Fiche de mathématiques

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Bac Scientifique
Antilles-Guyane - Session Septembre 2008

Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9

L'usage des calculatrices est autorisé selon les termes de la circulaire n°99-186 du 16 novembre 1999.
Le candidat doit traiter les quatre exercices.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

4 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Certains résultats de la PARTIE A pourront être utilisés dans la PARTIE B, mais les deux parties peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.

Partie A :

On définit :
    la suite $\left(u_{n}\right)$ par : $u_{0} = 13$ et, pour tout entier naturel $n,~ u_{n+1} = \dfrac{1}{5}u_{n} +\dfrac{4}{5}$ .
    la suite $\left(S_{n}\right)$ par : pour tout entier naturel $n,~ S_{n} = \displaystyle\sum_{k=0}^n u_{k} = u_{0} +u_{1} +u_{2} + \cdots + u_{n}$ .

1. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n, u_{n} = 1 + \dfrac{12}{5^n}$ .
En déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$ .

2. a) Déterminer le sens de variation de la suite $\left(S_{n}\right)$ .
    b) Calculer $S_{n}$ en fonction de $n$ .
    c) Déterminer la limite de la suite $\left(S_{n}\right)$ .

Partie B :

Etant donné une suite $\left(x_{n}\right)$ , de nombres réels, définie pour tout entier naturel $n$ , on considère la suite $\left(S_{n}\right)$ définie par $S_{n} = \displaystyle\sum_{k=0}^n x_{k}$ .
Indiquer pour chaque proposition suivante si elle est vraie ou fausse.
Justifier dans chaque cas.
Proposition 1: si la suite $\left(x_{n}\right)$ est convergente, alors la suite $\left(S_{n}\right)$ l'est aussi.
Proposition 2 : les suites $\left(x_{n}\right)$ et $\left(S_{n}\right)$ ont le même sens de variation.

5 points

exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Partie A :

On considère le système de congruences : $(S) \left\lbrace \begin{array}{l c l r} n & \equiv & 2 &(\text{modulo}~ 3) \\ n & \equiv & 1& (\text{modulo}~ 5) \end{array}\right.$ , où $n$ désigne un entier relatif.
1. Montrer que $11$ est solution de $(S)$ .
2. Montrer que si $n$ est solution de $(S)$ alors $n -11$ est divisible par $3$ .
3. Montrer que les solutions de $(S)$ sont tous les entiers de la forme $11 + 15k$ , où $k$ désigne un entier relatif.

Partie B :

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $(O ; \vec{u},\vec{v})$ .
On considère l'application $f$ du plan qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point d'affixe $z'$ et $g$ celle qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point d'affixe $z''$ définies par : $z' = \dfrac{1 + \text{i}\sqrt{3}}{2}z \quad \text{et}\quad z'' = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{5}}z.$

1. Préciser la nature et les éléments caractéristiques des applications $f$ et $g$ .

2. On considère les points $A_{0}$ et $B_{0}$ d'affixes respectives $a_{0} = 2\text{e}^{-2\text{i}\frac{\pi}{3}}$ et $b_{0} = 4\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{5}}$ .
Soient $\left(A_{n}\right)$ et $\left(B_{n}\right)$ les suites de points définies par les relations de récurrences : $A_{n+1} = f\left(A_{n}\right) \quad \text{et} \quad B_{n+1} = g\left(B_{n}\right).$ On note $a_{n}$ et $b_{n}$ les affixes respectives de $A_{n}$ et $B_{n}$ .
    a) Quelle est la nature de chacun des triangles O $A_{n}A_{n+1}$ ?
    b) En déduire la nature du polygone $A_{0}A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}A_{5}$ .

3. a) Montrer que les points $B_{n}$ sont situés sur un cercle dont on précisera le centre et le rayon.
    b) Indiquer une mesure de l'angle $\left(\overrightarrow{\text{O}B_{n}},~\overrightarrow{\text{O}B_{n+2}}\right)$ .
    c) En déduire la nature du polygone $B_{0}B_{2}B_{4}B_{6}B_{8}$ .

4. a) Exprimer $a_{n}$ et $b_{n}$ en fonction de $n$ .
    b) Montrer que les entiers $n$ pour lesquels les points $A_{n}$ et $B_{n}$ sont simultanément sur l'axe des réels sont les solutions du système $(S)$ de la PARTIE A.

