Fiche de mathématiques

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Bac Scientifique
Métropole - Session Juin 2008

Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9

Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur.
Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices.
Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l'indiquer clairement sur la copie.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

5 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Les courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ données ci-dessous représentent respectivement, dans un repère orthonormal $(O \, ; \, \overrightarrow{i} \, , \, \overrightarrow{j})$ , les fonctions $f$ et $g$ définies sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$ par : $f(x) = \ln x$ et $g(x) = \left(\ln x\right)^2$ .

sujet du bac scientifique, obligatoire et spécialité, Métropole 2008 - terminale : image 1

1. On cherche à déterminer l'aire $A$ (en unités d'aire) de la partie du plan hachurée.
On note $I = \displaystyle \int_1^e \ln x \text{d}x$ et $J = \displaystyle \int_1^e \left(\ln x\right)^2 \text{d}x$ .
   a) Vérifier que la fonction $F$ définie sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$ par $F(x) = x\ln x - x$ est une primitive de la fonction logarithme népérien. En déduire $I$ .
   b) Démontrer à l'aide d'une intégration par parties que $J = e - 2I$ .
   c) En déduire $J$ .
   d) Donner la valeur de $A$ .

2. Dans cette question, le candidat est invité à porter sur sa copie les étapes de sa démarche même si elle n'aboutit pas.
Pour $x$ appartenant à l'intervalle [1 ; e], on note M le point de la courbe $\mathscr{C}_f$ d'abscisse $x$ et N le point de la courbe $\mathscr{C}_g$ de même abscisse.
Pour quelle valeur de $x$ , la distance MN est maximale ? Calculer la valeur maximale de MN.

5 points

exercice 2 - Commun à tous les candidats

Dans l'espace muni d'un repère orthonormal $(O \, ; \, \overrightarrow{i} \, , \, \overrightarrow{j} \, , \, \overrightarrow{k})$ , on considère les points
A(1 , 1 , 0) , B(1 , 2 , 1) et C(3 , -1 , 2).

1. a) Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.
b) Démontrer que le plan (ABC) a pour équation cartésienne $2x + y - z - 3 = 0$ .

2. On considère les plans $(P)$ et $(Q)$ d'équations respectives $x + 2y - z - 4 = 0$ et $2x + 3y - 2z - 5 = 0$ .
Démontrer que l'intersection des plans $(P)$ et $(Q)$ est une droite $(\mathscr{D})$ , dont une représentation paramétrique est :
$\left \lbrace \begin{array}{l} x=-2+t\\ y=3\\ z=t \end{array} \right. \hspace{15pt} (t\in\mathbb{R})$

3. Quelle est l'intersection des trois plans (ABC), $(P)$ et $(Q)$ ?

4. Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.
Déterminer la distance du point $A$ à la droite $(\mathscr{D})$ .

5 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

La durée de vie, exprimée en heures, d'un agenda électronique est une variable aléatoire $X$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ où $\lambda$ est un réel strictement positif.
On rappelle que pour tout $t \geq 0 \, , \, P(X \leq t) = \displaystyle \int_0^t \lambda e^{-\lambda x} \text{d}x$ .
La fonction $R$ définie sur l'intervalle $[0 ; +\infty[$ par $R(t) = P(X>t)$ est appelée fonction de fiabilité.

1. Restitution organisée de connaissances
    a) Démontrer que pour tout $t \geq 0$ , on a $R(t) = e^{-\lambda t}$ .
    b) Démontrer que la variable $X$ suit une loi de durée de vie sans vieillissement, c'est-à-dire que pour tout réel $s \geq 0$ , la probabilité conditionnelle $P_{X>t}(X>t+s)$ ne dépend pas du nombre $t \geq 0$ .

2. Dans cette question, on prendra $\lambda = 0,00026$ .
    a) Calculer $P(X \leq 1000)$ et $P(X > 1000)$ .
    b) Sachant que l'évènement $(X > 1000)$ est réalisé, calculer la probabilité de l'évènement $(X > 2000)$ .
    c) Sachant qu'un agenda a fonctionné plus de 2000 heures, quelle est la probabilité qu'il tombe en panne avant 3000 heures ? Pouvait-on prévoir ce résultat ?

