Fiche de mathématiques

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Bac Scientifique
Nouvelle Calédonie - Session 2008

Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9

L'usage des calculatrices est autorisé selon les termes de la z=circulaire n°99-186 du 16 novembre 1999.
Le candidat doit traiter les quatre exercices.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

3 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ on considère les points :
$\begin{array}{l p{1cm} l} \text{A} (3~;~-2~;~1)&& \text{B}(5~;~2~;~-3)\\ \text{C} (6~;~-2~;~-2)&& \text{D}(4~;~3~;~2) \end{array}$
1. Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés, puis que le triangle ABC est isocèle et rectangle.
2. a) Montrer que le vecteur $\vec{n}(2~ ;~ 1~; ~2)$ est un vecteur normal au plan (ABC).
b) En déduire une équation du plan (ABC).
c) Montrer que la distance du point D au plan (ABC) est égale à 3.
3. Calculer le volume du tétraèdre ABCD en unités de volume.

5 points

exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal $(O,\vec{u},\vec{v})$ .
1. On considère les points A, B et C d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 2 + 2\text{i},~ z_{\text{B}} = 2\text{i}$ et $z_{\text{C}} = 2$ ainsi que le cercle $\Gamma$ de centre A et de rayon 2.
La droite (OA) coupe le cercle $\Gamma$ en deux points H et K tels que OH < OK. On note $z_{\text{H}}$ et $z_{\text{K}}$ les affixes respectives des points H et K.
    a) Faire une figure en prenant 1 cm comme unité graphique.
    b) Calculer la longueur OA. En déduire les longueurs OK et OH.
    c) Justifier, à l'aide des notions de module et d'argument d'un nombre complexe, que :     $z_{\text{K}} = \left(2\sqrt{2}+2\right)\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}} \quad z_{\text{H}} = \left(2\sqrt{2}- 2\right)\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}.$
Dans toute la suite, on considère l'application $f$ du plan qui à tout point $M$ d'affixe $z \neq 0$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que : $z' = \dfrac{-4}{z}.$

2. a) Déterminer et placer les points images de B et C par $f$ .
    b) On dit qu'un point est invariant par $f$ s'il est confondu avec son image.
Déterminer les points invariants par $f$ .

3. a) Montrer que pour tout point $M$ distinct de O, on a : $\text{O}M \times \text{O}M' = 4.$
    b) Déterminer arg $\left(z'\right)$ en fonction de arg $(z)$ .

4. Soient K' et H' les images respectives de K et H par $f$ .
    a) Calculer OK' et OH'.
    b) Démontrer que $z_{\text{K}'} = \left(2\sqrt{2} - 2\right)\text{e}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}}$ et $z_{\text{H}'} = \left(2\sqrt{2} + 2\right)\text{e}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}}$ .
    c) Expliquer comment construire les points K' et H' en utilisant uniquement la règle et le compas à partir des points K et H. Réaliser la construction.

5 points

exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct $\left(\text{O}~;~\overrightarrow{\text{OI}}~;~\overrightarrow{\text{OJ}}\right)$ . On considère les points A et B d'affixes respectives $z_{\text{A}}= 2$ et $z_{\text{B}} = \dfrac{3}{2} + \text{i}$ .
On considère les points M, N et P tels que les triangles AMB, BNO et OPA soient des triangles rectangles isocèles de sens direct comme le montre la figure ci-dessous.

sujet du bac scientifique, obligatoire et spécialité, Nouvelle Calédonie 2008 - terminale : image 1

On note $s_{1}$ la similitude directe de centre A qui transforme M en B
On note $s_{2}$ la similitude directe de centre O qui transforme B en N.
On considère la transformation $r = s_{2} \circ s_{1}$ .
Le but de l'exercice est de démontrer de deux façons différentes que les droites (OM) et (PN) sont perpendiculaires.

1. À l'aide des transformations
    a) Donner l'angle et le rapport de $s_{1}$ et de $s_{2}$ .
    b) Déterminer l'image du point M puis celle du point I par la transformation $r$ .
    c) Justifier que $r$ est une rotation d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ dont on précisera le centre.
    d) Quelle est l'image du point O par $r$ ?
    e) En déduire que les droites (OM) et (PN) sont perpendiculaires.

