Bac Scientifique
Antilles-Guyane - Session Septembre 2008
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Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9
L'usage des calculatrices est autorisé selon les termes de la circulaire n°99-186 du 16 novembre 1999.
Le candidat doit traiter les quatre exercices.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
4 points
exercice 1 - Commun à tous les candidats
Certains résultats de la PARTIE A pourront être utilisés dans la PARTIE B, mais les deux parties peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.
Partie A :
On définit :
la suite par : et, pour tout entier naturel .
la suite par : pour tout entier naturel .
1. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel .
En déduire la limite de la suite .
2. a) Déterminer le sens de variation de la suite .
b) Calculer en fonction de .
c) Déterminer la limite de la suite .
Partie B :
Etant donné une suite , de nombres réels, définie pour tout entier naturel , on considère la suite définie par .
Indiquer pour chaque proposition suivante si elle est vraie ou fausse.
Justifier dans chaque cas.
Proposition 1: si la suite est convergente, alors la suite l'est aussi.
Proposition 2 : les suites et ont le même sens de variation.
5 points
exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
Partie A :
On considère le système de congruences :
, où désigne un entier relatif.
1. Montrer que est solution de .
2. Montrer que si est solution de alors est divisible par .
3. Montrer que les solutions de sont tous les entiers de la forme , où désigne un entier relatif.
Partie B :
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct .
On considère l'application du plan qui à tout point d'affixe associe le point d'affixe et celle qui à tout point d'affixe associe le point d'affixe définies par :
1. Préciser la nature et les éléments caractéristiques des applications et .
2. On considère les points et d'affixes respectives et .
Soient et les suites de points définies par les relations de récurrences :
On note et les affixes respectives de et .
a) Quelle est la nature de chacun des triangles O ?
b) En déduire la nature du polygone .
3. a) Montrer que les points sont situés sur un cercle dont on précisera le centre et le rayon.
b) Indiquer une mesure de l'angle .
c) En déduire la nature du polygone .
4. a) Exprimer et en fonction de .
b) Montrer que les entiers pour lesquels les points et sont simultanément sur l'axe des réels sont les solutions du système de la PARTIE A.
7 points
exercice 3 - Commun à tous les candidats
Soit la fonction définie sur par : .
On désigne par sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal d'unité graphique 2 cm.
1. a) Déterminer la limite de en .
b) Démontrer que la droite d'équation est asymptote à la courbe .
c) Étudier la position de par rapport à .
2. a) On note la fonction dérivée de . Calculer et montrer que, pour tout réel , on a : b) Étudier les variations de sur et dresser le tableau de variations de la fonction .
3. a) Que peut-on dire de la tangente à la courbe au point I d'abscisse ?
b) En utilisant les variations de la fonction , étudier la position de la courbe par rapport à .
4. a) Montrer que la tangente à la courbe au point d'abscisse a pour équation : .
b) Étudier la position de la courbe par rapport à la tangente sur l'intervalle .
On pourra utiliser la dérivée seconde de notée définie pour tout de par : .
5. On admet que le point I est centre de symétrie de la courbe .
Tracer la courbe , les tangentes et les asymptotes à la courbe . On rappelle que l'unité graphique choisie est 2 cm.
6. a) Déterminer une primitive de la fonction définie sur par : .
b) Soit un réel strictement négatif.
On note l'aire, en unités d'aire, du domaine limité par et les droites d'équations et .
Montrer que .
c) Calculer .
4 points
exercice 4 - Commun à tous les candidats
On dispose de deux urnes et .
L'urne contient 2 billes vertes et 8 billes rouges toutes indiscernables au toucher.
L'urne contient 3 billes vertes et 7 billes rouges toutes indiscernables au toucher.
Une partie consiste, pour un joueur, à tirer au hasard une bille de l'urne , noter sa couleur et remettre la bille dans l'urne puis de tirer au hasard une bille de l'ume , noter sa couleur et remettre la bille dans l'urne .
À la fin de la partie, si le joueur a tiré deux billes vertes il gagne un lecteur MP3. S'il a tiré une bille verte, il gagne un ours en peluche. Sinon il ne gagne rien.
On note
l'évènement : « le joueur tire une boule verte dans »
l'évènement : « le joueur tire une boule verte dans ».
Les évènements et sont indépendants.
1. Montrer, à l'aide d'un arbre pondéré, que la probabilité de gagner un lecteur MP3 est .
2. Quelle est la probabilité de gagner un ours en peluche ?
3. Vingt personnes jouent chacune une partie. Déterminer la probabilité que deux d'entre elles exactement gagnent un lecteur MP3.
On justifiera la réponse et on donnera une valeur approchée du résultat à près.
