Fiche de mathématiques
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Baccalauréat Général
Série Scientifique
Polynésie Française - Session Septembre 2008

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Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7


Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats.
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le candidat doit traiter les quatre exercices.
Il est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
4 points

exercice 1

On rappelle que la probabilité d'un évènement A sachant que l'évènement B est réalisé se note p_n{(A)}.

Une urne contient au départ 30 boules blanches et 10 boules noires indiscernables au toucher.

On tire au hasard une boule de l'urne :
    si la boule tirée est blanche, on la remet dans l'urne et on ajoute n boules blanches supplémentaires.
    si la boule tirée est noire, on la remet dans l'urne et on ajoute n boules noires supplémentaires.
On tire ensuite au hasard une seconde boule de l'urne.

On note :
    B_{1} l'évènement : « on obtient une boule blanche au premier tirage »
    B_{2} l'évènement : « on obtient une boule blanche au second tirage »
    A l'évènement : « les deux boules tirées sont de couleurs différentes ».

1. Dans cette question, on prend n = 10.
    a) Calculer la probabilité p\left(B_{1} \cap B_{2}\right) et montrer que p\left(B_{2}\right) = \dfrac{3}{4}.
    b) Calculer p_{B_{2}}\left(B_{1}\right).
    c) Montrer que p(A) = \dfrac{3}{10}.

2. On prend toujours n = 10.
Huit joueurs réalisent l'épreuve décrite précédemment de manière identique et indépendante.
On appelle X la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre de réalisations de l'évènement A.
    a) Déterminer p(X =  3). (On donnera la réponse à 10-2 près).
    b) Déterminer l'espérance mathématique de la variable aléatoire X.

3. Dans cette question n est un entier supérieur ou égal à 1.
Existe-t-il une valeur de n pour laquelle p(A) = \dfrac{1}{4}.


5 points

exercice 2

On donne la propriété suivante :
   « par un point de l'espace il passe un plan et un seul orthogonal à une droite donnée »


Sur la figure ci-dessous, on a représenté le cube ABCDEFGH d'arête 1.
sujet du bac scientifique, obligatoire, Polynésie Française Septembre 2008 - terminale : image 1

On a placé :
    les points I et J tels que \overrightarrow{\text{BI}}= \dfrac{2}{3}\overrightarrow{\text{BC}} et \overrightarrow{\text{EJ}}= \dfrac{2}{3}\overrightarrow{\text{EH}}.
    le milieu K de [IJ].
On appelle P le projeté orthogonal de G sur le plan (FIJ).

Partie A

1. Démontrer que le triangle FIJ est isocèle en F.
En déduire que les droites (FK) et (IJ) sont orthogonales.
On admet que les droites (GK) et (IJ) sont orthogonales.

2. Démontrer que la droite (IJ) est orthogonale au plan (FGK).

3. Démontrer que la droite (IJ) est orthogonale au plan (FGP).

4. a) Montrer que les points F, G, K et P sont coplanaires.
    b) En déduire que les points F, P et K sont alignés.

Partie B

L'espace est rapporte au repère orthorionnal \left(\text{A}~;~\overrightarrow{\text{AB}},~\overrightarrow{\text{AD}},~\overrightarrow{\text{AE}}  \right).
On appelle N le point d'intersection de la droite (GP) et du plan (ADB).
On note (x~;~ y~;~ 0) les coordonnées du point N.

1. Donner les coordonnées des points F, G, I et J.

2. a) Montrer que la droite (GN) est orthogonale aux droites (FI) et (FJ).
    b) Exprimer les produits scalaires \overrightarrow{\text{G}N} \cdot \overrightarrow{\text{FI}} et \overrightarrow{\text{G}N} \cdot \overrightarrow{\text{FJ}} en fonction de x et y.
    c) Déterminer les coordonnées du point N.

3. Placer alors le point P sur la figure.


5 points

exercice 3

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

On considère l'ensemble (E) des suites \left(x_{n}\right) définies sur \mathbb{N} et vérifiant la relation suivante : pour tout entier naturel n non nul, x_{n+1} - x_{n} = 0,24x_{n-1}.

1. On considère un réel \lambda non nul et on définit sur \mathbb{N} la suite \left(t_{n}\right) par t_{n} = \lambda^n.
Démontrer que la suite \left(t_{n}\right) appartient à l'ensemble (E) si et seulement si \lambda est solution de l'équation \lambda^2 - \lambda - 0,24 = 0.
En déduire les suites \left(t_{n}\right) appartenant à l'ensemble (E).

