Fiche de mathématiques
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Bac Scientifique
Asie - Session 2008

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Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9


L'usage des calculatrices est autorisé selon les termes de la circulaire n°99-186 du 16 novembre 1999.
2 feuilles de papier millimétré seront remises à la disposition des candidats.
Le candidat doit traiter les quatre exercices.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
4 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

A - Vrai ou faux ?

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Dans le cas d'une proposition fausse, la démonstration consistera à proposer un contre-exemple ; une figure pourra constituer ce contre-exemple.

Rappel des notations :
\mathscr{P}_{1} \cap \mathscr{P}_{2} désigne l'ensemble des points communs aux plans \mathscr{P}_{1} et \mathscr{P}_{2}.
L 'écriture \mathscr{P}_{1} \cap \mathscr{P}_{2} = \emptyset signifie que les plans \mathscr{P}_{1} et \mathscr{P}_{2} n'ont aucun point commun.

1. Si \mathscr{P}_{1}, \, \mathscr{P}_{2} \text{ et } \mathscr{P}_{3} sont trois plans distincts de l'espace vérifiant : \mathscr{P}_{1} \cap \mathscr{P}_{2} \neq \emptyset \, \text{ et } \, \mathscr{P}_{2} \cap \mathscr{P}_{3} \neq \emptyset,
alors on peut conclure que \mathscr{P}_{1} \text{ et } \mathscr{P}_{3} vérifient : \mathscr{P}_{1} \cap \mathscr{P}_{3} \neq \emptyset.

2. Si \mathscr{P}_{1}, \, \mathscr{P}_{2} \text{ et } \mathscr{P}_{3} sont trois plans distincts de l'espace vérifiant : \mathscr{P}_{1} \cap \mathscr{P}_{2} \cap \mathscr{P}_{3} = \emptyset,
alors on peut conclure que \mathscr{P}_{1}, \, \mathscr{P}_{2} \text{ et } \mathscr{P}_{3} sont tels que : \mathscr{P}_{1} \cap \mathscr{P}_{2} = \emptyset et \mathscr{P}_{2} \cap \mathscr{P}_{3} = \emptyset.

3. Si \mathscr{P}_{1}, \, \mathscr{P}_{2} \text{ et } \mathscr{P}_{3} sont trois plans distincts de l'espace vérifiant : \mathscr{P}_{1} \cap \mathscr{P}_{2} \neq \emptyset \text{ et } \mathscr{P}_{1} \cap \mathscr{P}_{3} = \emptyset
alors on peut conclure que \mathscr{P}_{2} \text{ et } \mathscr{P}_{3} vérifient : \mathscr{P}_{2} \cap \mathscr{P}_{3} \neq \emptyset.

4. Si \mathscr{P}_{1} \text{ et } \mathscr{P}_{2} sont deux plans distincts et \mathscr{D} une droite de l'espace vérifiant : \mathscr{P}_{1} \cap \mathscr{D} \neq \emptyset \text{et} \mathscr{P}_{1} \cap \mathscr{P}_{2} = \emptyset,
alors on peut conclure que \mathscr{P}_{2} \cap \mathscr{D} \neq \emptyset

B - Intersection de trois plans donnés

Dans un repère orthonorrnal de l'espace on considère les trois plans suivants :
      \mathscr{P}_{1} d'équation x+ y - z = 0,
      \mathscr{P}_{2} d'équation 2x + y + z - 3 = 0,
      \mathscr{P}_{3} d'équation x + 2y - 4z + 3 = 0.

1. Justifier que les plans \mathscr{P}_{1} et \mathscr{P}_{2} sont sécants puis déterminer une représentation paramétrique de leur droite d'interseclion, notée \Delta.

2. En déduire la nature de l'intersection \mathscr{P}_{1} \cap \mathscr{P}_{2} \cap \mathscr{P}_{3}.


5 points

exercice 2 - Réservé aux candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

On considère plusieurs sacs de billes S1, S2, . . . , Sn, . . . tels que :
- le premier, S1, contient 3 billes jaunes et 2 vertes ;
- chacun des suivants, S2, S3, . . . , Sn, . . . contient 2 billes jaunes et 2 vertes.

Le but de cet exercice est d'étudier l'évolution des tirages successifs d'une bille de ces sacs, effectués de la manière suivante :
- on tire au hasard une bille dans S1 ;
- on place la bille tirée de S1 dans S2, puis on tire au hasard une bille dans S2 ;
- on place la bille tirée de S2 dans S3, puis on tire au hasard une bille dans S3 ;
- etc.

Pour tout entier n ? 1, on note En l'événement : « la bille tirée dans Sn est verte » et on note p(En) sa probabilité.

1. Mise en évidence d'une relation de récurrence
   a) D'après l'énoncé, donner les valeurs de p(E1), pE1(E2), p_{\overline{\text{E}_{1}}}(\text{E}_{2}).
En déduire la valeur de p(E2).
   b) A l'aide d'un arbre pondéré, exprimer p(En+1) en fonction de p(En).

2. Etude d'une suite
On considère la suite (un) définie par : \left \lbrace \begin{array}{l} u_{1} = \displaystyle \frac{2}{5}\\ u_{n+1} = \displaystyle \frac{1}{5}u_{n} + \displaystyle \frac{2}{5} \end{array} \right.   pour tout n ? 1.
   a) Démontrer que la suite (un) est majorée par \frac{1}{2}.
   b) Démontrer que (un) est croissante.
   c) Justifier que la suite (un) est convergente et préciser sa limite.

