Fiche de mathématiques

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Bac Scientifique
Centres étrangers - Session 2008

Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9

L'usage des calculatrices est autorisé selon les termes de la circulaire n°99-186 du 16 novembre 1999.
2 feuilles de papier millimétré seront mises à la disposition des candidats.
Le candidat doit traiter les quatre exercices.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

4 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

L'espace est rapporté au repère orthonormal $(O \, ; \, \overrightarrow{i} \, , \, \overrightarrow{j} \, , \, \overrightarrow{k})$ .
On considère les points : A(2 ; 1 ; -1), B(-1 ; 2 ; 4), C(0 ; -2 ; 3), D(1 ; 1 ; -2) et le plan $\mathscr{P}$ d'équation $x - 2y + z + 1 = 0$ .
Pour chacune des huit affirmations suivantes, dire, sans justifier, si elle est vraie ou si elle est fausse.
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et l'un des deux mots VRAI ou FAUX correspondant à la réponse choisie.
Une réponse exacte rapporte 0,5 point. Une réponse inexacte enlève 0,25 point. L'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point.
Si le total est négatif, la note de l'exercice est ramenée à 0.

1. Affirmation 1 : les points A, B et C définissent un plan.

2. Affirmation 2 : la droite (AC) est incluse dans le plan $\mathscr{P}$ .

3. Affirmation 3 : une équation cartésienne du plan (ABD) est : $x + 8y - z -11 = 0$ .

4. Affirmation 4 : une représentation paramétrique de la droite (AC) est : $\left\lbrace \begin{array}{l c l} x &=&2k\\ y&=& 2 + 3k\\ z&=& 3 - 4k \end{array}\right. \; \; (k \in \mathbb{R})$

5. Affirmation 5 : les droites (AB) et (CD) sont orthogonales.

6. Affirmation 6 : la distance du point C au plan $\mathscr{P}$ est égale à $4\sqrt{6}$ .

7. Affirmation 7 : la sphère de centre D et de rayon $\dfrac{\sqrt{6}}{3}$ est tangente au plan $\mathscr{P}$ .

8. Affirmation 8 : le point $\text{E} \left(-\dfrac{4}{3} \, ; \dfrac{2}{3} \, ; \, \dfrac{5}{3} \right)$ est le projeté orthogonal du point C sur le plan $\mathscr{P}$ .

5 points

exercice 2 - Réservé aux candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct $(O \, ; \, \overrightarrow{u} \, , \overrightarrow{v})$ ; l'unité graphique est 1 cm.

1. Résoudre, dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation : z² + 4z + 8 = 0. On donnera les solutions sous forme algébrique, puis sous forme trigonométrique.

2. On note A et B les points du plan d'affixes respectives : a = 2 - 2i et b = -a. Placer ces points sur un graphique qui sera complété au fil de l'exercice.
   a) Déterminer l'affixe c du point C, image du point B par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ .
   b) On note D l'image de C par la rotation de centre A et d'angle $\frac{\pi}{2}$ ; démontrer que l'affixe d du point D est d = 2 - 6i.
   c) Placer les points C et D sur le graphique. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?

3. $\alpha$ étant un nombre réel non nul, on désigne par $\text{G}_{\alpha}$ , le barycentre du système : {(A ; 1) ; (B ; -1) ; (C ; $\alpha$ )}.
   a) Exprimer le vecteur $\overrightarrow{\text{CG}_{\alpha}}$ en fonction du vecteur $\overrightarrow{\text{BA}}$ .
   b) En déduire l'ensemble des points $\text{G}_{\alpha}$ lorsque $\alpha$ décrit l'ensemble des réels non nuls. Construire cet ensemble.
   c) Pour quelle valeur de $\alpha$ a-t-on $\text{G}_{\alpha} = \text{D}$ ?

4. On suppose dans cette question que $\alpha = 2$ .
Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Déterminer et construire l'ensemble des points M du plan tels que : $||\overrightarrow{\text{MA}} - \overrightarrow{\text{MB}} + 2\overrightarrow{\text{MC}}|| = 4\sqrt{2}.$

5 points

exercice 2 - Réservé aux candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct $(O \, ; \, \overrightarrow{u} \, , \, \overrightarrow{v})$ ; l'unité graphique est 2 cm.
On considère les points A, B, C, D et E d'affixes respectives :
a = 2, b = 2 + 3i, c = 3i, d = $-\dfrac{5}{2}$ + 3i et e = $-\dfrac{5}{2}$ .

1. Placer ces cinq points sur un graphique qui sera complété au fil de l'exercice.

2. On admet que deux rectangles sont semblables si et seulement si le rapport de la longueur sur la largeur est le même pour les deux rectangles.
Démontrer que OABC et ABDE sont deux rectangles et qu'ils sont semblables.

