Fiche de mathématiques

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Bac Scientifique
La Réunion - Session 2008

Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9

Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur.
Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices.
Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l'indiquer clairement sur la copie.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

5 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Tous les résultats seront arrondis à 10^-2 près.
Une entreprise produit en grande quantité des stylos. La probabilité qu'un stylo présente un défaut est égale à 0,1.

1. On prélève dans cette production, successivement et avec remise huit stylos. On note X la variable aléatoire qui compte le nombre de stylos présentant un défaut parmi les huit stylos prélevés.
   a) On admet que X suit une loi binomiale. Donner les paramètres de cette loi.
   b) Calculer la probabilité des événements suivants :
   A : " il n'y a aucun stylo avec un défaut " ;
   B : " il y a au moins un stylo avec un défaut " ;
   C : " il y a exactement deux stylos avec un défaut ".

2. En vue d'améliorer la qualité du produit vendu, on décide de mettre en place un contrôle qui accepte tous les stylos sans défaut et 20% des stylos avec défaut.
On prend au hasard un stylo dans la production. On note D l'événement " le stylo présente un défaut " et E l'événement " le stylo est accepté ".
   a) Construire un arbre traduisant les données de l'énoncé.
   b) Calculer la probabilité qu'un stylo soit accepté au contrôle.
   c) Justifier que la probabilité qu'un stylo ait un défaut sachant qu'il a été accepté au contrôle est égale à 0,022 à 10^-3 près.

3. Après le contrôle, on prélève, successivement et avec remise, huit stylos parmi les stylos acceptés.
Calculer la probabilité qu'il n'y ait aucun stylo avec un défaut dans ce prélèvement de huit stylos.
Comparer ce résultat avec la probabilité de l'événement A calculée à la question 1.b).
Quel commentaire peut-on faire ?

5 points

exercice 2 - Commun à tous les candidats

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.

Partie A

Soit $f$ la fonction numérique de la variable réelle $x$ définie sur ]0 ; $+\infty$ [ par : $f(x)=\frac{\ln(x)}{x^2}$ .
Sa courbe représentative $\left(\scr{C}\right)$ , construite dans un repère orthonormal, et son tableau de variations sont donnés ci-dessous.

sujet du bac scientifique, obligatoire et spécialité, La Réunion 2008 - terminale : image 1

$\begin{array}{|l|lcccr|} \hline x & 0 & & e^{\frac{1}{2}} & & +\infty \\ \hline \hspace{1pt} & | & & \frac{1}{2e} & & \\ f(x) & | & \nearrow & & \searrow & \\ \hspace{1pt} &|-\infty & & & & 0\\ \hline \end{array}$

1. Le tableau de variations de $f$ donne des propriétés sur les variations de la fonction, les limites aux bornes de l'ensemble de définition ainsi que l'extremum.
Énoncer puis démonter ces propriétés.

2. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.
Existe-t-il des tangentes à la courbe ( $\scr{C}$ ) qui contiennent le point O origine du repère ? Si oui donner leur équation.

Partie B

Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle ]0 ; $+\infty$ [ par $g(x)=\displaystyle \int_1^x\frac{\ln t}{t^2}dt$ .

1. a) Que représente $f$ pour la fonction $g$ ?
b) En déduire le sens de variations de $g$ sur ]0 ; $+\infty$ [.

2. Interpréter géométriquement les réels $g(3)$ et $g\left(\frac{1}{2}\right)$ .

3. a) A l'aide d'une intégration par parties, montrer que $g(x)=1-\frac{\ln x+1}{x}$ .
b) Déterminer la limite de $g$ en $+\infty$ .

5 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

On considère la suite $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par :
$u_0=5$ et, pour tout entier $n \ge 1$ $u_n=\left(1+\frac{2}{n}\right)u_{n-1}+\frac{6}{n}$ .

1. a) Calculer $u_1$ .
b) Les valeurs de $u_2$ , $u_3$ , $u_4$ , $u_5$ , $u_6$ , $u_7$ , $u_8$ , $u_9$ , $u_{10}$ , $u_{11}$ sont respectivement égales à :
45, 77, 117, 165, 221, 285, 357, 437, 525, 621.
À partir de ces données conjecturer la nature de la suite $\left(d_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par $d_n=u_{n+1}-u_n$ .