3. Evolution des probabilités p(En)
   a) À l'aide des résultats précédents, déterminer l'évolution des probabilités p(En).
   b) Pour quelles valeurs de l'entier n a-t-on : 0,49999 ? p(En) ? 0,5 ?


5 points

exercice 2 - Réservé aux candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Soit a et b deux entiers naturels non nuls ; on appelle « réseau » associé aux entiers a et b l'ensemble des points du plan, muni d'un repère orthonormal, dont les coordonnées (x \, ; \, y) sont des entiers vérifiant les conditions : 0 \leq x \leq a et 0 \leq y \leq b. On note Ra,b ce réseau.

Le but de l'exercice est de relier certaines propriétés arithmétiques des entiers x et y à des propriétés géométriques des points correspondants du réseau.

A - Représentation graphique de quelques ensembles

Dans cette question, les réponses sont attendues sans explication, sous la forme d'un graphique qui sera dûment complété.
Représenter graphiquement les points M(x ; y) du réseau R{8,8} vérifiant :
   a) x \equiv 2 (modulo 3) et y \equiv 1 (modulo 3), sur le graphique 1 ci-dessous ;
   b) x + y \equiv 1 (modulo 3), sur le graphique 2 ci-dessous ;
   c) x \equiv  y (modulo 3), sur le graphique 3 ci-dessous.
sujet du bac scientifique, obligatoire et spécialité, Asie 2008 - terminale : image 1
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Graphique 1 Graphique 2
sujet du bac scientifique, obligatoire et spécialité, Asie 2008 - terminale : image 1

Graphique 3


B - Résolution d'une équation

On considère l'équation (E) : 7x - 4y = 1, où les inconnues x et y sont des entiers relatifs.

1. Déterminer un couple d'entiers relatifs (x_{0} \, ; \, y_{0}) solution de l'équation (E).

2. Déterminer l'ensemble des couples d'entiers relatifs solutions de l'équation (E).

3. Démontrer que l'équation (E) admet une unique solution (x ; y) pour laquelle le point M(x ; y) correspondant appartient au réseau R4,7.

C - Une propriété des points situés sur la diagonale du réseau

Si a et b sont deux entiers naturels non nuls, on considère la diagonale [OA] du réseau Ra,b, avec O(0 ; 0) et A(a ; b).

1. Démontrer que les points du segment [OA] sont caractérisés par les conditions :
0 \leq x  \leq a \, ; \, 0 \leq y \leq b \, ; \, ay = bx.

2. Démonter que si a et b sont premiers entre eux, alors les points O et A sont les seuls points du segment [OA] appartenant au réseau Ra,b.

3. Démontrer que si a et b ne sont pas premiers entre eux, alors le segment [OA] contient au moins un autre point du réseau.
(On pourra considérer le pgcd d des nombres a et b et poser a = da' et b = db'.)


4 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct (O \, ; \, \overrightarrow{u} \, , \, \overrightarrow{v}). On prendra pour le dessin : \left\|\overrightarrow{u}\right\| = 4 \text{ cm}.
M est un point d'affixe z non nul. On désigne par M' le point d'affixe z' telle que z' = -\frac{1}{\overline{z}}\overline{z} désigne le conjugué du nombre complexe z.

A - Quelques propriétés

1. Soit z un nombre complexe non nul. Déterminer une relation entre les modules de z et z', puis une relation entre les arguments de z et z'.

2. Démontrer que les points O, M et M' sont alignés.

3. Démontrer que pour tout nombre complexe z non nul on a l'égalité : \overline{z' + 1} = \frac{1}{z}(z - 1).

B - Construction de l'image d'un point

On désigne par A et B les deux points d'affixes respectives 1 et -1.
On note \mathscr{C} l'ensemble des points M du plan dont l'affixe z vérifie : |z - 1| = 1.

1. Quelle est la nature de l'ensemble \mathscr{C} ?

2. Soit M un point de \mathcal{C} d'affixe z, distinct du point O.
   a) Démontrer que |z'+ 1| = |z'|. Interpréter géométriquement cette égalité.
   b) Est-il vrai que si z' vérifie l'égalité : |z' + 1| = |z'|, alors z vérifie l'égalité : |z - 1| = 1 ?

3. Tracer l'ensemble \mathscr{C} sur une figure. Si M est un point de \mathscr{C}, décrire et réaliser la construction du point M'.


7 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

A - Restitution organisée de connaissances

On suppose connu le résultat suivant : \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{\text{e}^x}{x} = +\infty.
Démontrer que : \displaystyle \lim_{x \to +\infty} x\text{e}^{-x} = 0.

B - Étude d'une fonction

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par : f(x) = (x + 1)\text{e}^{-x}.
On note (\mathscr{C}) sa représentation graphique dans un repère orthonormé (O \, ; \, \overrightarrow{i} \, , \, \overrightarrow{j}) du plan. On prendra 4 cm pour unité graphique.

1. Cette question demande le développement d'une certaine démarche comportant plusieurs étapes. La clarté du plan d'étude, la rigueur des raisonnements ainsi que la qualité de la rédaction seront prises en compte dans la notation.
Étudier les variations de la fonction f et les limites aux bornes de son ensemble de définition. Résumer ces éléments dans un tableau de variations le plus complet possible.

2. Tracer la courbe (\mathscr{C}). On fera apparaître les résultats obtenus précédemment.

C - Etude d'une famille de fonctions

Pour tout entier relatif k, on note f_{k} la fonction définie sur \mathbb{R} par : f_{k}(x) = (x +1)\text{e}^{kx}.
On note \mathscr{C}_{k} la courbe représentative de la fonction f_{k} dans un repère orthonormal du plan.
On remarque que le cas k = -1 a été traité dans la partie B, car on a f_{-1} = f et \mathscr{C}_{-1} = \mathscr{C}.

