Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9
L'usage des calculatrices est autorisé selon les termes de la circulaire n°99-186 du 16 novembre 1999.
2 feuilles de papier millimétré seront remises à la disposition des candidats.
Le candidat doit traiter les quatre exercices.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
4 points
exercice 1 - Commun à tous les candidats
A - Vrai ou faux ?
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Dans le cas d'une proposition fausse, la démonstration consistera à proposer un contre-exemple ; une figure pourra constituer ce contre-exemple.
Rappel des notations : désigne l'ensemble des points communs aux plans et .
L 'écriture signifie que les plans et n'ont aucun point commun.
1. Si sont trois plans distincts de l'espace vérifiant : alors on peut conclure que vérifient : .
2. Si sont trois plans distincts de l'espace vérifiant : ,
alors on peut conclure que sont tels que : et .
3. Si sont trois plans distincts de l'espace vérifiant :
alors on peut conclure que vérifient : .
4. Si sont deux plans distincts et une droite de l'espace vérifiant : ,
alors on peut conclure que
B - Intersection de trois plans donnés
Dans un repère orthonorrnal de l'espace on considère les trois plans suivants :
d'équation ,
d'équation ,
d'équation .
1. Justifier que les plans et sont sécants puis déterminer une représentation
paramétrique de leur droite d'interseclion, notée .
2. En déduire la nature de l'intersection .
5 points
exercice 2 - Réservé aux candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
On considère plusieurs sacs de billes S1, S2, . . . , Sn, . . . tels que :
- le premier, S1, contient 3 billes jaunes et 2 vertes ;
- chacun des suivants, S2, S3, . . . , Sn, . . . contient 2 billes jaunes et 2 vertes.
Le but de cet exercice est d'étudier l'évolution des tirages successifs d'une bille de ces sacs, effectués de la manière suivante :
- on tire au hasard une bille dans S1 ;
- on place la bille tirée de S1 dans S2, puis on tire au hasard une bille dans S2 ;
- on place la bille tirée de S2 dans S3, puis on tire au hasard une bille dans S3 ;
- etc.
Pour tout entier n ? 1, on note En l'événement : « la bille tirée dans Sn est verte » et on note
p(En) sa probabilité.
1. Mise en évidence d'une relation de récurrence
a) D'après l'énoncé, donner les valeurs de p(E1), pE1(E2), .
En déduire la valeur de p(E2).
b) A l'aide d'un arbre pondéré, exprimer p(En+1) en fonction de p(En).
2. Etude d'une suite
On considère la suite (un) définie par : pour tout n ? 1.
a) Démontrer que la suite (un) est majorée par .
b) Démontrer que (un) est croissante.
c) Justifier que la suite (un) est convergente et préciser sa limite.
3. Evolution des probabilités p(En)
a) À l'aide des résultats précédents, déterminer l'évolution des probabilités p(En).
b) Pour quelles valeurs de l'entier n a-t-on : 0,49999 ? p(En) ? 0,5 ?
5 points
exercice 2 - Réservé aux candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
Soit a et b deux entiers naturels non nuls ; on appelle « réseau » associé aux entiers a et b l'ensemble des points du plan, muni d'un repère orthonormal, dont les coordonnées sont des entiers vérifiant les conditions : et . On note Ra,b ce réseau.
Le but de l'exercice est de relier certaines propriétés arithmétiques des entiers et à des propriétés géométriques des points correspondants du réseau.
A - Représentation graphique de quelques ensembles
Dans cette question, les réponses sont attendues sans explication, sous la forme d'un graphique qui sera dûment complété.
Représenter graphiquement les points M( ; y) du réseau R{8,8} vérifiant :
a) (modulo 3) et (modulo 3), sur le graphique 1 ci-dessous ;
b) (modulo 3), sur le graphique 2 ci-dessous ;
c) (modulo 3), sur le graphique 3 ci-dessous.
Graphique 1
Graphique 2
Graphique 3
B - Résolution d'une équation
On considère l'équation (E) : , où les inconnues et y sont des entiers relatifs.