On admet que (E) est l'ensemble des suites \left(u_{n}\right) définies sur \mathbb{N} par une relation de la forme u_{n} = \alpha(1,2)^n + \beta(-0,2)^n \quad\alpha et \beta sont deux réels.

2. On considère une suite \left(u_{n}\right) de l'ensemble (E).
Déterminer les valeurs de \alpha et \beta telles que u_{0} = 6 et u_{1} =  6,6.
En déduire que, pour tout entier naturel n,~ u_{n} = \dfrac{39}{7}(1,2)^n + \dfrac{3}{7}(-0,2)^n.

3. Determiner \displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_{n}.

Partie B

On considère la suite \left(v_{n}\right) définie sur \mathbb{N} par :
v_{0} =  6 et, pour tout entier naturel n,~v_{n+1} =  1,4v_{n} - 0,05v_{n}^2

1. Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x) = 1,4x - 0,05x^2.
    a) Étudier les variations de la fonction f sur l'intervalle [0 ; 8].
    b) Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 0 \leqslant  v_{n} < v_{n+1} \leqslant  8.

2. En déduire que la suite \left(v_{n}\right) est convergente et déterminer sa limite \ell.


6 points

exercice 4

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x) =  \ln \left(\text{e}^x + 2\text{e}^{-x}\right).
La courbe (\mathcal{C}) représentative de la fonction f dans un repère orthogonal est donnée ci-dessous.
sujet du bac scientifique, obligatoire, Polynésie Française Septembre 2008 - terminale : image 2


Partie A - Étude de fonction f.

1. Montrer que, pour tout réel x,~ f(x) = x + \ln \left(1 + 2\text{e}^{-2x}\right).
On admet que, pour tout réel x,~ f(x) = -x +  \ln \left(2 + \text{e}^{2x}\right).

2. Calculer \displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) et montrer que la droite (d) d'équation y = x est asymptote à (\mathcal{C}).
Étudier la position relative de (\mathcal{C}) et de (d).

3. Calculer \displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) et montrer que la droite (d') d'équation y = -x +  \ln 2 est asymptote à (\mathcal{C}).

4. Étudier les variations de la fonction f.
Montrer que le minimum de la fonction f est égal à \dfrac{3}{2}\ln 2.

5. Tracer les droites (d) et (d') sur la feuille annexe.

Partie B - Encadrement d'une intégrale.

On pose I =  \displaystyle\int_{2 }^3 [f(x) - x]\:\text{d}x.

1. Donner une interprétation géométrique de I.

2. Montrer que, pour tout X \in [0~; ~+\infty[,~ \ln(1  + X) \leqslant  X.

3. En déduire que 0 \leqslant I \leqslant \displaystyle\int_{2 }^3  2\text{e}^{-2x}\:\text{d}x et donner un encadrement de I d'amplitude 0,02.



exercice 1

Un arbre pour illustrer le problème :
sujet du bac scientifique, obligatoire, Polynésie Française Septembre 2008 - terminale : image 5

1. a) Au premier tirage, l'urne contient 40 boules dont 30 boules blanches, donc p(B_1) = \dfrac{30}{40} = 0,75
On tire une boule blanche, donc on la remet dans l'urne et on ajoute 10 boules blanches
l'urne contient alors 50 boules dont 40 boules blanches, donc p_{B_1}(B_2)=\dfrac{40}{50}=0,80
donc p(B_1\cap B_2)=p(B_1)p_{B_1}(B_2)=0,75 \times 0,80=0,60

De même, si on avait tiré une boule noire au premier tirage : p(N_1)=1-p(B_1)=0,25
On aurait ajouté 10 boules noires, donc l'urne contiendrait avant le second tirage 50 boules dont 30 blanches donc p_{N_1}(B_2)=\dfrac{30}{50}=0,60
Donc p(N_1\cap B_2)=p(N_1)p_{N_1}(B_2)=0,25 \times 0,60=0,15

Donc p(B_2)=p(B_1\cap B2)+p(N_1\cap B_2)=0,60+0,15=0,75

1. b) p_{B_2}(B_1) = \dfrac{p(B_1\cap B_2)}{p(B_2)} = \dfrac{0,60}{0,75}=0,80

1. c) p(A)=p(B_1\cap N_2)+p(N_1\cap B_2)
Or p(B_1\cap N_2)=p(B_1)p_{B_1}(N_2)=p(B_1)[1-p_{B_1}(B_2)]=0,75\times(1-0,80)=0,15 et p(N_1\cap B_2)=0,15
Donc p(A)=0,15+0,15=0,30 = \dfrac{3}{10}