2. En utilisant les nombres complexes
    a) Donner les écritures complexes de $s_{1}$ et $s_{2}$ . On utilisera les résultats de la question 1. a).
    b) En déduire les affixes $z_{\text{M}}$ et $z_{\text{N}}$ des points M et N.
    c) Donner, sans justification, l'affixe $z_{\text{P}}$ du point P puis démontrer que les droites (OM) et (PN) sont perpendiculaires.

4 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

Un joueur lance une bille qui part de A puis emprunte obligatoirement une des branches indiquées sur l'arbre ci-dessous pour arriver à l'un des points D, E, F et G.

sujet du bac scientifique, obligatoire et spécialité, Nouvelle Calédonie 2008 - terminale : image 2

On a marqué sur chaque branche de l'arbre la probabilité pour que la bille l'emprunte après être passé par un noeud.
Les nombres entre parenthèses indiquent les points gagnés par le joueur lors du passage de la bille. On note X la variable aléatoire qui correspond au nombre total de points gagnés à l'issue d'une partie c'est-à-dire une fois la bille arrivée en D, E, F ou G.

1. Dans cette question, les résultats sont attendus sous forme fractionnaire.
    a) Déterminer la loi de probabilité de X.
    b) Calculer l'espérance de X.
    c) Calculer la probabilité que la bille ait suivi la branche AC sachant que le joueur a obtenu exactement 10 points.

2. Le joueur effectue 8 parties et on suppose que ces huit parties sont indépendantes. On considère qu'une partie est gagnée si le joueur obtient 20 points à cette partie.
    a) Calculer la probabilité qu'il gagne exactement 2 parties. On donnera le résultat arrondi au millième
    b) Calculer la probabilité qu'il gagne au moins une partie. On donnera le résultat arrondi au millième.

5 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

PARTIE A

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~ + \infty[$ par $f(x) = \ln x - 2 + x.$
1. Déterminer les limites de la fonction $f$ en 0 et en $+ \infty$ .
2. Étudier le sens de variation de la fonction $f$ puis dresser son tableau de variations.
3. Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $]0~;~ + \infty[$ .
Donner un encadrement du nombre $\alpha$ à 10^-2 près.

PARTIE B

Le plan est muni d'un repère orthonormal $(O,\vec{i},\vec{j})$ .
On considère sur le graphique ci-dessous, la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $\ln$ , ainsi que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = 2 - x$ . On note E le point d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\mathcal{D}$ .

sujet du bac scientifique, obligatoire et spécialité, Nouvelle Calédonie 2008 - terminale : image 3

On considère l'aire en unités d'aire, notée $\mathcal{A}$ , de la partie du plan située au dessus de l'axe des abscisses et au dessous de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\mathcal{D}$ .
1. Déterminer les coordonnées du point E.

2. Soit $I = \displaystyle \int_{1}^{\alpha} \ln x\:\text{d}x$ .
    a) Donner une interprétation géométrique de $I$ .
    b) Calculer $I$ , en fonction de $\alpha$ , à l'aide d'une intégration par parties.
    c) Montrer que $I$ peut aussi s'écrire $I = - \alpha^2 + \alpha + 1$ sachant que $f(\alpha) = 0$ .

3. Calculer l'aire $\mathcal{A}$ en fonction de $\alpha$ .

3 points

exercice 5 - Commun à tous les candidats

PARTIE A

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par $f(x) = \dfrac{x}{\text{e}^{x} - 1}$ .

1. Restitution organisée de connaissances :
La fonction exponentielle est l'unique fonction $g$ dérivable sur $\mathbb{R}$ vérifiant :
$\left\lbrace{\begin{array}{l c l } g'(x)&=& g(x)\quad \text{pour tout}~ x \in \mathbb{R}.\\ g(0)& =& 1 \end{array}}$
Démontrer que $\displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{\text{e}^{h} - 1}{h} = 1$ .
2. Déterminer la limite de la fonction $f$ en 0.
3. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$ .