1. Déterminer un couple d'entiers relatifs solution de l'équation (E).
2. Déterminer l'ensemble des couples d'entiers relatifs solutions de l'équation (E).
3. Démontrer que l'équation (E) admet une unique solution ( ; y) pour laquelle le point M( ; y) correspondant appartient au réseau R4,7.
C - Une propriété des points situés sur la diagonale du réseau
Si a et b sont deux entiers naturels non nuls, on considère la diagonale [OA] du réseau Ra,b, avec O(0 ; 0) et A(a ; b).
1. Démontrer que les points du segment [OA] sont caractérisés par les conditions :
2. Démonter que si a et b sont premiers entre eux, alors les points O et A sont les seuls points du segment [OA] appartenant au réseau Ra,b.
3. Démontrer que si a et b ne sont pas premiers entre eux, alors le segment [OA] contient au moins un autre point du réseau.
(On pourra considérer le pgcd d des nombres a et b et poser a = da' et b = db'.)
4 points
exercice 3 - Commun à tous les candidats
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct . On prendra pour le dessin : .
M est un point d'affixe non nul. On désigne par M' le point d'affixe telle que où désigne le conjugué du nombre complexe .
A - Quelques propriétés
1. Soit un nombre complexe non nul. Déterminer une relation entre les modules de et , puis une relation entre les arguments de et .
2. Démontrer que les points O, M et M' sont alignés.
3. Démontrer que pour tout nombre complexe non nul on a l'égalité : .
B - Construction de l'image d'un point
On désigne par A et B les deux points d'affixes respectives 1 et -1.
On note l'ensemble des points M du plan dont l'affixe z vérifie : |z - 1| = 1.
1. Quelle est la nature de l'ensemble ?
2. Soit M un point de d'affixe z, distinct du point O.
a) Démontrer que |z'+ 1| = |z'|. Interpréter géométriquement cette égalité.
b) Est-il vrai que si z' vérifie l'égalité : |z' + 1| = |z'|, alors z vérifie l'égalité : |z - 1| = 1 ?
3. Tracer l'ensemble sur une figure. Si M est un point de , décrire et réaliser la construction du point M'.
7 points
exercice 4 - Commun à tous les candidats
A - Restitution organisée de connaissances
On suppose connu le résultat suivant : .
Démontrer que : .
B - Étude d'une fonction
On considère la fonction définie sur par : .
On note sa représentation graphique dans un repère orthonormé du plan. On prendra 4 cm pour unité graphique.
1.Cette question demande le développement d'une certaine démarche comportant plusieurs étapes. La clarté du plan d'étude, la rigueur des raisonnements ainsi que la qualité de la rédaction seront prises en compte dans la notation. Étudier les variations de la fonction et les limites aux bornes de son ensemble de définition. Résumer ces éléments dans un tableau de variations le plus complet possible.
2. Tracer la courbe . On fera apparaître les résultats obtenus précédemment.
C - Etude d'une famille de fonctions
Pour tout entier relatif , on note la fonction définie sur par : .
On note la courbe représentative de la fonction dans un repère orthonormal du plan.
On remarque que le cas a été traité dans la partie B, car on a et .
1. a) Quelle est la nature de la fonction ?
b) Déterminer les points d'intersection des courbes et .
Vérifier que, pour tout entier , ces points appartiennent à la courbe .
2. Étudier, suivant les valeurs du réel , le signe de l'expression : .
En déduire, pour entier relatif donné, les positions relatives des courbes et .
3. Calculer pour tout réel et pour tout entier non nul.
En déduire le sens de variation de la fonction suivant les valeurs de . (On distinguera les cas : et .)
4. Le graphique suivant représente quatre courbes correspondant à quatre valeurs différentes du paramètre , parmi les entiers -1, -3, 1 et 2.
identifier les courbes correspondant à ces valeurs en justifiant la réponse.
D - Calcul d'une aire plane
Soit un réel stritement positif. La fonction est celle définie dans la partie B.
1. À l'aide d'une intégration par parties, calculer ce nombre : .