3. Etude d'une similitude directe transformant OABC en ABDE
   a) Déterminer l'écriture complexe de la similitude directe $s$ qui transforme O en A et A en B.
   b) Démontrer que la similitude $s$ transforme OABC en ABDE.
   c) Quel est l'angle de la similitude $s$ ?
   d) Soit ? le centre de cette similitude. En utilisant la composée $s \circ s$ , démontrer que le point ? appartient aux droites (OB) et (AD). En déduire la position du point ?.

4. Etude d'une similitude indirecte transformant OABC en BAED
   a) Montrer que l'écriture complexe de la similitude indirecte $s'$ qui transforme O en B et qui laisse A invariant est : $z' = -\dfrac{3}{2}\text{i}\overline{z} + 2 + 3\text{i}$ où $\overline{z}$ désigne le conjugué du nombre complexe $z$ .
   b) Montrer que $s'$ transforme OABC en BAED.
   c) Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d 'initiative non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Démontrer que $s'$ est la composée de la réflexion d'axe (OA) suivie d'une similitude directe dont on précisera les éléments caractéristiques.

4 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

Le secteur de production d'une entreprise est composé de 3 catégories de personnel :
    les ingénieurs ;
    les opérateurs de production ;
    les agents de maintenance.

Il y a 8 % d'ingénieurs et 82 % d'opérateurs de production. Les femmes représentent 50 % des ingénieurs, 25 % des agents de maintenance et 60 % des opérateurs de production.

I. Partie A

Dans cette partie, on interroge au hasard un membre du personnel de cette entreprise.
On note:
    M l'événement : " le personnel interrogé est un agent de maintenance " ;
    O l'événement : " le personnel interrogé est un opérateur de production " ;
    I l'événement : " le personnel interrogé est un ingénieur " ;
    F l'événement : " le personnel interrogé est une femme ".

1. Construire un arbre pondéré correspondant aux données.

2. Calculer la probabilité d'interroger :
    a) un agent de maintenance ;
    b) une femme agent de maintenance ;
    c) une femme.

II. Partie B

Le service de maintenance effectue l'entretien des machines, mais il est appelé aussi à intervenir en cas de panne. Pour cela une alarme est prévue ; des études ont montré que sur une journée :
    la probabilité qu'il n'y ait pas de panne et que l'alarme se déclenche est égale à 0,002 ;
    la probabilité qu'une panne survienne et que l'alarme ne se déclenche pas est égale à 0,003 ;
    la probabilité qu'une panne se produise est égale à 0,04.

On note :
    A l'événement : " l'alarme se déclenche " ;
    B l'événement : " une panne se produit " ;

1. Démontrer que la probabilité qu'une panne survienne et que l'alarme se déclenche est égale à 0,037.

2. Calculer la probabilité que l'alarme se déclenche.

3. Calculer la probabilité qu'il y ait une panne sachant que l'alarme se déclenche.

7 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

I. Restitution organisée des connaissances

Prérequis : on rappelle que : $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \dfrac{\text{e}^x}{x} = + \infty$ .

1. Démontrer que $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \frac{\ln x}{x} = 0$ .

2. En déduire que pour tout entier naturel n non nul : $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x^n} = 0$ .

II. Étude d'une fonction $f$

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0 \, ; \, +\infty[$ par : $f(x) = x - \dfrac{\ln x}{x^2}.$
On note $\mathscr{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal $(O \, ; \, \overrightarrow{i} \, , \, \overrightarrow{j})$ (unité graphique 2 cm).

1. Soit u la fonction définie sur l'intervalle $]0 \, ; \, +\infty[$ par $u(x) = x^3 - 1 + 2\ln x$ .
   a) Étudier le sens de variation de la fonction u sur l'intervalle $]0 \, ; \, +\infty[$ .
   b) Calculer u(1) et en déduire le signe de $u(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle $]0 \, ; \, +\infty[$ .

2. Étude de la fonction $f$
   a) Déterminer les limites de $f$ en 0 et en $+\infty$ .
   b) Déterminer la fonction dérivée de $f$ et construire le tableau de variations de la fonction $f$ .

3. Éléments graphiques et tracés.
   a) Démontrer que la droite (?) d'équation $y = x$ est asymptote oblique à la courbe $\mathscr{C}$ .
   b) Déterminer la position de $\mathscr{C}$ par rapport à (?).
   c) Tracer la courbe $\mathscr{C}$ et la droite (?).

III. Calculs d'aires

On note $\alpha$ un nombre réel strictement positif et on désigne par $\mathscr{A}(\alpha)$ l'aire, exprimée en unités d'aire, de la partie du plan délimitée par la courbe $\mathscr{C}$ , la droite (?) et les droites d'équation $x = 1$ et $x = \alpha$ .