7 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = x + 2 - \dfrac{4\text{e}^x}{\text{e}^x + 3}$ . On désigne par $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal $(O ; \vec{i},\vec{j})$ d'unité graphique 2 cm.

1. a) Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$ .
    b) Démontrer que la droite $\mathcal{D}_{1}$ d'équation $y = x + 2$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ .
    c) Étudier la position de $\mathcal{C}$ par rapport à $\mathcal{D}_{1}$ .

2. a) On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ . Calculer $f'(x)$ et montrer que, pour tout réel $x$ , on a : $f'(x) = \left(\dfrac{\text{e}^x - 3}{\text{e}^x + 3}\right)^2$
    b) Étudier les variations de $f$ sur $\mathbb{R}$ et dresser le tableau de variations de la fonction $f$ .

3. a) Que peut-on dire de la tangente $\mathcal{D}_{2}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point I d'abscisse $\ln 3$ ?
    b) En utilisant les variations de la fonction $f$ , étudier la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à $\mathcal{D}_{2}$ .

4. a) Montrer que la tangente $\mathcal{D}_{3}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$ a pour équation : $y = \dfrac{1}{4} x + 1$ .
    b) Étudier la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la tangente $\mathcal{D}_{3}$ sur l'intervalle $]-\infty~;~ \ln 3]$ .
On pourra utiliser la dérivée seconde de $f$ notée $f^{''}$ définie pour tout $x$ de $\mathbb{R}$ par : $f^{''}(x) = \dfrac{12\text{e}^x \left(\text{e}^x - 3\right)}{\left(\text{e}^x + 3 \right)^3}$ .

5. On admet que le point I est centre de symétrie de la courbe $\mathcal{C}$ .
Tracer la courbe $\mathcal{C}$ , les tangentes $\mathcal{D}_{3}, ~\mathcal{D}_{3}$ et les asymptotes à la courbe $\mathcal{C}$ . On rappelle que l'unité graphique choisie est 2 cm.

6. a) Déterminer une primitive de la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $g(x) = \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x + 3}$ .
    b) Soit $\lambda$ un réel strictement négatif.
On note $\mathcal{A}(\lambda)$ l'aire, en unités d'aire, du domaine limité par $\mathcal{D}_{1},~\mathcal{C}$ et les droites d'équations $x = \lambda$ et $x = 0$ .
Montrer que $\mathcal{A}(\lambda) = 4 \ln 4 - 4\ln \left(\text{e}^{\lambda} + 3\right)$ .
    c) Calculer $\displaystyle\lim_{\lambda \to - \infty} \mathcal{A}(\lambda)$ .

4 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

On dispose de deux urnes $U_{1}$ et $U_{2}$ .
L'urne $U_{1}$ contient 2 billes vertes et 8 billes rouges toutes indiscernables au toucher.
L'urne $U_{2}$ contient 3 billes vertes et 7 billes rouges toutes indiscernables au toucher.

Une partie consiste, pour un joueur, à tirer au hasard une bille de l'urne $U_{1}$ , noter sa couleur et remettre la bille dans l'urne $U_{1}$ puis de tirer au hasard une bille de l'ume $U_{2}$ , noter sa couleur et remettre la bille dans l'urne $U_{2}$ .
À la fin de la partie, si le joueur a tiré deux billes vertes il gagne un lecteur MP3. S'il a tiré une bille verte, il gagne un ours en peluche. Sinon il ne gagne rien.
On note
$V_{1}$ l'évènement : « le joueur tire une boule verte dans $U_{1}$ »
$V_{2}$ l'évènement : « le joueur tire une boule verte dans $U_{2}$ ».
Les évènements $V_{1}$ et $V_{2}$ sont indépendants.

1. Montrer, à l'aide d'un arbre pondéré, que la probabilité de gagner un lecteur MP3 est $p = 0,06$ .

2. Quelle est la probabilité de gagner un ours en peluche ?

3. Vingt personnes jouent chacune une partie. Déterminer la probabilité que deux d'entre elles exactement gagnent un lecteur MP3.
On justifiera la réponse et on donnera une valeur approchée du résultat à $10^{-4}$ près.