1. a) Quelle est la nature de la fonction f_{0} ?
   b) Déterminer les points d'intersection des courbes \mathscr{C}_{0} et \mathscr{C}_{1}.
Vérifier que, pour tout entier k, ces points appartiennent à la courbe \mathscr{C}_{k}.

2. Étudier, suivant les valeurs du réel x, le signe de l'expression : (x + 1)(\text{e}^x - 1).
En déduire, pour k entier relatif donné, les positions relatives des courbes \mathscr{C}_{k} et \mathscr{C}_{k+1}.

3. Calculer f_{k}'(x) pour tout réel x et pour tout entier k non nul.
En déduire le sens de variation de la fonction f_{k} suivant les valeurs de k. (On distinguera les cas : k > 0 et k < 0.)

4. Le graphique suivant représente quatre courbes \mathscr{E}, \, \mathscr{F}, \, \mathscr{H} \text{ et } \mathcal{K} correspondant à quatre valeurs différentes du paramètre k, parmi les entiers -1, -3, 1 et 2.
identifier les courbes correspondant à ces valeurs en justifiant la réponse.

sujet du bac scientifique, obligatoire et spécialité, Asie 2008 - terminale : image 2


D - Calcul d'une aire plane

Soit \lambda un réel stritement positif. La fonction f est celle définie dans la partie B.

1. À l'aide d'une intégration par parties, calculer ce nombre : \mathscr{A}(\lambda) = \displaystyle \int_{0}^{\lambda} f(t) \: \text{d}t.

2. Déterminer \displaystyle \lim_{\lambda \to + \infty} \mathscr{A}(\lambda). Interpréter graphiquement ce résultat.





exercice 1 - Commun à tous les candidats

A - Vrai ou faux ?

1. FAUX : Si les plans \mathscr{P}_1 et \mathscr{P}_3 sont parallèles non confondus, et \mathscr{P}_2 non parallèle à ces plans, on a alors :
\mathscr{P}_1 \cap \mathscr{P}_2 \neq \emptyset et \mathscr{P}_2 \cap \mathscr{P}_3 \neq \emptyset et \mathscr{P}_1 \cap \mathscr{P}_3 = \emptyset

2. FAUX : Si les plans \mathscr{P}_1 et \mathscr{P}_2 sont parallèles non confondus, et \mathscr{P}_3 non parallèle à ces plans, on a alors :
\mathscr{P}_1 et \mathscr{P}_2 parallèles non confondus donc \mathscr{P}_1 \cap \mathscr{P}_2 = \emptyset et a fortiori \mathscr{P}_1 \cap \mathscr{P}_2 \cap \mathscr{P}_3 = \emptyset \cap \mathscr{P}_3 = \emptyset
\mathscr{P}_2 et \mathscr{P}_3 ne sont pas parallèles, donc \mathscr{P}_2 \cap \mathscr{P}_3 \neq \emptyset.
On a donc à la fois : \mathscr{P}_1 \cap \mathscr{P}_2 \cap \mathscr{P}_3 = \emptyset et \mathscr{P}_1 \cap \mathscr{P}_2 = \emptyset et \mathscr{P}_2 \cap \mathscr{P}_3 \neq \emptyset

3. VRAI :
\mathscr{P}_1 \cap \mathscr{P}_2 \neq \emptyset donc \mathscr{P}_1 et \mathscr{P}_2 sont sécants
\mathscr{P}_1 \cap \mathscr{P}_3 = \emptyset donc \mathscr{P}_1 et \mathscr{P}_3 sont parallèles
Un plan sécant à un plan est sécant à tous les plans parallèles à ce plan, donc \mathscr{P}_2 et \mathscr{P}_3 sont sécants, donc \mathscr{P}_2 \cap \mathscr{P}_3 \neq \emptyset

4. FAUX : Si les plans \mathscr{P}_1 et \mathscr{P}_2 sont parallèles non confondus, et la droite \mathscr{D} est contenue dans \mathscr{P}_1, on a alors :
\mathscr{P}_1 \cap \mathscr{P}_2 = \emptyset et \mathscr{P}_1 \cap \mathscr{D} = \neq \emptyset et \mathscr{P}_2 \cap \mathscr{D} = \emptyset

B - Intersection de 3 plans donnés

1. \overrightarrow{n_1}\left( \begin{array}{l} 1\\ 1 \\-1 \end{array} \right) et \overrightarrow{n_2}\left( \begin{array}{l} 2\\1\\1 \end{array} \right) sont respectivement normaux à \mathscr{P}_1 et \mathscr{P}_2, or ils ne sont pas colinéaires, donc \mathscr{P}_1 et \mathscr{P}_2 ne sont pas parallèles, ils sont sécants.
Soit M(x ; y ; z) un point de leur droite d'intersection. On pose t = z. Alors, on a :
\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} x+y-t & 0 \\ 2x+y+t-3 & 0 \\ z & t \end{array} \right. \: \Longleftrightarrow \: \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} {x+y-t & 0 \\ x+2t-3 & 0 \\ z & t \end{array} \right. \: \Longleftrightarrow \: \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} x & 3-2t  \\  y & 3t-3  \\ z & t   \end{array} \right.
La représentation paramétrique de \Delta est donc \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} x & 3-2t \\y & 3t-3  \\  z & t  \\ \end{array} \right. \: \: (t \in \mathbb{R}).