5 points

exercice 4 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct $(O \, ; \, \overrightarrow{u} \, , \, \overrightarrow{v})$ (unité graphique : 1 cm).
Soient A, B et I les points d'affixes respectives 1 + i, 3 - i et 2.
A tout point M d'affixe $z$ , on associe le point M' d'affixe $z'$ telle que $z' = z^2-4z$ . Le point M' est appelé l'image de M.

1. Faire une figure sur une feuille de papier millimétré et compléter cette figure tout au long de l'exercice.

2. Calculer les affixes des points A' et B', images respectives des points A et B. Que remarque-t-on ?

3. Déterminer les points qui ont pour image le point d'affixe -5.

4. a) Vérifier que pour tout nombre complexe $z$ , on a : $z' + 4 = (z-2)^2$ .
    b) En déduire une relation entre $|z'+4|$ et $|z-2|$ et, lorsque $z$ est différent de 2, une relation entre $\arg(z'+4)$ et $\arg(z-2)$ .
    c) Que peut-on dire du point M' lorsque M décrit le cercle $\mathscr{C}$ de centre I et de rayon 2 ?

5. Soient E le point d'affixe $2 + 2e^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$ , J le point d'affixe -4 et E' l'image de E.
    a) Calculer la distance IE et une mesure en radians de l'angle $\left(\overrightarrow{u};\overrightarrow{\text{IE}}\right)$ .
    b) Calculer la distance JE' et une mesure en radians de l'angle $\left(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{\text{JE}'}\right)$ .
    c) Construire à la règle et au compas le point E' ; on laissera apparents les traits de construction.

5 points

exercice 4 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct $(O \, ; \, \overrightarrow{u} \, , \, \overrightarrow{v})$ .
Soient A et B les points d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 1 - \text{i}$ et $z_{\text{B}} = 7 + \dfrac{7}{2}\text{i}$ .

1. On considère la droite $(d)$ d'équation $4x + 3y = 1$ .
Démontrer que l'ensemble des points de $(d)$ dont les coordonnées sont entières est l'ensemble des points M_k(3k + 1 , -4k - 1) lorsque k décrit l'ensemble des entiers relatifs.

2. Déterminer l'angle et le rapport de la similitude directe de centre A qui transforme B en M_-1(-2 , 3).

3. Soit $s$ la transformation du plan qui à tout point M d'affixe $z$ associe le point M' d'affixe $z' = \dfrac{2}{3}\text{i}z + \dfrac{1}{3} - \dfrac{5}{3}\text{i}$ .
Déterminer l'image de A par $s$ , puis donner la nature et les éléments caractéristiques de $s$ .

4. On note B₁ l'image de B par $s$ et pour tout entier naturel n non nul, B_n+1 l'image de B_n par $s$ .
    a) Déterminer la longueur AB_n+1 en fontion de AB_n.
    b) A partir de quel entier n le point B_n appartient t-il au disque de centre A et de rayon 10^-2 ?
    c) Déterminer l'ensemble des entiers n pour lesquels A, B₁, B_n sont alignés.

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exercice 1 - Commun à tous les candidats

1. a) La fonction $F(x)=x\ln x-x$ est définie et dérivable sur $]0;+\infty[$ et sa dérivée est égale à :
$F'(x)=\ln x + x\times \dfrac{1}{x}-1=\ln x+1-1=\ln x=f(x)$ (on utilise $(uv)'=u'v+uv'$ )
Fonc F est une primitive de $f$ , la fonction logarithme népéréen, sur $]0;+\infty[$ .
On a donc $I = \displaystyle \int_1^e f(x) \text{d}x = [F(x)]_1^e = F(e)-F(1)=(e\ln e-e)-(1\ln1-1)=0-(-1)=1$
$\boxed{I=1}$

1. b) $J = \displaystyle \int_1^e(\ln x)^2 \text{d}x$ . On intègre par parties, en posant $u(x) = \left(\ln x\right)^2$ et $v'(x)=1$ sur $]0;+\infty[$ .
Donc $u'(x) = 2\dfrac{\ln x}{x}$ et $v(x)=x$ . On a alors :
$J = \displaystyle \int_1^e u(x) v'(x) \text{d}x = [u(x)v(x)]_1^e - \displaystyle \int_1^e u'(x)v(x) \text{dx }\\ J = [x(\ln x)^2]_1^e - \displaystyle \int_1^e2\frac{\ln x}{x}\times x \text{d}x\\ J = e-0-2\int_1^e\ln x dx \\ \boxed{J=e-2I}$