PARTIE B

Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie pour $n$ entier supérieur ou égal à 1 par : $u_{n} = \dfrac{1}{n}\left[1 + \text{e}^{\frac{1}{n}} + \text{e}^{\frac{2}{n}} + \cdots + \text{e}^{\frac{n - 1}{n}} \right].$
1. Démontrer que $1 + \text{e}^{\frac{1}{n}} + \text{e}^{\frac{2}{n}} + \cdots + \text{e}^{\frac{n - 1}{n}}= \dfrac{1 - \text{e}}{1 - \text{e}^{\frac{1}{n}}}$ puis en déduire que $u_{n} = (\text{e} - 1) f\left(\dfrac{1}{n}\right)$ .
2. En déduire, en utilisant aussi la PARTIE A, que la suite $\left(u_{n}\right)$ converge vers $\text{e} - 1$ .

Correction

exercice 1 - Commun à tous les candidats

1. Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB} \, \left( \begin{array}{c} 5 - 3 \\ 2 - (-2) \\ -3 - 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ -4 \end{array} \right)$ et les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AC} \, \left( \begin{array}{c} 6 - 3 \\ -2 - (-2) \\ -2 - 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ -3 \end{array} \right)$
donc on ne peut pas trouver de réel $k$ tel que $\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}$
donc les vecteurs ne sont pas colinéaires
donc les points A,B et C ne sont pas alignés.

D'autre part :
$AB^2=4+16+16=36$ , $AC^2=9+0+9=18$ et $BC^2=(6-5)^2+(-2-2)^2+(-2-(-3))^2=1+16+1=18$
donc AC² = BC² donc AC=BC donc ABC est isocèle en C
et AC² + BC² = 18 + 18 = 36 = AB² donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, ABC est rectangle en C.
Conlusion : ABC est isocèle et rectangle en C.

2. a) $\vec{n} \cdot \overrightarrow{AB}=2\times2+1\times4+2\times(-4)=4+4-8=0$ donc les vecteurs $\vec{n}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont orthogonaux,
$\vec{n} \cdot \overrightarrow{AC}=2\times3+1\times0+2\times(-3)=6+0-6=0$ donc les vecteurs $\vec{n}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont orthogonaux,
donc $\vec{n}$ est donc orthogonal à 2 vecteurs non colinéaires du plan (ABC) donc $\vec{n}$ est un vecteur normal du plan (ABC).

2. b) Donc l'équation cartésienne du plan (ABC) est de la forme : $2x+y+2z+d=0$ avec d une constante réelle à déterminer.
$A\in(ABC)$ donc $2\times3+1\times(-2)+2\times1+d=0$ donc $d=-6$
donc l'équation du plan (ABC) est $2x+y+2z-6=0$ .

2. c) La distance du point D au plan (ABC) est donnée par : $\dfrac{|ax_D+by_D+cz_D+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=\dfrac{|2\times4+3+2\times2-6|}{\sqrt{4+1+4}}=\dfrac{8+3+4-6}{3}=\dfrac{9}{3}=3$

3. La volume du tétraèdre est donné par $V(ABCD)=\dfrac{\text{Aire(base)}\times\text{Hauteur}}{3}$
La base du tétraèdre est le triangle ABC, d'aire $\dfrac{AC^2}{2}=9$ puisque ABC est isocèle rectangle en C,
la hauteur du tétraèdre est égale à la distance du point D au plan (ABC) donc h = 3
d'où : $V(ABCD)=\dfrac{9\times3}{3}=9$

exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1.a)

sujet du bac scientifique, obligatoire et spécialité, Nouvelle Calédonie 2008 - terminale : image 4

1. b) $z_A=2+2i$ donc $OA=|z_A|=|2+2i|=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt8=2\sqrt2$
Par construction des points H et K, on a : $OH=OA-r=2\sqrt2-2$ et $OK=OA+r=2\sqrt2+2$

