Baccalauréat Général
Série Scientifique
Polynésie Française - Session Septembre 2008
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Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats.
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le candidat doit traiter les quatre exercices.
Il est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
4 points
exercice 1
On rappelle que la probabilité d'un évènement sachant que l'évènement est réalisé se note .
Une urne contient au départ 30 boules blanches et 10 boules noires indiscernables au toucher.
On tire au hasard une boule de l'urne :
si la boule tirée est blanche, on la remet dans l'urne et on ajoute boules blanches supplémentaires.
si la boule tirée est noire, on la remet dans l'urne et on ajoute boules noires supplémentaires.
On tire ensuite au hasard une seconde boule de l'urne.
On note :
l'évènement : « on obtient une boule blanche au premier tirage »
l'évènement : « on obtient une boule blanche au second tirage »
l'évènement : « les deux boules tirées sont de couleurs différentes ».
1. Dans cette question, on prend .
a) Calculer la probabilité et montrer que .
b) Calculer .
c) Montrer que .
2. On prend toujours .
Huit joueurs réalisent l'épreuve décrite précédemment de manière identique et indépendante.
On appelle la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre de réalisations de l'évènement .
a) Déterminer . (On donnera la réponse à 10-2 près).
b) Déterminer l'espérance mathématique de la variable aléatoire .
3. Dans cette question est un entier supérieur ou égal à .
Existe-t-il une valeur de pour laquelle .
5 points
exercice 2
On donne la propriété suivante :
« par un point de l'espace il passe un plan et un seul orthogonal à une droite donnée »
Sur la figure ci-dessous, on a représenté le cube ABCDEFGH d'arête 1.
On a placé :
les points I et J tels que et .
le milieu K de [IJ].
On appelle P le projeté orthogonal de G sur le plan (FIJ).
Partie A
1. Démontrer que le triangle FIJ est isocèle en F.
En déduire que les droites (FK) et (IJ) sont orthogonales.
On admet que les droites (GK) et (IJ) sont orthogonales.
2. Démontrer que la droite (IJ) est orthogonale au plan (FGK).
3. Démontrer que la droite (IJ) est orthogonale au plan (FGP).
4. a) Montrer que les points F, G, K et P sont coplanaires.
b) En déduire que les points F, P et K sont alignés.
Partie B
L'espace est rapporte au repère orthorionnal .
On appelle le point d'intersection de la droite (GP) et du plan (ADB).
On note les coordonnées du point .
1. Donner les coordonnées des points F, G, I et J.
2. a) Montrer que la droite (G) est orthogonale aux droites (FI) et (FJ).
b) Exprimer les produits scalaires et en fonction de et .
c) Déterminer les coordonnées du point .
3. Placer alors le point P sur la figure.
5 points
exercice 3
Les parties A et B sont indépendantes.
Partie A
On considère l'ensemble (E) des suites définies sur et vérifiant la relation suivante : pour tout entier naturel non nul, .
1. On considère un réel non nul et on définit sur la suite par .
Démontrer que la suite appartient à l'ensemble (E) si et seulement si est solution de l'équation .
En déduire les suites appartenant à l'ensemble (E).
On admet que (E) est l'ensemble des suites définies sur par une relation de la forme où et sont deux réels.
2. On considère une suite de l'ensemble (E).
Déterminer les valeurs de et telles que et .
En déduire que, pour tout entier naturel .
3. Determiner .
Partie B
On considère la suite définie sur par :
et, pour tout entier naturel
1. Soit la fonction définie sur par .
a) Étudier les variations de la fonction sur l'intervalle [0 ; 8].
b) Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel .
2. En déduire que la suite est convergente et déterminer sa limite .
6 points
exercice 4
On considère la fonction définie sur par .
La courbe représentative de la fonction dans un repère orthogonal est donnée ci-dessous.
Partie A - Étude de fonction .
1. Montrer que, pour tout réel .
On admet que, pour tout réel .
2. Calculer et montrer que la droite (d) d'équation est asymptote à .
Étudier la position relative de et de (d).
3. Calculer et montrer que la droite (d) d'équation est asymptote à .
4. Étudier les variations de la fonction .
Montrer que le minimum de la fonction est égal à .
5. Tracer les droites (d) et (d) sur la feuille annexe.
Partie B - Encadrement d'une intégrale.
On pose .
1. Donner une interprétation géométrique de .
2. Montrer que, pour tout .
3. En déduire que et donner un encadrement de d'amplitude 0,02.
1. a) Au premier tirage, l'urne contient 40 boules dont 30 boules blanches, donc On tire une boule blanche, donc on la remet dans l'urne et on ajoute 10 boules blanches
l'urne contient alors 50 boules dont 40 boules blanches, donc donc
De même, si on avait tiré une boule noire au premier tirage : On aurait ajouté 10 boules noires, donc l'urne contiendrait avant le second tirage 50 boules dont 30 blanches donc Donc
Donc
1. b)
1. c) Or et Donc
2. a) Il s'agit d'une expérience de Bernouilli de paramètres n = 8 et p = 0,30.