2. \mathscr{P}_1 \cap \mathscr{P}_2 \cap \mathscr{P}_3 = \Delta \cap \mathscr{P}_3.
Soit M(x , y , z) un point de \Delta.
\text{M} \in \mathscr{P}_3 \: \Longleftrightarrow \: x + 2y - 4z + 3 = 0 \: \Longleftrightarrow \: 3-2t+2(3t-3)-4t+3=0 \: \Longleftrightarrow \: 3-2t+6t-6-4t+3=0 \: \Longleftrightarrow \: 0=0.
Donc \Delta \subset \mathscr{P}_3 donc \boxed{\mathscr{P}_1 \cap \mathscr{P}_2 \cap \mathscr{P}_3 = \Delta}




exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. a) Dans S1, 2 billes sont vertes parmi les 5, donc : \boxed{p(\text{E}_1) = \displaystyle \frac{2}{5} = 0,4}.
Si on a tiré une bille verte dans S1, on la met dans S2 et alors S2 contient 3 billes vertes et 2 billes jaunes, donc : \boxed{p_{\text{E}_1}(\text{E}_2) = \frac{3}{5} = 0,6}
Au contraire, si on a tiré une bille jaune dans S1, S2 contient alors 2 billes vertes et 3 billes jaunes, donc \boxed{p_{\bar{\text{E}_1}}(\text{E}_2) = \frac{2}{5} = 0,4}.
p(\text{E}_2) = p(\text{E}_1 \cap \text{E}_2) + p(\bar{\text{E}_1} \cap \text{E}_2) = p(\text{E}_1)p_{\text{E}_1}(\text{E}_2) + p(\bar{\text{E}_1})p_{\bar{\text{E}_1}}(\text{E}_2)\\ p(\text{E}_2) = 0,4 \times 0,6 + (1 - 0,4) \times 0,4\\ \boxed{p(\text{E}_2)=0,48}

1. b) Arbre pondéré :
sujet du bac scientifique, obligatoire et spécialité, Asie 2008 - terminale : image 3

p(\text{E}_{n+1}) = p(\text{E}_n \cap \text{E}_{n+1}) + p(\bar{\text{E}_n} \cap \text{E}_{n+1})\\ p(\text{E}_{n+1}) = p(\text{E}_n)p_{\text{E}_n}(\text{E}_{n+1}) + p(\bar{\text{E}_n})p_{\bar{\text{E}_n}}(\text{E}_{n+1})\\ p(\text{E}_{n+1}) = p(\text{E}_n)p_{\text{E}_n}(\text{E}_{n+1}) + (1 - p(\text{E}_n))p_{\bar{\text{E}_n}}(\text{E}_{n+1})\\ p(\text{E}_{n+1}) = p(\text{E}_n) \times 0,6 + (1 - p(\text{E}_n)) \times 0,4 \\ \boxed{p(\text{E}_{n+1}) = 0,2p(\text{E}_n) + 0,4}

2. a) Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel n non nul : u_n \le \displaystyle \frac{1}{2}
u_1 = \displaystyle \frac{2}{5} \le \frac{1}{2} donc la propriété est vraie au rang 1
On suppose la propriété vraie au rang n : pour n donné, u_n \le \displaystyle \frac{1}{2}. Alors \displaystyle \frac{1}{5}u_n \le \displaystyle \frac{1}{5 }\times \frac{1}{2} = \frac{1}{10} et \displaystyle \frac{1}{5}u_n + \displaystyle \frac{2}{5} \le \frac{1}{10} + \frac{2}{5} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}. On a donc u_{n+1} \le \displaystyle \frac{1}{2} donc la propriété est héréditaire.
La propriété est vraie au rang 1 et héréditaire, elle est donc vraie pour tout entier naturel n\ge 1.
Conclusion : la suite (u_n) est majorée par \displaystyle \frac{1}{2}.

2. b) Pour tout n \ge 1 : u_{n+1}-u_n = \displaystyle \frac{2}{5} - \frac{4}{5}u_n
Or : u_n \le \displaystyle \frac{1}{2} donc -u_n\ge -\displaystyle \frac{1}{2} donc -\displaystyle \frac{4}{5}u_n\ge-\frac{2}{5} donc u_{n+1}-u_n= \displaystyle \frac{2}{5}-\frac{4}{5}u_n\ge 0 donc u_{n+1}\ge u_n.
La suite (u_n) est croissante.

2. c) La suite est croissante et majorée, elle est donc convergente vers une limite finie \ell. Cette limite vérifie :
\ell = \displaystyle \frac{1}{5}\ell + \frac{2}{5} donc \displaystyle \frac{4}{5} \ell = \frac{2}{5} donc \boxed{\ell = \frac{1}{2}}

3. a) On remarque que la suite définie correspond à la suite des probabilités de l'évènement En : pour tout n \ge 1, u_n = p(\text{E}_n).
On en conclut que les probabilités de l'évènement En augmentent avec n et tendent vers 0,5.

3. b) 0,49999 \le p(\text{E}_n) \le 0,5 \: \Longleftrightarrow \: 0,49999 \le p(\text{E}_n) puisqu'on sait que dans tous les cas p(\text{E}_n) \le 0,5.

