Fiche de mathématiques
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Bac Scientifique
Antilles-Guyane - Session Septembre 2008

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Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9


L'usage des calculatrices est autorisé selon les termes de la circulaire n°99-186 du 16 novembre 1999.
Le candidat doit traiter les quatre exercices.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
4 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Certains résultats de la PARTIE A pourront être utilisés dans la PARTIE B, mais les deux parties peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.

Partie A :

On définit :
    la suite \left(u_{n}\right) par : u_{0} = 13 et, pour tout entier naturel n,~ u_{n+1}  = \dfrac{1}{5}u_{n} +\dfrac{4}{5}.
    la suite \left(S_{n}\right) par : pour tout entier naturel n,~ S_{n} = \displaystyle\sum_{k=0}^n u_{k} =  u_{0} +u_{1} +u_{2} + \cdots + u_{n}.

1. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, u_{n} =  1 + \dfrac{12}{5^n}.
En déduire la limite de la suite \left(u_{n}\right).

2. a) Déterminer le sens de variation de la suite \left(S_{n}\right).
    b) Calculer S_{n} en fonction de n.
    c) Déterminer la limite de la suite \left(S_{n}\right).

Partie B :

Etant donné une suite \left(x_{n}\right), de nombres réels, définie pour tout entier naturel n, on considère la suite \left(S_{n}\right) définie par S_{n} = \displaystyle\sum_{k=0}^n x_{k}.
Indiquer pour chaque proposition suivante si elle est vraie ou fausse.
Justifier dans chaque cas.
    Proposition 1: si la suite \left(x_{n}\right) est convergente, alors la suite \left(S_{n}\right) l'est aussi.
    Proposition 2 : les suites \left(x_{n}\right) et \left(S_{n}\right) ont le même sens de variation.


5 points

exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Partie A :

On considère le système de congruences :
(S) \left\lbrace \begin{array}{l c l r} n & \equiv & 2 &(\text{modulo}~ 3) \\ n & \equiv & 1& (\text{modulo}~ 5) \end{array}\right., où n désigne un entier relatif.

1. Montrer que 11 est solution de (S).
2. Montrer que si n est solution de (S) alors n -11 est divisible par 3.
3. Montrer que les solutions de (S) sont tous les entiers de la forme 11 + 15k, où k désigne un entier relatif.

Partie B :

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O ; \vec{u},\vec{v}).
On considère l'application f du plan qui à tout point M d'affixe z associe le point d'affixe z' et g celle qui à tout point M d'affixe z associe le point d'affixe z'' définies par :
z' = \dfrac{1 + \text{i}\sqrt{3}}{2}z \quad \text{et}\quad z'' = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{5}}z.


1. Préciser la nature et les éléments caractéristiques des applications f et g.

2. On considère les points A_{0} et B_{0} d'affixes respectives a_{0} = 2\text{e}^{-2\text{i}\frac{\pi}{3}} et b_{0} =  4\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{5}}.
Soient \left(A_{n}\right) et \left(B_{n}\right) les suites de points définies par les relations de récurrences :
A_{n+1} =  f\left(A_{n}\right) \quad \text{et} \quad  B_{n+1} =  g\left(B_{n}\right).
On note a_{n} et b_{n} les affixes respectives de A_{n} et B_{n}.
    a) Quelle est la nature de chacun des triangles OA_{n}A_{n+1} ?
    b) En déduire la nature du polygone A_{0}A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}A_{5}.

3. a) Montrer que les points B_{n} sont situés sur un cercle dont on précisera le centre et le rayon.
    b) Indiquer une mesure de l'angle \left(\overrightarrow{\text{O}B_{n}},~\overrightarrow{\text{O}B_{n+2}}\right).
    c) En déduire la nature du polygone B_{0}B_{2}B_{4}B_{6}B_{8}.

4. a) Exprimer a_{n} et b_{n} en fonction de n.
    b) Montrer que les entiers n pour lesquels les points A_{n} et B_{n} sont simultanément sur l'axe des réels sont les solutions du système (S) de la PARTIE A.