1. On suppose dans cette question que $\alpha > 1$ .
a) A l'aide d'une intégration par parties, démontrer que : $\mathscr{A}(\alpha) = 1 - \dfrac{\ln \alpha}{\alpha} - \dfrac{1}{\alpha}$ .
b) Déterminer la limite $\ell$ de $\mathscr{A}(\alpha)$ lorsque $\alpha$ tend vers $+\infty$ .

2. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Démontrer que $\ell = \mathscr{A} \left(\dfrac{1}{\text{e}} \right)$ .

Voir la correction

exercice 1 - Commun à tous les candidats

NB : Les justifications ne sont pas demandées.

1. VRAI : Les points A, B et C définissent un plan.
Les points A, B et C définissent un plan si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{\text{AB}}$ et $\overrightarrow{\text{AC}}$ ne sont pas colinéaires.
$\text{A}\left(\begin{array}{l} 2\\1\\-1 \\ \end{array} \right)$ , $\text{B}\left(\begin{array}{l} -1\\2\\4\\ \end{array}\right)$ et $\text{C}\left( \begin{array}{l} 0\\-2\\3 \\ \end{array} \right)$ donc $\overrightarrow{\text{AB}}\left( \begin{array}{l} -3\\1\\5\\ \end{array} \right)$ et $\overrightarrow{\text{AC}}\left( \begin{array}{l} -2\\-3\\4 \\ \end{arrray} \right)$ donc les vecteurs ne sont pas colinéaires.

2. FAUX : La droite (AC) n'est pas incluse dans le plan $\scr{P}$
$x_{\text{A}} - 2y_{\text{A}} + z_{\text{A}} + 1 = 2 - 2 - 1 + 1 = 0$ donc $\text{A} \in\scr{P}$ et $x_{\text{C}} - 2y_{\text{C}} + z_{\text{C}} + 1 = 0 + 4 + 3 + 1 = 8 \neq 0$ donc $\text{C} \notin \scr{P}$

3. VRAI : Une équation cartésienne du plan (ABD) est $x + 8y - z - 11 = 0$
$x_{\text{A}} + 8y_{\text{A}} - z_{\text{A}} - 11 = 2 + 8 + 1 - 11 = 0 \\ x_{\text{B}} + 8y_{\text{B}} - z_{\text{B}} - 11 = -1 + 16 - 4 - 11 = 0\\ x_{\text{D}} + 8y_{\text{D}} - z_{\text{D}} - 11 = 1 + 8 + 2 - 11 = 0$

4. FAUX : Il ne s'agit pas d'une écriture paramétrique de la droite (AC)
Si cette écriture était bien l'écriture paramétrique de (AC), pour C :
$x = 0$ . Or $x = 2k$ donc $k = 0$ , ce qui implique que $y_{\text{C}} = 2 + 3 \times 0 = 2$ , ce qui n'est pas le cas.
NB: La vraie écriture paramétrique de (AC) est $\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} x & 2k \\ y & -2 + 3k \\ z & 3 - 4k \\ \end{array} \right. \, \, (k \in \mathbb{R})$

5. FAUX : Les droites (AB) et (CD) ne sont pas orthogonales.
On a déterminé en 1 que $\overrightarrow{\text{AB}}\left( \begin{array}{l} -3\\1\\5 \end{array} \right)$ .
$\text{C}\left(\begin{array}{l} 0\\-2\\3 \end{array} \right)$ et $\text{D}\left(\begin{array}{l} 1\\1\\-2 \end{array} \right)$ donc $\overrightarrow{\text{CD}}\left(\begin{array}{l} 1\\3\\-5 \end{array} \right)$ ; donc $\overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{\text{CD}} = -3 \times 1 + 1 \times 3 + 5 \times (-5) = -25 \neq 0$

6. FAUX : La distance du point C au plan $\scr{P}$ n'est pas égale à $4\sqrt6$ .
$d(\text{C} , \scr{P}) = \dfrac{|ax_{\text{C}} + by_{\text{C}} + cz_{\text{C}} + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} = \dfrac{8}{\sqrt{1+4+1}} = \dfrac{8}{\sqrt6}$

7. VRAI : La sphère de centre D et de rayon $\frac{\sqrt6}{3}$ est tangent au plan $\scr{P}$ .
$d(\text{D} , \scr{P}) = \dfrac{|ax_{\text{D}} + by_{\text{D}} + cz_{\text{D}} + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} = \dfrac{|1-2-2+1|}{\sqrt6} = \dfrac{2\sqrt6}{6} = \dfrac{\sqrt6}{3}$

