Fiche de mathématiques

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Bac Scientifique
Antilles Guyane - Session 2008

Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9

L'usage des calculatrices est autorisé selon les termes de la circulaire n°99-186 du 16 novembre 1999.
Le candidat doit traiter les quatre exercices.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

6 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = \dfrac{9}{2}\text{e}^{-2x} - 3\text{e}^{-3x}.$

Partie A :

Soit l'équation différentielle (E) : $y' +2y = 3\text{e}^{-3x}$ .
1. Résoudre l'équation différentielle (E $^'$ ) : $y' +2y = 0$ .
2. En déduire que la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x) = \dfrac{9}{2}\text{e}^{-2x}$ est solution de (E $^'$ ).
3. Vérifier que la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = - 3\text{e}^{-3x}$ est solution de l'équation (E).
4. En remarquant que $f = g +h$ , montrer que $f$ est une solution de (E).

Partie B :

On nomme $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal $(O ; \vec{i},\vec{j})$ d'unité 1 cm.
1. Montrer que pour tout $x$ de $\mathbb{R}$ on a : $f(x) = 3\text{e}^{-2x}\left(\dfrac{3}{2} - \text{e}^{-x}\right)$ .
2. Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$ puis la limite de $f$ en $- \infty$ .
3. Étudier les variations de la fonction $f$ et dresser le tableau de variations de $f$ .
4. Calculer les coordonnées des points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ avec les axes du repère.
5. Calculer $f(1)$ et tracer l'allure de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ .
6. Déterminer l'aire $\mathcal{A}$ de la partie du plan délimitée par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}_{f}$ , l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 1$ . On exprimera cette aire en cm².

5 points

exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

On dispose de deux urnes $U_{1}$ et $U_{2}$ contenant des boules indiscernables au toucher.

$U_{1}$ contient $k$ boules blanches ( $k$ entier naturel supérieur ou égal à $1$ ) et $3$ boules noires.
$U_{2}$ contient $2$ boules blanches et une boule noire.

On tire une boule au hasard dans $U_{1}$ et on la place dans $U_{2}$ . On tire ensuite, au hasard, une boule dans $U_{2}$ . L'ensemble de ces opérations constitue une épreuve.

On note $B_{1}$ (respectivement $N_{1}$ ) l'évènement « on a tiré une boule blanche (resp. noire) dans l'urne $U_{1}$ ».
On note $B_{2}$ (respectivement $N_{2}$ ) l'évènement « on a tiré une boule blanche (resp. noire) dans l'urne $U_{2}$ ».

1. a) Recopier et compléter par les probabilités manquantes l'arbre ci-dessous :

sujet du bac scientifique, obligatoire et spécialité, Antilles Guyane Juin 2008 - terminale : image 1

    b) Montrer que la probabilité de l'évènement $B_{2}$ est égale à $\dfrac{3k +6}{4k +12}$ .

Dans la suite on considère que $k = 12$ .
Les questions 2 et 3 sont indépendantes l'une de l'autre et peuvent être traitées dans n'importe quel ordre.

2. Un joueur mise 8 euros et effectue une épreuve.
Si, à la fin de l'épreuve, le joueur tire une boule blanche de la deuxième urne, le joueur reçoit 12 euros.
Sinon, il ne reçoit rien et perd sa mise. Soit $X$ la variable aléatoire égale au gain du joueur, c'est-à-dire la différence entre la somme reçue et la mise.
    a) Montrer que les valeurs possibles de $X$ sont 4 et -8.
    b) Déterminer la loi de probabilité de la variable $X$ .
    c) Calculer l'espérance mathématique de $X$ .
    d) Le jeu est-il favorable au joueur ?

3. Un joueur participe $n$ fois de suite à ce jeu.
Au début de chaque épreuve, l'urne $U_{1}$ contient 12 boules blanches et 3 noires, et l'urne $U_{2}$ contient 2 boules blanches et 1 noire.
Ainsi, les épreuves successives sont indépendantes.
Déterminer le plus petit entier $n$ pour que la probabilité de réaliser au moins une fois l'évènement $B_{2}$ soit supérieure ou égale à 0,99.