7 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par :       f(x) = x + 2 - \dfrac{4\text{e}^x}{\text{e}^x + 3}. On désigne par \mathcal{C} sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal (O ; \vec{i},\vec{j}) d'unité graphique 2 cm.

1. a) Déterminer la limite de f en - \infty.
    b) Démontrer que la droite \mathcal{D}_{1} d'équation y = x + 2 est asymptote à la courbe \mathcal{C}.
    c) Étudier la position de \mathcal{C} par rapport à \mathcal{D}_{1}.

2. a) On note f' la fonction dérivée de f. Calculer f'(x) et montrer que, pour tout réel x, on a :       f'(x) = \left(\dfrac{\text{e}^x - 3}{\text{e}^x + 3}\right)^2
    b) Étudier les variations de f sur \mathbb{R} et dresser le tableau de variations de la fonction f.

3. a) Que peut-on dire de la tangente \mathcal{D}_{2} à la courbe \mathcal{C} au point I d'abscisse \ln 3 ?
    b) En utilisant les variations de la fonction f, étudier la position de la courbe \mathcal{C} par rapport à \mathcal{D}_{2}.

4. a) Montrer que la tangente \mathcal{D}_{3} à la courbe \mathcal{C} au point d'abscisse 0 a pour équation : y = \dfrac{1}{4} x + 1.
    b) Étudier la position de la courbe \mathcal{C} par rapport à la tangente \mathcal{D}_{3} sur l'intervalle ]-\infty~;~ \ln 3].
On pourra utiliser la dérivée seconde de f notée f^{''} définie pour tout x de \mathbb{R} par :        f^{''}(x) =  \dfrac{12\text{e}^x \left(\text{e}^x - 3\right)}{\left(\text{e}^x + 3  \right)^3}.

5. On admet que le point I est centre de symétrie de la courbe \mathcal{C}.
Tracer la courbe \mathcal{C}, les tangentes \mathcal{D}_{3}, ~\mathcal{D}_{3} et les asymptotes à la courbe \mathcal{C}. On rappelle que l'unité graphique choisie est 2 cm.

6. a) Déterminer une primitive de la fonction g définie sur \mathbb{R} par : g(x) = \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x + 3}.
    b) Soit \lambda un réel strictement négatif.
On note \mathcal{A}(\lambda) l'aire, en unités d'aire, du domaine limité par \mathcal{D}_{1},~\mathcal{C} et les droites d'équations x = \lambda et x = 0.
Montrer que \mathcal{A}(\lambda) = 4 \ln 4 - 4\ln \left(\text{e}^{\lambda} + 3\right).
    c) Calculer \displaystyle\lim_{\lambda \to - \infty} \mathcal{A}(\lambda).


4 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

On dispose de deux urnes U_{1} et U_{2}.
L'urne U_{1} contient 2 billes vertes et 8 billes rouges toutes indiscernables au toucher.
L'urne U_{2} contient 3 billes vertes et 7 billes rouges toutes indiscernables au toucher.

Une partie consiste, pour un joueur, à tirer au hasard une bille de l'urne U_{1}, noter sa couleur et remettre la bille dans l'urne U_{1} puis de tirer au hasard une bille de l'ume U_{2}, noter sa couleur et remettre la bille dans l'urne U_{2}.
À la fin de la partie, si le joueur a tiré deux billes vertes il gagne un lecteur MP3. S'il a tiré une bille verte, il gagne un ours en peluche. Sinon il ne gagne rien.
On note
    V_{1} l'évènement : « le joueur tire une boule verte dans U_{1} »
    V_{2} l'évènement : « le joueur tire une boule verte dans U_{2} ».
Les évènements V_{1} et V_{2} sont indépendants.

1. Montrer, à l'aide d'un arbre pondéré, que la probabilité de gagner un lecteur MP3 est p = 0,06.

2. Quelle est la probabilité de gagner un ours en peluche ?

3. Vingt personnes jouent chacune une partie. Déterminer la probabilité que deux d'entre elles exactement gagnent un lecteur MP3.
On justifiera la réponse et on donnera une valeur approchée du résultat à 10^{-4} près.