8. VRAI : le point E est le projeté orthogonal de C sur $\scr{P}$ .
$x_{\text{E}} - 2y_{\text{E}} + z_{\text{E}} + 1 = \dfrac{-4-4+5+3}{3} = 0$ donc $\text{E} \in\scr{P}$
Une équation cartésienne de $\scr{P}$ est $x - 2y + z + 1 = 0$ donc le vecteur $\overrightarrow{n}\left(1\\-2\\1\right)$ est normal à $\scr{P}$ .
$\text{C}\left(\begin{array}{c} 0\\-2\\3 \end{array} \right)$ et $\text{E}\left(\begin{array}{c} -\dfrac{4}{3}\\\dfrac{2}{3}\\\dfrac{5}{3} \end{array} \right)$ donc $\overrightarrow{\text{CE}}\left(\begin{array}{l} -\dfrac{4}{3}\\\dfrac{8}{3}\\-\dfrac{4}{3} \end{array} \right) = -\dfrac{4}{3}\overrightarrow{n}$ est normal à $\scr{P}$ .

exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. $z^2 + 4z + 8 = 0$
$\Delta = 16 - 4 \times 8 = 16 - 32 = -16 < 0$
Donc $z_1 = \dfrac{-4 - 4\text{i}}{2} = -2 - 2\text{i}$ et $z_2 = \bar {z_1} = \dfrac{-4 + 4\text{i}}{2} = -2 + 2\text{i}$
Mise sous forme trigonométrique :
$z_1 = -2 - 2\text{i} = 2\sqrt{2}\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2} - \dfrac{\sqrt{2}}{2}\text{i}\right) = 2\sqrt{2}\left(\cos\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right) + \text{i} \sin\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right)\right) = 2\sqrt{2} \text{e}^{-\text{i}\frac{3\pi}{4}}$
$z_2 = \bar{z_1} = \bar{2\sqrt{2} \text{e}^{-\text{i}\dfrac{3\pi}{4}}} = 2\sqrt{2} \text{e}^{\text{i}\dfrac{3\pi}{4}} = 2\sqrt{2}\left(\cos\left(\dfrac{3\pi}{4}\right) + \text{i} \sin\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)\right)$
$\boxed{\mathcal{S} = \lbrace -2 - 2\text{i} \, ; \, -2 + 2\text{i}\rbrace = \left \lbrace 2\sqrt{2}\left(\cos\left(\dfrac{-3\pi}{4}\right) + \text{i} \sin\left(\dfrac{-3\pi}{4}\right)\right) \; ; \; 2\sqrt{2}\left(cos\left(\dfrac{3\pi}{4}\right) + \text{i} \sin\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)\right) \right \rbrace }$

2. Cf. figure à la fin de l'exercice.

2. a) L'écriture complexe de la rotation r de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ est : $z \mapsto \text{e}^{\text{i} \frac{\pi}{2}}z$
C = r(B), donc $z_{\text{C}} = \text{e}^{\text{i} \frac{\pi}{2}} z_{\text{B}} = \text{i} z_{\text{B}} = \text{i}(-a) = \text{i}(-2 + 2\text{i}) = \boxed{-2 - 2\text{i}}$

2. b) L'écriture complexe de la rotation r' de centre A et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ est : $z' - z_{\text{A}} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}(z - z_{\text{A}})$ ou encore $z' = a + \text{i}(z - a)$
D = r' (C), donc $z_{\text{D}} = a + \text{i}(z_{\text{C}} - a) = 2 - 2\text{i} + \text{i}(-2 - 2\text{i} - 2 + 2\text{i}) = 2 - 2\text{i}- 4\text{i} = \boxed{2 - 6\text{i}}$

2. c) Cf. figure à la fin de l'exercice.
On remarque que ABCD est un parallélogramme. Démontrons-le :
$z_{\overrightarrow{\text{AB}}} = z_{\text{B}} - z_{\text{A}} = b - a = -a - a = -2a = -2(2 - 2\text{i}) = -4 + 4\text{i} \\ z_{\overrightarrow{\text{DC}}} = z_{\text{C}} - z_{\text{D}} = -2 - 2\text{i} - 2 + 6\text{i} = -4 + 4\text{i}$
Donc $\overrightarrow{\text{AB}} = \overrightarrow{\text{DC}}$ donc ABCD est un parallélogramme.

3. a) $G_{\alpha}$ est barycentre de (A,1) (B,-1) (C, $\alpha$ ), donc : $\overrightarrow{\text{GA}} - \overrightarrow{\text{GB}} + \alpha \overrightarrow{\text{G}_{\alpha}\text{C}} = \overrightarrow{0}$
$\overrightarrow{\text{CG}_{\alpha}} = \frac{1}{\alpha}(\overrightarrow{\text{GA}} - \overrightarrow{\text{GB}}) = \frac{1}{\alpha}(\overrightarrow{\text{GA}} + \overrightarrow{\text{BG}}) = \boxed{\frac{1}{\alpha}\overrightarrow{\text{BA}}}$

3. b) Lorsque $\alpha$ décrit $\mathbb{R}^*$ , $\frac{1}{\alpha}$ décrit $\mathbb{R}$ donc l'ensemble recherché est la droite $\scr{D}$ parallalèle à (AB) passant par C.