5 points

exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Partie A

On considère l'équation (E) : $11x - 26y = 1$ , où $x$ et $y$ désignent deux nombres entiers relatifs.
1. Vérifier que le couple $( -7 ~;~ -3 )$ est solution de (E).
2. Résoudre alors l'équation (E).
3. En déduire le couple d'entiers relatifs $(u~;~ v)$ solution de (E) tel que $0 \leqslant u \leqslant 25$ .

Partie B

On assimile chaque lettre de l'alphabet à un nombre entier comme l'indique le tableau ci-dessous :

A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K	L	M
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12

N	O	P	Q	R	S	T	U	V	W	X	Y	Z
13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25

On «code» tout nombre entier $x$ compris entre 0 et 25 de la façon suivante :
    on calcule $11x+8$
    on calcule le reste de la division euclidienne de $11x +8$ par 26, que l'on appelle $y$ .
$x$ est alors « codé » par $y$ .
Ainsi, par exemple, la lettre L est assimilée au nombre 11 ; $11 \times 11+8 = 129$ or $129 \equiv 25 (\text{modulo } 26)$ ; 25 est le reste de la division euclidienne de 129 par 26. Au nombre 25 correspond la lettre Z.
La lettre L est donc codée par la lettre Z.
1. Coder la lettre W.
2. Le but de cette question est de déterminer la fonction de décodage.
    a) Montrer que pour tous nombres entiers relatifs $x$ et $j$ , on a : $11x \equiv j\quad (\text{modulo}~ 26)~ \text{équivaut à}~ x \equiv 19j (\text{modulo}~ 26).$
    b) En déduire un procédé de décodage.
    c) Décoder la lettre W.

4 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chaque question, une seule des propositions est exacte.
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n'est demandée.

Une réponse exacte rapporte 1 point ;
une réponse inexacte enlève 0,25 point ;
l'absence de réponse est comptée 0 point.
Si le total est négatif, la note de l'exercice est ramenée à 0.

L'espace est rapporté à un repère orthonormal $(O ; \vec{i},\vec{j},\vec{k})$ .

1. L'ensemble des points $M(x~;~ y~;~ z)$ tels que : $\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 2x -6y +2z -7 & 0 \\ -x +3y -z +5 & 0 \\ \end{array} \right.$ est :

Réponse A : l'ensemble vide	Réponse B : une droite
Réponse C : un plan	Réponse D : réduit à un point

2. Les droites de représentations paramétriques respectives : $\left \lbrace \begin{array}{l cl} x &=& 1 - t \\ y &=& - 1 + t \\ z &=& 2 - 3t \end{array}\right. (t \in \R) \quad \text{et} \quad \left \lbrace \begin{array}{l cl} x &=& 2 + t \\ y &=& - 2- t \\ z &=& 4 + 2t \end{array}\right. (t \in \R)~ \text{sont :}$

Réponse A : parallèles et distinctes	Réponse B : confondues
Réponse C : sécantes	Réponse D : non coplanaires

3. La distance du point A $(1~;~- 2~;~1)$ au plan d'équation $-x +3y- z +5 = 0$ est égale à :

Réponse A : $\dfrac{3}{11}$	Réponse B : $\dfrac{3}{\sqrt{11}}$
Réponse C : $\dfrac{1}{2}$	Réponse D : $\dfrac{8}{\sqrt{11}}$

4. Le projeté orthogonal du point B(1 ; 6 ; 0) sur le plan d'équation $-x +3y - z +5 = 0$ a pour coordonnées :

Réponse A : ( 3 ; 1 ; 5 )	Réponse B : ( 2 ; 3 ; 1 )
Réponse C : ( 3 ; 0 ; 2 )	Réponse D : $( -2 ; 3 ; -6 )$

5 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

La feuille annexe donnée portera les constructions demandées au cours de l'exercice.
Cette feuille est à rendre avec la copie.