4. On appelle n le nombre de personnes participant à la loterie un jour donné et jouant une seule fois.
On note p_{n} la probabilité que l'une au moins de ces personnes gagne un lecteur MP3.
Déterminer la plus petite valeur de n vérifiant p_{n}  \geqslant  0,99.







exercice 1 - Commun à tous les candidats

Partie A

1. Démonstration par récurrence :
pour n = 0, u_0=13 et 1+\dfrac{12}{5^0}=1+12=13 donc u_n=1+\dfrac{12}{5^n}
La propriété est vraie au rang 0.
On suppose la propriété vraie à un certain rang n : u_n=1+\dfrac{12}{5^n}
alors u_{n+1}=\dfrac{1}{5}u_n+\dfrac{4}{5}=\dfrac{1}{5} \(1+\dfrac{12}{5^n}\) + \dfrac{4}{5} = \dfrac{1}{5}+\dfrac{12}{5^{n+1}}+\dfrac{4}{5}=1+\dfrac{12}{5^{n+1}}
donc la propriété est vraie au rang n + 1, donc la propriété est héréditaire.
La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire, elle est donc vraie pour tout entier naturel n :
u_n=1+\dfrac{12}{5^n}
Alors : \displaystyle \lim(u_n) = \lim_{n\to+\infty} 1 + \dfrac{12}{5^n}=1+0=1

2. a) Pour tout entier naturel n : u_n = 1 + \dfrac{12}{5^n}>1>0 donc S_{n+1}-S_n = \displaystyle \sum_{k=0}^{n+1}u_k-\sum_{k=0}^nu_k=u_{n+1}>0
donc la suite (S_n) est croissante

2. b) \displaystyle \sum_{k=0}^nu_k = \sum_{k=0}^n \(1+\dfrac{12}{5^k}\)= \sum_{k=0}^n 1 + 12\sum_{k=0}^n \(\dfrac{1}{5}\)^k
or \displaystyle\sum_{k=0}^n1=n+1
et pour a\neq1 : \displaystyle \sum_{k=0}^na^k = \dfrac{1-a^{n+1}}{1-a} donc \displaystyle \sum_{k=0}^n \(\dfrac{1}{5}\)^k = \dfrac{1-\(\dfrac{1}{5}\)^{n+1}}{1-\dfrac{1}{5}}} = \dfrac{5}{4}\times \(1-\dfrac{1}{5^{n+1}}\) = \dfrac{5}{4} - \dfrac{1}{4\times5^{n}}
donc S_n=n+1+\dfrac{5}{4}-\dfrac{1}{4\times5^n}=n+\dfrac{9}{4}-\dfrac{1}{4\times5^n}

2. c) \lim(S_n) = \displaystyle \lim_{n\to+\infty} n + \dfrac{9}{4}-\dfrac{1}{4\times5^n}=+\infty-0=+\infty

Partie B

Proposition 1 : FAUX.
Contre-exemple : on a montré dans la partie A que la suite (u_n) converge mais pas la suite (S_n).

Proposition 2 : FAUX.
Contre-exemple : la suite (u_n) a pour terme général u_n=1+\dfrac{12}{5^n}
or pour tout n : 5^n<5^{n+1} donc \dfrac{12}{5^n}>\dfrac{12}{5^{n+1}} donc 1+\dfrac{12}{5^n}>1+\dfrac{12}{5^{n+1}} donc u_n>u_{n+1} donc (u_n) est décroissante
alors que (S_n) est croissante (démontré précédemment)




exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Partie A

1. 11=9+2=3\times3+2\equiv2[3] et 11=10+1=2\times5+1\equiv1[5]
donc 11 est solution de (S).