Déterminons le terme général de la suite :
u_1 = 0,4\\ u_2 = 0,2u_1 + 0,4 = 0,2 \times 0,4 + 0,4 = (1+0,2) \times 0,4\\ u_3 = 0,2u_2 + 0,4 = 0,2(1+0,2) \times 0,4 + 0,4 = (0,2 + 0,2^2) \times 0,4 + 0,4 = (1 + 0,2 + 0,2^2) \times 0,4\\ ...\\ u_n = (1 + 0,2 + 0,2^2 + ... + 0,2^{n-1}) \times 0,4 = \displaystyle \frac{1-0,2^n}{1 - 0,2} \times 0,4 = \frac{1}{2}(1-0,2^n)
Alors :
0,49999 \le p(\text{E}_n) \: \Longleftrightarrow \: \displaystyle \frac{1}{2}(1-0,2^n)\ge 0,49999\\ \Longleftrightarrow \: 1 - 0,2^n \ge 0,99998 \\ \Longleftrightarrow \: 0,2^n \le 0,00002 \\ \Longleftrightarrow \: n \ln 0,2 \ge \ln 0,00002 \\ \Longleftrightarrow \: n \ge \displaystyle \frac{\ln0,00002}{\ln0,2} \Longleftrightarrow \: n \ge 6,72
On a donc 0,49999 \le p(\text{E}_n) \le 0,5 pour tout entier naturel \boxed{n \ge 7}.




exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

A - Représentation graphique de quelques exemples

a) x \equiv 2[3] donc x \in \lbrace 2 \, ; \, 5 \, ; \, 8\rbrace et y \equiv 1[3] donc y \in \lbrace 1 \, ; \, 4 \, ; \,7\rbrace , d'où le graphique 1 complété :
sujet du bac scientifique, obligatoire et spécialité, Asie 2008 - terminale : image 4


b) x + y \equiv 1[3] donc y \equiv 1 - x [3], donc selon les valeurs de x, y = 1 - x ou y = 4 - x ou y = 7 - x ou y = 10 - x ou y = 13 - x ou y = 16 - x, d'où le graphique 2 complété :
sujet du bac scientifique, obligatoire et spécialité, Asie 2008 - terminale : image 5


c) Même principe, d'où le graphique 3 complété :
sujet du bac scientifique, obligatoire et spécialité, Asie 2008 - terminale : image 6


B - Résolution d'une équation

1. Le couple (3 ; 5) est solution de l'équation (E), car 7 × 3 - 4 × 5 = 21 - 20 = 1

2. (x , y) est solution de (E) \Longleftrightarrow \: 7x - 4y = 1 \: \Longleftrightarrow \: 7x - 4y = 7 \times 3 - 4 \times 5 \: \Longleftrightarrow \: 7(x - 3) = 4(y - 5)
Donc 4|7(x - 3). Or 4 et 7 sont premiers entre eux donc, d'après le théorème de Gauss, 4|x - 3 donc il existe un entier relatif k tel que x-3 = 4k, soit x = 4k+3.
Dans ce cas, on a alors 7 \times 4k = 4(y - 5) donc y - 5 = 7k donc y = 7k + 5.
Les couples solutions de (E) sont donc de la forme (4k + 3 \, ; \, 7k + 5), \, k \in \mathbb{Z}.
Réciproquement, on vérifie que les couples de la forme (4k + 3 \, ; \, 7k + 5), \, k \in \mathbb{Z} sont solutions de (E), car : 7(4k + 3) - 4(7k + 5) = 28k + 21 - 28k - 20 = 1
Conclusion : \boxed{S = \lbrace (4k + 3 \, ; \, 7k + 5), \, k \in \mathbb{Z}\rbrace}

3. On cherche un point M du réseau R4,7 dont les coordonnées (x , y) sont solutions de (E) :
x s'écrit donc 4k + 3, avec k entier relatif, or 0 \le x \le4 donc la seule possibilité pour k est k = 0 et alors x=3.
On vérifie dans ce cas que y = 7k+5 = 5 est tel que 0 \le y \le7.
On vient donc de prouver qu'il existe une unique solution de (E) telle que le point M appartienne au réseau R4,7 : il s'agit du point \boxed{\text{M}(3 \, ; \, 5)}.

C - Une propriété des points situés sur la diagonale du réseau

1. On cherche l'équation de la droite (OA). Elle est de la forme y=cx+d, or :
(OA) passe par O donc l'ordonnée à l'origine d est nulle : d = 0
(OA) passe par A(a ; b) donc y_{\text{A}} = cx_{\text{A}} \: \Longleftrightarrow \: b = ca \: \Longleftrightarrow \: c = \displaystyle \frac{b}{a}
L'équation de la droite (OA) est donc y = \displaystyle \frac{b}{a}x.
On a donc M \in [OA] \Longleftrightarrow \: 0 \le x \le a et 0 \le y \le b et y = \displaystyle \frac{b}{a}x \: \Longleftrightarrow \: \boxed{0\le x\le a \, ; \, 0\le y \le b \, ; \, ay=bx }

2. ay = bx donc a|bx. Or a et b sont premiers entre eux donc, d'après le théorème de Gauss, a|x donc x est un multiple de a, or 0 \le x \le a donc x \in \lbrace 0 \, ; \, a\rbrace
si x = 0 alors ay = 0 avec a \neq 0 donc y = 0 donc M = O.
si x = a alors ay = ba avec a \neq 0 donc y = b donc M(x , y) = A(a , b).
Conclusion : si a et b sont premiers entre eux, les points O et A sont les seuls points du segment appartenant au réseau Ra,b.