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct $(O ; \vec{i},\vec{j},\vec{k})$ , le point A a pour affixe i.

On nomme $f$ l'application qui, à tout point M d'affixe $z$ avec $z\neq \text{i}$ associe le point M' d'affixe $z'$ telle que : $z' = \dfrac{-z^2}{z - \text{i}}$ Le but de l'exercice est de construire géométriquement le point M' connaissant le point M.

1. Un exemple
On considère le point K d'affixe $1 + \text{i}$ .
    a) Placer le point K.
    b) Déterminer l'affixe du point K' image de K par $f$ .
    c) Placer le point K'.

2. Des points pour lesquels le problème ne se pose pas
    a) On considère le point L d'affixe $\dfrac{\text{i}}{2}$ . Déterminer son image L' par $f$ . Que remarque-t-on ?
    b) Un point est dit invariant par $f$ s'il est confondu avec son image.
Démontrer qu'il existe deux points invariants par $f$ dont on déterminera les affixes.

3. Un procédé de construction
On nomme G l'isobarycentre des points A, M, et M', et $g$ l'affixe de G.
    a) Vérifier l'égalité $g = \dfrac{1}{3(z - \text{i} )}$ .
    b) En déduire que : si M est un point du cercle de centre A de rayon $r$ , alors G est un point du cercle de centre O de rayon $\dfrac{1}{3r}$ .
    c) Démontrer que $\arg g = - \left(\vect{u}~ ;~\overrightarrow{\text{AM}}\right)$ .
    d) Sur la feuille annexe, on a marqué un point D sur le cercle de centre A et de rayon $\dfrac{1}{2}$ .
On nomme D' l'image de D par $f$ . Déduire des questions précédentes la construction du point D' et la réaliser sur la figure annexe à rendre avec la copie.

Annexe à rendre avec la copie

Sur la figure ci-dessous le segment [OI] tel que $\vect{u} = \overrightarrow{\text{OI}}$ est partagé en six segments d'égale longueur.

sujet du bac scientifique, obligatoire et spécialité, Antilles Guyane Juin 2008 - terminale : image 2

Correction

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Partie A

1. Les solutions de l'équation différentielle (E') : $y' + 2y = 0$ sont les fonctions de la forme $\boxed{y(x) = Ce^{-2x} \, , \, C \in \mathbb{R}}$

2. La fonction $h$ est bien de cette forme, en prenant $C = \dfrac{9}{2}$ . Donc h est solution de (E').

3. $g$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ et sa dérivée vaut $g'(x) = -3(-3e^{-3x}) = 9e^{-3x}$ .
Donc $g'(x) + 2g(x) = 9e^{-3x} + 2(-3e^{-3x}) = 3e^{-3x}$ donc g est solution de (E).

4. On a $f = g + h$
On a donc $f' + 2f = g' + h' + 2g + 2h.$
Or $g$ est solution de (E), donc $g' + 2g = 3e^{-3x}$ et $h$ est solution de (E') donc $h' + 2h = 0.$
On obtient donc $f'+2f=3e^{-3x}+0 = 3e^{-3x}$ . Donc $f$ est solution de (E).

Partie B

1. Pour tout réel $x$ , on a (en développant) : $3e^{-2x} \left(\dfrac{3}{2} - e^{-x} \right) = \dfrac{9}{2} e^{-2x} - 3e^{-3x} = f(x)$
Donc $\boxed{f(x) = 3e^{-2x} \left(\dfrac{3}{2}-e^{-x}\right)}$

2. Pour déterminer la limite en $+\infty$ , on utilise la 1^ère forme :
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty} f(x) = \displaystyle \lim_{x\to+\infty} \left(\dfrac{9}{2}e^{-2x}-3e^{-3x}\right) = 0 - 0 = \boxed{0}$
car $\displaystyle \lim_{x\to+\infty} e^{-2x} = \displaystyle \lim_{X \to-\infty}e^X = 0$ et $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}e^{-3x}=\displaystyle \lim_{X\to-\infty}e^X=0$