4. On appelle $n$ le nombre de personnes participant à la loterie un jour donné et jouant une seule fois.
On note $p_{n}$ la probabilité que l'une au moins de ces personnes gagne un lecteur MP3.
Déterminer la plus petite valeur de $n$ vérifiant $p_{n} \geqslant 0,99$ .

Voir la correction

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Partie A

1. Démonstration par récurrence :
pour n = 0, $u_0=13$ et $1+\dfrac{12}{5^0}=1+12=13$ donc $u_n=1+\dfrac{12}{5^n}$
La propriété est vraie au rang 0.
On suppose la propriété vraie à un certain rang n : $u_n=1+\dfrac{12}{5^n}$
alors $u_{n+1}=\dfrac{1}{5}u_n+\dfrac{4}{5}=\dfrac{1}{5} $1+\dfrac{12}{5^n}$ + \dfrac{4}{5} = \dfrac{1}{5}+\dfrac{12}{5^{n+1}}+\dfrac{4}{5}=1+\dfrac{12}{5^{n+1}}$
donc la propriété est vraie au rang n + 1, donc la propriété est héréditaire.
La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire, elle est donc vraie pour tout entier naturel n :
$u_n=1+\dfrac{12}{5^n}$
Alors : $\displaystyle \lim(u_n) = \lim_{n\to+\infty} 1 + \dfrac{12}{5^n}=1+0=1$

2. a) Pour tout entier naturel n : $u_n = 1 + \dfrac{12}{5^n}>1>0$ donc $S_{n+1}-S_n = \displaystyle \sum_{k=0}^{n+1}u_k-\sum_{k=0}^nu_k=u_{n+1}>0$
donc la suite $(S_n)$ est croissante

2. b) $\displaystyle \sum_{k=0}^nu_k = \sum_{k=0}^n $1+\dfrac{12}{5^k}$= \sum_{k=0}^n 1 + 12\sum_{k=0}^n $\dfrac{1}{5}$^k$
or $\displaystyle\sum_{k=0}^n1=n+1$
et pour $a\neq1$ : $\displaystyle \sum_{k=0}^na^k = \dfrac{1-a^{n+1}}{1-a}$ donc $\displaystyle \sum_{k=0}^n $\dfrac{1}{5}$^k = \dfrac{1-$\dfrac{1}{5}$^{n+1}}{1-\dfrac{1}{5}}} = \dfrac{5}{4}\times $1-\dfrac{1}{5^{n+1}}$ = \dfrac{5}{4} - \dfrac{1}{4\times5^{n}}$
donc $S_n=n+1+\dfrac{5}{4}-\dfrac{1}{4\times5^n}=n+\dfrac{9}{4}-\dfrac{1}{4\times5^n}$

2. c) $\lim(S_n) = \displaystyle \lim_{n\to+\infty} n + \dfrac{9}{4}-\dfrac{1}{4\times5^n}=+\infty-0=+\infty$

Partie B

Proposition 1 : FAUX.
Contre-exemple : on a montré dans la partie A que la suite $(u_n)$ converge mais pas la suite $(S_n)$ .

Proposition 2 : FAUX.
Contre-exemple : la suite $(u_n)$ a pour terme général $u_n=1+\dfrac{12}{5^n}$
or pour tout n : $5^n<5^{n+1}$ donc $\dfrac{12}{5^n}>\dfrac{12}{5^{n+1}}$ donc $1+\dfrac{12}{5^n}>1+\dfrac{12}{5^{n+1}}$ donc $u_n>u_{n+1}$ donc $(u_n)$ est décroissante
alors que $(S_n)$ est croissante (démontré précédemment)

exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Partie A

1. $11=9+2=3\times3+2\equiv2[3]$ et $11=10+1=2\times5+1\equiv1[5]$
donc 11 est solution de $(S)$ .

2. Si $n$ est solution de $(S)$ alors $n\equiv2[3]$ donc $n-11\equiv2-11\equiv-9\equiv0[3]$ donc $n-11$ est divisible par 3.