2. Si n est solution de (S) alors n\equiv2[3] donc n-11\equiv2-11\equiv-9\equiv0[3] donc n-11 est divisible par 3.

3. On a montré que si n est solution de (S) alors n-11 est divisible par 3,
on montre de même que n-11 est divisible par 5 : n\equiv1[5] donc n-11\equiv1-11\equiv-10\equiv0[5]
donc n-11 est divisible par 3 et par 5,
or 3 et 5 sont premiers entre eux, donc n-11 est divisible par 3\times5=15
donc il existe un entier relatif k tel que n-11=15k ou encore n=11+15k
Réciproquement, si n est de la forme n=11+15k avec k entier relatif alors n=11+15k\equiv11\equiv2[3] et n=11+15k\equiv11\equiv1[5]
donc n est solution de (S).
Conclusion : n est solution de (S) si et seulement si n est de la forme n=11+15k où k est un entier relatif.

Partie B

1. z' = \dfrac{1+i\sqrt3}{2}z=e^{i\frac{\pi}{3}}z donc f est la rotation de centre O et d'angle \dfrac{\pi}{3}.
z''=e^{i\frac{\pi}{5}}z donc g est la rotation de centre O et d'angle \dfrac{\pi}{5}.

2. a) f est la rotation de centre O et d'angle \dfrac{\pi}{3} et A_{n+1}=f(A_n)
donc OA_{n+1}=OA_n et (\overrightarrow{OA_n},\overrightarrow{OA_{n+1}}) = \dfrac{\pi}{3} donc OA_nA_{n+1} est équilatéral.
Tous les triangles OA_nA_{n+1} sont des triangles équilatéraux.

2. b) A_0A_1A_2A_3A_4A_5 est donc composé de triangles équilatéraux : c'est un hexagone régulier.

3. a) Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel n : OB_n=4
pour n = 0, b_0=4e^{-i\frac{\pi}{5}} donc OB_0=|b_0|=4. La propriété est vraie au rang 0.
on suppose que OB_n=4. B_{n+1} est l'image de B_n par la rotation de centre O donc OB_{n+1}=OB_n=4. La propriété est héréditaire.
La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire, elle est donc vraie pour tout n : OB_n=4
Autrement dit, les points B_n appartiennent au cercle de centre O et de rayon 4.

3. b) B_{n+1}=g(B_n) donc (\overrightarrow{OB_n},\overrightarrow{OB_{n+1}})=\dfrac{\pi}{5} et B_{n+2}=g(B_{n+1}) donc (\overrightarrow{OB_{n+1}},\overrightarrow{OB_{n+2}})=\dfrac{\pi}{5}
donc (\overrightarrow{OB_n},\overrightarrow{OB_{n+2}})=(\overrightarrow{OB_n},\overrightarrow{OB_{n+1}})+(\overrightarrow{OB_{n+1}},\overrightarrow{OB_{n+2}}) = \dfrac{\pi}{5}+\dfrac{\pi}{5} = \dfrac{2\pi}{5}

3. c) Les angles au centre sont de \dfrac{2\pi}{5} donc B_0B_2B_4B_6B_8 est un pentagone régulier.

4. a) z'=e^{i\frac{\pi}{3}}z. Une récurrence simple permet de démontrer que a_n=e^{i\frac{n\pi}{3}}a_0=2e^{\frac{(n-2)\pi}{3}}.
z''=e^{i\frac{\pi}{5}}z. Une récurrence simple permet de démontrer que b_n=e^{i\frac{n\pi}{5}}b_0=4e^{\frac{(n-1)\pi}{5}}.

4. b) A_n appartient à l'axe des réels  \Longleftrightarrow a_n\in\mathbb{R} \Longleftrightarrow 2e^{\frac{(n-2)\pi}{3}}\in\mathbb{R}
\Longleftrightarrow \dfrac{(n-2)\pi}{3}\equiv0[\pi] \Longleftrightarrow n-2\equiv0[3] \Longleftrightarrow n\equiv2[3]
B_n appartient à l'axe des réels \Longleftrightarrow b_n\in\mathbb{R} \Longleftrightarrow 4e^{\frac{(n-1)\pi}{5}}\in\mathbb{R}
\Longleftrightarrow \dfrac{(n-1)\pi}{5}\equiv0[\pi] \Longleftrightarrow n-1\equiv0[5] \Longleftrightarrow n\equiv1[5]
Conclusion : A_n et B_n appartiennent à l'axe des réels si et seulement si n est solution de (S).