3. Soit d = pgcd(a , b), a et b ne sont pas premiers entre eux, donc d \neq 1.
On définit a' et b' tels que a = da' et b = db'. Démontrons que le point A'(a' ,b') appartient au réseau Ra,b et au segment [OA] :
x_{\text{A}'} = a' = \displaystyle \frac{a}{d} donc 0 \le x_{\text{A}'} < a \le a et y_{\text{A}'} = b' = \displaystyle  \frac{b}{d} donc 0 \le y_{\text{A}'} < b \le b avec a' et b' entiers donc \text{A}' \in R_{a,b}
0 \le x_{\text{A}'} \le a et 0 \le y - \text{A}' \le b et ay_{\text{A}'} = ab' = a \displaystyle \frac{b}{d} = b\frac{a}{d} = ba' = bx_{\text{A'} donc \text{A}' \in [\text{OA}].
On vient donc de montrer que si a et b ne sont pas premiers, alors le point A' du réseau appartient au segment [OA] : le segment [OA] contient donc au moins un autre point du réseau, le point A'.




exercice 3 - Commun à tous les candidats

A - Quelques propriétés

1.  |z'| = \left|- \displaystyle \frac{1}{\bar z}\right| = \displaystyle \frac{1}{|\bar z|} = \frac{1}{|z|}
\arg(z') = \arg\left(- \displaystyle \frac{1}{\bar z}\right) = \arg\left( \displaystyle \frac{1}{\bar z}\right) + \pi = -\arg \left(\bar z\right) + \pi = \arg(z) + \pi \: \: [2\pi]
Pour résumer : \boxed{|z'| = \displaystyle \frac{1}{|z|} \text{ et } \arg(z') = \arg(z) + \pi[2\pi] }

2. \arg(z') = \arg(z) + \pi \, [2\pi] \: \Longleftrightarrow \: (\overrightarrow{u},\overrightarrow{OM'}) = (\vec{u},\vec{\text{OM}}) + \pi \: [2\pi]
 \Longleftrightarrow \: (\vec{u},\overrightarrow{\text{OM}'}) - (\vec{u},\overrightarrow{\text{OM}})=\pi \: [2\pi] \\ \Longleftrightarrow \: (\overrightarrow{\text{OM}},\overrightarrow{\text{OM}'}) = \pi \: [2\pi]
Donc les points O, M et M' sont alignés.

3. On calcule :
\overline{z'+1} = \overline{z'}+1 = \overline{- \displaystyle \frac{1}{\bar z}}+1= - \displaystyle \frac{1}{\bar{\bar z}}+1= - \displaystyle\frac{1}{z}+1= \displaystyle\frac{1}{z}(-1+z)\\ \boxed{\overline{z'+1}= \displaystyle\frac{1}{z}(z-1)}

B - Construction de l'image d'un point

1. |z-1|=1 \: \Longleftrightarrow \: |z - z_{\text{A}}| = 1 \: \Longleftrightarrow \: \text{AM} = 1
C est donc le cercle de centre A et de rayon 1.

2. a) |z' + 1| = |\overline{z' + 1}| = \left| \displaystyle \frac{1}{z}(z-1)\right| = \displaystyle \frac{1}{|z|} \times |z-1| or \displaystyle \frac{1}{|z|} = |z'| et |z - 1| = 1 donc \boxed{|z' + 1| = |z'|}
Or |z' + 1| = |z_{\text{M}'} - z_{\text{B}}| = \text{BM}' et |z'| = |z_{\text{M'}}| = \text{OM}' donc \text{BM}' = \text{OM}' donc M' est sur la médiatrice de [OB], qui est la droite \Delta d'équation x=- \displaystyle \frac{1}{2}.

2. b) z' + 1 = \displaystyle \frac{1}{z}(z-1) donc z - 1 = z(z' + 1) et |z - 1| = |z| \times |z' + 1|
Si |z' + 1| = |z'| alors |z - 1| = |z| \times |z'| = |z| \times \displaystyle \frac{1}{|z|} = 1.
La proposition est donc vraie.
NB : On déduit de la question 2.b) que si M' appartient à \Delta alors M appartient à \mathscr{C}. On déduit donc des questions 2.a) et 2.b) que l'image de C par la transformation est \Delta.

3. On trace \mathscr{C} et on choisit un point M. On trace la droite \Delta. On sait que M' appartient à cette droite (question 2.a)), or on sait que O, M et M' sont alignés (question A-2.) donc M' appartient à la droite (OM).
M' est donc l'intersection des droites \Delta et (OM).
Construction :
sujet du bac scientifique, obligatoire et spécialité, Asie 2008 - terminale : image 7





exercice 4 - Commun à tous les candidats

A - Restitution organisée de connaissances

\displaystyle \lim_{x\to+\infty} x e^{-x} = \displaystyle \lim_{x\to+\infty} \frac{x}{e^x} = \displaystyle \lim_{x\to+\infty} \displaystyle \frac{1}{\frac{e^x}{x}} = '' \frac{1}{+\infty} '' = 0

B - Étude d'une fonction

Pour étudier les variations d'une fonction, il faut étudier le signe de sa dérivée.
Calcul de la dérivée :
f est définie et dérivable sur \mathbb{R} et on dérive comme produit de fonctions, en posant u(x)=x+1, donc u'(x) = 1 et v(x)=e^{-x}, donc v'(x)=-e^{-x}.
On a f = uv donc f' = u'v + uv' donc : f'(x) = e^{-x} - (x+1)e^{-x} = -xe^{-x}