3. On a montré que si n est solution de $(S)$ alors $n-11$ est divisible par 3,
on montre de même que $n-11$ est divisible par 5 : $n\equiv1[5]$ donc $n-11\equiv1-11\equiv-10\equiv0[5]$
donc $n-11$ est divisible par 3 et par 5,
or 3 et 5 sont premiers entre eux, donc $n-11$ est divisible par $3\times5=15$
donc il existe un entier relatif k tel que $n-11=15k$ ou encore $n=11+15k$
Réciproquement, si n est de la forme $n=11+15k$ avec k entier relatif alors $n=11+15k\equiv11\equiv2[3]$ et $n=11+15k\equiv11\equiv1[5]$
donc n est solution de $(S)$ .
Conclusion : n est solution de $(S)$ si et seulement si n est de la forme $n=11+15k$ où k est un entier relatif.

Partie B

1. $z' = \dfrac{1+i\sqrt3}{2}z=e^{i\frac{\pi}{3}}z$ donc $f$ est la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$ .
$z''=e^{i\frac{\pi}{5}}z$ donc $g$ est la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{5}$ .

2. a) $f$ est la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$ et $A_{n+1}=f(A_n)$
donc $OA_{n+1}=OA_n$ et $(\overrightarrow{OA_n},\overrightarrow{OA_{n+1}}) = \dfrac{\pi}{3}$ donc $OA_nA_{n+1}$ est équilatéral.
Tous les triangles $OA_nA_{n+1}$ sont des triangles équilatéraux.

2. b) $A_0A_1A_2A_3A_4A_5$ est donc composé de triangles équilatéraux : c'est un hexagone régulier.

3. a) Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel n : $OB_n=4$
pour n = 0, $b_0=4e^{-i\frac{\pi}{5}}$ donc $OB_0=|b_0|=4$ . La propriété est vraie au rang 0.
on suppose que $OB_n=4$ . $B_{n+1}$ est l'image de $B_n$ par la rotation de centre O donc $OB_{n+1}=OB_n=4$ . La propriété est héréditaire.
La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire, elle est donc vraie pour tout n : $OB_n=4$
Autrement dit, les points $B_n$ appartiennent au cercle de centre O et de rayon 4.

3. b) $B_{n+1}=g(B_n)$ donc $(\overrightarrow{OB_n},\overrightarrow{OB_{n+1}})=\dfrac{\pi}{5}$ et $B_{n+2}=g(B_{n+1})$ donc $(\overrightarrow{OB_{n+1}},\overrightarrow{OB_{n+2}})=\dfrac{\pi}{5}$
donc $(\overrightarrow{OB_n},\overrightarrow{OB_{n+2}})=(\overrightarrow{OB_n},\overrightarrow{OB_{n+1}})+(\overrightarrow{OB_{n+1}},\overrightarrow{OB_{n+2}}) = \dfrac{\pi}{5}+\dfrac{\pi}{5} = \dfrac{2\pi}{5}$

3. c) Les angles au centre sont de $\dfrac{2\pi}{5}$ donc $B_0B_2B_4B_6B_8$ est un pentagone régulier.

4. a) $z'=e^{i\frac{\pi}{3}}z$ . Une récurrence simple permet de démontrer que $a_n=e^{i\frac{n\pi}{3}}a_0=2e^{\frac{(n-2)\pi}{3}}$ .
$z''=e^{i\frac{\pi}{5}}z$ . Une récurrence simple permet de démontrer que $b_n=e^{i\frac{n\pi}{5}}b_0=4e^{\frac{(n-1)\pi}{5}}$ .

4. b) $A_n$ appartient à l'axe des réels $\Longleftrightarrow a_n\in\mathbb{R} \Longleftrightarrow 2e^{\frac{(n-2)\pi}{3}}\in\mathbb{R}$
$\Longleftrightarrow \dfrac{(n-2)\pi}{3}\equiv0[\pi] \Longleftrightarrow n-2\equiv0[3] \Longleftrightarrow n\equiv2[3]$
$B_n$ appartient à l'axe des réels $\Longleftrightarrow b_n\in\mathbb{R} \Longleftrightarrow 4e^{\frac{(n-1)\pi}{5}}\in\mathbb{R}$
$\Longleftrightarrow \dfrac{(n-1)\pi}{5}\equiv0[\pi] \Longleftrightarrow n-1\equiv0[5] \Longleftrightarrow n\equiv1[5]$
Conclusion : $A_n$ et $B_n$ appartiennent à l'axe des réels si et seulement si n est solution de $(S)$ .