1. c) Or I = 1 donc $\boxed{J=e-2}$

1. d) Sur [1 ; e], les fonctions $f$ et g sont positives, donc I et J représentent l'aire du domaine compris entre l'axe des abscisses, les droites d'équation $x=1$ et $x=e$ et respectivement les courbes $\scr{C}_f$ et $\scr{C}_g$ .
Or sur [1 ; e], $\scr{C}_f$ est située au-dessus de $\scr{C}_g$ , donc l'aire A de la partie hachurée s'obtient alors en soustrayant J à I :
$A = I - J = 1-(e-2)=3-e$
$\boxed{A = 3-e\approx 0,28 \text{ unités d'aire}}$

2. Les coordonnées de M sont $(x,f(x))$ et celles de N $(x,g(x))$ et sur [1 ; e] $\scr{C}_f$ est située au-dessus de $\scr{C}_g$ donc la distance MN est donnée par :
$\text{MN} = f(x)-g(x) = \ln x - (\ln x)^2$
Soit $h(x) = \ln x-(\ln x)^2$ . h est définie et dérivable sur [1 ; e] et sa dérivée vaut :
$h'(x) = \dfrac{1}{x} - 2\dfrac{\ln x}{x} = \dfrac{1-2\ln x}{x}$
$h'(x)=0 \: \Longleftrightarrow \: 1 - 2\ln x=0 \: \Longleftrightarrow \: \ln x = \dfrac{1}{2} \: \Longleftrightarrow x=e^{\frac{1}{2}}=\sqrt e$
Dans ce cas : $\text{MN} = \ln(\sqrt e)-(\ln(\sqrt e)^2) = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{4}=0,25$
La valeur maximale de MN est atteinte pour $\boxed{x=\sqrt e\approx 1,65}$ et dans ce cas $\boxed{\text{MN} = 0,25}$

exercice 2 - Commun à tous les candidats

1. a) $\overrightarrow{\text{AB}}\left(\begin{array}{l} 0\\1\\1\end{array} \right)$ et $\overrightarrow{\text{AC}} \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 2 \end{array} \right)$ donc les vecteurs $\overrightarrow{\text{AB}}$ et $\overrightarrow{\text{AC}}$ ne sont pas colinéaires, donc les points A, B et C ne sont pas alignés.

1. b) Soit P le plan d'équation cartésienne $2x+y-z-3=0$ .
Pour A : $2x_A+y_A-z_A-3=2+1-0-3=0$ donc $A\in P$
Pour B : $2x_B+y_B-z_B-3=2+2-1+3=0$ donc $B\in P$
Pour C : $2x_C+y_C-z_C-3=6-1-2-3=0$ donc $C\in P$
Or les 3 points ne sont pas alignés, donc P = (ABC).
Le plan (ABC) a pour équation cartésienne $2x+y-z-3=0$ .

2. Soit M un point de coordonnées $(x , y , z )$ .
$M\left(\begin{array}{l} x\\y\\z\end{array} \right) \in (P) \cap(Q) \: \Longleftrightarrow \: \left \lbrace \begin{array}{l} M\in(P) \\ M\in(Q) \end{array} \right. \: \Longleftrightarrow \: \left \lbrace \begin{array}{l} x+2y-z-4=0 \\ 2x+3y-2z-5=0 \end{array} \right. \\ \: \Longleftrightarrow \: \left \lbrace \begin{array}{l} x=-2y+z+4 \\ 2(-2y+z+4)+3y-2z-5=0 \end{array} \right. \\ \Longleftrightarrow \: \left \lbrace \begin{array}{l} x=-2y+z+4 \\ -y+3=0 \end{array} \right. \\ \: \Longleftrightarrow \: \left \lbrace \begin{array}{l} y=3 \\ x=-2+z \end{array} \right. \\ \: \Longleftrightarrow \: \left \lbrace \begin{array}{l} x=-2+t \\ y=3 \\ z=t \end{array} \right. \hspace{5pt} t\in\mathbb{R}$
L'équation paramétrique de $\scr D$ , intersection des plans (P) et (Q) est donc $\boxed{\left \lbrace \begin{array}{l} x = -2+t \\y = 3 \\z = t \end{array} \right. \hspace{5pt} t \in \mathbb{R}}$