2. a) Il s'agit d'une expérience de Bernouilli de paramètres n = 8 et p = 0,30.
Alors X suit une loi de Bernouilli de paramètres n et p : pour tout entier k entre 0 et n, on a p(X=k)=\dfrac{n!}{(n-k)!k!}p^k(1-p)^{n-k}
Donc p(X=3)=\dfrac{8!}{5!3!}0,3^3 0,7^5=0,25 (arrondi à 10-2 près)

2. b) L'espérance mathématique d'une variable aléatoire qui suit une loi de Bernouilli est donnée par E(X) = np
donc E(X)=8\times0,3=2,4

3. On réitère le même raisonnement, en fonction de n.
L'arbre correspondant est :
sujet du bac scientifique, obligatoire, Polynésie Française Septembre 2008 - terminale : image 6

p(B_1) = \dfrac{3}{4} (ça ne change pas) et alors p_{B_1}(N_2) = \dfrac{10}{40+n} donc p(B_1\cap N_2) = \dfrac{30}{4(40+n)} = \dfrac{15}{2(40+n)}
p(N_1) = \dfrac{1}{4} et alors p_{N_1}(B_2)=\dfrac{30}{40+n} donc p(N_1\cap B_2) = \dfrac{30}{4(40+n)} = \dfrac{15}{2(40+n)}
Donc p(A)=p(B_1\cap N_2)+p(N_1\cap B_2)=\dfrac{15}{40+n}
On cherche n tel que p(A)=\dfrac{1}{4}
Donc \dfrac{15}{40+n}=\dfrac{1}{4} donc 40+n=60 donc n=20
Conclusion, pour n=20, on obtient p(A)=\dfrac{1}{4}



exercice 2

Partie A

1. Les triangles FBI et FEJ sont superposables, avec (FE) et (EJ) perpendiculaires et (FB) et(BI) perpendiculaires, FB = FE = 1 et BI = EJ = \dfrac{2}{3} donc FI = FJ.
Donc FIJ est isocèle en F.

FIJ isocèle en F et K milieu de [IJ] donc F et K appartiennent à la médiatrice de [IJ].
Donc (FK) est la médiatrice de [IJ] donc (FK) et (IJ) sont orthogonales.

Le même raisonnement permettrait de prouver que (GK) et (IJ) sont orthogonales.

2. (IJ) est orthogonale à (FK) et (GK) et (FK) et (GK) sont sécantes,
donc (FG) et (GK) forment le plan (FGK) et (IJ) est orthogonale au plan (FGK).

3. P projeté orthogonal de G sur (FIJ) donc (GP) est orthogonale à (FIJ) donc à toute droite du plan, en (IJ).
Or (IJ) est orthogonale à (FGK) donc orthogonale à toute droite du plan (FGK), en particulier (FG).
Donc on a : (IJ) orthogonale à (GP) et à (FG) donc (IJ) orthogonale au plan (FGP)

4. a) (IJ) ortohogonale aux plans (FGK) et (FGP).
Or F appartient aux deux plans et par un point donné de l'espace, il passe un plan et un seul orthogonal à une droite donnée, ici (IJ).
Donc (FGK) = (FGP) donc les points F, G, K et P sont coplanaires.

4. b) F, K et P sont coplanaires, appartenant au plan (FGK).
Or F, K et P appartient au plan (FIJ) puisque K milieu de [IJ] et P projeté orthogonal de G sur (FIJ).
Donc F,K et P appartiennent à l'intersection des plans (FGK) et (FIJ).
Or I appartient au plan (FIJ) mais pas au plan (FGK), donc les 2 plans ne sont pas confondus.
Donc l'intersection des 2 plans est une droite.
Donc F, K et P sont alignés sur cette droite d'intersection.

Partie B

1. Les coordonnées de F sont (1;0;1).
Les coordonnées de G sont (1;1;1).
\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BI} = \overrightarrow{AB} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AD} donc les coordonnées de I sont \left(1 ; \dfrac{2}{3} ; 0 \right).
\overrightarrow{AJ} = \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{EJ} = \overrightarrow{AE} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow{EH} = \overrightarrow{AE} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AD} donc les coordonnées de J sont \left(0 ; \dfrac{2}{3} ; 1 \right).

2. a) N appartient à la droite (GP) donc (GN) = (GP).
Or P est le projeté orthogonal de G sur le plan (FIJ) donc (GP) est orthogonale à toutes les droites du plan (FIJ), en particulier (FI) et (FJ).
Donc (GN) est orthogonale aux droites (FI) et (FJ).