2. 0n considère la suite arithmétique $\left(v_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ de raison 8 et de premier terme $v_0=16$ .
Justifier que la somme des $n$ premiers termes de cette suite est égale à $4n^2+12n$ .

3. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ on a : $u_n=4n^2+12n+5$ .

4. Valider la conjecture émise à la question 1. b).

5 points

exercice 4 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal $(O \, ; \, \overrightarrow{u} \, , \, \overrightarrow{v})$ .
Soit ( $\scr{C}$ ) le cercle de centre O et de rayon 1.
On considère le point A de ( $\scr{C}$ ) d'affixe $z_{\text{A}} = e^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$ .

1. Déterminer l'affixe $z_{\text{B}}$ du point B image de A par la rotation de centre O et d'angle $\frac{2\pi}{3}$ .
   Déterminer l'affixe $z_{\text{C}}$ du point C image de B par la rotation de centre O et d'angle $\frac{2\pi}{3}$ .

2. a) Justifier que ( $\scr{C}$ ) est le cercle circonscrit au triangle ABC. Construire les points A, B et C sur la feuille de papier millimétré.
   b) Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier.

3. Soit $h$ l'homothétie de centre O et de rapport -2.
   a) Compléter la figure en plaçant les points P, Q et R images respectives des points A, B et C par $h$ .
   b) Quelle est la nature du triangle PQR ? Justifier.

4. Dans cette question le candidat est invité à porter sur sa copie les étapes de sa démarche même si elle n'aboutit pas.
   a) Donner l'écriture complexe de $h$ .
   b) Calculer $z_{\text{A}} + z_{\text{B}} + z_{\text{C}}$ . En déduire que A est le milieu du segment [QR].
   c) Que peut-on dire de la droite (QR) par rapport au cercle ( $\scr{C}$ ) ?

5 points

exercice 4 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

1. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal $(O \, ; \, \overrightarrow{u} \, , \, \overrightarrow{v})$ .
Soient A, B et C les points d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 2+ \text{i}$ , $z_{\text{B}} = 5+2\text{i}$ et $z_{\text{C}}=i$ .
$s_1$ désigne la symétrie d'axe (AB).
   a) Démontrer que $s_1$ transforme tout point M d'affixe z en un point M' d'affixe z' telle que $z'=\left(\frac{4}{5}+\frac{3}{5}\text{i}\right)\bar{z}+\left(-\frac{1}{5}+\frac{3}{5}\text{i}\right)$
   b) En déduire l'affixe de C', symétrique de C par rapport à (AB).
   c) Démontrer que l'ensemble des points M tels que z' est imaginaire pur est la droite $\left(\scr{D}\right)$ d'équation $4x + 3y = 1$ .
   d) Vérifier que le point C' appartient à $\left(\scr{D}\right)$ .

2. a) Démontrer que les droites $\left(\scr{D}\right)$ et (AB) sont sécantes en un point $\Omega$ dont on précisera l'affixe $\omega$ .
   b) On désigne par $s_2$ la symétrie d'axe $\left(\scr{D}\right)$ et par $f$ la transformation définie par $f=s_2 \circ s_1$ . Justifier que $f$ est une similitude directe et préciser son rapport.
   c) Déterminer les images des points C et $\Omega$ par la transformation $f$ .
   d) Justifier que $f$ est une rotation dont on donnera le centre.

3. Dans cette question le candidat est invité à porter sur sa copie les étapes de sa démarche même si elle n'aboutit pas.
   a) Déterminer les couples d'entiers relatifs $(x,y)$ solutions de l'équation : $4x + 3y = 1$ .
   b) Déterminer les points de $\left(\scr{D}\right)$ à coordonnées entières dont la distance au point O est inférieure à 9.