1. c) Par construction, les angles $(\vec{u},\overrightarrow{OA})$ , $(\vec{u},\overrightarrow{OH})$ et $(\vec{u},\overrightarrow{OK})$ sont tous égaux et valent $\dfrac{\pi}{4}$ (puisque A se situe sur la première diagonale)
or ces angles représentent les modules respectifs de $z_A$ , $z_H$ et $z_K$ donc $\arg(z_A)=\arg(z_H)=\arg(z_K)=\dfrac{\pi}{4}$
Les modules des nombres $z_A$ , $z_H$ et $z_K$ correspondent par définition aux normes OA, OH et OK
d'où les écritures complexes de $z_H$ et $z_K$ :
$z_H = OHe^{i\frac{\pi}{4}}=(2\sqrt2-2)e^{i\frac{\pi}{4}}$ et $z_K=OKe^{i\frac{\pi}{4}}=(2\sqrt2+2)e^{i\frac{\pi}{4}}$

2. a) Soit B' l'image de B par $f$ , alors $z_B'=\dfrac{-4}{z_B}=\dfrac{-4}{2i}=2i=z_B$ donc B' = B
Soit C' l'image de C par $f$ , alors $z_C'=\dfrac{-4}{z_C}=\dfrac{-4}{2}=-2$
On place les points B'(= B) et C' sur le graphique de la question 1. a).

2. b) Soit M(z) un point du plan
M invariant par $f \Longleftrightarrow z'=z$ $\Longleftrightarrow \dfrac{-4}{z}=z$ $\Longleftrightarrow z^2=-4 \Longleftrightarrow z=2i \text{ ou } z=-2i$
donc B, ainsi que le point d'affixe -2i sont les deux seuls points invariants par $f$ .

3. a) Soit M(z) un point du plan, distinct de O
alors $OM \times OM'=|z|\times|z'|=|z|\times \left|\dfrac{-4}{z} \right|=\dfrac{4|z|}{|z|}=4$

3. b) $\arg(z')=\arg \left(\dfrac{-4}{z} \right)=\arg(-4)-\arg(z)=-\pi-\arg(z)$

4. a) D'après les résultats de la question 3. a), $OK \times OK' = 4$
donc $OK'=\dfrac{4}{OK} = \dfrac{4}{2\sqrt2+2} = \dfrac{4(2\sqrt2-2)}{(2\sqrt2+2)(2\sqrt2-2)} = \dfrac{4(2\sqrt2-2)}{(2\sqrt2)^2-2^2} = \dfrac{4(2\sqrt2-2)}{4} = 2\sqrt2-2$
et de même $OH \times OH' = 4$ donc
$OH' = \dfrac{4}{OH} = \dfrac{4}{2\sqrt2-2} = \dfrac{4(2\sqrt2+2)}{(2\sqrt2-2)(2\sqrt2+2)} = \dfrac{4(2\sqrt2+2)}{(2\sqrt2)^2-2^2} = \dfrac{4(2\sqrt2+2)}{4} = 2\sqrt2+2$

4. b) D'après les résultats de la question 3. b), $\arg(z_K')=-\pi-\arg(z_K)=-\pi-\dfrac{\pi}{4}=-\dfrac{5\pi}{4}=\dfrac{3\pi}{4}$
et de même $\arg(z_H')=-\pi-\arg(z_H)=-\pi-\dfrac{\pi}{4}=-\dfrac{5\pi}{4}=\dfrac{3\pi}{4}$
donc $z_K'=(2\sqrt2-2)e^{i\frac{3\pi}{4}}$ et $z_H'=(2\sqrt2+2)e^{i\frac{3\pi}{4}}$

4. c) On trace la deuxième demi-diagonale du repère (en vert sur le graphique), elle correspond aux nombres d'argument $\dfrac{3\pi}{4}$ .
Pour déterminer K': on trace (en bleu) le cercle de centre O passant par H (donc de rayon $2\sqrt-2$ ), il coupe cette diagonale en K'.
Pour déterminer H': on trace (en rose) le cercle de centre O passant par K (donc de rayon $2\sqrt+2$ ), il coupe cette diagonale en H'.

exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

1. A l'aide des transformations a) $s_1$ est la similitude de centre A qui transforme M en B, donc :
son rapport vaut $k=\frac{AB}{AM}=\sqrt2$ car AMB est rectangle en M
et son angle vaut $\theta=(\vec{AM},\vec{AB})=\frac{\pi}{4}$ car AMB est de sens direct
$s_2$ est la similitude de centre O qui transforme B en N, donc :
son rapport vaut $k=\frac{ON}{OB}=\frac{1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}$ car BNO est rectangle en M
et son angle vaut $\theta=(\vec{OB},\vec{ON})=\frac{\pi}{4}$ car BNO est de sens direct

b) $r(M)=s_2os_1(M)=s_2[s_1(M)]=s_2(B)=N$
NB: on considère que le point I est le point d'affixe z_I=1 (non donné dans l'énoncé)
Les triangles AMB et AIP sont semblables or $s_1(M)=B$ donc $s_1(I)=P$ ,
les triangles OBN et OPI sont semblables or $s_2(B)=N$ donc $s_1(P)=I$ ,
donc $r(I)=s_2[s_1(I)]=s_2(P)=I$

c) La composée de 2 similitudes directes d'angles $\theta_1$ et $\theta_2$ est une rotation d'angle $\theta_1+\theta_2$ et dont le centre est le seul point invariant
or r est la composée de 2 similitudes directes d'angles $\frac{\pi}{4}$ et I est invariant par r,
donc r est la rotation de centre I et d'angle $2\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}$ .

d) Par construction, l'image de O par r est P.

e) On a donc r(O)=O et r(M)=N donc la droite (ON) est l'image de la droite (ON) par la rotation r d'angle $\frac{\pi}{2}$
donc l'angle formé par les deux droites est droit
(OM) et (ON) sont perpendiculaires.

2. En utilisant les nombres complexes
a) $s_1$ est la similitude directe de centre A, d'angle $\frac{\pi}{4}$ et de rapport $\sqrt2$
donc son écriture complexe est : $z'-2=\sqrt2e^{i\frac{\pi}{4}}(z-2)$
$s_2$ est la similitude directe de centre O, d'angle $\frac{\pi}{4}$ et de rapport $\frac{\sqrt2}{2}$
donc son écriture complexe est : $z'=\rac{\sqrt2}{2}e^{i\frac{\pi}{4}}z$

b) $B=s_1(M)$ donc les affixes $z_B$ et $z_M$ vérifient : $z_B-2=\sqrt2e^{i\frac{\pi}{4}}(z_M-2)$
donc $\frac{3}{2}+i-2=\sqrt2(\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}i)(z_M-2)$
$-\frac{1}{2}+i=(1+i)(z_M-2)$
$-\frac{1}{2}+i=(1+i)z_M-2-2i$
$(1+i)z_M=\frac{3}{2}+3i$
$2z_M=(1-i)(\frac{3}{2}+3i)=\frac{3}{2}+3i-\frac{3}{2}i+3=\frac{9}{2}+\frac{3}{2}i$
$z_M=\frac{9}{4}+\frac{3}{4}i$

$N=s_2(B)$ donc les affixes $z_B$ et $z_N$ vérifient : $z_N=\frac{1}{\sqrt2}e^{i\frac{\pi}{4}}z_B$
donc $z_N=\frac{1}{\sqrt2}(\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}i)(\frac{3}{2}+i)$
$z_N=(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i)(\frac{3}{2}+i)$
$z_N=\frac{3}{4}+\frac{1}{2}i+\frac{3}{4}i-\frac{1}{2}=\frac{1}{4}+\frac{5}{4}i$

c) $z_P=1-i$
$\frac{z_N-z_P}{z_M-z_O}=\frac{\frac{1}{4}+\frac{5}{4}i-1+i}{\frac{9}{4}+\frac{3}{4}i}=\frac{-\frac{3}{4}(1-3i)}{\frac{3}{4}(3+i)}=-\frac{1-3i}{3+i}=-\frac{(1-3i)(3-i)}{10}=-\frac{3-9i-i-3}{10}=-\frac{-10i}{10}=i$
donc $(\vec{OM},\vec{PN})=\arg(\frac{z_N-z_P}{z_M-z_O})=\arg(i)=\frac{\pi}{2}$
donc les droites (OM) et (PN) sont perpendiculaires.