3. c) ABCD est un parallélogramme donc $\overrightarrow{\text{CD}} = \overrightarrow{\text{BA}}$ , donc :
$\text{G}_{\alpha} = \text{D} \: \Longleftrightarrow \: \overrightarrow{\text{CG}_{\alpha}} = \overrightarrow{\text{CD}} \: \Longleftrightarrow \: \frac{1}{\alpha}\overrightarrow{\text{BA}} = \overrightarrow{\text{BA}} \: \Longleftrightarrow \: \frac{1}{\alpha} = 1 \: \Longleftrightarrow \: \boxed{\alpha = 1}$

4. $||\overrightarrow{\text{MA}} - \overrightarrow{\text{MB}} + 2\overrightarrow{\text{MC}}|| = 4\sqrt{2} \: \Longleftrightarrow \: ||2\overrightarrow{\text{MG}_2}|| = 4\sqrt{2} \: \Longleftrightarrow \: 2\text{MG}_2 = 4\sqrt{2} \: \Longleftrightarrow \: \text{MG}_2 = 2\sqrt{2}$
Donc M appartient au cercle $\scr{C}$ de centre $\text{G}_2$ (barycentre de (A,1)(B,-1)(C,2)) et de rayon $2\sqrt{2}$ .

Construction : cf. figure ci-dessous

sujet du bac scientifique, obligatoire et spécialité, Centres étrangers 2008 - terminale : image 1

exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

1. Graphique

sujet du bac scientifique, obligatoire et spécialité, Centres étrangers 2008 - terminale : image 2

2. Montrons que OABC est un rectangle :
$z_{\overrightarrow{\text{OA}}} = z_{\text{A}} - z_{\text{O}} = a = 2$ et $z_{\overrightarrow{\text{CB}}} = z_{\text{B}} - z_{\text{C}} = b - c = 2 + 3\text{i} - 3\text{i} = 2$ donc OABC est un parallélogramme.
$z_{\overrightarrow{\text{OA}}} = 2$ et $z_{\overrightarrow{\text{OC}}} = z_{\text{C}} - z_{\text{O}} = c = 3\text{i}$ donc $\overrightarrow{\text{OA}} \cdot \overrightarrow{\text{OC}} = 0$ donc (OA) $\perp$ (OC) donc OABC est un rectangle.

Montrons que ABDE est un rectangle :
$z_{\overrightarrow{\text{AB}}} = b - a = 2 + 3\text{i} - 2 = 3\text{i}$ et $z_{\overrightarrow{\text{ED}}} = d - e = -2,5 + 3\text{i} + 2,5 = 3\text{i}$ donc ABDE est un parallélogramme.
$z_{\overrightarrow{\text{AB}}} = 3\text{i}$ et $z_{\overrightarrow{\text{AE}}} = e - a = -2,5 - 2 = -4,5$ donc $\overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{\text{AE}} = 0$ donc (AB) $\perp$ (AE) donc ABDE est un rectangle.

Montrons que OABC et ABDE sont des rectangles semblables :
Pour le rectangle OABC, on a : $\dfrac{\text{OA}}{\text{OC}} = \dfrac{||\overrightarrow{\text{OA}}||}{||\overrightarrow{\text{OC}}||} = \dfrac{|2|}{|3\text{i}|} = \dfrac{2}{3}$ .
Pour le rectangle ABDE, on a : $\dfrac{\text{AB}}{\text{AE}} = \dfrac{||\overrightarrow{\text{AB}}||}{||\overrightarrow{\text{AE}}||} = \dfrac{|3\text{i}|}{|-4,5|} = \dfrac{2}{3}$ .
On a donc $\dfrac{\text{OA}}{\text{OC}} = \dfrac{\text{AB}}{\text{AE}}$ donc les rectangles OABC et ABDE sont semblables.

3. a) L'écriture complexe d'une similitude directe est : $z' = kz + m$ , où k et m sont des nombres complexes à déterminer.
$\text{A} = s(\text{O})$ donc $z_{\text{A}} = kz_{\text{O}} + m$ donc $a = m$ donc $m = 2$ .
$\text{B} = s(\text{A})$ donc $z_{\text{B}} = kz_{\text{A}} + m$ donc $b = ka + 2$ donc $k = \dfrac{b-2}{a} = \dfrac{2+3\text{i}-2}{2}=\dfrac{3\text{i}}{2}$ .
L'écriture complexe de la similitude $s$ est $\boxed{z' = \frac{3\text{i}}{2}z+2}$