Voir la correction

exercice 1 - Commun à tous les candidats

1. a) X suit une loi binomiale de paramètres $\boxed{n = 8 \text{ et } p = 0,1}$ car on réalise 8 tirages successifs et la probabilité de "succès" (= le stylo présente un défaut) est de 0,1.

1. b) On a donc, pour tout $k \in \ldbrack 0 ; 8 \rdbrack$ : $p(X = k) = \left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) p^k (1-p)^{n-k} = \frac{8!}{(8-k)!k!}0,1^k0,9^{8-k}$
$p(\text{A}) = p(X = 0)= \frac{8!}{8!0!} 0,1^00,9^8 = \boxed{0,43}$
$p(\text{B}) = p(X \ge 1) = 1 - p(X = 0) = 1 - 0,43 = \boxed{0,57}$
$p(\text{C}) = p(X=2) = \frac{8!}{6!2!}0,1^20,9^6 = \boxed{0,15}$

2. a) Arbre pondéré :

sujet du bac scientifique, obligatoire et spécialité, La Réunion 2008 - terminale : image 2

2. b) $p(\text{E}) = p(\text{D} \cap \text{E}) + p(\bar{\text{D}} \cap \text{E}) = p(\text{D})p_{\text{D}}(\text{E}) + p(\bar{\text{D}})p_{\bar{\text{D}}}(\text{E}) = 0,1 \times 0,2 + 0,9 \times 1 = 0,02 + 0,9 = \boxed{0,92}$

2. c) $p_{\text{E}}(\text{D}) = \frac{p(\text{D} \cap \text{E})}{p(\text{E})} = \frac{0,02}{0,92} = \boxed{0,022 \text{ à } 10^{-3} \text{ près}}$

3. On nomme Y la variable aléatoire qui compte le nombre de stylos présentant un défaut parmi les huit prélevés. Y suit une loi binomiale de paramètres $n = 8$ et $p = p_{\text{E}}(\text{D}) = 0,022$ .
Alors $p(Y = 0) = \left(\begin{array}{l} 8 \\0 \end{array}\right) 0,022^0 \times 0,978^8 = \boxed{0,84}$
On a donc $\boxed{p(Y = 0) > p(X = 0)}$ . La procédure de contrôle mise en place est efficace : elle permet d'augmenter la probabilité que le stylo ne possède pas de défaut.

exercice 2 - Commun à tous les candidats

Partie A

1. D'après le tableau de variations, $\text{[math]}$ est croissante sur $]0 ; e^{\frac{1}{2}} ]$ et décroissante sur $[e^{\frac{1}{2}} ; +\infty[$ et son extremum vaut $\frac{1}{2e}$ pour $x = e^{\frac{1}{2}}$ .

Les limites de $f$ sont $\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x) = -\infty$ et $\displaystyle \lim_{x \to +\infty}f(x) = 0$ .

Démonstration :
$f$ est définie et dérivable sur $]0 ; +\infty[$ comme quotient de fonctions dérivables, et pour calculer sa dérivée, on pose :
$u(x) = \ln x$ donc $u'(x)=\frac{1}{x}$ et $v(x) = x^2$ donc $v'(x) = 2x$
Alors, $f' = \displaystyle \left(\frac{u}{v} \right)' = \displaystyle \frac{u'v-uv'}{v^2}$ donc $f'(x) = \displaystyle \frac{\frac{1}{x} \times x^2 -\ln x \times 2x}{x^4} = \displaystyle \frac{x - 2x\ln x}{x^4} = \displaystyle \frac{1 - 2\ln x}{x^3}$
D'où le tableau de signes de $f'$ et de variations de $f$ :

$\begin{tabvar}{|C|CCCCC|} \hline x & 0 & & e^{\frac{1}{2}} & & +\infty \\ \hline 1 - 2\ln x & & + & 0 & - & \\ \hline x^3 & 0 & +& & + & \\ \hline f'(x) & \dbarre & + & 0 & - & \\ \hline \niveau{2}{2} f(x) & -\infty & \croit & \frac{1}{2e} & \decroit & 0 \\ \hline \end{tabvar}$

avec $f\left(e^{\frac{1}{2}}\right) = \displaystyle \frac{\ln \left(e^{\frac{1}{2}} \right)}{ \left(e^{\frac{1}{2}} \right)^2} = \displaystyle \frac{\frac{1}{2}}{e} = \boxed{\frac{1}{2e}}$

