de $[0,+\infty[$ , $e^{-x}>0$ , on peut donc poser $t=e^{-x}$ . On obtient alors :
pour tout $x$ de $[0,+\infty[$ , $\dfrac{e^{-x}}{1+e^{-x}}\le \ln(1+e^{-x})\le e^{-x}$

3. d) En intégrant l'expression précédente, on obtient :
$\displaystyle \int_0^1 \frac{e^{-x}}{1+e^{-x}} \text{d}x \le \int_0^1 \ln(1+e^{-x})dx \le \int_0^1 e^{-x}dx$
$[-\ln(1+e^{-x})]_0^1 \le I \le [-e^{-x}]_0^1 \\ -\ln(1+e^{-1})+\ln2 \le I\le -e^{-1}+1$
$\boxed{\ln\left(\frac{2}{1+e^{-1}}\right) \le I \le 1-e^{-1}}$

3. e) Or $\ln \left(\dfrac{2}{1+e^{-1}} \right) \approx 0,379$ et $1-e^{-1} \approx 0,632.$
D'où $\boxed{0,3\le I\le 0,7}$

4. M et N sont indiscernables $\Longleftrightarrow$ MN < 0,5 mm
Or l'unité graphique est 2 cm donc 1 cm correspond à 0,5 ; 1 mm correspond à 0,05 et 0,5 mm correspond à 0,025.
Donc M et N indiscernables $\Longleftrightarrow$ MN < 0,025
$\Longleftrightarrow f(x) - x < 0,025 \: \Longleftrightarrow \: \ln(1+e^{-x}) < 0,025 \: \Longleftrightarrow \: 1 + e^{-x} < e^{0,025} \\ \Longleftrightarrow e^{-x} < e^{0,025} - 1 \: \Longleftrightarrow \: -x < \ln(e^{0,025}-1) \: \Longleftrightarrow \: x > -\ln(e^{0,025}-1) \approx 3,68$

Publié par Pascal/Aurélien le 14-06-2008

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