Représentation graphique (non demandée) :

sujet du bac scientifique spécialité, Antilles Guyane, Septembre 2008 - terminale : image 1

exercice 3 - Commun à tous les candidats

1. a) $\displaystyle \lim_{x\to-\infty}e^{x}=0$ donc $\displaystyle \lim_{x\to-\infty} \dfrac{4e^{x}}{e^{x}+3}=0$ et $\displaystyle \lim_{x\to-infty}f(x)=-\infty+2-0=-\infty$

1. b) $\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)-y(x) = \displaystyle \lim_{x\to-\infty}-\dfrac{4e^{x}}{e^{x}+3}=0$
donc la droite $D_1$ d'équation $y=x+2$ est asymptote à la courbe $C$ au voisinage de $-\infty$ .

1. c) $f(x)-y(x)=-\dfrac{4e^{x}}{e^x+3}$
Or une exponentielle est toujours strictement positive, donc $4e^x>0$ et $e^x+3>3>0$
Donc $f(x)-y(x)<0$ ou encore $f(x)<y(x)$
La courbe $C$ est donc en-dessous de la droite $D_1$ .

2. a) En utilisant les formules : $(e^x)'=e^x$ , $(u+v)'=u'+v'$ et $$\dfrac{u}{v}$'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ :
$f'(x)=1+4\dfrac{e^x(e^x+3)-e^x(e^x)}{(e^x+3)^2}=1+4\dfrac{3e^x}{(e^x+3)^2}=\dfrac{(e^x+3)^2-12e^x}{(e^x+3)^2}=\dfrac{e^{2x}+6e^x+9-12e^x}{(e^x+3)^2}=\dfrac{e^{2x}-6e^x+9}{(e^x+3)^2}=\dfrac{(e^x-3)^2}{(e^x+3)^2}=$\dfrac{e^x-3}{e^x+3}$^2$

2. b) Donc pour tout réel $x$ , $f'(x)\ge 0$
La fonction $f$ est donc croissante sur $\mathbb{R}$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{4e^x}{e^x-3}= \displaystyle \lim_{x\to+\infty} \dfrac{4e^x}{e^x}=4$ donc $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty+2-4=+\infty$
D'où le tableau de variations :

$\begin{tabular}{c|ccc}x&-\infty&&+\infty\\\hline {f'(x)}&&+&\\\hline {f(x)}&&\nearrow&&\\\end{tabular}$

3. a) $f'(\ln3) = $\dfrac{e^{\ln3}-3}{e^{\ln3}+3}$^2=${\dfrac{0}{6}$^2=0$
donc la tangente à la courbe $C$ au point d'abscisse $\ln 3$ est horizontale.

3. b) $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$ donc la courbe $C$ est en-dessous de la tangente $D_2$ "avant" le point I donc sur $]-\infty,\ln3]$
et au-dessus de la tangente $D_2$ "après" I donc sur $[\ln3,+\infty[$ .

4. a) La tangente $D_3$ à la courbe $C$ au point d'abscisse 0 a pour équation : $y=f'(0)(x-0)+f(0)$
Or $f(0)=2-\dfrac{4}{1+3}=2-1=1$ et $f'(0)= $\dfrac{1-3}{1+3}$^2 = $-\dfrac{1}{2}$^2 = \dfrac{1}{4}$
Donc $D_3$ a pour équation $y=\Dfrac{1}{4}x+1$

4. b) La dérivée seconde de $f$ est donnée par $f''(x) = \Dfrac{12e^x(e^x-3)}{(e^x+3)^3}$
Sur $]-\infty,\ln3]$ : $e^x>0$ , $e^x\le e^{\ln3}=3$ donc $e^x-3\le 0$ , et $(e^x+3)^3>0$
Donc $f''(x)\le 0$ donc $f'$ est décroissante sur $]-\infty,\ln3]$ : le coefficient directeur de la tangente diminue
Donc la tangente est au-dessus de la courbe sur $]-\infty,\ln3]$
Or $0\in]-\infty,\ln3]$ donc $D_3$ est au-dessus de la courbe $C$ .