3. Chercher l'intersection des 3 plans (ABC), (P) et (Q) revient à chercher l'intersection de $\scr D$ et (ABC).
Soit M $(x,y,z)$ un point de $\scr D\cap (ABC)$ .
$M\in\scr D$ donc il existe un réel t tel que $\left \lbrace \begin{array}{l} x=-2+t\\ y=3 \\ z=t \end{array} \right.$
$M\in(ABC)$ donc $2x+y-z-3=0$ donc
$2(-2+t)+3-t-3=0 \\-4+2t-t=0 \\t=4$
et alors $x=-2+t=-2+4=2$ ; $y=3$ ; $z=t=4$
Réciproquement, on vérifie que si M a pour coordonnées (2 ; 3 ; 4) alors M appartient à la fois à $\scr D$ et à (ABC).
L'intersection de (ABC), (P) et (Q) est donc le point de coordonnées (2 ; 3 ; 4).

4. On cherche le point N de $\scr D$ tel que $(\text{AN})\perp\scr D$ . On aura alors $d(\text{A},\scr D)=\text{AN}$ .
Soit N $(x,y,z)$ un tel point.
La droite $\scr D$ a pour équation paramétrique $\left \lbrace \begin{array}{l} x=-2+t \\ y=3 \\ z=t \end{array} \right. \hspace{5pt} t\in\mathbb{R}$ , donc le vecteur $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c} 1\\0\\1 \end{array} \right)$ est un vecteur directeur de $\scr D$ .
$(\text{AN})\perp\scr D \: \Longleftrightarrow \: \overrightarrow{\text{AN}} \cdot \overrightarrow{n}=0 \: \Longleftrightarrow \: (x-1)\times1+(y-1)\times0+z\times1=0 \: \Longleftrightarrow \: x+z-1=0$
Or $\text{N} \in\scr D$ donc il existe un réel t tel que $\left \lbrace \begin{array}{l} x=-2+t \\ y=3\\ z=t \end{array} \right.$ donc $-2+t+t-1=0$ donc $t=\dfrac{3}{2}$ et par suite $x=-\dfrac{1}{2}$ ; $y=3$ ; $z=\dfrac{3}{2}$
Les coordonnées de N sont donc $\left(-\dfrac{1}{2};3;\dfrac{3}{2}\right)$ et $\overrightarrow{\text{AN}} \left(\begin{array}{c} - \frac{3}{2} \\ 2 \\ \frac{3}{2} \end{array} \right)$ .
Alors : $d(\text{A} , \scr D) = \text{AN} = ||\overrightarrow{\text{AN}}|| = \sqrt{\left(-\dfrac{3}{2}\right)^2+2^2+ \left(\dfrac{3}{2} \right)^2} = \sqrt{\dfrac{9}{4}+4+\dfrac{9}{4}}=\sqrt{\dfrac{34}{4}}=\dfrac{\sqrt{34}}{2}$
La distance de A à la droite $\scr D$ est de $\boxed{\frac{\sqrt{34}}{2}\approx 2,92}$

exercice 3 - Commun à tous les candidats

1. a) Pour tout $t\ge 0$ ,
$R(t) = P(X>t) = 1-P(X\le T) = 1 - \displaystyle \int_1^t \left(\lambda e^{-\lambda x} \right)dx = 1 - \left[-e^{\lambda x} \right]_1^t = 1- \left(-e^{-\lambda t}+1 \right)=e^{-\lambda t} \\ \boxed{R(t)=e^{-\lambda t}}$

1. b) Pour tout réel $s\ge 0$ ,
$P_{X>t}(X>t+s)=\dfrac{P((X>t)\cap (X>t+s))}{P(X>t)} = \dfrac{P(X>t+s)}{P(X>t)}\\ = \dfrac{R(t+s)}{R(t)} = \dfrac{e^{-\lambda(t+s)}}{e^{-\lambda t}} \\ = e^{-\lambda (t+s)+\lambda t}=e^{-\lambda s}$
Donc $P_{X>t}(X>t+s)=e^{-\lambda s}$ ne dépend pas de t.
Donc la variable X suit une loi de durée de vie sans vieillissement.

