Fiche de mathématiques
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Bac Technologique - Sciences Médico-Sociales
Polynésie Française - Session 2008

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Durée de l'épreuve : 2 heures - Coefficient 2
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura dévéloppée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
L'usage des calculatrices est autorisé.
Le formulaire officiel de mathématiques est joint au sujet.
8 points

exercice

Dans cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

Avant l'entrée des enfants à l'école primaire, les médecins et infirmiers du Ministère de l'Education Nationale effectuent un bilan de santé. Ces professionnels de la santé ont été chargés de réaliser une enquête auprès d'un échantillon de 30 000 élèves examinés en 2000-2001.
On étudie ici les résultats d'un groupe de 555 élèves de Champagne-Ardenne au sujet de leur poids.
Pour ce groupe :
    275 enfants sont des filles ;
    12 % des filles sont concernées par un surpoids modéré ;
    252 garçons ont un poids normal et parmi les garçons 7,5 % ont un surpoids modéré ;
    18 enfants sont obèses.

1. a) Montrer par un calcul que 21 garçons et 33 filles du groupe ont un surpoids modéré.
    b) Reproduire et compléter le tableau suivant :
Elèves Filles Garçons Total
Poids normal      
Surpoids modéré 33 21  
Obèse      
Total     555
(Source : flash STAT 2003)


2. Dans cette question les résultats seront donnés sous forme décimale arrondie à 10-2 près.
On choisit au hasard l'un des 555 élèves du groupe.
    a) On note A l'événement suivant : " L'enfant choisi présente un surpoids modéré " et B l'événement : " L'enfant choisi est obèse ". Calculer la probabilité des événements A et B.
    b) Traduire par une phrase l'événement \text{A} \cup \text{B} et calculer sa probabilité.
    c) Traduire par une phrase l'événement \overline{\text{A} \cup \text{B}} et calculer sa probabilité.

3. On choisit au hasard une fille parmi les 555 enfants du groupe. Calculer la probabilité que cette fille soit obèse.

4. L'enquête réalisée auprès de l'échantillon national de 30 000 élèves indique que 86 % des enfants ont un poids normal. Qu'en est-il du groupe étudié en Champagne-Ardenne ?


12 points

probleme

Partie A - Etude d'une fonction

On considère la fonction f définie sur l'intervalle [0 ; 9] par : f(t) = 6 t e^{-\frac{t}{3}} et on appelle C sa courbe représentative.

1. Calculer les valeurs exactes de f(0) \, , \, f(3) \, , \, f(9).

2. Calculer f'(t)f'(t) désigne la fonction dérivée de la foncion f et vérifier que : f'(t) = 2 e^{-\frac{t}{3}}(3 - t)

3. Résoudre l'équation f'(t) = 0 et étudier le signe de f'(t) sur l'intervalle [0 ; 9].

4. En déduire le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle [0 ; 9].

5. Déterminer le coefficient directeur de la tangent T à la courbe C au point d'abscisse 0.

6. Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant (arrondir les résultats à 0,1 près).

t 0 0,5 1 1,5 2 3 4 5 6 7 8 9
f(t)   2,5   5,5 6,2     5,7   4,1   2,7


7. Sur une feuille de papier millimétré, construire la tangente et la courbe C dans un repère orthonormal en prenant 2 cm pour une unité sur chaque axe.

Partie B - Application

Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non furctueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

Les pénicillines naturelles sont des antibiotiques extraits de cultures de la moisissure Penicillium. La pénicilline V, administrée par voie orale, est une des molécules naturelles le plus souvent prescrite.
Un patient a absorbé par voie orale de la pénicilline V. On admet que la concentration de pénicilline V dans son sang (en milligramme par litre) en fonction du temps t (en heures) après le début du traitement est donnée par f(t) = 6 t e^{-\frac{t}{3}.

1. Calculer la concentration de pénicilline V présente dans le sang au bout de 2 h 30 minutes après la prise du traitement (donner ce résultat sous forme décimale arrondie à 0,1 près).

2. Au bout de combien de temps la concentration de pénicilline V est-elle maximale ? Quelle est alors cette concentration à 0,1 près ?

3. Déterminer graphiquement durant combien de temps la concentration de pénicilline V reste supérieure ou égale à 5 milligrammes par litre (indiquer sur le dessin de la partie A les traits de construction utiles). Exprimer le résultat en heures et minutes.








exercice

1. a) Parmi les 275 filles, 12% sont concernées par un surpoids modéré :
275 \times \dfrac{12}{100} = 33
Il y a donc 33 filles concernées par un surpoids modéré.
Parmi les 555 - 275 = 280 garçons, 7,5% sont concernés par un surpoids modéré :
280 \times \dfrac{7,5}{100} = 21
Il y a donc 21 garçons concernés par un surpoids modéré.