Pour déterminer la limite en $-\infty$ , on utilise la 2^ème forme :
$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x) = \displaystyle \lim_{x\to-\infty}3e^{-2x} \left(\dfrac{3}{2}-e^{-3x}\right) = (+\infty) \times (-\infty) = \boxed{-\infty}$
car $\displaystyle \lim_{x\to-\infty}e^{-2x} = \displaystyle \lim_{X\to+\infty} e^X = +\infty$ et $\displaystyle \lim_{x\to-\infty} \dfrac{3}{2}-e^{-3x} = \displaystyle \lim_{X\to+\infty} \dfrac{3}{2}-e^X = -\infty$

3. $f'(x)=-9e^{-2x}+9e^{-3x}=9e^{-2x}(e^{-x}-1)$
Or une exponentielle est toujours strictement positive, donc $f'(x)$ est du signe de $e^{-x}-1$ :
$f'(x)=0 \, \Longleftrightarrow \, e^{-x}-1=0 \, \Longleftrightarrow \, e^{-x}=1 \, \Longleftrightarrow \, x=0$
$f'(x) > 0 \, \Longleftrightarrow \, e^{-x}-1 > 0 \, \Longleftrightarrow \, e^{-x} > 1 \, \Longleftrightarrow \, -x > 0 \, \Longleftrightarrow \, x < 0$

D'où le tableau de variations de $f$ :
$\begin{tabvar}{|C|CCCCC|} \hline x & -\infty & & 0 & & +\infty \\ \hline f'(x) & & + & 0 & - & \\ \hline f(x) & \niveau{1}{3} -\infty & \croit & 1,5 & \decroit & 0 \\ \hline \end{tabvar}$

4. Intersection de $\scr{C}_f$ et l'axe des abscisses :
On cherche $x$ tel que $f(x) = 0$ :
$f(x) = 0 \, \Longleftrightarrow \, 3e^{-2x} \left(\dfrac{3}{2}-e^{-x}\right) = 0 \, \Longleftrightarrow \, \dfrac{3}{2}-e^{-x} = 0 \, \Longleftrightarrow \, e^{-x} = \dfrac{3}{2} \, \Longleftrightarrow \, x = -\ln \left(\dfrac{3}{2} \right) \, \Longleftrightarrow \, \boxed{x = \ln \left(\dfrac{2}{3} \right) \approx -0,41}$
Le point d'intersection de $\scr{C}_f$ et l'axe des abscisses est le point $\boxed{\text{A} \left(\ln \left(\dfrac{2}{3} \right) \, ; \, 0 \right)}$

Intersection de $\scr{C}_f$ et l'axe des ordonnées :
C'est le point d'abscisse 0 et d'ordonnée $f(0) = \dfrac{9}{2} - 3 = \dfrac{3}{2}$
Le point d'intersection de $\scr{C}_f$ et l'axe des ordonnées est le point $\boxed{\text{B} \left(0 \, ; \, \dfrac{3}{2} \right)}$

5. $f(1) = \dfrac{9}{2}e^{-2}-3e^{-3} \boxed{\approx0,46}$

Allure de la courbe :

sujet du bac scientifique, obligatoire et spécialité, Antilles Guyane Juin 2008 - terminale : image 3

6. L'unité d'aire correspond à 1 cm² puisque les unités d'axe sont 1cm.
D'autre part, sur [0 ; 1], $f$ est positive, donc l'aire du domaine $\scr{A}$ en cm², est donnée par :
$\displaystyle \int_0^1 f(x) \text{d}x = \displaystyle \int_0^1 \left(\dfrac{9}{2}e^{-2x}-3e^{-3x} \right) \text{d}x = \left[-\dfrac{9}{4}e^{-2x} + e^{-3x} \right]_0^1 = \left(-\dfrac{9}{4}e^{-2}+e^{-3}\right) - \left(-\dfrac{9}{4}+1 \right) = \boxed{\dfrac{5}{4}-\dfrac{9}{4}e^{-2}+e^{-3}\approx 1,00 \text{ cm}^2}$

exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. a) Dans U₁, il y a k boules blanches et 3 boules noires, d'où : $p(\text{B}_1) = \displaystyle \frac{k}{k+3}$ et $p(\text{N}_1) = \displaystyle \frac{3}{k+3}$ .
Dans U₂, si on a tiré une boule blanche dans U₁, il y a 3 boules blanches et 1 boule noire, d'où : $p_{\text{B}_1}(\text{B}_2) = \displaystyle \frac{3}{4}$ et $p_{\text{B}_1}(\text{N}_2) = \displaystyle \frac{1}{4}$ .
En revanche, si on a tiré une boule blanche dans U₁, il y a 2 boules blanches et 2 boules noires dans U₂, d'où : $p_{\text{N}_1}(\text{B}_2) = p_{\text{N}_1}(\text{N}_2) = \displaystyle \frac{1}{2}$ .
D'où l'arbre complété :

sujet du bac scientifique, obligatoire et spécialité, Antilles Guyane Juin 2008 - terminale : image 4

$p(\text{B}_2) = p(\text{B}_1 \cap \text{B}_2) + p(\text{N}_1 \cap \text{B}_2) = p(\text{B}_1) p_{\text{B}_1}(\text{B}_2) + p(\text{N}_1) p_{\text{N}_1}(\ext{B}_2) \\ p(\text{B}_2) = \displaystyle \frac{k}{k+3} \times \frac{3}{4} + \displaystyle \frac{3}{k+3} \times \frac{1}{2} = \boxed{\displaystyle \frac{3k+6}{4k+12}}$

2. a) Il y a 2 issues possibles à l'épreuve :
soit la boule tirée dans U₂ est blanche, et le joueur reçoit 12 ?. Il avait misé 8 ?, son gain s'élève donc à 4 ?.
soit la boule tirée dans U₂ est noire, et le joueur perd sa mise de 8 ?. Son gain s'élève donc à -8 ?.
Donc $\boxed{X \in \lbrace 4 ; -8 \rbrace }$

2. b) $p(\text{X} = 4) = p(\text{B}_2) = \displaystyle \frac{3k+6}{4k+12} = \frac{42}{60} = 0,7$
La loi de probabilité de X est donc : $\boxed{\left \lbrace {p(X=4)=0,7 \atop p(X=-8)=0,3} \right.}$

2. c) $E(X) = 4p(\text{X} = 4) - 8 p(\text{X} = -8) = 4 \times 0,7 - 8 \times 0,3 = \boxed{0,4}$

2. d) $E(X) > 0$ donc le jeu est favorable au joueur.

3. Il s'agit de la répétition de 3 épreuves de Bernouilli de probabilité de succès $p = p(\text{B}_2) = 0,7$ . La variable aléatoire Y qui donne le nombre de succès parmi ces épreuves suit donc une loi binomiale de paramètres n et $p = 0,7$ . On a alors pour tout entier k entre 0 et n :
$p(\text{Y} = k) = \left( \begin{array}{l} n\\ k \\ \end{array} \right) p^k(1-p)^{n-k}$
Ainsi : $p(\text{Y} \ge 1) = 1 - p(\text{Y} = 0) = 1 - \left( \begin{array}{l} n\\0 \\ \end{array} \right)0,7^0 \times 0,3^n=1-0,3^n$
On veut $p(\text{Y} \ge 1) \ge 0,99 \, \Longleftrightarrow \, 1 - 0,3^n \ge 0,99 \, \Longleftrightarrow \, 0,3^n \le 0,1 \, \Longleftrightarrow \, n \ln 0,3 \le \ln 0,01 \, \Longleftrightarrow \, n \ge \displaystyle \frac{\ln 0,01}{\ln 0,3} \approx 3,83$
Il faut donc choisir un n supérieur ou égal à 4.

exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Partie A

1. $11 \times (-7) - 26 \times (-3) = -77 + 78 = 1$ donc (-7;-3) est solution de (E).

