Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9
Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur.
Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices.
Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l'indiquer clairement sur la copie.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
5 points
exercice 1 - Commun à tous les candidats
Les courbes et données ci-dessous représentent respectivement, dans un repère orthonormal , les fonctions et définies sur l'intervalle par : et .
1. On cherche à déterminer l'aire (en unités d'aire) de la partie du plan hachurée.
On note et .
a) Vérifier que la fonction définie sur l'intervalle par est une primitive de la fonction logarithme népérien. En déduire .
b) Démontrer à l'aide d'une intégration par parties que .
c) En déduire .
d) Donner la valeur de .
2.Dans cette question, le candidat est invité à porter sur sa copie les étapes de sa démarche même si elle n'aboutit pas. Pour appartenant à l'intervalle [1 ; e], on note M le point de la courbe d'abscisse et N le point de la courbe de même abscisse.
Pour quelle valeur de , la distance MN est maximale ? Calculer la valeur maximale de MN.
5 points
exercice 2 - Commun à tous les candidats
Dans l'espace muni d'un repère orthonormal , on considère les points
A(1 , 1 , 0) , B(1 , 2 , 1) et C(3 , -1 , 2).
1. a) Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.
b) Démontrer que le plan (ABC) a pour équation cartésienne .
2. On considère les plans et d'équations respectives et .
Démontrer que l'intersection des plans et est une droite , dont une représentation paramétrique est :
3. Quelle est l'intersection des trois plans (ABC), et ?
4.Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation. Déterminer la distance du point à la droite .
5 points
exercice 3 - Commun à tous les candidats
La durée de vie, exprimée en heures, d'un agenda électronique est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre où est un réel strictement positif.
On rappelle que pour tout .
La fonction définie sur l'intervalle par est appelée fonction de fiabilité.
1. Restitution organisée de connaissances a) Démontrer que pour tout , on a .
b) Démontrer que la variable suit une loi de durée de vie sans vieillissement, c'est-à-dire que pour tout réel , la probabilité conditionnelle ne dépend pas du nombre .
2. Dans cette question, on prendra .
a) Calculer et .
b) Sachant que l'évènement est réalisé, calculer la probabilité de l'évènement .
c) Sachant qu'un agenda a fonctionné plus de 2000 heures, quelle est la probabilité qu'il tombe en panne avant 3000 heures ? Pouvait-on prévoir ce résultat ?
5 points
exercice 4 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
Le plan est muni d'un repère orthonormal direct (unité graphique : 1 cm).
Soient A, B et I les points d'affixes respectives 1 + i, 3 - i et 2.
A tout point M d'affixe , on associe le point M' d'affixe telle que . Le point M' est appelé l'image de M.
1. Faire une figure sur une feuille de papier millimétré et compléter cette figure tout au long de l'exercice.
2. Calculer les affixes des points A' et B', images respectives des points A et B. Que remarque-t-on ?
3. Déterminer les points qui ont pour image le point d'affixe -5.
4. a) Vérifier que pour tout nombre complexe , on a : .
b) En déduire une relation entre et et, lorsque est différent de 2, une relation entre et .
c) Que peut-on dire du point M' lorsque M décrit le cercle de centre I et de rayon 2 ?
5. Soient E le point d'affixe , J le point d'affixe -4 et E' l'image de E.
a) Calculer la distance IE et une mesure en radians de l'angle .
b) Calculer la distance JE' et une mesure en radians de l'angle .
c) Construire à la règle et au compas le point E' ; on laissera apparents les traits de construction.
5 points
exercice 4 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct .
Soient A et B les points d'affixes respectives et .
1. On considère la droite d'équation .
Démontrer que l'ensemble des points de dont les coordonnées sont entières est l'ensemble des points Mk(3k + 1 , -4k - 1) lorsque k décrit l'ensemble des entiers relatifs.
2. Déterminer l'angle et le rapport de la similitude directe de centre A qui transforme B en M-1(-2 , 3).
3. Soit la transformation du plan qui à tout point M d'affixe associe le point M' d'affixe .
Déterminer l'image de A par , puis donner la nature et les éléments caractéristiques de .
4. On note B1 l'image de B par et pour tout entier naturel n non nul, Bn+1 l'image de Bn par .
a) Déterminer la longueur ABn+1 en fontion de ABn.
b) A partir de quel entier n le point Bn appartient t-il au disque de centre A et de rayon 10-2 ?
c) Déterminer l'ensemble des entiers n pour lesquels A, B1, Bn sont alignés.
1. a) La fonction est définie et dérivable sur et sa dérivée est égale à :
(on utilise )
Fonc F est une primitive de , la fonction logarithme népéréen, sur . On a donc
1. b). On intègre par parties, en posant et sur .
Donc et . On a alors :
1. c) Or I = 1 donc
1. d) Sur [1 ; e], les fonctions et g sont positives, donc I et J représentent l'aire du domaine compris entre l'axe des abscisses, les droites d'équation et et respectivement les courbes et .