Signe de la dérivée et variations de f :
f'(x) = -xe^{-x}. Or, une exponentielle est toujours strictement positive, donc f'(x) est du signe de -x :
f'(x) > 0 sur ]-\infty \, ; \, 0[ donc f est strictement croissante sur ]-\infty \, ; \, 0[
f'(x) = 0 pour x = 0
f'(x) < 0 sur ]0 \, ; \, +\infty[ donc f est strictement décroissante sur ]0 \, ; \, +\infty[

Limites aux bornes :
\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x) = \displaystyle \lim_{x\to-\infty}(x+1)e^{-x} = ''(-\infty)\times(+\infty)'' = -\infty
car \displaystyle \lim_{x\to-\infty} x + 1 = -\infty et \displaystyle \lim_{x\to-\infty} e^{-x} = \displaystyle \lim_{X\to+\infty} e^ X = +\infty
\displaystyle \lim_{x\to+\infty} f(x) = \displaystyle \lim_{x\to+\infty} (x + 1)e^{-x} = \displaystyle \lim_{x \to +\infty} xe^{-x} + e^{-x} = 0 + 0 = 0
car \displaystyle \lim_{x \to +\infty} xe^{-x} = 0 d'après le résultat de la partie A et \displaystyle \lim_{x \to +\infty} e^{-x} = \displaystyle \lim_{X \to -\infty} e^X =0

Tableau de variations :
f(0) = (0+1)e^0 = 1
\begin{array}{|c|ccccc|} \hline  x & -\infty & & 0 & & +\infty \\ \hline  {f'(x)} & & + & 0 & - & \\ \hline  \hspace{1pt} &  &  & 1 &  &  \\ {f(x)} &  & \nearrow &  & \searrow &  \\ \hspace{1pt} & -\infty &  &  &  & 0 \\ \hline  \end{array}

C - Etude d'une famille de fonctions

1. a) Pour k = 0, f_0(x) = (x + 1)e^{0x} = x + 1. C'est une fonction affine.

1. b) f_0(x)=f_1(x) \: \Longleftrightarrow \: x+1=(x+1)e^x \: \Longleftrightarrow \: x+1 = 0 \text{ ou } e^x = 1  \: \Longleftrightarrow \: x = -1 \text{ ou } x = 0
avec, si x = 0 , f_0(0) = f_1(0) = 1 et si x = -1, f_0(-1) = f_1(-1) = 0
Les points d'intersection de \mathscr{C}_0 et \mathscr{C}_1 sont donc les points A(0 ; 1) et B(-1 ; 0).
De plus, pour tout entier relatif k : f_k(0) = (0+1)e^{k\times0} = 1 donc A \in \mathscr{C}_k et f_k(-1)=(-1+1)e^{-k}=0 donc B \in \mathscr{C}_k.
Les points A(0 ; 1) et B(-1 ; 0) appartiennent à toutes les courbes \mathscr{C}_k.

2. x + 1 = 0 \: \Longleftrightarrow \: x = -1 \text{ et } x + 1 > 0 \: \Longleftrightarrow \: x > -1
e^x - 1 = 0 \: \Longleftrightarrow \: e^x = 1 \: \Longleftrightarrow \: x = 0 \text{ et } e^x - 1 > 0 \: \Longleftrightarrow \: e^x > 1 \: \Longleftrightarrow \: x > 0 d'où le tableau de signe suivant :

\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline  x & -\infty & & -1 & & 0 & & +\infty \\ \hline  {x+1} & & - & 0 & + & & + & \\ \hline  {e^x-1} & & - & & - & 0 & + & \\ \hline  {(x+1)(e^x-1)} & & + & 0 & - & 0 & + & \\ \hline  \end{array}

Pour tout k donné, f_{k+1}(x) - f_k(x) = (x+1)e^{(k+1)x} - (x+1)e^{kx} = e^{kx}(x+1)(e^{x}-1) est du signe de (x + 1)(e^x-1), donc :
Sur ]-\infty \, ; \, -1[ et sur ]0 \, ; \, +\infty[ , f_{k+1}(x) - f_k(x) > 0 donc \mathscr{C}_{k+1} est au-dessus de \mathscr{C}_k
Sur ]-1 ; 0[, f_{k+1}(x) - f_k(x) < 0 donc \mathscr{C}_{k+1} est en-dessous de \mathscr{C}_k

3. f_k est définie et dérivable sur \mathbb{R} et on calcule la dérivée comme produit de fonctions, en posant u(x) = x+1 donc u'(x) = 1 et v(x) = e^{kx} donc v'(x) = ke^{kx}. Alors :
f_k'(x) = e^{kx} + (x + 1)ke^{kx} = \boxed{(kx+k+1)e^{kx}}
Donc f'_k(x) est du signe de kx + k + 1
Si k > 0, kx + k + 1 = 0 \: \Longleftrightarrow \: x = -\frac{k+1}{k} \text{ et } kx + k + 1 > 0 \: \Longleftrightarrow \: x > -\frac{k+1}{k} d'où les variations de f_k :
\begin{array}{|c|ccccc|} \hline  x & -\infty & & -\frac{k+1}{k} & & +\infty \\ \hline  {f_k'(x)} & & - & 0 & + & \\ \hline  \hspace{1pt} & 0 & & &  & +\infty  \\ {f_k(x)} & & \searrow &  & \nearrow &   \\ \hspace{1pt} &  &  & -\frac{1}{k}e^{-(k+1)} &  & \\ \hline  \end{array}
avec :
\bullet f_k(-\frac{k+1}{k})=-\frac{1}{k}e^{-(k+1)}
\bullet \displaystyle \lim_{x\to-\infty}f_k(x)=\displaystyle \lim_{x\to-\infty}(x+1)e^{kx}=\displaystyle \lim_{x\to-\infty}xe^{kx}+e^{kx}=0+0=0
car \displaystyle \lim_{x\to-\infty}xe^{kx}=\displaystyle \lim_{X\to+\infty}-\frac{1}{k}Xe^{-X}=0 d'après la question A et en posant X=-kx, et \displaystyle \lim_{x\to-\infty}e^{kx}=0
\bullet \displaystyle \lim_{x\to+\infty} f_k(x) = \displaystyle \lim_{x\to+\infty} (x + 1)e^{kx} = ''(+\infty)\times(+\infty)'' = +\infty