Limites :
$\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x) = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\ln x}{x^2} = ''(-\infty)\times(+\infty)'' = \boxed{-\infty}$ car $\left \lbrace { \begin{array}{l} \displaystyle \lim_{x \to 0} \ln x = -\infty \\ \displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{1}{x^2} = +\infty} \end{array} \right.$

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^2} = \boxed{0}$ d'après le théorème des limites comparées : pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\frac{\ln x}{x^n} = 0$

2. Soit A le point de $\scr{C}$ d'abscisse a.
La tangente à la courbe au point A d'abscisse a a pour équation : $y = f'(a)(x - a)+f(a)$ .
On cherche un point A tel que cette tangente passe par le point O, donc tel que $0 = f'(a)(-a) + f(a)$ :
$0 = f'(a)(-a) + f(a) \\ f(a) = af'(a) \\ \displaystyle \frac{\ln a}{a^2} = a\frac{1 - 2\ln a}{a^3} \\ \ln a = 1 - 2\ln a \\ 3\ln a = 1 \\ \ln a = \frac{1}{3} \\ a = e^{\frac{1}{3}}$

et dans ce cas : $f'(a) = \displaystyle \frac{1-2\ln a}{a^3} = \displaystyle \frac{1-\frac{2}{3}}{e} = \displaystyle \frac{1}{3e}$

Il existe donc une seule tangente à la courbe $\scr{C}$ passant par O, elle est tangente en $\scr{C}$ au point A d'abscisse $a = e^{\frac{1}{3}}$ et a pour équation : $\boxed{y = \frac{1}{3e}x}$

sujet du bac scientifique, obligatoire et spécialité, La Réunion 2008 - terminale : image 3

Partie B

1. a) $g(x) = \displaystyle \int_1^x f(t) \text{d}t$ donc $f(x) = g'(x)$ .
f est la dérivée de g.

1. b) Or d'après la courbe de la partie A, f est négative sur $]0 ; 1]$ et positive sur $[1 ; +\infty[$ , donc g est décroissante sur $]0 ; 1]$ et croissante sur $[1 ; +\infty[$ .

2. $g(3) = \displaystyle \int_1^3 f(t) \text{d}t$ . Or f est positive sur $[1 ; 3]$ , donc $g(3)$ représente l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe $\scr{C}$ et les droites d'équation $x = 1$ et $x = 3$ .
$g \left(\frac{1}{2} \right) = \displaystyle \int_1^{\frac{1}{2}}f(t) \text{d}t = - \displaystyle \int_{\frac{1}{2}}^1 f(t) \text{d}t$ . Or f est négative sur $[\frac{1}{2} ; 1]$ donc $g \left(\frac{1}{2} \right)$ représente l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe $\scr{C}$ et les droites d'équation $x = \frac{1}{2}$ et $x = 1$ .

3. a) On pose $u(t) = \ln t$ et $v'(t) = \frac{1}{t^2}$ , on a alors $u'(x) = \frac{1}{t}$ et on choisit $v(t) = -\frac{1}{t}$ .
On intègre par parties :
$g(x) = \displaystyle \int_1^x\frac{\ln t}{t^2} \text{d}t = \displaystyle \int_1^x u(t)v'(t) \text{d}t = [u(t)v(t)]_1^x - \displaystyle \int_1^x u'(t) v(t) \text{d}t\\ g(x) = \left[-\frac{\ln t}{t}\right]_1^x - \displaystyle \int_1^x \left(-\frac{1}{t^2}\right) \text{d}t = -\frac{\ln x}{x} + 0 - \left[\frac{1}{t}\right]_1^x\\ g(x) = -\frac{\ln x}{x} - \frac{1}{x} + 1\\ \boxed{g(x) = 1 - \frac{\ln x + 1}{x}}$

3. b) $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} g(x) = \displaystyle \lim_{x \to +\infty} 1 - \frac{\ln x + 1}{x} = ''1 - 0 + 0 '' = \boxed{1}$ car $\left \lbrace \begin{array}{l} \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0 \\ \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0 \end{array} \right.$

exercice 3 - Commun à tous les candidats

1. a) $u_1 = (1+2)u_0 + 6 = 3 \times 5 + 6 = 15 + 6 = \boxed{21}$ .