Alors X suit une loi de Bernouilli de paramètres n et p : pour tout entier k entre 0 et n, on a Donc (arrondi à 10-2 près)
2. b) L'espérance mathématique d'une variable aléatoire qui suit une loi de Bernouilli est donnée par E(X) = np
donc
3. On réitère le même raisonnement, en fonction de n.
L'arbre correspondant est :
(ça ne change pas) et alors donc et alors donc Donc On cherche n tel que Donc donc donc Conclusion, pour n=20, on obtient
exercice 2
Partie A
1. Les triangles FBI et FEJ sont superposables, avec (FE) et (EJ) perpendiculaires et (FB) et(BI) perpendiculaires, FB = FE = 1 et donc FI = FJ.
Donc FIJ est isocèle en F.
FIJ isocèle en F et K milieu de [IJ] donc F et K appartiennent à la médiatrice de [IJ].
Donc (FK) est la médiatrice de [IJ] donc (FK) et (IJ) sont orthogonales.
Le même raisonnement permettrait de prouver que (GK) et (IJ) sont orthogonales.
2. (IJ) est orthogonale à (FK) et (GK) et (FK) et (GK) sont sécantes,
donc (FG) et (GK) forment le plan (FGK) et (IJ) est orthogonale au plan (FGK).
3. P projeté orthogonal de G sur (FIJ) donc (GP) est orthogonale à (FIJ) donc à toute droite du plan, en (IJ).
Or (IJ) est orthogonale à (FGK) donc orthogonale à toute droite du plan (FGK), en particulier (FG).
Donc on a : (IJ) orthogonale à (GP) et à (FG) donc (IJ) orthogonale au plan (FGP)
4. a) (IJ) ortohogonale aux plans (FGK) et (FGP).
Or F appartient aux deux plans et par un point donné de l'espace, il passe un plan et un seul orthogonal à une droite donnée, ici (IJ).
Donc (FGK) = (FGP) donc les points F, G, K et P sont coplanaires.
4. b) F, K et P sont coplanaires, appartenant au plan (FGK).
Or F, K et P appartient au plan (FIJ) puisque K milieu de [IJ] et P projeté orthogonal de G sur (FIJ).
Donc F,K et P appartiennent à l'intersection des plans (FGK) et (FIJ).
Or I appartient au plan (FIJ) mais pas au plan (FGK), donc les 2 plans ne sont pas confondus.
Donc l'intersection des 2 plans est une droite.
Donc F, K et P sont alignés sur cette droite d'intersection.
Partie B
1. Les coordonnées de F sont (1;0;1).
Les coordonnées de G sont (1;1;1).
donc les coordonnées de I sont .
donc les coordonnées de J sont .
2. a) N appartient à la droite (GP) donc (GN) = (GP).
Or P est le projeté orthogonal de G sur le plan (FIJ) donc (GP) est orthogonale à toutes les droites du plan (FIJ), en particulier (FI) et (FJ).
Donc (GN) est orthogonale aux droites (FI) et (FJ).
2. b) Les coordonnées de sont et les coordonnées de sont Donc Les coordonnées de sont Donc
2. c) (GN) est orthogonale à (FI) donc donc donc (GN) est orthogonale à (FJ) donc donc donc donc Donc les coordonnées de N sont .
3.
exercice 3
Partie A
1. Pour tout entier non nul, on a :
.
On détermine les racines du polynôme donc P admet 2 racines : et
Donc les seules suites appartenant à (E) sont les suites définies par : et NB : on remarquera que les suites dont il est admis qu'elles sont les solutions de (E) sont des combinaisons linéaires des deux suites ainsi trouvées.
2. Alors s'écrit
3. et donc
Partie B
1. a) est définie et dérivable sur et sa dérivée vaut :
donc est croissante sur et décroissante sur donc est croissante sur [0 ; 8]
1. b) Démonstration par récurrence :
Initialisation : donc , on a donc bien pour Hérédité : on suppose le résultat vraie pour un certain rang , alors Or est croissante sur [0 ; 8] donc avec , , et donc . La propriété est héréditaire.
la propriété est vraie au rang 0 et héréditaire, elle est donc vraie pour tout .
2. est donc croissante et majorée, elle est donc convergente et sa limite vérifie
exercice 4
Partie A
1. Pour tout réel , on a :
2. donc et donc
donc la droite d'équation est asymptote à au voisinage de .
or une exponentielle est toujours strictement positive
donc or la fonction ln est strictement croissante donc donc donc donc la courbe est au-dessus de la droite d'équation
3. donc donc donc
donc la droite d'équation est asymptote à la courbe au voisinage de .
4. est dérivable sur et sa dérivée vaut :
du signe de son numérateur.
donc est strictement croissante sur et strictement décroissante sur .
admet donc un minimum pour et ce miminum vaut :
5.
Partie B
1. est l'aire (en unités d'aire) du domaine délimité par la droite , la courbe et les droites verticales d'équation et
2. Pour tout , on définie est dérivable sur et sa dérivée vaut donc est décroissante sur Or donc pour tout , Donc pour tout ,
3. donc en posant et en utilisant l'inégalité démontrée en 2., on en déduit que : D'autre part, Donc et par linéarité de l'intégrale :
Or donc
Publié par TP/Aurélien
le
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