2. a) $P(X>1000) = R(1000) =e^{-0,00026\times1000}=e^{-0,26}\approx 0,77$
$P(X\le 1000) = -1 - P(X>1000)=1-e^{-0,26}\approx 0,23$
On a donc $\boxed{ P(X\le 1000)=1-e^{-0,26}\approx 0,23}$ et $\boxed{P(X>1000)=e^{-0,26}\approx 0,77}$

2. b) $P_{X>1000}(X>2000)=P_{X>1000}(X>1000+1000)=e^{-0,26}\approx 0,77$ en application de la formule démontrée à la question 1. b) avec $t=1000$ et $s=1000$ .
On a donc $\boxed{P_{X>1000}(X>2000)=e^{-0,26}\approx 0,77}$

2. c) On cherche $P_{X>2000}(X\le 3000)$ :
$P_{X>2000}(X\le 3000)=1-P_{X>2000}(X>3000)=1-e^{-0,26}\approx 0,23$ en application de la formule démontrée en 1. b) avec $t=2000$ et $s=1000$ .
On a donc $\boxed{P_{X>2000}(X\le 3000)=1-e^{-0,26}\approx 0,23}$
On pouvait prévoir ce résultat car nous avons démontré que la variable X suit une loi de durée de vie sans vieillissement, donc à partir d'un instant t, la probabilité pour que l'agenda tombe en panne avant 1000 heures supplémentaires est égale à la probabilité pour qu'il tombe en panne avant 1000 heures, soit 0,23 d'après le résultat de la question 2. a).

exercice 4 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

sujet du bac scientifique, obligatoire et spécialité, Métropole 2008 - terminale : image 2

2. L'image du point A d'affixe 1 + i est le point A' d'affixe :
$z_{\text{A}'} = z_{\text{A}}^2-4z_{\text{A}} = (1 + \text{i})^2 - 4(1 + \text{i}) = 1 + 2\text{i} - 1 - 4 - 4\text{i}= -4- 2\text{i}$
L'image du point B d'affixe 3 - i est le point B' d'affixe :
$z_{{\text{B}'}} = z_{\text{B}}^2 - 4z_{\text{B}} = (3-\text{i})^2 - 4(3-\text{i}) = 9-6\text{i}-1-12+4\text{i}=-4-2\text{i}$
On a donc $\boxed{z_{\text{A}'} = -4 - 2\text{i}}$ et $\boxed{z_{\text{B}'} = -4 - 2\text{i}}$ .
On constate que les points A' et B' ont même affixe, ils sont confondus : $\boxed{\text{A}' = \text{B}'}$ .

3. On cherche les points M d'affixe z tels que leur image M' ait pour affixe -5. On cherche donc à résoudre $z'=-5$
$z'=-5 \: \Longleftrightarrow \: z^2-4z=-5 \: \Longleftrightarrow \: z^2-4z+5=0 \\ \Delta=b^2-4ac=16-20=-4<0$
Donc $z'=-5 \: \Longleftrightarrow \: z=\dfrac{-b-\text{i}\sqrt{-\Delta}}{2a} = \dfrac{4-2\text{i}}{2}=2-\text{i}$ ou $z=\dfrac{-b+\text{i}\sqrt{-\Delta}}{2a}=\dfrac{4+2\text{i}}{2}=2+\text{i}$
Les points ayant pour image le point d'affixe -5 sont les points N(2 ; -1) et P(2 ; 1).