1. b) On a :
d₀ = u₁ - u₀ = 21 - 5 = 16
d₁ = u₂ - u₁ = 45 - 21 = 24
d₂ = u₃ - u₂ = 77 - 45 = 32
d₃ = 40 ; d₄ = 48 ; d₅ = 56 ; d₆ = 64 ; d₇ = 72 ; d₈ = 80 ; d₉ = 88 ; d₁₀ = 96
On peut conjecturer que la suite $(d_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est une suite arithmétique de raison 8.

2. La somme des n premiers termes d'une suite arithmétique est donnée par : $S_n = n \displaystyle \frac{v_0 + v_{n-1}}{2}$
Or $(v_n)$ est une suite arithmétique de raison 8, donc pour tout entier naturel n : $v_n = v_0 + 8n$ , donc
$S_n = n \displaystyle \frac{16+16+8(n-1)}{2} = n\frac{32-8+8n}{2} = n(12+4n) = \boxed{4n^2+12n}$

3. Démonstration par récurrence :
Pour n = 0, $4n^2 + 12n + 5 = 5 = u_0$ . La propriété est vraie au rang 0.
On suppose la propriété vraie pour n fixé : $u_n = 4n^2 + 12n + 5$
Pour n + 1 : $4(n + 1)^2 + 12(n + 1) + 5 = 4n^2 + 8n + 4 + 12n + 12 + 5 = 4n^2 + 20n + 21$
et
$u_{n+1} = \left(1 + \displaystyle \frac{2}{n+1} \right)u_n + \displaystyle \frac{6}{n+1} = \left(1 + \frac{2}{n+1} \right) (4n^2 + 12n + 5) + \frac{6}{n+1} \\ u_{n+1} = 4n^2 + 12n + 5 + \displaystyle \frac{1}{n+1}(8n^2 + 24n + 10 + 6)\\ u_{n+1} = 4n^2 + 12n + 5 + \displaystyle \frac{8}{n+1}(n^2 + 3n + 2)\\ u_{n+1} = 4n^2 + 12n + 5 + \frac{8}{n+1}(n + 1)(n + 2)\\ u_{n+1} = 4n^2 + 12n + 5 + 8(n + 2) = 4n^2 + 20n + 21$
Donc $u_{n+1} = 4(n + 1)^2 + 12(n + 1) + 5$ .
La propriété est héréditaire.
La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire, elle est donc vraie pour tout $n \ge 0$
Conclusion : $\boxed{ \text{pour tout entier naturel } n, \, u_n = 4n^2 + 12n + 5}$

4. Alors,
$d_n = u_{n+1} - u_n = 4(n + 1)^2 + 12(n + 1) + 5 - 4n^2 - 12n - 5\\ d_n = 8n + 4 + 12 = 8n+16$
Il s'agit du terme général d'une suite arithmétique de premier terme d₀ = 16 et de raison r = 8.
(d_n) est une suite arithmétique de raison 8.

exercice 4 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. La rotation r de centre O et d'angle $\frac{2\pi}{3}$ a pour écriture complexe $z' = ze^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}$
$\text{B} = r(\text{A})$ donc $z_{\text{B}} = z_{\text{A}}e^{\text{i}\frac{2\pi}{3}} = e^{\text{i}\frac{\pi}{3}} e^{\text{i}\frac{2\pi}{3}} = e^{\text{i} \pi}=\boxed{-1}$
$\text{C} = r(\text{B})$ donc $z_{\text{C}} = z_{\text{B}} e^{\text{i} \frac{2\pi}{3}} = \boxed{-e^{\text{i} \frac{2\pi}{3}}} = e^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}$

2. a) On sait que $\text{A} \in \scr{C}$
$|z_{\text{B}}| = |-1| = 1$ donc OB = 1 donc $\text{B} \in \scr{C}$
$|z_{\text{C}}| = |e^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}| = 1$ donc OC = 1 donc $\text{C} \in \scr{C}$
Donc $\scr{C}$ passe par les points A, B et C : $\scr{C}$ est le cercle circonscrit au triangle ABC.