exercice 3 - Commun à tous les candidats

1.a) $p(X=0)=p(B\cap D)=\dfrac{8}{9}\times\dfrac{8}{9}=\dfrac{64}{81}$
$p(X=10)=p(B\cap E)+p(C\cap F)=\dfrac{8}{9}\times\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{9}\times\dfrac{8}{9}=\dfrac{16}{81}$
$p(X=20)=p(C\cap G)=\dfrac{1}{9}\times\dfrac{1}{9}=\dfrac{1}{81}$

b) $E(X)=0\times p(X=10)+10\times p(X=10)+20\times p(X=20)=10\times\dfrac{16}{81}+20\times\dfrac{1}{81}=\dfrac{180}{81}=\dfrac{20}{9}$

c) Le seul moyen d'obtenir 10 points en passant par AC est de parcourir le chemin A-C-F, de probabilité : $\dfrac{1}{9}\times\dfrac{8}{9}=\dfrac{8}{81}$
et la probabilité d'obtenir 10 points a été calculée précédemment : $p(X=10)=\dfrac{16}{81}$
donc la probabilité de passer par ce chemin sachant qu'on a obtenu 10 points est :
$p_{X=10}(AC)=\dfrac{\frac{8}{81}}{\frac{16}{81}}=\dfrac{1}{2}$

2.a) Il s'agit d'une expérience de Bernouilli de paramètres n=8 et $p=\dfrac{1}{81}$ (probabilité du succès = probabilité d'obtenir 20 points, calculée précédemment).
donc X suit une loi de Bernouilli de paramètres n et p : pour tout entier k entre 0 et n, $p(X=k)=\dfrac{n!}{(n-k)!k!}p^k(1-p)^{n-k}$
donc $p(X=2)=\dfrac{8!}{6!2!}$\dfrac{1}{81}$^2$\dfrac{80}{81}$^6=28\times\dfrac{80^6}{81^8}\approx0,004$

b) $p(X\ge1)=1-p(X=0)=1-$\dfrac{80}{81}$^8\approx0,095$

exercice 4 - Commun à tous les candidats

Partie A

1. $\displaystyle\lim_{x\to0}f(x)=\lim_{x\to0}$\ln x-2+x$=-\infty-2+0=-\infty$
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}$\ln x-2+x$=+\infty+2+\infty=+\infty$

2. f est définie et dérivable sur $]0,+\infty[$ et sa dérivée vaut :
$f'(x)=\dfrac{1}{x}+1=\dfrac{1+x}{x}$ du signe de 1+x
$f'(x)>0 \Longleftrightarrow 1+x>0 \Longleftrightarrow x>-1$
donc f est strictement croissante sur $]0,+\infty[$

d'où le tableau de variations :
$\begin{tabular} {c|ccc} x&0&&+\infty \\\hline {f'(x)} &&+&& \\\hline {f(x)} &_{-\infty}&\nearrow&^{+\infty}&\end {tabular}$

c) f est continue et strictement croissante sur $]0,+\infty[$ avec $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$
donc f réaliser une bijection de $]0,+\infty[$ sur $\mathbb{R}$
or $0\in\mathbb{R}$ donc il existe un unique réel $\alpha\in]0,+\infty[$ solution de $f(x)=0$

On détermine $\alpha$ par la méthode des encadrements successifs :
$f(1)=\ln 1-2+1=-1$ donc $\alpha>1$
$f(2)=\ln 2-2+2=\ln 2\approx0,693$ donc $1<\alpha<2$
$f(1,5)=\ln 1,5-2+1,5\approx-0,094$ donc $1,5<\alpha<2$
$f(1,6)=\ln 1,6-2+1,6\approx0,070$ donc $1,5<\alpha<1,6$
$f(1,55)=\ln 1,55-2+1,55\approx-0,012$ donc $1,55<\alpha<1,6$
$f(1,56)=\ln 1,56-2+1,56\approx0,005$ donc $1,55<\alpha<1,56$