2. Déterminer . Interpréter graphiquement ce résultat.
1.FAUX : Si les plans et sont parallèles non confondus, et non parallèle à ces plans, on a alors :
et et
2.FAUX : Si les plans et sont parallèles non confondus, et non parallèle à ces plans, on a alors :
et parallèles non confondus donc et a fortiori et ne sont pas parallèles, donc .
On a donc à la fois : et et
3.VRAI : donc et sont sécants
donc et sont parallèles
Un plan sécant à un plan est sécant à tous les plans parallèles à ce plan, donc et sont sécants, donc
4.FAUX : Si les plans et sont parallèles non confondus, et la droite est contenue dans , on a alors :
et et
B - Intersection de 3 plans donnés
1. et sont respectivement normaux à et , or ils ne sont pas colinéaires, donc et ne sont pas parallèles, ils sont sécants. Soit M( ; y ; z) un point de leur droite d'intersection. On pose . Alors, on a :
La représentation paramétrique de est donc.
2..
Soit M( , y , z) un point de .
.
Donc donc
exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
1. a) Dans S1, 2 billes sont vertes parmi les 5, donc : .
Si on a tiré une bille verte dans S1, on la met dans S2 et alors S2 contient 3 billes vertes et 2 billes jaunes, donc : Au contraire, si on a tiré une bille jaune dans S1, S2 contient alors 2 billes vertes et 3 billes jaunes, donc .
1. b)Arbre pondéré :
2. a) Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel n non nul : donc la propriété est vraie au rang 1
On suppose la propriété vraie au rang n : pour n donné, . Alors et . On a donc donc la propriété est héréditaire.
La propriété est vraie au rang 1 et héréditaire, elle est donc vraie pour tout entier naturel .
Conclusion : la suite est majorée par .
2. b) Pour tout : Or : donc donc donc donc .
La suite est croissante.
2. c) La suite est croissante et majorée, elle est donc convergente vers une limite finie . Cette limite vérifie :
donc donc
3. a) On remarque que la suite définie correspond à la suite des probabilités de l'évènement En : pour tout , .
On en conclut que les probabilités de l'évènement En augmentent avec n et tendent vers 0,5.
3. b) puisqu'on sait que dans tous les cas .
Déterminons le terme général de la suite : Alors :
On a donc pour tout entier naturel .
exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
A - Représentation graphique de quelques exemples
a) donc et donc , d'où le graphique 1 complété :
b) donc , donc selon les valeurs de , ou ou ou ou ou , d'où le graphique 2 complété :
c) Même principe, d'où le graphique 3 complété :
B - Résolution d'une équation
1. Le couple (3 ; 5) est solution de l'équation (E), car 7 × 3 - 4 × 5 = 21 - 20 = 1
2. ( , y) est solution de (E) Donc . Or 4 et 7 sont premiers entre eux donc, d'après le théorème de Gauss, donc il existe un entier relatif k tel que , soit .
Dans ce cas, on a alors donc donc .
Les couples solutions de (E) sont donc de la forme .
Réciproquement, on vérifie que les couples de la forme sont solutions de (E), car : Conclusion :
3. On cherche un point M du réseau R4,7 dont les coordonnées ( , y) sont solutions de (E) :
s'écrit donc 4k + 3, avec k entier relatif, or donc la seule possibilité pour k est k = 0 et alors .
On vérifie dans ce cas que est tel que .
On vient donc de prouver qu'il existe une unique solution de (E) telle que le point M appartienne au réseau R4,7 : il s'agit du point .
C - Une propriété des points situés sur la diagonale du réseau
1. On cherche l'équation de la droite (OA). Elle est de la forme , or :
(OA) passe par O donc l'ordonnée à l'origine d est nulle : d = 0
(OA) passe par A(a ; b) donc L'équation de la droite (OA) est donc .
On a donc M [OA] et et
2. donc . Or a et b sont premiers entre eux donc, d'après le théorème de Gauss, donc est un multiple de a, or donc si alors avec donc donc M = O.
si alors avec donc donc M( , y) = A(a , b).