3. b) On sait déjà que $\text{A} = s(\text{O})$ et $\text{B} = s(\text{A})$ . Déterminons $s(\text{B})$ et $s(\text{C})$ .
Pour $z = b = 2+3\text{i}$ , $z' = \dfrac{3\text{i}}{2}(2+3\text{i})+2 = 2-\dfrac{9}{2}+3\text{i} = -\dfrac{5}{2}+3\text{i} = z_{\text{D}}$ donc $\text{D} = s(\text{B})$ .
Pour $z = c = 3\text{i}$ , $z' = \dfrac{3\text{i}}{2} \times 3\text{i} + 2 = -\dfrac{9}{2} + 2 = -\dfrac{5}{2} = z_{\text{E}}$ donc $\text{E} = s(\text{C})$ .
On a alors : $\text{A} = s(\text{O})$ , $\text{B} = s(\text{A})$ , $\text{D} = s(\text{B})$ , $\text{E} = s(\text{C})$ donc $\boxed{\text{ABDE} = s(\text{OABC})}$
La similitude $s$ transforme OABC en ABDE.

3. c) $\text{A} = s(\text{O})$ et $\text{B} = s(\text{A})$ donc l'angle de la similitude $s$ est donné par $\theta = (\overrightarrow{\text{OA}} \, , \, \overrightarrow{\text{AB}}) = \arg\left(\dfrac{z_{\overrightarrow{\text{AB}}}}{z_{\overrightarrow{\text{OA}}}}\right) = \arg\left(\dfrac{3\text{i}}{2}\right) = \boxed{\frac{\pi}{2}}$

3. d) Le centre de la similitude $s$ est O donc le centre de la similitude $s \circ s$ est O.
L'angle de la similitude $s$ est $\frac{\pi}{2}$ donc l'angle de la similitude $s \circ s$ est $\dfrac{\pi}{2} + \dfrac{\pi}{2} = \pi$ .
Autrement dit, pour tout point M, $(\overrightarrow{\Omega \text{M}} \, , \, \overrightarrow{\Omega \text{M}''}) = \pi$ donc le centre O de la similitude $s \circ s$ appartient à la droite (MM'') où $\text{M}^{\prim \prim} = s \circ s(\text{M})$ .
Or $\text{A} = s(\text{O})$ et $\text{B} = s(\text{A})$ donc $\text{B} = s \circ s(\text{O})$ donc O $\in$ (OB).
De même, $\text{B} = s(\text{A})$ et $\text{D} = s(\text{B})$ donc $\text{D} = s \circ s(\text{A})$ donc O $\in$ (AD).
Le point O appartient donc aux droites (OB) et (AD). C'est leur intersection.

4. a) L'écriture complexe d'une similitude indirecte est $z' = k\bar{z} + m$ où k et m sont deux nombres complexes à déterminer.
$\text{B} = s'(\text{O})$ donc $z_{\text{B}} = k\bar{z}_{\text{O}} + m$ donc $m = b = 2 + 3\text{i}$
$\text{A} = s'(\text{A})$ donc $z_{\text{A}} = k\bar{z}_{\text{A}} + m$ donc $a = k\bar{a} + m$ donc $2 = 2k + 2 + 3\text{i}$ donc $k = -\dfrac{3\text{i}}{2}$ .
L'écriture complexe de $s'$ est donc $\boxed{z' = -\frac{3\text{i}}{2}\bar{z} + 2 + 3\text{i}}$

4. b) Pour $z = z_{\text{B}} = b = 2 + 3\text{i}$ , $z' = -\dfrac{3\text{i}}{2}\overline{(2 + 3\text{i})} + 2 + 3\text{i} = -\dfrac{3\text{i}}{2}(2 - 3\text{i}) + 2 + 3\text{i} = -3\text{i} - \dfrac{9}{2} + 2 + 3\text{i} = -\dfrac{5}{2} = z_{\text{E}}$ donc $\text{E} = s'(\text{B})$
Pour $z = z_{\text{C}} = c = 3\text{i}$ , $z' = -\dfrac{3\text{i}}{2}\overline{3\text{i}} + 2 + 3\text{i}= - \dfrac{9}{2} + 2 + 3\text{i} = -\dfrac{5}{2} + 3\text{i}= z _{\text{D}}$ donc $\text{D} = s'(\text{C})$ .
On a : $\text{B} = s'(\text{O})$ , $\text{A} = s'(\text{A})$ , $\text{E} = s'(\text{B})$ , $\text{D} = s'(\text{C})$ donc $\boxed{\text{BAED} = s(\text{OABC})}$
La similitude $s'$ transforme OABC en BAED.