Partie B

1. E est le point d'intersection de (C) et (D) donc son abscisse $x_E$ vérifie :
$\ln x_E=2-x_E$ ou encore $\ln x_E-2+x_E=0$ c'est-à-dire $f(x_E)=0$
donc $x_E=\alpha$ et $y_E=2-x_E=2-\alpha$

2.a) I représente l'aire du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe (C) et la droite d'équation $x=\alpha$ (à gauche de cette droite).

b) $I=\displaystyle\int_1^{\alpha}\ln x dx$
on pose $u(x)=\ln x$ , $v'(x)=1$ donc $v(x)=x$ et $u'(x)=\dfrac{1}{x}$
alors, en utilisant la formule d'intégration par parties $\displaystyle\int uv'=[uv]-\int uv'$ , on obtient :
$\displaystyle I=[x\ln x]_1^{\alpha}-\int_1^{\alpha}1 dx=\alpha \ln \alpha-[x]_1^{\alpha}=\alpha\ln \alpha-\alpha+1$

c) Or $f(\alpha)=0$ donc $\ln\alpha-2+\alpha=0$ donc $\ln\alpha=2-\alpha$
donc I s'écrit : $I=\alpha(2-\alpha)-\alpha+1=-\alpha^2+\alpha+1$

3. A se décompose en :
le domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe (C) et la droite d'équation $x=\alpha$ (à gauche de la droite),
dont l'aire est donné par I
le domaine délimité par l'axe des abscisses, la droite (D) et la droite d'aquation $x=\alpha$ (à droite de la droite),
il s'agit d'un triangle rectangle dont les côtés valent $2-\alpha$ et $y_E=2-\alpha$ , donc d'aire $\dfrac{(2-\alpha)^2}{2}$

d'où $A=-\alpha^2+\alpha+1+\dfrac{4-4\alpha+\alpha^2}{2}=-\dfrac{1}{2}\alpha^2-\alpha+3$

exercice 5 - Commun à tous les candidats

Partie A

1. Restitution organisée des connaissances
$g'(0)=g(0)=1$
or par définition la dérivée est la limite du taux d'accroissement $\dfrac{g(h)-g(0)}{h}$
donc $\displaystyle \lim_{h\to0}\frac{e^h-e^0}{h}=\lim_{h\to0}\frac{e^h-1}{h}=g'(0)=1$

2. $\displaystyle f(x)=\frac{x}{e^x-1}=\frac{1}{\frac{e^x-1}{x}}$
donc $\displaystyle \lim_{x\to0}f(x)=\lim_{x\to0}\frac{1}{\frac{e^x-1}{x}}=\frac{1}{1}=1$

3. $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{e^x-1}=\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{e^x}=0$ d'après les croissances comparées de $x$ et $e^x$ .

Partie B

1. On pose $q=e^{\frac{1}{n}}$
alors $\displaystyle 1+e^{\frac{1}{n}}+e^{\frac{2}{n}}+...+e^{\frac{n-1}{n}}=1+q+q^2+...+q^{n-1}=\frac{1-q^n}{1-q}=\frac{1-(e^{\frac{1}{n}})^n}{1-e^{\frac{1}{n}}}=\frac{1-e}{1-e^{\frac{1}{n}}}$

donc $\displaystyle u_n=\frac{1}{n}\times\frac{1-e}{1-e^{\frac{1}{n}}}=(e-1)\frac{\frac{1}{n}}{e^{\frac{1}{n}}-1}=(e-1)f(\frac{1}{n})$

2. Donc $\displaystyle \lim_{n\to+\infty}u_n=\lim_{n\to+\infty}(e-1)f(\frac{1}{n})=\lim_{N\to0}(e-1)f(N)=e-1$ en posant $N=\frac{1}{n}$
donc $(u_n)$ converge et sa limite est $e-1$ .

Publié par TP/ le 24-11-2009

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