2. b) Les coordonnées de \overrightarrow{GN} sont (x-1 ; y-1 ; -1) et les coordonnées de \overrightarrow{FI} sont \left(0 ; \dfrac{2}{3} ; -1 \right)
Donc \overrightarrow{GN} \cdot \overrightarrow{FI} = \dfrac{2}{3}(y-1)+1
Les coordonnées de \overrightarrow{FJ} sont \left(-1 ; \dfrac{2}{3} ; 0 \right)
Donc \overrightarrow{GN} \cdot \overrightarrow{FJ} = -(x-1) + \dfrac{2}{3}(y-1)

2. c) (GN) est orthogonale à (FI) donc \overrightarrow{GN} \cdot \overrightarrow{FI} = 0 donc \dfrac{2}{3}(y-1)+1=0 donc y=-\dfrac{3}{2}+1=-\dfrac{1}{2}
(GN) est orthogonale à (FJ) donc \vec{GN}.\vec{FJ}=0 donc -(x-1)+\frac{2}{3}(y-1)=0 donc -(x-1)-1=0 donc x=0
Donc les coordonnées de N sont \left(0 ; -\dfrac{1}{2} ; 0 \right).

3.
sujet du bac scientifique, obligatoire, Polynésie Française Septembre 2008 - terminale : image 7





exercice 3

Partie A

1. Pour tout entier n non nul, on a :
(t_n) \in (E) \Longleftrightarrow t_{n+1}-t_n=0,24t_{n-1} \Longleftrightarrow \lambda^{n+1}-\lambda^n=0,24\lambda^n \Longleftrightarrow \lambda^2-\lambda=0,24 \Longleftrightarrow \lambda^2-\lambda-0,24=0.

On détermine les racines du polynôme P(x)=x^2-x-0,24
\Delta=1-4\times(-0,24)=1+0,96=1,96=1,4^2>0
donc P admet 2 racines : x_1=\dfrac{1-1,4}{2}=-0,2 et x_2=\dfrac{1+1,4}{2}=1,2

Donc les seules suites (t_n) appartenant à (E) sont les suites définies par : t_n=-0,2^n et t_n=1,2^n
NB : on remarquera que les suites dont il est admis qu'elles sont les solutions de (E) sont des combinaisons linéaires des deux suites ainsi trouvées.

2. \begin{cases} u_0=6  \\ u_1=6,6 \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases}  \alpha+\beta=6  \\  1,2\alpha-0,2\beta=6,6 \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases}  \alpha+\beta=6  \\  1,4\beta=6\times1,2-6,6 \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases}  \alpha+\beta=6  \\  \beta=\dfrac{0,6}{1,4} \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases}  \alpha=6-\beta \\  \beta=\dfrac{3}{7} \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases}  \alpha=\dfrac{39}{7} \\  \beta=\dfrac{3}{7} \end{cases}
Alors (u_n) s'écrit u_n=\dfrac{39}{7}(1,2)^n+\dfrac{3}{7}(-0,2)^n

3. \displaystyle \lim_{n\to+\infty}(-0,2)^n=0 et \displaystyle \lim_{n\to+\infty}1,2^n=+\infty donc \displaystyle \lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty

Partie B

1. a) f est définie et dérivable sur \mathbb{R} et sa dérivée vaut :
f'(x)=1,4-0,1x
donc f'(x)>0 \Longleftrightarrow 1,4-0,1x>0 \Longleftrightarrow x<14
f est croissante sur ]-\infty ; 14[ et décroissante sur ]14;+\infty[
donc f est croissante sur [0 ; 8]

1. b) Démonstration par récurrence :
Initialisation : v_0=6 donc v_1=f(v_0)=1,4\times6-0,05\times6^2=6,6, on a donc bien 0\le v_n< v_{n+1} \le 8 pour n=0
Hérédité : on suppose le résultat vraie pour un certain rang n, alors 0\le v_n< v_{n+1}\le 8
Or f est croissante sur [0 ; 8] donc f(0)\le f(v_n)<f(v_{n+1})\le f(8)
avec f(0)=1,4\times0-0,05\times0^2=0, f(v_n)=v_{n+1}, f(v_{n+1})=v_{n+2} et f(8)=1,4\times8-0,05\times8^2=8
donc 0\le v_{n+1}<v_{n+2}\le 8. La propriété est héréditaire.
la propriété est vraie au rang 0 et héréditaire, elle est donc vraie pour tout n.