4. a) $z'+4=z^2-4z+4=(z-2)^2$

4. b) Donc $|z'+4|=|(z-2)^2|=|z-2|^2$
et pour $z\neq 2$ , $\arg(z'+4)=\arg((z-2)^2)=2\arg(z-2)$
On a donc $\boxed{\begin{array}{l} |z'+4|=|z-2|^2 \\ \arg(z'+4)=2\arg(z-2) \end{array} }$

4. c) Lorsque M décrit le cercle $\scr C$ , $|z-2|=2$ donc $|z'+4|=|z-2|^2=2^2=4$ donc M' appartient au cercle $\scr C'$ de centre J d'affixe et de rayon 4.
et $\arg(z-2) \in [0;2\pi]$ donc $\arg(z'+4)=2\arg(z-2)\in[0,4\pi]$ donc M' décrit complètement le cercle $\scr C'$ de centre J d'affixe 4, et il parcourt 2 fois le cercle $\scr C'$ lorsque M parcourt une fois le cercle $\scr C$ .

5. a) $z_{\overrightarrow{\text{IE}}} = z_{\text{E}} - z_{\text{I}} = 2+2e^{\text{i} \frac{\pi}{3}} - 2 = 2e^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$ donc
$\text{IE} = |z_{\overrightarrow{\text{IE}}}| = |2e^{\text{i}\frac{\pi}{3}}|=2$ et $(\overrightarrow{u},\overrightarrow{\text{IE}}) = \arg{z_{\overrightarrow{\text{IE}}} = \arg(e^{\text{I}\frac{\pi}{3}}) = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi \, , \, k\in\mathbb{R}$
On a donc $\boxed{\text{IE} = 2 \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{\text{IE}} \right) = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \, , \, k\in\mathbb{R} }$

5. b) Le point E appartient au cercle de centre I et de rayon 2, donc d'après la question 4. c), son image E' appartient au cercle $\scr C$ de centre J et de rayon 4,
donc $\boxed{\begin{array}{l} \text{JE}' = 4 \\ (\overrightarrow{u},\overrightarrow{JE})=\arg(z_{\text{E}'}+4)=2\arg(z_{\text{E}} - 2) = \dfrac{2\pi}{3}+2k\pi,k\in\mathbb{R}\end{array} }$

5. c) Cf. graphique de la question 1..

exercice 4 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

1. 4 × 1 + 3 × (-1) = 1, donc le point de coordonnées (1 ; -1) appartient à l'ensemble recherché (E).
Soit M $(x,y)$ un point de (E), c'est-à-dire un point de (d) à coordonnées entières.
$4x+3y=1$ Or 4 × 1 + 3 × (-1) = 1 donc $4(x-1)+3(y+1)=0$
$4(x-1)=-3(y+1)$
Donc $4|3(y+1)$ . Or 4 et 3 sont premiers entre eux donc, d'après le théorème de Gauss, $4|y+1$ .
Il existe donc un réel k tel que $y+1=4k$ , $y=4k-1$
et alors $4(x-1)=-3\times4k$
$x-1=-3k\\ x=-3k+1$
en posant $k'=-k$ , on obtient alors $x=3k'+1$ et $y=-4k'-1$ , $k'\in\mathbb{R}$
D'où $\boxed{ S=\lbrace (3k+1,-4k-1),k\in\mathbb{R}\rbrace }$

2. Si M_-1 est l'image de B par la similitude directe de centre A, de rapport k et d'angle $\theta$ , alors
$k = \dfrac{\text{AM}_{-1}}{\text{AB}} = \left| \frac{z_{\overrightarrow{\text{AM}}_{-1}}}{z_{\overrightarrow{\text{AB}}}} \right|$ et $\theta = \left(\overrightarrow{\text{AB}} , \overrightarrow{\text{AM}}_{-1} \right) = \arg \left( \frac{z_{\overrightarrow{\text{AM}}_{-1}}}{z_{\overrightarrow{\text{AB}}}} \right)$
avec $z_{\overrightarrow{\text{AM}}_{-1}} = (-2+3\text{i})-(1-\text{i})=-3+4\text{i}$ et $z_{\overrightarrow{\text{AB}}} = \left(7+\frac{7}{2}\text{i}\right) - (1 - \text{i}) = 6+\frac{9}{2}\text{i}$
Donc $\dfrac{z_{\overrightarrow{\text{AM}}_{-1}}}{z_{\overrightarrow{\text{AB}}}} = \dfrac{-3+4\text{i}}{6+\dfrac{9}{2}\text{i}}$
$= \dfrac{(-3+4\text{i}) \left(6 - \dfrac{9}{2}\text{i} \right)}{(\dfrac{15}{2})^2} = \left(\dfrac{2}{15}\right)^2\times \left(-18+24\text{i}+\dfrac{27}{2}\text{i}+18\right) \\ =\left(d\frac{2}{15}\right)^2\times\dfrac{75}{2}\text{i}=\dfrac{2}{3}\text{i}$
D'où la similitude cherchée est de rapport $\boxed{k=\frac{2}{3}}$ et d'angle $\boxed{\theta=\frac{\pi}{2}}$ .