2. Soit $(x,y)$ une solution de (E), alors $11x - 26y = 1 = 11 \times (-7) - 26 \times (-3)$
Donc $11(x + 7) = 26(y + 3)$ donc $11|26(y+3)$ . Or, 11 et 26 sont premiers entre eux donc, d'après le théorème de Gauss, $11|y+3$ . Il existe donc un entier relatif k tel que $y+3=11k$ , soit $y=11k-3$ .
Alors $11(x + 7) = 26 \times 11k$ donc $x + 7 = 26k$ ou encore $x = 26k - 7$ .
Donc : si $(x,y)$ est solution de (E), alors il existe un entier relatif $k$ tel que $(x,y) = (26k-7,11k-3).$
Réciproquement, on vérifie que tous les couples $(26k - 7 , 11k - 3)$ avec $k$ entier relatif sont solutions de (E) :
$11 \times (26k - 7) - 26 \times (11k - 3) = 11 \times 26k - 77 - 26 \times 11k + 78 = 1$
Conclusion : Les solutions de (E) sont les couples de la forme : $\boxed{(26k-7;11k-3),k\in\mathbb{Z}}$

3. La seule valeur de k telle que $0\le 26k-7\le 25$ est $k = 1$ et alors $u=26-7=19$ et $y=11-3=8$
Le couple d'entiers relatifs $(u,v)$ solution de (E) et tel que $0 \le u \le 25$ est le couple (19 ; 8).

Partie B

1. La lettre W est assimilée au nombre 22 ; on calcule $11x + 8 = 11 \times 22 + 8 = 250$ ; on calcule le reste de la division euclidienne de 250 par 26 : $250 = 26 \times 9 + 16$ donc $y = 16$ ; la lettre correspondant au nombre 16 est Q.
Donc W est codée par la lettre Q.

2. a) $11x \equiv j [26] \, \Longleftrightarrow \, 11x = 26k + j$
$\Longleftrightarrow$ il existe un nombre relatif $k$ tel que $11x - 26k = j$
$\Longleftrightarrow$ il existe un nombre relatif $k$ tel que $11 \times 19x - 26 \times 19k = 19j$
$\Longleftrightarrow \, 11 \times 19x \equiv 19j[26]$
Or, $11\times19=209 \equiv 1[26]$ , donc $11 \times 19x \equiv x[26]$ , d'où :
$11x \equiv j [26] \, \Longleftrightarrow \, x \equiv 19j [26]$

2. b) $x$ est codée par $y \, \Longleftrightarrow \, y$ est le reste de la division euclidienne de $11x + 8$ par 26 $\Longleftrightarrow$ $11x + 8 \equiv y [26]$
$\Longleftrightarrow \, 11x \equiv y - 8[26] \, \Longleftrightarrow \, x \equiv 19(y-8) [26]$ (d'après le résultat de la question précédente)
$\Longleftrightarrow \, x \equiv 19y - 152 [26]$

Pour décoder y, il suffit donc :
de calculer $19y - 152$
de calculer le reste de la division euclidienne de $19y - 152$ par 26, que l'on appelle $x$ . $y$ est alors "décodée" par $x$ .

2. c) La lettre W est assimilée au nombre 22 ; on calcule $19y - 152 = 19 \times 22 - 152 = 266$ ; on calcule le reste de la division euclidienne de 266 par 26 : $266 = 10 \times 26 + 6$ ; la lettre correspondant au nombre 6 est G.
Donc W est décodée par la lettre G.