2. (v_n) est donc croissante et majorée, elle est donc convergente et sa limite \ell vérifie f(\ell)= \ell
1,4 \ell - 0,05 \ell^2 = \ell\\ 1,4 - 0,05 \ell = 1 \\ \ell = \dfrac{1,4-1}{0,05}=8




exercice 4

Partie A

1. Pour tout réel x, on a :
f(x)=\ln(e^x+2e^{-x})=\ln[e^x(1+2e^{-2x})]=\ln(e^x)+\ln(1+2e^{-2x})=x+\ln(1+2e^{-2x})

2. \displaystyle \lim_{x\to+ \infty}e^{-2x} = \lim_{X\to- \infty}e^X=0 donc \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\ln(1+e^{-2x})=\ln(1)=0
et donc \displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+infty}x+\ln(1+e^{-2x})=+\infty+0=+\infty

\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)-x=\lim_{x\to+\infty}\ln(1+2e^{-2x})=0 donc la droite d'équation y=x est asymptote à (C) au voisinage de +\infty.

f(x)-x=\ln(1+2e^{-2x}) or une exponentielle est toujours strictement positive
donc 1+2e^{-2x}>1 or la fonction ln est strictement croissante donc \ln(1+2e^{-2x})>\ln(1)
donc f(x)-x>0 donc f(x)>x donc la courbe (C) est au-dessus de la droite d'équation y=x

3. f(x)=-x+\ln(2+e^{2x})
\displaystyle \lim_{x\to-\infty}e^{2x}=0 donc \displaystyle \lim_{x\to-\infty}2+e^{2x}=2 donc \displaystyle \lim_{x\to-\infty}\ln(2+e^{2x})=\ln(2)
donc \displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}-x+\ln(2+e^{2x})=+\infty+\ln(2)=+\infty

\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)-(-x+\ln2)=\lim_{x\to -\infty}\ln(2+e^{2x})-\ln2=\ln2-\ln2=0 donc la droite d'équation y=-x+\ln2 est asymptote à la courbe (C) au voisinage de -\infty.

4. f est dérivable sur \mathbb{R} et sa dérivée vaut :
f'(x)=\dfrac{e^x-2e^{-x}}{e^x+2e^{-x}} du signe de son numérateur.
e^x-2e^{-x}>0 \Longleftrightarrow e^x>2e^{-x}  \Longleftrightarrow x>\ln2-x \Longleftrightarrow x>\dfrac{\ln2}{2}
donc f est strictement croissante sur \left[ \dfrac{\ln2}{2} ; +\infty \right[ et strictement décroissante sur \left]-\infty ; \dfrac{\ln2}{2} \right].

f admet donc un minimum pour x=\dfrac{\ln2}{2} et ce miminum vaut :
f \left( \dfrac{\ln2}{2} \right) = -\dfrac{\ln2}{2}+\ln(2+e^{\ln2}) = -\dfrac{\ln2}{2}+2\ln2 = \dfrac{3}{2}\ln2

5.
sujet du bac scientifique, obligatoire, Polynésie Française Septembre 2008 - terminale : image 4


Partie B

1. I est l'aire (en unités d'aire) du domaine délimité par la droite (d), la courbe (C) et les droites verticales d'équation x=2 et x=3.

2. Pour tout X\in[0;+\infty[, on définie g(X)=\ln(1+X)-X
g est dérivable sur [0;+\infty[ et sa dérivée vaut g'(X)=\dfrac{1}{1+X}-1=\dfrac{1-1-X}{1+X}=\dfrac{-X}{1+X}<0
donc g est décroissante sur [0;+\infty[
Or g(0)=\ln(1+0)-0=0 donc pour tout X\in[0;+\infty[, g(X)\le 0
Donc pour tout X\in[0;+\infty[, \ln(1+X)\le X

3. f(x)-x=\ln(1+2e^{-2x}) donc en posant X=2e^{-2x} et en utilisant l'inégalité démontrée en 2., on en déduit que : f(x)-x\le 2e^{-2x}
D'autre part, \ln(1+2^{-2x})\ge \ln(1)=0
Donc 0\le f(x)-x \le 2e^{-2x} et par linéarité de l'intégrale : 0\le I\le \displaystyle \int_2^32e^{-2x}dx

Or \displaystyle \int_2^32e^{-2x}dx=[-e^{-2x}]_2^3=-e^{-6}+e^{-4}=0,01583
donc 0\le I\le 0,01583 \le 0,02
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Aurelien_
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