1. b)
Elèves Filles Garçons Total
Poids normal 231 252 483
Surpoids modéré 33

21 54
Obèse

11 7 18
Total

275 280 555


2. a) Il y a 54 élèves qui présentent un surpoids modéré parmi les 555 élèves, donc :
\boxed{P(A) = \frac{54}{555} \approx 0,10}
Il y a 18 élèves qui sont obèses parmi les 555 élèves, donc :
\boxed{P(B) = \frac{18}{555} \approx 0,03}

2. b) A \cup B : "L'enfant choisi présente un surpoids modéré ou est obèse."
Les événements A et B sont incompatibles (ou disjoints), car il n'existe pas d'élèves à la fois obèses et qui présentent un surpoids modéré, c'est-à-dire A \cap B = \empty donc P(A \cap B)=0.
Donc : \boxed{P(A \cup B) = P(A)+P(B) = \frac{54+18}{555} \approx 0,13}

2. c) L'évènement \overline{A \cup B} est le contraire de l'événement A\cup B.
\overline{A \cup B} : "L'enfant choisi ne présente pas un surpoids modéré et n'est pas obèse."
Ou plus simplement : "L'enfant choisi a un poids normal."
\boxed{P(\bar{A \cup B}) = \frac{483}{555} = 0,87}
On peut aussi la calculer par : P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B) = 1-0,13 = 0,87

3. Il y a 11 filles obèses parmi les 275 filles, donc :
\boxed{p = \frac{11}{275} = 0,04}

4. D'après la question 2.c, la probabilité est de 0,87 soit 87 % pour les élèves en Champagne-Ardenne, ce qui est très proche du taux national de 86%.




probleme

Partie A

1. Calcul de f(0), f(3) et f(9)
f(0) = 6 \times 0 \times e^{-\frac{0}{3}} \\\boxed{f(0) = 0} \\ f(3) = 6 \times 3 \times e^{-\frac{3}{3}} \\\boxed{f(3) = 18 e^{-1} = \frac{18}{e}} \\ f(9) = 6 \times 9 \times e^{-\frac{9}{3}} \\\boxed{f(9) = 54 e^{-3} = \frac{54}{e^3}}

2. Dérivation d'un produit f=uv
u = 6t \hspace{25pt} v = e^{-\frac{t}{3}} \\ u' = 6 \hspace{25pt} v' = -\dfrac{1}{3} e^{-\frac{t}{3}}
Donc : f' = u'v + uv'
f'(t) = 6 e^{-\frac{t}{3}} + 6t \times \left(-\dfrac{1}{3} e^{-\frac{t}{3}} \right) \\ f'(t) = 6 e^{-\frac{t}{3}} -2t e^{-\frac{t}{3}} \\ f'(t) = (6 -2t)e^{-\frac{t}{3}} \\ f'(t) = 2(3 -t)e^{-\frac{t}{3}} \\ \boxed{f'(t) = 2e^{-\frac{t}{3}}(3-t)}

3. Résolution de l'équation f'(t) = 0
Rappel : l'exponentielle d'un nombre est toujours strictement positif.
f'(t) = 0 \\ \Longleftrightarrow \, 2e^{-\frac{t}{3}}(3-t) = 0 \\ \Longleftrightarrow \, 3-t = 0 \\ \Longleftrightarrow \, \boxed{t= 3}
De même :
f'(t) > 0 \\ \Longleftrightarrow \, 2e^{-\frac{t}{3}}(3-t) > 0 \\ \Longleftrightarrow \, 3-t > 0 \\ \Longleftrightarrow \, -t > -3 \\ \Longleftrightarrow \, t < 3
On en déduit le tableau de signe de la dérivée, et les variations de la fonction f.
bac SMS, Polynésie française 2008 - terminale : image 1


4. Voir tableau à la question précédente.

5. Le coefficient directeur de la droite tangente à la courbe au poitn d'abscisse 0 est égal au nombre dérivé de f en 0, c'est à dire f'(0).
f'(0) = 2e^{0}(3-0) \\ f'(0) = 2\times 1 \times 3 \\ \boxed{f'(0) = 6}

6. Tableau de valeurs :
t 0 0,5 1 1,5 2 3 4 5 6 7 8 9
f(t) 0 2,5 4,3 5,5 6,2 6,6 6,3 5,7 4,9 4,1 3,3 2,7


7.
bac SMS, Polynésie française 2008 - terminale : image 2


Partie B

1. 2h 30 minutes correspond à t = 2,5.
f(2,5) \approx 6,5
Donc la concentration au bout de 2h 30 minutes est d'environ 6,5 milligrammes par litre.

2. D'après l'étude de fonction de la partie A, le maximum de la fonction est atteint pour t=3 et est égal à 6,6 ; on en déduit que la concentration maximale est de 6,6 milligrammes par litre au bout de 3h.

3. On trace une droite parallèle à l'axe des abscisses passant par l'ordonnée 5.
Les abscisses des points d'intersection de la courbe et de cette droite horizontale sont environ 1,25 et 5,75.
On en déduit que la concentration est supérieure à 5 milligrammes par litre entre 1h 15 minutes et 5h 45 minutes, soit pendant 4h 30 minutes.
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