Conclusion : si a et b sont premiers entre eux, les points O et A sont les seuls points du segment appartenant au réseau Ra,b.
3. Soit d = pgcd(a , b), a et b ne sont pas premiers entre eux, donc .
On définit a' et b' tels que a = da' et b = db'. Démontrons que le point A'(a' ,b') appartient au réseau Ra,b et au segment [OA] :
donc et donc avec a' et b' entiers donc et et donc .
On vient donc de montrer que si a et b ne sont pas premiers, alors le point A' du réseau appartient au segment [OA] : le segment [OA] contient donc au moins un autre point du réseau, le point A'.
exercice 3 - Commun à tous les candidats
A - Quelques propriétés
1. Pour résumer :
2. Donc les points O, M et M' sont alignés.
3. On calcule :
B - Construction de l'image d'un point
1. C est donc le cercle de centre A et de rayon 1.
2. a) or et donc Or et donc donc M' est sur la médiatrice de [OB], qui est la droite d'équation .
2. b) donc et Si alors .
La proposition est donc vraie.
NB : On déduit de la question 2.b) que si M' appartient à alors M appartient à . On déduit donc des questions 2.a) et 2.b) que l'image de C par la transformation est .
3. On trace et on choisit un point M. On trace la droite . On sait que M' appartient à cette droite (question 2.a)), or on sait que O, M et M' sont alignés (question A-2.) donc M' appartient à la droite (OM).
M' est donc l'intersection des droites et (OM).
Construction :
exercice 4 - Commun à tous les candidats
A - Restitution organisée de connaissances
B - Étude d'une fonction
Pour étudier les variations d'une fonction, il faut étudier le signe de sa dérivée.
Calcul de la dérivée : est définie et dérivable sur et on dérive comme produit de fonctions, en posant , donc et , donc .
On a donc donc :
Signe de la dérivée et variations de : . Or, une exponentielle est toujours strictement positive, donc est du signe de :
sur donc est strictement croissante sur pour sur donc est strictement décroissante sur
Limites aux bornes : car et car d'après le résultat de la partie A et
Tableau de variations :
C - Etude d'une famille de fonctions
1. a) Pour , . C'est une fonction affine.
1. b) avec, si , et si , Les points d'intersection de et sont donc les points A(0 ; 1) et B(-1 ; 0). De plus, pour tout entier relatif k : donc et donc .
Les points A(0 ; 1) et B(-1 ; 0) appartiennent à toutes les courbes .
2. d'où le tableau de signe suivant :
Pour tout k donné, est du signe de , donc :
Sur et sur , donc est au-dessus de Sur ]-1 ; 0[, donc est en-dessous de
3. est définie et dérivable sur et on calcule la dérivée comme produit de fonctions, en posant donc et donc . Alors :
Donc est du signe de Si , d'où les variations de :
avec :
car d'après la question A et en posant , et
Si , d'où les variations de :
avec :
car d'après la question A et en posant et
4. Les courbes et ont une allure "croissante puis décroissante", cela correspond à des valeurs de k négatives (cf. question 3.). De plus, on observe que sur [-1 ; 0] la courbe est en-dessous de la courbe , le coefficient correspondant à est donc plus grand que le coefficient correspondant à (cf. question 2.) : donc et .
Ainsi, les courbes et , d'allure "décroissante puis croissante" correspondent à des valeurs de k positives, et comme sur [-1 ; 0] est en-dessous de , alors le coefficient de est plus grand que le coefficient de : donc et .
Le tableau ci-dessous résume les correspondances entre les courbes et le paramètre k :
Courbe
k
-1
-3
2
1
D - Calcul d'une aire plane
1. On pose donc et et on choisit . En intégrant par parties, on obtient :
2. car d'après les résultats de la question A et Or, la fonction est positive sur donc représente l'aire du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe et les droites d'équation et .
La limite vaut 2, donc l'aire du domaine délimité par l'axe des abscisse, la courbe et à droite de la droite d'équation (donc tel que ) est de 2 unités d'aires.
Publié par Cel/Aurélien
le
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