4. c) L'axe (OA) correspond à l'axe des abscisses. La reflexion d'axe (OA) a donc pour écriture complexe $z' = \bar z$ .
Soit g la similitude directe d'écriture complexe $z'=-\dfrac{3\text{i}}{2}z+2+3\text{i}$ . Dans ce cas, $s'$ est la compososée de la reflexion d'axe (OA) et de la similitude directe g.
Déterminons les éléments caractéristiques de g :
Soit G le centre de la similitude g. Alors G = g(G), donc $z_{\text{G}} = -\dfrac{3\text{i}}{2}z_{\text{G}} + 2 + 3\text{i}$
$\left(1 + \dfrac{3\text{i}}{2}\right)z_{\text{G}} = 2 + 3\text{i} \\ \left(1 + \dfrac{9}{4}\right)z_{\text{G}} = (2 + 3\text{i})\left(1-\dfrac{3\text{i}}{2}\right) \\ \dfrac{13}{4}z_{\text{G}} = \dfrac{13}{2} \\ \boxed{z_{\text{G}} = 2}$
Donc G = A.
Et alors $z' - a = -\dfrac{3\text{i}}{2}z + 3\text{i} = -\dfrac{3\text{i}}{2}(z - 2) = \dfrac{3}{2}\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{2}}(z - a)$ donc l'angle de la similitude est $-\dfrac{\pi}{2}$ et le rapport $\dfrac{3}{2}$ .
Conclusion : $s'$ est la composée de la reflexion d'axe (OA) et de la simitude directe g de centre A, de rapport $\dfrac{3}{2}$ et d'angle $-\dfrac{\pi}{2}$ .

exercice 3 - Commun à tous les candidats

I. Partie A

1. Arbre de probabilité :

sujet du bac scientifique, obligatoire et spécialité, Centres étrangers 2008 - terminale : image 3

2. a) $p(\text{M}) = 1 - p(\text{I}) - p(\text{O}) = 1 - 0,08 - 0,82 = \boxed{0,10}$

2. b) $p(\text{M} \cap \text{F}) = p(\text{M})p_{\text{M}}(\text{F}) = 0,10 \times 0,25 = \boxed{0,025}$

2. c) $p(\text{F}) = p(\text{I} \cap \text{F}) + p(\text{O} \cap \text{F}) + p(\text{M} \cap \text{F})$
$= p(\text{I}) p_{\text{I}}(\text{F}) + p(\text{O})p_{\text{O}}(\text{F}) + 0,025 \\ = 0,08 \times 0,5 + 0,82 \times 0,6 + 0,025 \\ = 0,04 + 0,492 + 0,025 = \boxed{0,557}$

II. Partie B

Les données de l'énoncé : $p(\text{A} \cap \bar{\text{B}}) = 0,002$ ; $p(\bar{\text{A}} \cap \text{B}) = 0,003$ ; $p(\text{B}) = 0,04$ .

1. $p(\text{B}) = p(\text{A} \cap \text{B}) + p(\bar{\text{A}} \cap \text{B})$ donc $p(\text{A} \cap \text{B}) = p(\text{B}) - p(\bar{\text{A}} \cap \text{B}) = 0,04 - 0,003 = \boxed{0,037}$

2. $p(\text{A}) = p(\text{A} \cap \text{B}) + p(\text{A} \cap \bar{\text{B}}) = 0,037 + 0,002 = \boxed{0,039}$

3. $p_{\text{A}}(\text{B}) = \dfrac{p(\text{A} \cap \text{B})}{p(\text{A})} = \dfrac{0,037}{0,039} \approx \boxed{0,949}$

exercice 4 - Commun à tous les candidats

I. Restitution organisée des connaissances

1. On pose $X = \ln x$ , alors $x = \text{e}^X$ et quand $x$ tend vers $+\infty$ , $X$ tend vers $+\infty$ également :
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{x} = \displaystyle \lim_{X\to+\infty} \frac{X}{\text{e}^X} = \displaystyle \lim_{X\to+\infty} \frac{1}{\frac{\text{e}^X}{X}} = \boxed{0}$

2. Donc $\displaystyle \lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{x^n} = \displaystyle \lim_{x\to+\infty} \dfrac{1}{x^{n-1}} \times \dfrac{\ln x}{x} = \left \lbrace \begin{array}{l} 1 \times 0 = 0 \text{ si } n = 1 \\ 0 \times 0 = 0 \text{ sinon} \end{array}$
Donc pour tout n non nul $\boxed{\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^n}=0}$

II. Etude d'une fonction $f$

1. a) u est définie et dérivable sur $]0\, ; \, +\infty[$ et sa dérivée vaut $u'(x)=3x^2+\dfrac{2}{x}>0$ donc u est strictement croissante sur $]0 \, ; \,+\infty[$ .