exercice 3 - Commun à tous les candidats

1. Réponse A : L'ensemble des points M de l'espace tels que $\left \lbrace \begin{array}{l} 2x - 6y + 2z - 7 = 0 \\ - x + 3 y - z + 5 = 0 \\ \end{array} \right.$ est l'ensemble vide, car :
$\left \lbrace \begin{array}{l} 2x-6y+2z-7=0 \\ -x+3y-z+5=0 \\ \end{array} \right. \, \Longleftrightarrow \, \left \lbrace \begin{array}{l} 2x-6y+2z=7 \\ 2x-6y+2z=10 \\ \end{array} \right. \, \Longleftrightarrow \, \left \lbrace \begin{array}{l} 2x-6y+2z=7 \\ 7=10 \\ \end{array} \right.$

2. Réponse D : Les deux droites sont non coplanaires, car :
Le vecteur directeur de la 1ère droite est $\overrightarrow{n_1} \left( \begin{array}{l} -1\\1\\-3\\ \end{arra} \right)$ . Celui de la 2ème droite est $\overrightarrow{n_2} \left( \begin{array}{l} 1\\ -1\\ 2 \\ \end{array} \right)$ .
$\overrightarrow{n_1} \neq \overrightarrow{n_2}$ , donc les droites ne sont ni confondues ni parallèles.
On cherche un point $\text{M}(x,y,z)$ appartenant à l'intersection des 2 droites. Il est paramétré par $t_1$ et $t_2$ .
Si $\text{M} \in D_1 \cap D_2$ , alors $1 - t_1 = 2 + t_2 \, (1)$ et $-1 + t_1 = -2 - t_2 \, (2)$ et $2-3t_1 = 4+2t_2 \, (3)$ .
(1) et (2) nous permettent de trouver : $t_2 = -2$ et $t_1 = 1$
On remplace dans (3) : $2 - 3t_1 = 2-3 = -1 \neq 4 + 2t_2 = 4 - 4 = 0$
Donc $\text{M} \in \empty \, ; \, D_1\cap D_2 = \empty$ ; les droites ne sont pas sécantes.
Les droites ne sont ni sécantes, ni parallèles elles sont donc non coplanaires.

3. Réponse B : la distance du point A au plan P est de $\displaystyle \frac{3}{\sqrt{11}}$ , car :
la distance d'un point de coordonnées $(x,y,z)$ à un plan d'équation $ax+by+cz+d=0$ est donné par : $d = \displaystyle \frac{|ax+by+cz+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ , d'où :
$d = \displaystyle \frac{|-1-6-1+5|}{\sqrt{1+9+1}} = \frac{3}{\sqrt{11}}$

4. Réponse C : le projeté orthogonal de B sur P est le point de coordonnées (3 ; 0 ; 2), car :
Le vecteur $\overrightarrow{n} \left(\brgin{array}{l} -1\\3\\-1 \\ \end{arra} \right)$ est normal au plan P. Si H est le projeté orthogonal de B sur P, alors le vecteur $\overrightarrow{BH}$ est colinéaire au vecteur $\overrightarrow{n}$ .
si H(3 ; 1 ; 5) alors $\overrightarrow{\text{BH}}(2 ; - 5 ; 5)$ non colinéaire à $\overrightarrow{n}$
si H(2 ; 3 ; 1) alors $\overrightarrow{\text{BH}} (1 ; -3 ; 1)$ colinéaire à $\overrightarrow{n}$
si H(3 ; 0 ; 2) alors $\overrightarrow{\text{BH}}(2 ; -6 ; 2)$ colinéaire à $\overrightarrow{n}$
si H(-2 ; 3 ; 6) alors $\overrightarrow{\text{BH}}(-3 ; -3 ; 6)$ non colinéaire à $\overrightarrow{n}$

Le 2ème et le 3ème point peuvent convenir. Or H doit appartenir à P :
si H(2;3;1), alors $-x + 3y - z + 5 = -2 + 9 - 1 + 5 = 11$ n'appartient pas à P
si H(3;0;2) alors $-x+3y-z+5=-3+0-2+5=0$ appartient à P

exercice 4 - Commun à tous les candidats

1. a) Cf. annexe complétée.