Construction : cf. figure en fin d'exercice.

2. b) $\text{AC} = |z_{\text{C}} - z_{\text{A}}| = \left|e^{-\text{i} \displaystyle \frac{\pi}{3}} - e^{\text{i} \displaystyle \frac{\pi}{3}} \right| = \left|\displaystyle \frac{1}{2} - \displaystyle \frac{\sqrt3}{2}\text{i} - \displaystyle \frac{1}{2} - \displaystyle \frac{\sqrt3}{2} \text{i} \right| = |-\sqrt{3} \text{i}| = \sqrt{3}$
$\text{AB} = |z_{\text{B}} - z_{\text{A}}| = |-1 - e^{\text{i}\frac{\pi}{3}}| = \left|-1 - \displaystyle \frac{1}{2} - \displaystyle \frac{\sqrt3}{2} \text{i} \right| = \left| - \displaystyle \frac{3}{2} - \displaystyle \frac{\sqrt3}{2}\text{i} \right| = \sqrt{\displaystyle \frac{9}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{3}$
$\text{BC} = |z_{\text{C}} - z_{\text{B}}| = |e^{-\text{i} \frac{\pi}{3}} + 1| = \left| \displaystyle \frac{1}{2} - \displaystyle \frac{\sqrt3}{2} \text{i} + 1 \right| = \left| \displaystyle \frac{3}{2} - \displaystyle \frac{\sqrt3}{2}\text{i} \right| = \sqrt{3}$
On a donc AB = AC = BC. ABC est un triangle équilatéral.

3. a) Cf. figure en fin d'exercice.

3. b) $\text{P} = h(\text{A})$ ; $\text{Q} = h(\text{B})$ ; $\text{R} = h(\text{C})$ et ABC équilatéral, or les homothéties conservent les distances, donc PQR est équilatéral.

4. a) L'écriture complexe de l'homothétie h de centre O et de rapport -2 est : $\boxed{z' = -2z}$

4. b) $z_{\text{A}} + z_{\text{B}} + z_{\text{C}} = e^{\text{i}\frac{\pi}{3}} - 1 + e^{-\text{i}\frac{\pi}{3}} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt3}{2}\text{i} - 1 + \frac{1}{2} -\frac{\sqrt{3}}{2} \text{i} = \boxed{0}$
On a donc $z_{\text{A}} = -(z_\text{B}} + z_{\text{C}})$ or $\text{Q} = h(\text{B})$ donc $z_{\text{Q}} = -2z_{\text{B}}$ et $\text{R} = h(\text{C})$ donc $z_{\text{R}} = -2z_{\text{C}}$ , d'où :
$z_{\text{A}} = - \left( - \displaystyle \frac{z_{\text{Q}}}{2} - \displaystyle \frac{z_{\text{R}}}{2} \right) = \displaystyle \frac{z_{\text{Q}} + z_{\text{R}}}{2}$ donc A est le milieu de [QR].

4. c) A est le milieu de [QR] donc (PA) est la médiane issue de P dans le triangle PQR.
Or PQR est équilatéral, donc (PA) est à la fois médiane et hauteur, donc (PA) est perpendiculaire à (QR).
Or $\text{P} = h(\text{A})$ donc $\text{O} \in (PA)$ donc (PA) = (OA).
On a donc : (QR) perpendiculaire à la droite (OA) radiale du cercle $\scr{C}$ au point A du cercle $\scr{C}$ , donc (QR) est tangente au cercle $\scr{C}$ .