1. b) u(1) = 1³ - 1 + 2ln 1 = 1 - 1 + 0 = 0. Or u est strictement croissante sur $]0 \, ; \, +\infty[$ , donc :
u est strictement négative sur ]0 ; 1[
u(1) = 0
u est strictement positive sur $]1 \, ; \, +\infty[$

2. a) $\displaystyle \lim_{x\to 0} = \displaystyle \lim_{x\to 0} x - \frac{\ln x}{x^2} = 0 - (-\infty) = \boxed{+\infty}$
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\displaystyle \lim_{x\to+\infty} x - \frac{\ln x}{x^2} = +\infty - 0 = \boxed{+\infty}$

2. b) $f$ est définie et dérivable sur $]0 \, ; \, +\infty[$ et sa dérivée vaut $f'(x) = 1 - \dfrac{\frac{1}{x}\times x^2-\ln x\times2x}{x^4} = 1-\dfrac{x-2x\ln x}{x^4} = \boxed{\frac{x^3-1+2\ln x}{x^3}}$
On a donc $f'(x) = \dfrac{u(x)}{x^3}$ du signe de u sur $]0 \, ; \, +\infty[$ . D'où le tableau de variation de $f$ sur $]0\, ; \, +\infty[$ :
$\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x&-\infty&&1&&+\infty \\ \hline {f'(x)}& &-&0&+& \\ \hline \hspace{1pt}&+\infty&&&&+\infty\\ {f(x)}&&\searrow&&\nearrow&\\ \hspace{1pt}&&&1&&\\ \hline \end{array}$

3. a) $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}(f(x)-x) = \displaystyle \lim_{x\to+\infty} - \frac{\ln x}{x^2} = 0$ donc la droite (?) d'équation $y=x$ est une asymptote oblique à la courbe $\mathscr{C}$ au voisinage de $+\infty$ .

3. b) $f(x)- x = -\dfrac{\ln x}{x^2}<0 \: \Longleftrightarrow \: x > 1$ donc $f(x)<x$ donc la courbe $\mathscr{C}$ se situe sous la droite (?) pour $x>1$ .
$f(x)-x=-\dfrac{\ln x}{x^2}>0 \: \Longleftrightarrow \: x<1$ donc la courbe $\mathscr{C}$ se situe au dessus de la droite (?) pour $x<1$ .

3. c) Construction :

sujet du bac scientifique, obligatoire et spécialité, Centres étrangers 2008 - terminale : image 4

III. Calculs d'aires

1. a) La courbe $\mathscr{C}$ se situe sous la droite (?) pour $x>1$ , donc pour $\alpha > 1$ , l'aire du domaine défini est donné par :
$\mathscr{A}(\alpha) = \displaystyle \int_1^{\alpha}(x - f(x))\text{d}x = \displaystyle \int_1^{\alpha} \frac{\ln x}{x^2} \text{d}x$
On pose $u(x)=\ln x$ et $v'(x)=\frac{1}{x^2}$ alors $u'(x)=\frac{1}{x}$ et $v(x)=-\frac{1}{x}$ et en intégrant par parties :
$\mathscr{A}(\alpha) = \displaystyle \int_1^{\alpha} u(x)v'(x) \text{d}x = [u(x)v(x)]_1^{\alpha} - \displaystyle \int_1^{\alpha}u'(x)v(x) \text{d}x\\ \mathscr{A}(\alpha) = \left[-\frac{\ln x}{x}\right]_1^{\alpha} - \displaystyle \int_1^{\alpha}-\frac{1}{x^2} \text{d}x = -\frac{\ln\alpha}{\alpha} + 0 - \left[\frac{1}{x}\right]_1^{\alpha} = \boxed{1-\frac{\ln \alpha}{\alpha}-\frac{1}{\alpha}}$

1. b) $\ell = \displaystyle \lim_{\alpha\to+\infty} \mathscr{A}(\alpha) = \displaystyle \lim_{\alpha \to+\infty}1-\frac{\ln\alpha}{\alpha}-\frac{1}{\alpha}=1-0-0=\boxed{1}$

2. $0 < \dfrac{1}{e} < 1$ on ne peut donc pas appliquer la formule précédente. En effet, pour $x < 1$ , la courbe $\mathscr{C}$ est au dessus de la droite (?) donc l'aire du domaine recherché est, pour $\alpha < 1$ :
$\mathscr{A}(\alpha) = \displaystyle \int_{\alpha}^1 (f(x)-x) \text{d}x = -\displaystyle \int_1^{\alpha}(f(x) - x) \text{d}x = \displaystyle \int_1^{\alpha}(x-f(x)) \text{d}x$
Finalement, on retrouve la même formule, et donc $\mathscr{A}(\alpha) = 1-\dfrac{\ln \alpha}{\alpha}-\frac{1}{\alpha}$
En particulier : $\mathscr{A}\left(\frac{1}{\text{e}}\right)=1-\frac{\ln(\dfrac{1}{\text{e}})}{\frac{1}{\text{e}}}-\text{e}=1-(-\text{e})-\text{e}=1$
Or $\ell = 1$ , on a donc bien $\boxed{\ell = \mathscr{A}\left(\dfrac{1}{\text{e}}\right)}$

Publié par Cel/Aurélien le 10-12-2015

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