3. L'image de A par s est le point A' d'affixe $z_{\text{A}'}=\dfrac{2}{3}\text{i}(1-\text{i})+\dfrac{1}{3}-\dfrac{5}{3}\text{i}=1-\text{i}$
Donc A' = A. L'image de A par s est A.
Donc A est un point invariant, c'est le centre de la similitude directe.
Or $z' = \dfrac{2}{3}\text{i}z + \dfrac{1}{3} - \dfrac{5}{3}\text{i}$
Donc $z' - z_{\text{A}} = z' - 1 + \text{i} = \dfrac{2}{3}\text{i}z + \dfrac{1}{3} - \dfrac{5}{3}\text{i} - 1 + \text{i} = \dfrac{2}{3}\text{i}z - \dfrac{2}{3} - \dfrac{2}{3}\text{i} = \dfrac{2}{3}\text{i}(z + \text{i} - 1) = \dfrac{2}{3}e^{\text{i}\frac{\pi}{2}}(z - z_{\text{A}})$
On reconnait l'écriture complexe de la similitude directe de centre A, de rapport $k = \frac{2}{3}$ et d'angle $\theta=\frac{\pi}{2}$ .

4. a) B_n+1 est l'image de B_n par la similitude s de centre A et de rapport $\dfrac{2}{3}$ , donc $\boxed{\text{AB}_{n+1}=\frac{2}{3}\text{AB}_n}$

4. b) On est en présence d'une suite géométrique de raison $\dfrac{2}{3}$ donc, pour tout $n\ge 1$ , on a : $\text{AB}_n = \left(\dfrac{2}{3}\right)^nAB$ .
On cherche n tel que $AB_n < 10^{-2}$ :
$AB_n<10^{-2} \: \Longleftrightarrow \: \left(\dfrac{2}{3} \right)^n \text{AB} < 10^{-2}$
Or $z_{\overrightarrow{\text{AB}}} = 6 + \dfrac{9}{2}\text{i}$ donc $\text{AB} = \dfrac{15}{2}$ donc :
$\text{AB}_n < 10^{-2} \: \Longleftrightarrow \: \left(\dfrac{2}{3}\right)^n\times\dfrac{15}{2} < 10^{-2} \: \Longleftrightarrow \: \left(\dfrac{2}{3}\right)^n<\dfrac{2}{15}\times10^{-2} \\ \: \Longleftrightarrow \: n \ln\left(\dfrac{2}{3}\right) < \ln\left(\dfrac{2}{15}\times10^{-2}\right) \: \Longleftrightarrow \: n > \dfrac{\ln\left(\frac{2}{15}\times10^{-2}\right)}{\ln\left(\dfrac{2}{3}\right)} \approx 16,3$
B_n appartient donc au disque de centre A et de rayon 10^-2 pour tout $\boxed{n\ge 17}$

4. c) B₂ = s(B₁) donc $(\overrightarrow{\text{AB}_1},\overrightarrow{\text{AB}_2}) = \dfrac{\pi}{2}$
B_n+1 = s(B_n) donc $(\overrightarrow{\text{AB}_n} , \overrightarrow{\text{AB}_{n+1}}) = \dfrac{\pi}{2}$ . A chaque nouvelle étape, on fait donc un quart de tour.
On fait donc un demi-tour complet tous les 2 étapes.
L'ensemble des n tels que A, B₁ et B_n sont alignés est donc l'ensemble des $\boxed{n = 2k+1 \, , \, k \in \mathbb{N}}$ .

Publié par puisea/Aurélien le 20-06-2008

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