Figure :

sujet du bac scientifique, obligatoire et spécialité, La Réunion 2008 - terminale : image 4

exercice 4 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

1. a) L'écriture complexe d'une symétrie axiale est du type : $z' = a\bar{z} + b$
Or $\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} {\text{A} & s_1(\text{A}) \\ \text{B} & s_1(\text{B}) \\ \end{array} \right. \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} {2 + \text{i} & a(\overline{2+\text{i}}) + b \\ 5 + 2\text{i} & a(\overline{5 + 2\text{i}})+b \\ \end{array} \right. \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} {2 + \text{i} & a(2 - \text{i}) + b \\ 5 + 2\text{i} & a(5 - 2\text{i}) + b \\ \end{array} \right. \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} {2 + \text{i} & a(2 - \text{i})+b \\ 3 + \text{i} & a(3 - \text{i}) \\ \end{array} \right.$
Donc $a = \displaystyle \frac{3 + \text{i}}{3 - \text{i}} = \frac{(3 + \text{i})^2}{9 + 1} = \frac{9 + 6\text{i} - 1}{10} = \frac{4 + 3\text{i}}{5}$
et alors $b = 2 + \text{i} - \displaystyle \frac{4 + 3\text{i}}{5} \times (2 - \text{i}) = \frac{10 + 5\text{i} - 8 + 4\text{i} - 6\text{i} - 3}{5} = \frac{-1 + 3\text{i}}{5}$
D'où l'écriture complexe de la symétrie d'axe (AB) : $\boxed{z' = \displaystyle \frac{4 + 3\text{i}}{5} \bar{z} + \frac{-1 + 3\text{i}}{2}}$

1. b) $\text{C}' = s_1(\text{C})$ donc $z_{\text{C}'} = \displaystyle \frac{4 + 3\text{i}}{5} \bar{z}_{\text{C}} + \frac{-1 + 3\text{i}}{5} = \frac{4 + 3\text{i}}{5}(-\text{i}) + \frac{-1 + 3\text{i}}{5} = \frac{-4\text{i} + 3 - 1 + 3\text{i}}{5} = \boxed{\displaystyle \frac{2 - \text{i}}{5}}$

1. c) Soit M(z) un point tel que z' est imaginaire pur. On note $z = x + \text{i}y$ .
On a alors : $z' = \displaystyle \frac{4 + 3\text{i}}{5}(x - \text{i}y) + \displaystyle \frac{-1 + 3\text{i}}{5} = \frac{4x + 3y - 1}{5} + \frac{3x - 4y + 3}{5}$
z' est imaginaire pur si et seulement si $\text{Re}(z') = 0 \Longleftrightarrow \displaystyle \frac{4x+3y-1}{5} = 0 \Longleftrightarrow \boxed{4x + 3y = 1}$
L'ensemble des point M tels que M' est imaginaire pur est la droite $(\scr{D})$ d'équation $4x + 3y = 1$ .

1. d) $z_{\text{C}'} = \displaystyle \frac{2 - \text{i}}{5}$ donc $4 x_{\text{C}} + 3y_{\text{C}} = 4 \times \frac{2}{5} + 3 \times \frac{-1}{5} = \frac{8 - 3}{5} = 1$ donc $\boxed{\text{C}' \in (\scr D)}$

2. a) Déterminons l'équation de la droite (AB) :
On note $y = ax + b$ l'équation de (AB).
$\text{A} \in (\text{AB})$ donc $1 = 2a + b$ et $\text{B} \in (\text{AB})$ donc $2 = 5a + b$
Donc $2 = 5a + 1 - 2a$ ; $1 = 3a$ ; $a = \displaystyle \frac{1}{3}$ et $b = 1 - 2a = \displaystyle \frac{1}{3}$
L'équation de (AB) est donc $y = \displaystyle \frac{x + 1}{3}$