5. L'asymptote de $C$ au voisinage de $+\infty$ est l'image de $D_1$ par symétrie de centre I :
$D_1$ : $y=x+2$
$x_I=\ln3$ et $y_I=f(\ln3)=\ln3+2-\dfrac{4\times3}{3+3}=\ln3+2-2=\ln3$
soit (X,Y) l'image de (x,y) par la symétrie de centre I, alors $\left \lbrace \begin{array}{l} X-x_I=x_I-x \\ Y-y_I=y_I-y \end{array} \right.$
donc $2\ln3-Y=2\ln3-X+2$ donc $Y=X-2$
L'asymptote à la courbe $C$ au voisinage de $+\infty$ a pour équation $y=x-2$

d'où la représentation graphique :

sujet du bac scientifique spécialité, Antilles Guyane, Septembre 2008 - terminale : image 2

6. a) $g$ est de la forme $\dfrac{u'}{u}$ avec $u(x)=e^x+3$ donc une primitive est $G(x)=\ln(u(x))=\ln(e^x+3)$ .

6. b) $C$ étant en-dessous de la droite $D_1$ , l'aire (en unités d'aire) du domaine est donnée par :
$A(\lambda) = \displaystyle \int_{\lambda}^0 [y(x)-f(x)]dx = \displaystyle \int_{\lambda}^0 \left[\dfrac{4e^x}{e^x+3}\right]dx = 4 \displaystyle \int_\lambda^0 g(x)dx$
$A(\lambda)=4[G(x)]_\lambda^0=4[\ln(e^x+3)]_\lambda^0=4\ln4-4\ln(e^\lambda+3)$

6. c) $\displaystyle \lim_{\lambda\to-\infty}e^{\lambda}=0$ donc $\displaystyle \lim_{\lambda\to-\infty}\ln(e^\lambda+3)=\ln3$
$\lim_{\lambda\to-\infty}A(\lambda}=4(\ln4-\ln3)=4\ln $\dfrac{4}{3}$$

exercice 4 - Commun à tous les candidats

1. $p(V_1) = \dfrac{2}{2+8}=0,02$ et $p(V_2)=\dfrac{3}{3+7}=0,03$
d'où l'arbre pondéré suivant :

sujet du bac scientifique spécialité, Antilles Guyane, Septembre 2008 - terminale : image 3

La gain d'un MP correspond à l'évènement $V_1\cap V_2$ , d'où :
$p(MP_3)=p(V_1\cap V_2)=p(V_1)p(V_2)=0,2\times0,3=0,06$

2. Le gain d'un ours en peluche correspond à l'évènement $(V_1\cap \overline{V_2})\cup(\overline{V_1}\cap V_2)$
$p(ours)=p(V_1\cap \overline{V_2})+p(\overline{V_1}\cap V_2)=0,2\times0,7+0,8\times0,3=0,14+0,24=0,38$

3. L'épreuve "gagner un MP3" est une épreuve de Bernouilli de succès $p=0,06$ .
Le jeu des 20 personnes peut être considérer comme une répétition de $n=20$ fois l'épreuve de Bernouilli.
Alors la variable aléatoire X qui correspond au nombre exact de succès suit une loi de Bernouilli de paramètres $n=20$ et $p=0,06$ :
pour tout $k\in \left[\hspace{-1ex}\left[\hspace{0.5ex} 0,20 \hspace{0.5ex} \right]\hspace{-1ex}\right]}$ , on a : $p(X=k) = \dfrac{n!}{(n-k)!k!}p^k(1-p)^{n-k}$
$p(X=2) = \dfrac{20!}{18!2!}0,06^2\times0,94^{18}=0,2246$

4. Cette fois,X suit une loi de Bernouilli de paramètres $n$ et $p=0,06$ .
$p_n=p(X\ge 1)=1-p(X=0)=1-0,94^n$
$p_n\ge 0,99 \Longleftrightarrow 1-0,94^n\ge 0,99 \Longleftrightarrow 0,94^n\le 0,01 \Longleftrightarrow n\ln(0,94)\le \ln(0,01) \Longleftrightarrow n\ge \dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,94)}=74,4$
La plus petite valeur de n telle que $p_n\ge 0,99$ est donc 75.

Publié par TP/Aurélien le 01-01-2016

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