Or sur [1 ; e], est située au-dessus de , donc l'aire A de la partie hachurée s'obtient alors en soustrayant J à I :
2. Les coordonnées de M sont et celles de N et sur [1 ; e] est située au-dessus de donc la distance MN est donnée par :
Soit . h est définie et dérivable sur [1 ; e] et sa dérivée vaut :
Dans ce cas : La valeur maximale de MN est atteinte pour et dans ce cas
exercice 2 - Commun à tous les candidats
1. a) et donc les vecteurs et ne sont pas colinéaires, donc les points A, B et C ne sont pas alignés.
1. b) Soit P le plan d'équation cartésienne .
Pour A : donc Pour B : donc Pour C : donc Or les 3 points ne sont pas alignés, donc P = (ABC).
Le plan (ABC) a pour équation cartésienne .
2. Soit M un point de coordonnées .
L'équation paramétrique de , intersection des plans (P) et (Q) est donc
3. Chercher l'intersection des 3 plans (ABC), (P) et (Q) revient à chercher l'intersection de et (ABC).
Soit M un point de .
donc il existe un réel t tel que donc donc
et alors ; ; Réciproquement, on vérifie que si M a pour coordonnées (2 ; 3 ; 4) alors M appartient à la fois à et à (ABC).
L'intersection de (ABC), (P) et (Q) est donc le point de coordonnées (2 ; 3 ; 4).
4. On cherche le point N de tel que . On aura alors .
Soit N un tel point.
La droite a pour équation paramétrique , donc le vecteur est un vecteur directeur de .
Or donc il existe un réel t tel que donc donc et par suite ; ; Les coordonnées de N sont donc et .
Alors : La distance de A à la droite est de
exercice 3 - Commun à tous les candidats
1. a) Pour tout ,
1. b) Pour tout réel ,
Donc ne dépend pas de t.
Donc la variable X suit une loi de durée de vie sans vieillissement.
2. a) On a donc et
2. b) en application de la formule démontrée à la question 1. b) avec et .
On a donc
2. c) On cherche :
en application de la formule démontrée en 1. b) avec et .
On a donc On pouvait prévoir ce résultat car nous avons démontré que la variable X suit une loi de durée de vie sans vieillissement, donc à partir d'un instant t, la probabilité pour que l'agenda tombe en panne avant 1000 heures supplémentaires est égale à la probabilité pour qu'il tombe en panne avant 1000 heures, soit 0,23 d'après le résultat de la question 2. a).
exercice 4 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
1.
2. L'image du point A d'affixe 1 + i est le point A' d'affixe :
L'image du point B d'affixe 3 - i est le point B' d'affixe :
On a donc et .
On constate que les points A' et B' ont même affixe, ils sont confondus : .
3. On cherche les points M d'affixe z tels que leur image M' ait pour affixe -5. On cherche donc à résoudre Donc ou Les points ayant pour image le point d'affixe -5 sont les points N(2 ; -1) et P(2 ; 1).
4. a)
4. b) Donc et pour , On a donc
4. c) Lorsque M décrit le cercle , donc donc M' appartient au cercle de centre J d'affixe et de rayon 4.
et donc donc M' décrit complètement le cercle de centre J d'affixe 4, et il parcourt 2 fois le cercle lorsque M parcourt une fois le cercle .
5. a) donc
et On a donc
5. b) Le point E appartient au cercle de centre I et de rayon 2, donc d'après la question 4. c), son image E' appartient au cercle de centre J et de rayon 4,
donc
5. c) Cf. graphique de la question 1..
exercice 4 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
1. 4 × 1 + 3 × (-1) = 1, donc le point de coordonnées (1 ; -1) appartient à l'ensemble recherché (E).
Soit M un point de (E), c'est-à-dire un point de (d) à coordonnées entières.
Or 4 × 1 + 3 × (-1) = 1 donc Donc . Or 4 et 3 sont premiers entre eux donc, d'après le théorème de Gauss, .
Il existe donc un réel k tel que , et alors en posant , on obtient alors et , D'où
2. Si M-1 est l'image de B par la similitude directe de centre A, de rapport k et d'angle , alors
et avec et Donc D'où la similitude cherchée est de rapport et d'angle .
3. L'image de A par s est le point A' d'affixe Donc A' = A. L'image de A par s est A. Donc A est un point invariant, c'est le centre de la similitude directe.
Or Donc On reconnait l'écriture complexe de la similitude directe de centre A, de rapport et d'angle .
4. a) Bn+1 est l'image de Bn par la similitude s de centre A et de rapport , donc
4. b) On est en présence d'une suite géométrique de raison donc, pour tout , on a : .
On cherche n tel que :
Or donc donc :
Bn appartient donc au disque de centre A et de rayon 10-2 pour tout
4. c) B2 = s(B1) donc Bn+1 = s(Bn) donc . A chaque nouvelle étape, on fait donc un quart de tour.
On fait donc un demi-tour complet tous les 2 étapes.
L'ensemble des n tels que A, B1 et Bn sont alignés est donc l'ensemble des .
Publié par puisea/Aurélien
le
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