Intersection :
$\text{M}(z = x + \text{i}y) \in (\scr{D}) \cap (\text{AB}) \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } l} {4x + 3y & 1 \\ y & \frac{x + 1}{3} \\ \end{array} \right. \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } l} {y & \displaystyle \frac{x+1}{3} \\ 4x + 3 \displaystyle \frac{x + 1}{3} & 1 \\ \end{array} \right. \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } l} {y & \displaystyle \frac{x+1}{3} \\ 4x + x + 1 & 1 \\ \end{array} \right. \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } l} {y & \displaystyle \frac{x+1}{3} \\ 5x & 0 \\ \end{array} \right. \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } l} {x & 0 \\ y & \displaystyle \frac{1}{3} \\ \end{array} \right.$

Les droites $(\scr D)$ et (AB) sont donc sécantes en un point $\Omega$ d'affixe $\boxed{\omega = \displaystyle \frac{1}{3}i}$

2. b) $f$ est la composée de deux symétries axiales d'axes sécants en $\Omega$ , donc $f$ est une rotation de centre $\Omega$ , c'est une similitude directe de rapport 1.

2. c) $f(\text{C}) = s_2 \circ s_1(\text{C}).$ Or $s_1(\text{C}) = \text{C'}$ donc $f(\text{C}) = s_2 \circ s_1(\text{C}) = s_2(\text{C'})$
Or $\text{C'} \in(\scr{D})$ donc $s_2 (\text{C'}) = \text{C'}$ et $\boxed{f(\text{C}) = \text{C'}}$
$\Omega$ est le centre de la rotation, donc $\boxed{f(\Omega) = \Omega}$

2. d) Cf. question 2. b).

3. a) Le couple (1 ; -1) est une solution particulière de $4x + 3y = 1$
Soit $(x , y)$ un couple d'entiers relatifs solution de $4x + 3y = 1$ .
$4x + 3y = 1 = 4 \times 1 + 3 \times (-1)$
Donc $4(x - 1) = -3(y + 1)$ donc $4 | 3(y + 1)$
Or 4 et 3 sont premiers entre eux donc, d'après le théorème de Gauss, $4 | y + 1$
Donc il existe un entier k tel que $y + 1 = 4k$ ; $y = 4k - 1$
Et dans ce cas, $4(x - 1) = -3 \times 4k$ donc $x = -3k + 1$
Réciproquement, on vérifie que tous les couples de la forme $(-3k + 1 ; 4k - 1)$ sont solutions, car :
$4(-3k + 1) + 3(4k - 1) = -12k + 4 + 12k - 3 = 1$
Conclusion :' $\boxed{S = \lbrace (-3k + 1 ; 4k - 1) , k \in \mathbb{Z} \rbrace }$

3. b) Les points recherchés font partie de l'ensemble solution déterminé précédemment, leur coordonnées sont donc de la forme : $(-3k + 1 ; 4k - 1)$ où k est un entier relatif.
$\text{OM} < 9 \Longleftrightarrow \text{OM}^2 < 81 \Longleftrightarrow (-3k + 1)^2 + (4k - 1)^2 < 1 \Longleftrightarrow 25k^2 - 14k + 2 < 81 \Longleftrightarrow 25k^2 - 14k - 79 < 0$

Soit $P(t) = 25t^2 - 14t - 79$
$\Delta = 196 + 7900 = 8096$
$t_1 = \frac{14-\sqrt{8096}}{50} \approx -1,52$ et $t_2 = \frac{14+\sqrt{8096}}{50} \approx 2,08$ donc $P(t) < 0 \Longleftrightarrow -1,52 < t < 2,08$
Donc $25k^2 - 14k - 81 < 0 \Longleftrightarrow k \in \lbrace -1 ; 0 ; 1 ; 2 \rbrace$
Pour $k = -1$ , $x = 4$ et $y = -5$
Pour $k = 0$ , $x = 1$ et $y = -1$
Pour $k = 1$ , $x = -2$ et $y = 3$
Pour $k = 2$ , $x = -5$ et $y = 7$

Les points de $(\scr{D})$ à coordonnées entières dont la distance au point O est inférieur à 9 sont donc les points I(4 ; -5) ; J(1 ; -1) ; K(-2 ; 3) et L(-5 ; 7).

Figure :

sujet du bac scientifique, obligatoire et spécialité, La Réunion 2008 - terminale : image 5

Publié par tom_pascal le 22-10-2008

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