1. b) Pour $z = 1 + \text{i}$ , on a : $z' = - \displaystyle \frac{(1 + \text{i})^2}{1+ \text{i} - \text{i}} = -(1 + \text{i})^2 = -2\text{i}$ donc $\boxed{z_{\text{K}'} = -2\text{i}}$

1. c) Cf. annexe complétée.

2. a) Pour $z = \displaystyle \frac{\text{i}}{2}$ , on a : $z' = - \displaystyle \frac{(\frac{\text{i}}{2})^2}{\frac{\text{i}}{2} - \text{i}} = -\displaystyle \frac{-\frac{1}{4}}{-\frac{\text{i}}{2}} = \displaystyle \frac{\text{i}}{2}$ donc $\boxed{z_{\text{L'}} = \displaystyle \frac{\text{i}}{2} = z_{\text{L}}}$
L'image de L par $f$ est donc L.

2. b) L est donc un point invariant.
$\text{M}(z)$ est un point invariant $\Longleftrightarrow z = -\displaystyle \frac{z^2}{z - \text{i}} \, \Longleftrightarrow \, z = 0 \text{ ou } 1 = - \displaystyle \frac{z}{z-\text{i}} \, \Longleftrightarrow \, z = 0 \text{ ou } z - \text{i} = -z \, \Longleftrightarrow \, z = 0 \text{ ou } z = \displaystyle \frac{\text{i}}{2}$
Il existe donc 2 points invariants : les points O et L, d'affixes respectives 0 et $\displaystyle \frac{\text{i}}{2}$ .

3. a) G est l'isobarycentre de A, M et M' donc $g = \displaystyle \frac{1}{3}(z_{\text{A}} + z_{\text{M}} + z_{\text{M'}}) = \displaystyle \frac{1}{3} \left(\text{i}+z-\displaystyle \frac{z^2}{z-\text{i}} \right) = \displaystyle \frac{\text{i}z + 1 + z^2 - \text{i}z - z^2}{3(z - \text{i})} = \boxed{\frac{1}{3(z- \text{i})}}$

3. b) Or, si M est un point du cercle de centre A et de rayon r, z est tel que $|z - z_{\text{A}}| = |z - \text{i}| = r$ . Dans ce cas, on a alors $\text{OG} = |z_{\text{G}} - z_{\text{O}}| = |g| = \left|\displaystyle \frac{1}{3(z - \text{i})} \right| = \displaystyle \frac{1}{3r}$
Donc G appartient au cercle de centre O et de rayon $\displaystyle \frac{1}{3r}$ .

3. c) $\arg g = \arg \left( \displaystyle \frac{1}{3(z- \text{i})} \right) = \arg 1 - \arg 3(z - \text{i}) = 0 - \arg(z - \text{i}) = -\arg \left(z_{\overrightarrow{\text{AM}}} \right) = -(\overrightarrow{u},\overrightarrow{AM})$

3. d) On place le point G barycentre de A, D et D' : D est un point du cercle de centre A et de rayon 0,5 donc G est un point du cercle de centre O et de rayon $\displaystyle \frac{2}{3}$ (d'après la question 3.b). D'autre part, $(\overrightarrow{u},\overrightarrow{\text{OG}}) = \arg g = -(\overrightarrow{u},\overrightarrow{\text{AD}})$ d'après la question 3.c. Cela nous permet de placer G.
Enfin, on sait que G est le barycentre de (A , 1) (D , 1) (D' , 1) donc de (I , 2) (D' , 1) si on note I le milieu de [AD].
Dans ce cas, on a : $2 \overrightarrow{\text{GI}} + \overrightarrow{\text{GD'}} = \overrightarrow{0}$ donc $\overrightarrow{\text{GD'}} = - 2 \overrightarrow{\text{GI}}$ , ce qui nous permet de placer D'.
Cf. annexe complétée.

Annexe complétée :

sujet du bac scientifique, obligatoire et spécialité, Antilles Guyane Juin 2008 - terminale : image 5

Publié par TP/Aurélien le 10-12-2015

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