4. On appelle le nombre de personnes participant à la loterie un jour donné et jouant une seule fois.
On note la probabilité que l'une au moins de ces personnes gagne un lecteur MP3.
Déterminer la plus petite valeur de vérifiant .
1. Démonstration par récurrence :
pour n = 0, et donc La propriété est vraie au rang 0.
On suppose la propriété vraie à un certain rang n : alors donc la propriété est vraie au rang n + 1, donc la propriété est héréditaire.
La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire, elle est donc vraie pour tout entier naturel n :
Alors :
2. a) Pour tout entier naturel n : donc donc la suite est croissante
2. b) or et pour : donc donc
2. c)
Partie B
Proposition 1 : FAUX.
Contre-exemple : on a montré dans la partie A que la suite converge mais pas la suite .
Proposition 2 : FAUX.
Contre-exemple : la suite a pour terme général or pour tout n : donc donc donc donc est décroissante
alors que est croissante (démontré précédemment)
exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
Partie A
1. et donc 11 est solution de .
2. Si est solution de alors donc donc est divisible par 3.
3. On a montré que si n est solution de alors est divisible par 3,
on montre de même que est divisible par 5 : donc donc est divisible par 3 et par 5,
or 3 et 5 sont premiers entre eux, donc est divisible par donc il existe un entier relatif k tel que ou encore Réciproquement, si n est de la forme avec k entier relatif alors et donc n est solution de .
Conclusion : n est solution de si et seulement si n est de la forme où k est un entier relatif.
Partie B
1. donc est la rotation de centre O et d'angle .
donc est la rotation de centre O et d'angle .
2. a) est la rotation de centre O et d'angle et donc et donc est équilatéral.
Tous les triangles sont des triangles équilatéraux.
2. b) est donc composé de triangles équilatéraux : c'est un hexagone régulier.
3. a) Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel n : pour n = 0, donc . La propriété est vraie au rang 0.
on suppose que . est l'image de par la rotation de centre O donc . La propriété est héréditaire.
La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire, elle est donc vraie pour tout n : Autrement dit, les points appartiennent au cercle de centre O et de rayon 4.
3. b) donc et donc donc
3. c) Les angles au centre sont de donc est un pentagone régulier.
4. a). Une récurrence simple permet de démontrer que .
. Une récurrence simple permet de démontrer que .
4. b) appartient à l'axe des réels appartient à l'axe des réels Conclusion : et appartiennent à l'axe des réels si et seulement si n est solution de .
Représentation graphique (non demandée) :
exercice 3 - Commun à tous les candidats
1. a) donc et
1. b) donc la droite d'équation est asymptote à la courbe au voisinage de .
1. c) Or une exponentielle est toujours strictement positive, donc et Donc ou encore La courbe est donc en-dessous de la droite .
2. a) En utilisant les formules : , et :
2. b) Donc pour tout réel , La fonction est donc croissante sur .
donc D'où le tableau de variations :
3. a) donc la tangente à la courbe au point d'abscisse est horizontale.
3. b) est croissante sur donc la courbe est en-dessous de la tangente "avant" le point I donc sur et au-dessus de la tangente "après" I donc sur .
4. a) La tangente à la courbe au point d'abscisse 0 a pour équation : Or et Donc a pour équation
4. b) La dérivée seconde de est donnée par Sur : , donc , et Donc donc est décroissante sur : le coefficient directeur de la tangente diminue
Donc la tangente est au-dessus de la courbe sur Or donc est au-dessus de la courbe .
5. L'asymptote de au voisinage de est l'image de par symétrie de centre I :
: et soit (X,Y) l'image de (x,y) par la symétrie de centre I, alors donc donc L'asymptote à la courbe au voisinage de a pour équation
d'où la représentation graphique :
6. a) est de la forme avec donc une primitive est .
6. b) étant en-dessous de la droite , l'aire (en unités d'aire) du domaine est donnée par :
6. c) donc
exercice 4 - Commun à tous les candidats
1. et d'où l'arbre pondéré suivant :
La gain d'un MP correspond à l'évènement , d'où :
2. Le gain d'un ours en peluche correspond à l'évènement
3. L'épreuve "gagner un MP3" est une épreuve de Bernouilli de succès .
Le jeu des 20 personnes peut être considérer comme une répétition de fois l'épreuve de Bernouilli.
Alors la variable aléatoire X qui correspond au nombre exact de succès suit une loi de Bernouilli de paramètres et :
pour tout , on a :
4. Cette fois,X suit une loi de Bernouilli de paramètres et .
La plus petite valeur de n telle que est donc 75.
Publié par TP/Aurélien
le
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Merci à Aurelien_ pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche
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