Représentation graphique (non demandée) :
sujet du bac scientifique spécialité, Antilles Guyane, Septembre 2008 - terminale : image 1





exercice 3 - Commun à tous les candidats

1. a) \displaystyle \lim_{x\to-\infty}e^{x}=0 donc \displaystyle \lim_{x\to-\infty} \dfrac{4e^{x}}{e^{x}+3}=0 et \displaystyle \lim_{x\to-infty}f(x)=-\infty+2-0=-\infty

1. b) \displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)-y(x) = \displaystyle \lim_{x\to-\infty}-\dfrac{4e^{x}}{e^{x}+3}=0
donc la droite D_1 d'équation y=x+2 est asymptote à la courbe C au voisinage de -\infty.

1. c) f(x)-y(x)=-\dfrac{4e^{x}}{e^x+3}
Or une exponentielle est toujours strictement positive, donc 4e^x>0 et e^x+3>3>0
Donc f(x)-y(x)<0 ou encore f(x)<y(x)
La courbe C est donc en-dessous de la droite D_1.

2. a) En utilisant les formules : (e^x)'=e^x, (u+v)'=u'+v' et \(\dfrac{u}{v}\)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2} :
f'(x)=1+4\dfrac{e^x(e^x+3)-e^x(e^x)}{(e^x+3)^2}=1+4\dfrac{3e^x}{(e^x+3)^2}=\dfrac{(e^x+3)^2-12e^x}{(e^x+3)^2}=\dfrac{e^{2x}+6e^x+9-12e^x}{(e^x+3)^2}=\dfrac{e^{2x}-6e^x+9}{(e^x+3)^2}=\dfrac{(e^x-3)^2}{(e^x+3)^2}=\(\dfrac{e^x-3}{e^x+3}\)^2

2. b) Donc pour tout réel x, f'(x)\ge 0
La fonction f est donc croissante sur \mathbb{R}.
\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{4e^x}{e^x-3}= \displaystyle \lim_{x\to+\infty} \dfrac{4e^x}{e^x}=4 donc \displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty+2-4=+\infty
D'où le tableau de variations :

\begin{tabular}{c|ccc}x&-\infty&&+\infty\\\hline {f'(x)}&&+&\\\hline {f(x)}&&\nearrow&&\\\end{tabular}


3. a) f'(\ln3) = \(\dfrac{e^{\ln3}-3}{e^{\ln3}+3}\)^2=\({\dfrac{0}{6}\)^2=0
donc la tangente à la courbe C au point d'abscisse \ln 3 est horizontale.

3. b) f est croissante sur \mathbb{R} donc la courbe C est en-dessous de la tangente D_2 "avant" le point I donc sur ]-\infty,\ln3]
et au-dessus de la tangente D_2 "après" I donc sur [\ln3,+\infty[.

4. a) La tangente D_3 à la courbe C au point d'abscisse 0 a pour équation : y=f'(0)(x-0)+f(0)
Or f(0)=2-\dfrac{4}{1+3}=2-1=1 et f'(0)= \(\dfrac{1-3}{1+3}\)^2 = \(-\dfrac{1}{2}\)^2 = \dfrac{1}{4}
Donc D_3 a pour équation y=\Dfrac{1}{4}x+1

4. b) La dérivée seconde de f est donnée par f''(x) = \Dfrac{12e^x(e^x-3)}{(e^x+3)^3}
Sur ]-\infty,\ln3] : e^x>0 , e^x\le e^{\ln3}=3 donc e^x-3\le 0, et (e^x+3)^3>0
Donc f''(x)\le 0 donc f' est décroissante sur ]-\infty,\ln3] : le coefficient directeur de la tangente diminue
Donc la tangente est au-dessus de la courbe sur ]-\infty,\ln3]
Or 0\in]-\infty,\ln3] donc D_3 est au-dessus de la courbe C.