Si k < 0, kx + k + 1 = 0 \: \Longleftrightarrow \: x = -\frac{k+1}{k} \text{et } kx + k + 1 > 0 \: \Longleftrightarrow \: x < -\frac{k+1}{k} d'où les variations de f_k :
\begin{array}{|c|ccccc|} \hline  x&-\infty&&-\frac{k+1}{k}&&+\infty \\ \hline  {f_k'(x)}&&+&0&-& \\ \hline  \hspace{1pt}& & & -\frac{1}{k}e^{-(k+1)} & & \\ {f_k(x)}& &\nearrow & & \searrow & \\ \hspace{1pt} & -\infty & & & & 0\\ \hline  \end{array}
avec :
\bullet f_k(-\frac{k+1}{k}) = -\frac{1}{k}e^{-(k+1)}
\bullet \displaystyle \lim_{x\to-\infty}f_k(x) = \displaystyle \lim_{x\to-\infty}(x+1)e^{kx} = ''(-\infty) \times (+\infty) '' = -\infty
\bullet \displaystyle \lim_{x\to+\infty} f_k(x) = \displaystyle \lim_{x\to+\infty}(x+1)e^{kx} = \displaystyle \lim_{x\to+\infty}xe^{kx}+e^{kx}=0+0=0
car \displaystyle \lim_{x\to+\infty}xe^{kx}=\displaystyle \lim_{X\to+\infty}-\frac{1}{k}Xe^-X=0 d'après la question A et en posant X=-kx et \displaystyle \lim_{x\to+\infty}e^{kx}=0

4. Les courbes \mathscr{E} et \mathscr{F} ont une allure "croissante puis décroissante", cela correspond à des valeurs de k négatives (cf. question 3.). De plus, on observe que sur [-1 ; 0] la courbe \mathscr{E} est en-dessous de la courbe \mathscr{F}, le coefficient correspondant à \mathscr{E} est donc plus grand que le coefficient correspondant à \mathscr{F} (cf. question 2.) : donc \mathscr{E} = \mathscr{C}_{-1} et \mathscr{F} = \mathscr{C}_{-3}.
Ainsi, les courbes \mathscr{K} et \mathscr{H}, d'allure "décroissante puis croissante" correspondent à des valeurs de k positives, et comme sur [-1 ; 0] \mathscr{K} est en-dessous de \mathscr{H}, alors le coefficient de \mathscr{K} est plus grand que le coefficient de \mathscr{H} : donc \mathscr{K} = \mathscr{C}_2 et \mathscr{H} = \mathscr{C}_1.
Le tableau ci-dessous résume les correspondances entre les courbes et le paramètre k :
Courbe \mathscr{E} \mathscr{F} \mathscr{K} \mathscr{H}
k -1 -3 2 1


D - Calcul d'une aire plane

1. \mathscr{A}\left(\lambda\right) = \displaystyle \int_0^{\lambda} f(t) \text{d}t = \displaystyle \int_0^{\lambda} \left(t + 1\right)e^{-t} \text{d}t
On pose u(t) = t + 1 donc u'(t) = 1 et v'(t) = e^{-t} et on choisit v(t) = -e^{-t}. En intégrant par parties, on obtient :
\mathscr{A}(\lambda) = \displaystyle \int_0^{\lambda}u(t)v'(t) \text{d}t = [u(t)v(t)]_0^{\lambda} - \displaystyle \int_0^{\lambda} u'(t) v(t) \text{d}t\\ \mathscr{A}(\lambda) = [-(t+1)e^{-t}]_0^{\lambda} - \displaystyle \int_0^{\lambda}-e^{-t} \text{d}t\\ \mathscr{A}(\lambda) = -(\lambda+1)e^{-\lambda} + 1 - [e^{-t}]_0^{\lambda}\\ \mathscr{A}(\lambda) = -(\lambda+1)e^{-\lambda}+1-e^{-\lambda}+1\\ \boxed{\mathscr{A}(\lambda) = 2 - (\lambda+2) e^{-\lambda}}

2. \displaystyle \lim_{\lambda\to+\infty}A(\lambda) = \displaystyle \lim_{\lambda\to+\infty}2-(\lambda+2)e^{-\lambda} = \displaystyle \lim_{\lambda\to+\infty}2-\lambda e^{-\lambda}-2e^{-\lambda}=2-0-0 = \boxed{2}
car \displaystyle \lim_{\lambda\to+\infty}\lambda e^{-\lambda}=0 d'après les résultats de la question A et \displaystyle \lim_{\lambda\to+\infty}2e^{-\lambda}=0
Or, la fonction f est positive sur [0 \, ; \, +\infty[ donc A(\lambda) représente l'aire du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe \mathscr{C} et les droites d'équation x = 0 et x = \lambda.
La limite vaut 2, donc l'aire du domaine délimité par l'axe des abscisse, la courbe \mathscr{C} et à droite de la droite d'équation x = 0 (donc tel que x > 0) est de 2 unités d'aires.
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