5. L'asymptote de C au voisinage de +\infty est l'image de D_1 par symétrie de centre I :
D_1 : y=x+2
x_I=\ln3 et y_I=f(\ln3)=\ln3+2-\dfrac{4\times3}{3+3}=\ln3+2-2=\ln3
soit (X,Y) l'image de (x,y) par la symétrie de centre I, alors \left \lbrace \begin{array}{l} X-x_I=x_I-x \\ Y-y_I=y_I-y \end{array} \right.
donc 2\ln3-Y=2\ln3-X+2 donc Y=X-2
L'asymptote à la courbe C au voisinage de +\infty a pour équation y=x-2

d'où la représentation graphique :
sujet du bac scientifique spécialité, Antilles Guyane, Septembre 2008 - terminale : image 2


6. a) g est de la forme \dfrac{u'}{u} avec u(x)=e^x+3 donc une primitive est G(x)=\ln(u(x))=\ln(e^x+3).

6. b) C étant en-dessous de la droite D_1, l'aire (en unités d'aire) du domaine est donnée par :
A(\lambda) = \displaystyle \int_{\lambda}^0 [y(x)-f(x)]dx = \displaystyle \int_{\lambda}^0 \left[\dfrac{4e^x}{e^x+3}\right]dx = 4 \displaystyle \int_\lambda^0 g(x)dx
A(\lambda)=4[G(x)]_\lambda^0=4[\ln(e^x+3)]_\lambda^0=4\ln4-4\ln(e^\lambda+3)

6. c) \displaystyle \lim_{\lambda\to-\infty}e^{\lambda}=0 donc \displaystyle \lim_{\lambda\to-\infty}\ln(e^\lambda+3)=\ln3
\lim_{\lambda\to-\infty}A(\lambda}=4(\ln4-\ln3)=4\ln \(\dfrac{4}{3}\)




exercice 4 - Commun à tous les candidats

1. p(V_1) = \dfrac{2}{2+8}=0,02 et p(V_2)=\dfrac{3}{3+7}=0,03
d'où l'arbre pondéré suivant :
sujet du bac scientifique spécialité, Antilles Guyane, Septembre 2008 - terminale : image 3

La gain d'un MP correspond à l'évènement V_1\cap V_2, d'où :
p(MP_3)=p(V_1\cap V_2)=p(V_1)p(V_2)=0,2\times0,3=0,06

2. Le gain d'un ours en peluche correspond à l'évènement (V_1\cap \overline{V_2})\cup(\overline{V_1}\cap V_2)
p(ours)=p(V_1\cap \overline{V_2})+p(\overline{V_1}\cap V_2)=0,2\times0,7+0,8\times0,3=0,14+0,24=0,38

3. L'épreuve "gagner un MP3" est une épreuve de Bernouilli de succès p=0,06.
Le jeu des 20 personnes peut être considérer comme une répétition de n=20 fois l'épreuve de Bernouilli.
Alors la variable aléatoire X qui correspond au nombre exact de succès suit une loi de Bernouilli de paramètres n=20 et p=0,06 :
pour tout k\in \left[\hspace{-1ex}\left[\hspace{0.5ex} 0,20 \hspace{0.5ex} \right]\hspace{-1ex}\right]}, on a : p(X=k) = \dfrac{n!}{(n-k)!k!}p^k(1-p)^{n-k}
p(X=2) = \dfrac{20!}{18!2!}0,06^2\times0,94^{18}=0,2246

4. Cette fois,X suit une loi de Bernouilli de paramètres n et p=0,06.
p_n=p(X\ge 1)=1-p(X=0)=1-0,94^n
p_n\ge 0,99 \Longleftrightarrow 1-0,94^n\ge 0,99 \Longleftrightarrow 0,94^n\le 0,01 \Longleftrightarrow n\ln(0,94)\le \ln(0,01) \Longleftrightarrow n\ge \dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,94)}=74,4
La plus petite valeur de n telle que p_n\ge 0,99 est donc 75.
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